Exercice II. Pendule de Foucault (5,5 points)
Depuis 1996, au Panthéon à Paris, on peut observer la reconstitution de l'expéri
ence menée par Léon Foucault en 1851. Celle-ci avait permis de confirmer, ...
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EXERCICE II. PENDULE DE FOUCAULT (5,5 points)
Bac S Métropole rattrapage 09/2011 HYPERLINK "http://labolycee.org" http://labolycee.org
Depuis 1996, au Panthéon à Paris, on peut observer la reconstitution de lexpérience menée par Léon Foucault en 1851. Celle-ci avait permis de confirmer, sans observation du ciel, la rotation de la Terre sur elle-même.
Une sphère en plomb, de 20 cm de diamètre, de masse 47 kg, est suspendue sous le dôme de lédifice par un fil en acier très fin dune longueur de 67 m.
Le pendule ainsi constitué oscille librement.
On constate quau cours de la journée le plan doscillation tourne lentement dans le sens des aiguilles dune montre autour dun axe vertical.
La première partie traite des oscillations dun pendule simple et la seconde du pendule de Foucault.
Dans tout lexercice, les amplitudes angulaires (max des oscillations sont inférieures à 10°, soit 0,17 rad. On considère quon est dans le cadre des petites oscillations.
Données :
la valeur g du champ de pesanteur en un point à la surface de la Terre dépend de la latitude ( du lieu, elle ne dépend pas de sa longitude.
valeur du champ de pesanteur à Paris : gParis = 9,8 m.s(2 ;
période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique : TTerre = 24 h.
1. Période propre dun pendule simple
On appelle pendule simple un système constitué dun fil inextensible de longueur L, dont une extrémité est fixée à un support et lautre attachée à un objet quasi ponctuel de masse m. La masse du fil est négligeable par rapport à la masse de lobjet.
1.1. Étude dynamique
Un pendule simple, constitué dune petite sphère assimilée à un point B, de masse m = 50 g et dun fil AB de longueur L = 2,0 m, est écarté de sa position déquilibre dun angle (0 inférieur à 10° puis lâché sans vitesse initiale (se reporter à LA FIGURE A3 DE LANNEXE).
Le plan EMBED Equation.DSMT4 contient la verticale AO passant par le point de suspension A et la position initiale B0 du point B.
La position du point B peut être repérée par labscisse angulaire ( = EMBED Equation.DSMT4 ou par ses coordonnées (x,z) dans le plan EMBED Equation.DSMT4 .
SUR LA FIGURE A3 DE LANNEXE, représenter sans souci déchelle les forces qui sexercent sur la sphère B pour un angle ( quelconque. Toutes les actions de lair sont négligées.
Lapplication de la deuxième loi de Newton dans le référentiel terrestre, considéré en première approche comme galiléen permet de montrer que le mouvement seffectue bien dans le plan (xOz).
Énoncer la deuxième loi de Newton sous la forme dune phrase.
Quels éléments permettent de justifier laffirmation que le mouvement est plan ?
Dans lapproximation des petites oscillations, lapplication de la deuxième loi de Newton permet détablir lexpression de x(t).
On donne trois possibilités pour x(t) dans lesquelles K est une constante positive :
: x(t) = K. EMBED Equation.DSMT4 (b) : x(t) = ( K. EMBED Equation.DSMT4 (c) : x(t) = K. EMBED Equation.DSMT4
Le pendule étant lâché sans vitesse initiale à t = 0 dun angle correspondant à LA FIGURE A3 DE LANNEXE, choisir lexpression qui vérifie les conditions initiales.
1.2. Étude de la période
On montre que la période propre du pendule simple a pour expression : EMBED Equation.DSMT4 . Vérifier lhomogénéité de lexpression par analyse dimensionnelle.
À partir du XVIIIème siècle, les horloges à balancier furent très utilisées pour mesurer le temps.
On considère, à Paris, une horloge dont le balancier a une longueur L = 1,0 m. Le balancier dune telle horloge est un pendule aux oscillations entretenues et de faible amplitude que lon peut modéliser par un pendule simple. Calculer la période propre du balancier de cette horloge.
Pourquoi dit-on que cette horloge « bat la seconde » ?
Que penser des indications données par cette horloge dans un lieu de latitude différente de celle de Paris ?
2. Pendule de Foucault
2.1. Période du pendule
Les dimensions précisées dans le texte dintroduction montrent que le pendule de Foucault installé au Panthéon peut être assimilé à un pendule simple.
On filme le mouvement de ce pendule pendant quelques minutes, durée assez courte pour pouvoir négliger la rotation de son plan doscillation.
Après traitement de la vidéo par un logiciel de relevés de positions, on trace la courbe représentant labscisse x du centre B de la sphère en fonction du temps.
Cette courbe est reproduite sur la figure 3 ci-dessous.
Déterminer graphiquement la valeur de la pseudo-période T des oscillations à 0,1 seconde près.
On rappelle que, compte tenu du faible amortissement, la pseudo-période est très voisine de la période propre. À partir de la valeur de la pseudo-période trouvée précédemment, retrouver la longueur du pendule de Foucault décrit dans le texte dintroduction.
2.2. Amortissement
Quelle est lorigine de lamortissement constaté dans les oscillations ?
Préciser la nature des conversions dénergies mises en jeu lors des oscillations du pendule.
Comment évolue lénergie mécanique du pendule au cours du temps ?
2.3. Rotation du plan doscillation
Une observation plusieurs heures montre que le plan doscillation tourne lentement, à vitesse constante, autour de laxe vertical passant par le point de suspension A ; pour le pendule de Foucault installé au Panthéon à Paris, en un jour, soit 24 h, ce plan tourne de 270° dans le sens des aiguilles dune montre, comme lillustre la figure 4 ci-dessous.
Figure 4. Rotation du plan doscillation au cours dune journée
De nombreux pendules de Foucault ont été réalisés et placés en différents lieux sur la Terre. Létude de leurs mouvements montre que la période de rotation du plan doscillation, notée (, dépend uniquement de la latitude ( du lieu (voir les documents présentés AUX FIGURES A4 ET A5 DE LANNEXE).
Pour un observateur fixe dans le référentiel terrestre, le mouvement du pendule nest pas plan. Cette observation est en désaccord avec lapplication de la deuxième loi de Newton évoquée à la question 1.1.2. Que peut-on en conclure quant au référentiel terrestre choisi pour faire létude ?
Calculer, pour le pendule installé au Panthéon, la période de rotation du plan doscillation, notée (. Compléter la case vide du tableau DE LA FIGURE A4 DE LANNEXE.
Reporter le point correspondant sur le graphe EMBED Equation.DSMT4 DE LA FIGURE A5 DE LANNEXE.
En déduire une méthode pour déterminer, à laide dun pendule de Foucault, la latitude dun lieu.
Dans la pratique, on utilise dautres méthodes pour déterminer la latitude dun lieu.
ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
ANNEXE DE LEXERCICE II
