Exercices TS

Valeurs numériques : dans toute la suite, on prend R = 5, L = 0,5 et E = 3. 1. Déduire des questions ... avec Excel) ? Voir également le sujet du bac national 2004 ...

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Terminales C - D

Fonction exponentielle Exercices

TOC \o "1-5" \h \z HYPERLINK \l "_Toc302308698" 1. Introduction à lexponentielle (simple) PAGEREF _Toc302308698 \h 1
HYPERLINK \l "_Toc302308699" 1-a : Approche par les suites géométriques PAGEREF _Toc302308699 \h 1
HYPERLINK \l "_Toc302308700" 1-b : Introduction de l'équa. diff. y'=ky PAGEREF _Toc302308700 \h 2
HYPERLINK \l "_Toc302308701" 1-c : Une approche graphique des fonctions solutions de f'(x)=f(x) PAGEREF _Toc302308701 \h 2
HYPERLINK \l "_Toc302308702" 1-d : Utilisation de la méthode d'Euler PAGEREF _Toc302308702 \h 2
HYPERLINK \l "_Toc302308703" 1-e : Définition et premières propriétés de la fonction exponentielle PAGEREF _Toc302308703 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc302308704" 2. Introduction à lexponentielle (difficile) PAGEREF _Toc302308704 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc302308705" 2-a : La méthode dEuler PAGEREF _Toc302308705 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc302308706" 2-b : Résolution de y = y PAGEREF _Toc302308706 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc302308707" 2-c : Quelques propriétés de exp PAGEREF _Toc302308707 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc302308708" 2-d : Quelques résolutions avec utilisation de la méthode dEuler PAGEREF _Toc302308708 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc302308709" 3. Exercices PAGEREF _Toc302308709 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc302308710" 3. 1. Un peu de théorie PAGEREF _Toc302308710 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc302308711" 3. 2. QCM PAGEREF _Toc302308711 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc302308712" 3. 3. QCM, Antilles 2006 PAGEREF _Toc302308712 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc302308713" 3. 4. STL, France, Juin 2006 (10 points) PAGEREF _Toc302308713 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc302308714" 3. 5. STL, France, juin 2005, BiochimieGénie biologique PAGEREF _Toc302308714 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc302308715" 3. 6. STL, France, juin 2005, (10 points) PAGEREF _Toc302308715 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc302308716" 3. 7. STL, France, sept. 2004 PAGEREF _Toc302308716 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc302308717" 4. STL, France, juin 2004, Biochimie - Génie biologique PAGEREF _Toc302308717 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc302308718" 4. 8. STL, France, juin 2004, PAGEREF _Toc302308718 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc302308719" 4. 9. STL, France, juin 2004 PAGEREF _Toc302308719 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc302308720" 4. 10. Étude+aire, Polynésie, nov 2010, 7 pts PAGEREF _Toc302308720 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc302308721" 4. 11. Famille de fonctions expo + intégrales PAGEREF _Toc302308721 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc302308722" 4. 12. Expo+suite integrales PAGEREF _Toc302308722 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc302308723" 4. 13. Problème expo, Amérique du Nord 1999 PAGEREF _Toc302308723 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc302308724" 4. 14. Problème expo, Pondichéry 2003 PAGEREF _Toc302308724 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc302308725" 4. 15. Expo+equa diff second ordre+intégrale PAGEREF _Toc302308725 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc302308726" 4. 16. Expo + acc finis PAGEREF _Toc302308726 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc302308727" 4. 17. Expo + suite intégrales PAGEREF _Toc302308727 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc302308728" 4. 18. Sous-tangente constante PAGEREF _Toc302308728 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc302308729" 4. 19. Expo + equa diff + intégrale, Asie 1999 PAGEREF _Toc302308729 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc302308730" 4. 20. Equa diff : insectes PAGEREF _Toc302308730 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc302308731" 4. 21. Problème- expo, Djibouti 1995 PAGEREF _Toc302308731 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc302308732" 4. 22. Deux exp pour le prix dune, N. Calédonie 1996 PAGEREF _Toc302308732 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc302308733" 4. 23. Exp+dérivabilité, La Réunion 2007 PAGEREF _Toc302308733 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc302308734" 4. 24. Dérivabilité, Paris C 1979 PAGEREF _Toc302308734 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc302308735" 4. 25. Equation diff+fonction+intégrale PAGEREF _Toc302308735 \h 27
HYPERLINK \l "_Toc302308736" 4. 26. Etude+aire+volume révo., C. étrangers 2006 PAGEREF _Toc302308736 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc302308737" 4. 27. Sol équation+vol de révolution, Antilles 2004 PAGEREF _Toc302308737 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc302308738" 4. 28. Solution déqua diff, Polynésie 2004 PAGEREF _Toc302308738 \h 29
HYPERLINK \l "_Toc302308739" 4. 29. Problème classique, Am. du Sud 2002 PAGEREF _Toc302308739 \h 30
HYPERLINK \l "_Toc302308740" 4. 30. Tangente hyperbolique, Polynésie 2002 PAGEREF _Toc302308740 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc302308741" 4. 31. Etude de fonction PAGEREF _Toc302308741 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc302308742" 4. 32. Equation exponentielle+ROC+prise initiative PAGEREF _Toc302308742 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc302308743" 4. 33. Expo+ln PAGEREF _Toc302308743 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc302308744" 4. 34. Recherche dune fonction + aire +suite PAGEREF _Toc302308744 \h 34
HYPERLINK \l "_Toc302308745" 4. 35. Groupe 1 1996 PAGEREF _Toc302308745 \h 35
HYPERLINK \l "_Toc302308746" 4. 36. Acc. finis, N. Calédonie 1993 PAGEREF _Toc302308746 \h 36
HYPERLINK \l "_Toc302308747" 4. 37. Bac S, 1997 PAGEREF _Toc302308747 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc302308748" 4. 38. Exponentielle de base quelconque PAGEREF _Toc302308748 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc302308749" 4. 39. Equa diff + cosh, Centres étrangers 2001 PAGEREF _Toc302308749 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc302308750" 4. 40. Tangentes communes à ln et exp, 1996 PAGEREF _Toc302308750 \h 38
HYPERLINK \l "_Toc302308751" 4. 41. Exp et suites, La Réunion 2004 PAGEREF _Toc302308751 \h 39
HYPERLINK \l "_Toc302308752" 4. 42. Exp et suites, N. Calédonie 1996, PAGEREF _Toc302308752 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc302308753" 4. 43. Bac S 1995, plus classique, tu meurs (Corneille) PAGEREF _Toc302308753 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc302308754" 4. 44. Exp et radical PAGEREF _Toc302308754 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc302308755" 4. 45. Exp par morceaux, Bac E, Rennes 1976 PAGEREF _Toc302308755 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc302308756" 4. 46. Un problème pas très marrant PAGEREF _Toc302308756 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc302308757" 4. 47. Autour de exp(1/x) PAGEREF _Toc302308757 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc302308758" 4. 48. Coûts de fabrication PAGEREF _Toc302308758 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc302308759" 4. 49. exp("x²), Amérique du Sud 2005 PAGEREF _Toc302308759 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc302308760" 4. 50. Exp+cos+suite, Polynésie rempl. 2005 PAGEREF _Toc302308760 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc302308761" 4. 51. Exp+Intégrale, Polynésie sept 2006 PAGEREF _Toc302308761 \h 45
HYPERLINK \l "_Toc302308762" 4. 52. Equations+ROC, Asie 2007 PAGEREF _Toc302308762 \h 46
HYPERLINK \l "_Toc302308763" 4. 53. Equation+suite réc., C. étrangers 2007 PAGEREF _Toc302308763 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc302308764" 4. 54. ROC+tangente+suite, N. Calédonie nov 2007 PAGEREF _Toc302308764 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc302308765" 4. 55. ROC+suite intégrales, Liban 2010, 5 pts PAGEREF _Toc302308765 \h 48
HYPERLINK \l "_Toc302308766" 4. 56. ROC+suite, N. Calédonie 11/2008 PAGEREF _Toc302308766 \h 49
HYPERLINK \l "_Toc302308767" 4. 57. Fonction+équa diff+aire, Antilles 2008 PAGEREF _Toc302308767 \h 49
HYPERLINK \l "_Toc302308768" 4. 58. ROC+paramètres, Asie 2008 PAGEREF _Toc302308768 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc302308769" 4. 59. Famille fonctions+suite, C. étrangers 2009 PAGEREF _Toc302308769 \h 51

Introduction à lexponentielle (simple)
Approche par les suites géométriques
Une ville voit sa population augmenter de 10 % chaque année.
Le 31 décembre 1990, elle comptait u0 = 50 000 habitants. On note un le nombre dhabitants à la date du 31 décembre de lannée 1990 + n.
1. Calculer le nombre dhabitants de cette ville les 31 décembre 1991 et 1992. Quelle est la nature de la suite (un) ?
2. En déduire lexpression de un en fonction de n et le nombre dhabitants de cette ville le 31 XII 2003.
3. Placer sur un graphique les points de coordonnées (n ; un) pour n entier, EMBED Equation.DSMT4 . Proposer une méthode pour estimer le nombre d'habitants de cette ville à la fin du mois de juin de l'année 2003.
Introduction de l'équa. diff. y'=ky
Lexpérience suggère que, si lon considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (cest-à-dire dont le nombre est de lordre du nombre dAvogadro, soit 1023 ), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps EMBED Equation.DSMT4 t à partir dun instant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à linstant t et au temps dobservation EMBED Equation.DSMT4 t, est une constante EMBED Equation.DSMT4 caractéristique du noyau en question.
On peut donc écrire : EMBED Equation.DSMT4 ou encore EMBED Equation.3 .
En faisant tendre EMBED Equation.DSMT4 t vers 0, on trouve alors EMBED Equation.DSMT4 ou encore EMBED Equation.3 .
Trouver les fonctions N qui satisfont cette condition , cest résoudre léquation différentielle EMBED Equation.DSMT4 .
On peut pressentir que la donnée de la population N(0) = N0 au départ détermine parmi les solutions trouvées celle qui décrira lévolution de N (l'unicité de la solution sera peut-être démontrée plus tard).
Le problème posé en termes mathématiques est alors le suivant :
Résoudre léquation différentielle EMBED Equation.3 .
Cest à dire chercher les fonctions f dérivables sur EMBED Equation.DSMT4 qui vérifient que pour tout EMBED Equation.DSMT4 , f(t)=" EMBED Equation.DSMT4 f(t). Puis parmi celles-ci, celle qui vérifie f(0)= N0.
Une approche graphique des fonctions solutions de f'(x)=f(x)
Préambule: Nous considérons ici l'équation différentielle : y = y. Une fonction est une solution de cette équation différentielle, si elle est dérivable sur EMBED Equation.DSMT4 et que pour tout réel x, on a f'(x) = f(x).
On peut remarquer que si f est une solution de l'équation différentielle y' = y alors la fonction g définie par g(x) = kf(x) avec k un réel quelconque est également une solution et il existe alors une infinité de solutions à cette équation différentielle.
L'activité suivante conduit à une construction des courbes intégrales (ce sont les courbes des fonctions solutions de l'équation différentielle) et permet de visualiser que la donnée d'une valeur de la fonction (b = f(a)) détermine cette fonction.

Activité: Supposons que (a ; b) sont les coordonnées d'un point M appartenant à la courbe représentative C d'une solution de l'équation différentielle.
1. Commençons tout dabord par le point M1 de coordonnées (0 ; 1). Déterminer une équation de la tangente en M1.
2. Soient M2, M3 et M4 les points de coordonnées respectives("1 ; 2), (2 ; 1) et (0 ; "1). Déterminer une équation de la tangente en chacun de ces points. Une même courbe peut-elle passer par M1 et M4 ?
3. Démontrer que, dans le cas général l équation de la tangente T à C en M est EMBED Equation.DSMT4 .
Quelle remarque peut-on faire sur le coefficient directeur de cette tangente ?
M et M étant deux points de même ordonnée que peut-on dire des tangentes en M et M ?
4. Dans le plan muni dun repère orthonormal (unité 3 cm), on considère les points dont les coordonnées (x ; y) vérifient EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 avec k et k entiers. Pour chacun de ces points tracer un segment de tangente (environ 1 cm).
5. Admettons qu'il existe une unique fonction f solution vérifiant f(0) = 1 et pour tout réel x, f '(x) = f(x).
Construire une ébauche de la courbe représentative de cette fonction. Quelle valeur approchée de f(1) obtient-on ?
Utilisation de la méthode d'Euler
De nombreux phénomènes dévolution sont modélisés par une fonction dérivable f dont la dérivée f est proportionnelle à la fonction f elle-même (f = kf). Nous allons observer lune delle par la méthode dEuler.
Soit f une fonction dérivable sur EMBED Equation.DSMT4 vérifiant f(0) = 1 et pour tout x : f(x) = f(x).
1. Montrer que, pour tous réels a et h (h voisin de 0), lapproximation affine de f en a, sécrit : EMBED Equation.DSMT4 .
2. Appliquer cette formule avec a = 0, a = h, a = 2h, ... En déduire que, si lon part de f(0), la suite des valeurs approchées de f(x) obtenues par la méthode dEuler, avec le pas h, est une suite géométrique. Quelle est sa raison ?
3. Construire point par point sur le même graphique, une représentation graphique approchée de f en prenant un pas h de 0,5 puis de 0,1. Prolonger la courbe sur l intervalle ["1 ; 2] avec la même méthode (pas h de 0,1).
A l aide d un tableur, on peut représenter cette fonction de manière encore plus précise et sur un intervalle plus large.
La fonction f est appelée fonction exponentielle.
4. Valeur approchée de f(1) : on se place sur lintervalle [0 ; 1] que lon subdivise en n intervalles. Le pas h vaut donc ici EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que la valeur approchée de f(1) obtenue par cette méthode est EMBED Equation.DSMT4 .
b. Donner la valeur approchée de f(1) correspondant à n =10 000. On admettra que la suite de terme général EMBED Equation.DSMT4 converge et on notera e sa limite.
Définition et premières propriétés de la fonction exponentielle
Létude faite dans les questions précédentes nous amène à conjecturer lexistence de solutions à léquation différentielle y = y (ce sont les fonctions dont on peut tracer les représentations graphiques de manière approchée en « suivant » les tangentes tracées en 3.). Cependant ces constatations ne constituent pas une preuve. Pour poursuivre notre étude nous sommes conduits à admettre un résultat :

« Il existe une fonction f dérivable sur EMBED Equation.DSMT4 qui est solution de y = y et qui vérifie f(0) = 1. »

Nous allons étudier dans la suite les conséquences de cette conjecture (dans la suite du problème f désignera toujours cette fonction).
1. Posons F(x) = f(x). f("x). Calculer la dérivée de F. En déduire que f(x) nest jamais nulle.
2. Supposons que g est une (autre) solution de y = y. Posons EMBED Equation.DSMT4 .
a. Démontrer que h est dérivable sur EMBED Equation.DSMT4 et que h(x) = 0.
b. En déduire que pour tout réel x, EMBED Equation.DSMT4 , puis que f est la seule solution de léquation différentielle qui prend la valeur 1 en 0.
3. Soit a un réel. On considère la fonction g définie par EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que g est une solution de léquation différentielle y = y. En déduire que pour tout réels a et b, on a : EMBED Equation.DSMT4 .
4. a et b sont deux réels quelconques.
a. En utilisant judicieusement légalité démontrée à la question précédente et f(0)=1, calculer EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que pour tout n entier relatif EMBED Equation.DSMT4 .
Correction
On part donc sur la constatation que f est solution de y = y , soit f = f et f(0) = 1.
1. F(x) = f(x). f("x). La dérivée de EMBED Equation.DSMT4 est EMBED Equation.DSMT4 donc
EMBED Equation.DSMT4 .
Comme EMBED Equation.DSMT4 et également EMBED Equation.DSMT4 , on a EMBED Equation.DSMT4 donc F est une constante. Par ailleurs EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 .
Si il existe a tel que EMBED Equation.DSMT4 alors on aurait EMBED Equation.DSMT4 ce qui est impossible.
2. EMBED Equation.DSMT4 avec g = g et f = f.
a. EMBED Equation.DSMT4 .
b. EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 .
A priori EMBED Equation.DSMT4 peut prendre nimporte quelle valeur ; si cette valeur était 1, on aurait EMBED Equation.DSMT4 donc f est la seule solution de léquation différentielle qui prend la valeur 1 en 0.
3. EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 donc g est une solution de léquation y = y.
Prenons EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 .
4. a. On prend évidemment EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 ; on en tire alors EMBED Equation.DSMT4 .
b. Par récurrence, on a EMBED Equation.DSMT4 ;
puis EMBED Equation.DSMT4 .

Introduction à lexponentielle (difficile)
Lobjectif de ce travail est de découvrir la fonction exponentielle réelle à travers la résolution dune équation différentielle par la méthode dEuler. La première partie doit vous permettre de maîtriser cette méthode avec le concours dExcel, la deuxième permet de trouver la solution de léquation différentielle, la troisième démontre certains résultats très importants quand à la quatrième on revient à la méthode dEuler pour résoudre deux équations différentielles intéressantes.

La méthode dEuler
Une équation différentielle XE "équation:différentielle" est une équation liant une fonction inconnue (notée généralement y) et ses dérivées (y, y, ).
On dira que léquation est linéaire et du premier ordre si on peut lécrire EMBED Equation.DSMT4 . Léquation est sans second membre si Q(x) = 0. Par la suite k, k, C désigneront des constantes, x la variable.
Dune manière générale si on a une équation différentielle (E) et que lon nous donne une fonction f dont on demande si elle est solution, il suffit de calculer les dérivées nécessaires de f, de remplacer et de vérifier que f satisfait (E) (on arrive alors à une égalité du style 0=0).
1. On sintéresse à la résolution de léquation différentielle EMBED Equation.DSMT4 où k est un réel quelconque. En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 .
2. On définit les suites (xn) et (yn) par EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Donner lexpression de xn en fonction de (, h et n. En considérant que EMBED Equation.DSMT4 est négligeable donner une expression de yn en fonction de (, h, k et n.
3. On prend ( = 0 et ( = 1.
a. Construire une feuille de calcul permettant de calculer les valeurs successives de xn et yn. Tracer les représentations graphiques Cn(xn, yn) obtenues dans les cas suivants avec un pas h = 0,02 :
k = "2 ; k = "0,5 ; k = 0 ; k = 0,5 ; k = 1 ; k = 2.
b. Toujours avec ( = 0 et ( = 1, justifier que quand k > 0 la fonction y est croissante, quand k = 0 la fonction y est constante et quand k "1.
b. Sens de variation de wn : montrez que EMBED Equation.DSMT4 . Justifiez alors que si n > x > "n,
EMBED Equation.DSMT4
puis en utilisant (P) que pour un entier n suffisamment grand, EMBED Equation.DSMT4 . Concluez.
5. On considère EMBED Equation.DSMT4 toujours avec n > x > "n.
a. Tracez avec l aide de votre tableur préféré les suites EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 pour x = 2 puis pour x = "0,5. Quelles conjectures pouvez-vous faire sur leur comportement ?
Les vraiment courageux peuvent sattaquer aux questions d., e. et f.
b. Montrez que EMBED Equation.DSMT4 ; déduisez-en que EMBED Equation.DSMT4 est décroissante à partir dun certain rang.
c. Montrez que EMBED Equation.DSMT4 ; quen déduisez-vous pour EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ?
d. Montrez que EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la limite de EMBED Equation.DSMT4 quand n tend vers linfini ? Concluez !
6. On conclut donc de tout ceci à lexistence dune limite commune aux suites EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ; cette limite est une fonction et est notée exp(x) (exponentielle de x) avec
EMBED Equation.DSMT4
Par définition des suites EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 on a exp(0) = 1.
On sintéresse ici à la dérivée de exp (a priori exp doit être solution de y = y, donc sa dérivée doit être elle-même, sinon tout ce quon a fait naura servi à rien) : on cherche donc la limite de EMBED Equation.DSMT4 lorsque h tend vers 0.
a. Montrez que EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrez que lorsque n est suffisamment grand on a EMBED Equation.DSMT4 .
c. En utilisant la propriété (P) montrez que EMBED Equation.DSMT4 puis que
EMBED Equation.DSMT4 .
Lorsque n tend vers linfini quelle inégalité obtenez-vous ?
On remplace h par "h dans l inégalité précédente, ce qui donne
EMBED Equation.DSMT4
puis x par x + h :
EMBED Equation.DSMT4
En prenant h petit, 1"h >0 d où EMBED Equation.DSMT4 . Il n y a plus qu à conclure.
7. Nous savons maintenant que l équation y = y avec y(0)=1 a au moins une solution. Est-ce la seule ?
a. On suppose quil existe une solution g autre que exp. Posons EMBED Equation.DSMT4 . Calculez f(x).
b. Montrez que g est alors telle que EMBED Equation.DSMT4 . Que vaut g(x) ?
c. En utilisant f(0) = 1, montrez que f nest autre que exp.
Quelques propriétés de exp
Les questions précédentes montrent deux définitions différentes de exp(x) :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
(La première définition na pas été justifiée proprement, ce sera lobjet dun problème ultérieur).

1. Avec Excel tracez les deux suites représentant exp(1) pour n compris entre 0 et 200 ainsi quune droite horizontale représentant exp(1) (on lobtient directement avec la fonction exp de Excel). Quelle définition vous semble la plus efficace en terme de temps de calcul ? Le nombre EMBED Equation.DSMT4 est noté simplement e.
2. exp est toujours strictement positive
a. On suppose quil existe un réel ( tel que exp(() = 0, calculez EMBED Equation.DSMT4 ; concluez.
b. Comme exp est dérivable sur EMBED Equation.DSMT4 elle est continue sur EMBED Equation.DSMT4 . En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires montrez que exp(x) > 0 pour tout x réel.
c. Déduisez-en le sens de variation de exp.
3. Dérivée de exp(u)
En utilisant la dérivation des fonctions composées montrez que EMBED Equation.DSMT4 .
4. La limite de exp en +" est +"
En utilisant la propriété (P) montrez que EMBED Equation.DSMT4 ; déduisez-en la limite de exp en +". Déterminez également EMBED Equation.DSMT4 .
5. Cexp(kx) est la solution de y = ky
a. Calculez la dérivée de EMBED Equation.DSMT4 et vérifiez que f est solution. Que vaut f si y(0) = 1 ?
b. Soit g une autre solution possible, on pose EMBED Equation.DSMT4 ; montrez que g est constante. Concluez.
6. exp(a + b) = exp(a)exp(b)
Cette propriété fondamentale peut être montrée en utilisant les définitions à base de suites mais cest un peu laborieux. On va utiliser le fait que exp(kx) est lunique solution de y = ky avec y(0) = 1.
a. On montre dabord que si exp(ax) est solution de f = af alors exp(a + b) = exp(a)exp(b) : soit g la fonction définie par EMBED Equation.DSMT4 .
Montrez que EMBED Equation.DSMT4 , calculez g(0). Concluez.
b. On montre maintenant que si une fonction f est telle que f(a + b) = f(a)f(b) pour tous a, b réels alors f(x) = exp(kx).
Dérivez la relation f(a + x) = f(a)f(x) par rapport à x. Que se passe-t-il lorsque x = 0 ? Déduisez-en que f est solution de y = ky où k = f(0).

Pour quelques compléments :
HYPERLINK "http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/EDexp03.pdf"http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/EDexp03.pdf

La relation précédente nest jamais que la propriété bien connue des puissances : EMBED Equation.DSMT4 avec a, b rationnels. La définition de la fonction exponentielle étend alors aux puissances réelles cette propriété ; comme on a par ailleurs exp(1) = e, on note en général EMBED Equation.DSMT4 où les règles de calcul habituelles sur les puissances sappliquent évidemment.
On peut se demander ce qui se passe si on étend la définition de x réel à x complexe dans EMBED Equation.DSMT4 par exemple ; on définit alors une fonction appelée exponentielle complexe qui a les mêmes propriétés que lexponentielle réelle et on notera EMBED Equation.DSMT4 . Dans le cas où la partie réelle de z est nulle on retrouve la notation exponentielle vue dans les complexes doù EMBED Equation.DSMT4 . Cette fonction est fondamentale dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique.

Voici quelques aperçus de lexponentielle complexe comme on ne peut la représenter quen 4 dimensions, il faut se faire une idée de sa structure à partir de projections dans lespace 3D.

Quelques résolutions avec utilisation de la méthode dEuler
1. EMBED Equation.DSMT4
On considère léquation différentielle : (A) EMBED Equation.DSMT4 où y désigne une fonction de la variable t, dérivable sur EMBED Equation.DSMT4 .
a. En utilisant la méthode dEuler avec y(0) = 0 et un pas h = 0,01 tracer la courbe solution sur [0 ; 5].
b. Trouver K constante réelle telle que f(t) = K soit solution de(A).
c. On pose y = u + K ; montrer que y est solution de (A) si et seulement si u est solution de (B) : y = "10y.
d. Déterminer les solutions de (B), en déduire les solutions de (A).
e. En utilisant la même méthode quau III. 4. b montrer que les solutions trouvées sont les seules possibles.
f. Déterminer la solution de (A) telle que f(0) = 0.
Tracez cette solution sur la même figure quà la question IV. 1. a. Représentez également lécart entre la solution obtenue avec Euler et la solution exacte. Interprétez.
2. Etablissement dun courant dans une bobine
Aux bornes dune bobine de résistance R (exprimée en ohms) et dinductance L (exprimée en henrys), on branche, à la date t = 0, un générateur de force électromotrice E (exprimée en volts). Lunité de temps est la seconde.
Lintensité du courant dans le circuit (exprimée en ampères) est une fonction dérivable du temps, notée i. A la date t = 0 lintensité est nulle.
Au cours de létablissement du courant, la fonction i est solution de léquation différentielle :
Li + Ri = E (ou EMBED Equation.DSMT4 ).
Valeurs numériques : dans toute la suite, on prend R = 5, L = 0,5 et E = 3.
1. Déduire des questions précédentes lexpression de i(t) pour t > 0 .
2. Déterminer EMBED Equation.DSMT4 . Donner une interprétation physique du résultat.
3. Au bout de combien de temps le courant atteint-il la valeur de 0,59 ampères (on cherchera la réponse avec Excel) ?
Voir également le sujet du bac national 2004
Exercices
Un peu de théorie
A. On veut déterminer toutes les applications de lensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres rationnels dans lensemble Rð des nombres réels telles que pour tout EMBED Equation.DSMT4 et tout EMBED Equation.DSMT4 dans EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer EMBED Equation.DSMT4 .
2. Pour tout nombre entier EMBED Equation.DSMT4 , calculer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de EMBED Equation.DSMT4 .
3. Pour tout nombre entier EMBED Equation.DSMT4 , calculer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de EMBED Equation.DSMT4 .
4. Pour tout EMBED Equation.DSMT4 et tout EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , calculer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de EMBED Equation.DSMT4 .
5. Montrer que pour tout rationnel EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 .
6. Conclure quil existe un nombre réel EMBED Equation.DSMT4 tel que pour tout rationnel EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
B. On sintéresse maintenant aux applications g de lensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres réels strictement positifs dans lensemble Rð des nombres réels telles que pour tout EMBED Equation.DSMT4 et tout EMBED Equation.DSMT4 dans EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Montrer que s il existe un réel EMBED Equation.DSMT4 tel que EMBED Equation.DSMT4 alors, pour tout EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
2. Montrer que sil existe un réel EMBED Equation.DSMT4 tel que EMBED Equation.DSMT4 alors EMBED Equation.DSMT4 .
3. Montrer que sil existe un réel EMBED Equation.DSMT4 tel que EMBED Equation.DSMT4 alors, pour tout réel EMBED Equation.DSMT4 >0, EMBED Equation.DSMT4 .
4. On suppose quil existe EMBED Equation.DSMT4 tel que EMBED Equation.DSMT4 et on considère lapplication EMBED Equation.DSMT4 où ln est la fonction logarithme népérien et exp la fonction exponentielle : EMBED Equation.DSMT4 est-elle bien définie sur l ensemble Rð ?
a. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 vérifie la propriété : pour tout EMBED Equation.DSMT4 et tout y dans Rð, EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire l existence d un réel EMBED Equation.DSMT4 tel que, pour tout EMBED Equation.DSMT4 de la forme EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 ,
EMBED Equation.DSMT4 .
QCM
Répondre par Vrai ou Faux à chaque question sans justifier.
Chaque réponse juste rapporte 0,75 points ; toute réponse fausse coûte 0,5 points ; pas de réponse ne rapporte ni nenlève rien. Si toutes les réponses sont justes un bonus de 1 point est donné.
Soit la fonction EMBED Equation.DSMT4 et C sa courbe représentative.
a. EMBED Equation.DSMT4
b. La droite déquation EMBED Equation.DSMT4 est asymptote à la courbe C.
c. La dérivée de f est EMBED Equation.DSMT4 .
d. La fonction f admet un unique extremum.
e. Pour tout réel EMBED Equation.DSMT4 , léquation EMBED Equation.DSMT4 admet soit 0 soit 2 solutions.
f. La fonction EMBED Equation.DSMT4 nest pas dérivable en 0.
g. La fonction f est-elle une solution de léquation différentielle EMBED Equation.DSMT4 ?
h. La valeur moyenne de f entre 0 et 1 est
QCM, Antilles 2006
3 points
Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification nest demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, labsence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de lexercice est négatif, la note est ramenée à 0.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.
1. Léquation EMBED Equation.DSMT4 admet dans EMBED Equation.DSMT4 :
a. 0 solutionb. 1 solutionc. 2 solutionsd. plus de 2 solutions2. Lexpression EMBED Equation.DSMT4
a. nest jamais négativeb. est toujours négativec. n est négative que si x est positifd. n est négative que si x est négatif3. EMBED Equation.DSMT4
a. EMBED Equation.DSMT4 b. 1c. 2d. EMBED Equation.DSMT4 4. L équation différentielle y = 2y "1 a pour ensemble de solutions :
a. EMBED Equation.DSMT4
avec k EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 b. EMBED Equation.DSMT4
avec k EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 c. EMBED Equation.DSMT4
avec k EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 d. EMBED Equation.DSMT4
avec k EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
STL, France, Juin 2006 (10 points)
On considère la courbe C représentant la fonction f définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 dans le plan rapporté a un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 (unité graphique 2cm).
PARTIE A
1. a. Déterminer la limite de la fonction f en EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que si x est différent de zéro on a : EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la limite de la fonction f en EMBED Equation.DSMT4 . Interpréter graphiquement ce résultat.
2. a. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
b. Étudier le signe de EMBED Equation.DSMT4 et en déduire le tableau de variations de la fonction f sur EMBED Equation.DSMT4 .
3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point dabscisse 0.
4. Étude de la position de C par rapport à T
a. Montrer que pour tout réel x on a : EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 .
b. Calculer g(x) et étudier son signe.
c. Dresser le tableau de variations de la fonction g.
d. En déduire le signe de g(x), puis de f(x) " (x +1).
e. En déduire la position de C par rapport à T.
f. Après avoir reproduit et complété le tableau de valeurs ci-dessous, tracer T et C dans le repère EMBED Equation.DSMT4 .
Donner les valeurs de f(x) arrondies à 10"2 près.
x"2"1"0,500,512346f(x)
PARTIE B
a. Montrer que la fonction F définie par EMBED Equation.DSMT4 est une primitive de la fonction f.
b. Calculer laire en cm2 de la région du plan comprise entre les axes de coordonnées, la courbe C et la droite déquation x = 3. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10"2 près.
STL, France, juin 2005, Biochimie Génie biologique
10 points
On considère la fonction f définie sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par : EMBED Equation.DSMT4 .
C est sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique 5 cm).
1. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
2. Calculer la limite de f en EMBED Equation.DSMT4 (on pourra montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
3. Donner les valeurs approchées à 10"2 près de f(x) pour les valeurs suivantes de x : 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 ; 1,2 et 1,4.
4. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à C au point d abscisse 0.
5. Tracer la courbe C et sa tangente T.
6. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
On considère la fonction F définie sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par EMBED Equation.DSMT4 . Expliquer pourquoi F est une primitive de f sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
STL, France, juin 2005, (10 points)
Partie A : Étude dune fonction
On considère la fonction f définie sur lensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres réels par EMBED Equation.DSMT4 .
On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 2 cm.
1. a. Calculer la limite de f(x) quand x tend vers EMBED Equation.DSMT4 .
b. Calculer la limite de f(x) quand x tend vers EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire léquation dune droite D asymptote â la courbe C.
d. Calculer les coordonnées du point dintersection A de la droite D et de la courbe C.
e. Déterminer la position relative de la courbe C par rapport â la droite D.
2. a. Calculer f (x).
b. Étudier le signe de f (x) et en déduire le tableau de variations de f sur EMBED Equation.DSMT4 .
3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0.
4. a. Montrer que l équation f(x) = 0 admet une solution x0 sur [2 ; 3].
b. Donner un encadrement de x0 à 10"2 près.
5. Tracer sur un même graphique la droite D, la tangente T et la courbe C.
Partie B : Calcul daire
1. On considère la fonction g définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer g(x).
b. En déduire une primitive de f sur EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe C, laxe des abscisses, laxe des ordonnées et la droite déquation x = 2.
b. Calculer laire de la partie hachurée. Donner la valeur exacte en cm2, puis la valeur arrondie à 10"2 près.
STL, France, sept. 2004
5 points
Soit f la fonction numérique de la variable x définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 .
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 2 cm.
Partie A
1. a. Déterminer les limites de f(x) quand x tend vers EMBED Equation.DSMT4 puis quand x tend vers EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que la courbe C admet deux asymptotes D et D dont on donnera les équations.
2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
3. Soit T la tangente à la courbe C au point I(0 ; 1). Déterminer une équation de la droite T.
4. a. Pour tout réel x, on appelle M le point de la courbe C dabscisse x et M celui d abscisse "x. Démontrer que I(0 ; 1) est le milieu du segment [MM ].
b. Que représente le point I pour la courbe C ?
5. Tracer les droites D, D , T et la courbe C.
Partie B
1. Vérifier que, pour tout réel x, EMBED Equation.DSMT4 . En déduire une primitive F de f sur EMBED Equation.DSMT4 .
2. EMBED Equation.DSMT4 désigne un réel inférieur ou égal à 1. On appelle EMBED Equation.DSMT4 laire, en cm2, de la partie du plan, ensemble des points M(x ; y) tels que : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de EMBED Equation.DSMT4 .
b. Donner la valeur exacte de A(0) puis sa valeur arrondie au cm2.
c. Calculer EMBED Equation.DSMT4 .
STL, France, juin 2004, Biochimie - Génie biologique
12 points
Partie A
Les êtres vivants contiennent du carbone 14 radioactif (constamment renouvelé) qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.
À leur mort, ce carbone 14 nest plus renouvelé ; il est désintégré à une vitesse proportionnelle, à tout instant, au carbone 14 encore présent dans lorganisme. On montre que le coefficient de proportionnalité est voisin de 0,123.
Ainsi, la radioactivité du carbone 14 présent dans un organisme à linstant t après sa mort (t exprimé en milliers d années), notée f(t), vérifie les deux conditions : EMBED Equation.DSMT4 et f(0) = 15,3.
Résoudre l équation différentielle y ="0,123y et y(0) = 15,3.
Partie B
On étudie sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ la fonction f définie par EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Calculer la limite de f quand t tend vers EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire lexistence dune asymptote (que lon précisera) à C, courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
2. a. Pour tout nombre t positif, calculer f (t ), où f désigne la dérivée de f.
b. Étudier le signe de f (t) et en déduire les variations de f sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
3. Construire C en prenant 2 cm pour 5 milliers dannées en abscisses, 1 cm pour 1 unité en ordonnées (on placera les points dabscisses : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 et 30).
4. Placer sur le dessin précédent la tangente T à C au point dabscisse 0.
Partie C
On considère que la fonction f donnée dans la partie B donne la radioactivité du carbone 14 dans un organisme après sa mort, en fonction de t (en milliers dannées).
1. On trouve dans une grotte des débris dos présentant une radioactivité égale à 10,2 unités. Estimer lâge de ces débris à laide dune lecture graphique.
2. Lorsque la radioactivité devient inférieure à 1% de sa valeur initiale, le calcul de f(t) est entaché de trop dincertitude pour permettre de dater raisonnablement à laide du carbone 14. Trouver à partir de quel âge un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
STL, France, juin 2004,
10 points
Partie A
On considère la fonction f définie sur EMBED Equation.DSMT4 par : EMBED Equation.DSMT4 .
1. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 2 cm.
a. Déterminer la limite de f en EMBED Equation.DSMT4 .
b. On rappelle que : EMBED Equation.DSMT4 pour tout n entier naturel.
En remarquant que EMBED Equation.DSMT4 , déterminer la limite de f en EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que C admet une asymptote dont on donnera une équation.
2. a. Démontrer que pour tout x de EMBED Equation.DSMT4 on a : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer le signe de f (x) puis les variations de f.
Dresser le tableau de variations de f (on donnera les valeurs exactes de f(1) et de f(2)).
3. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0.
b. Que peut-on dire de la tangente à C au point d abscisse 1 ? Et au point d abscisse 2 ?
4. Reproduire puis compléter le tableau suivant :
x"2"10122,5f(x)On donnera des valeurs approchées à 10"2 près par défaut.
5. Construire la droite T et la courbe C.
Partie B
1. a. Hachurer sur le dessin la partie du plan comprise entre la courbe C, la droite d équation x = 1 et les deux axes du repère. On appelle A son aire, en cm2.
b. En utilisant la partie A. montrer que pour tout x de lintervalle [0 ; 1] on a : EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire lencadrement suivant : EMBED Equation.DSMT4 .
d. En utilisant lencadremement ci-dessus justifier que laire A est comprise entre 28 et 33 cm2.
2. a. Soit g la fonction définie sur EMBED Equation.DSMT4 par : EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que g est une primitive de f sur EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire la valeur exacte de A puis la valeur arrondie à lunité près.
STL, France, juin 2004
10 points
On considère la fonction f définie sur ]0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par : EMBED Equation.DSMT4 .
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2 cm sur laxe des abscisses, 1 cm sur laxe des ordonnées).
1. Déterminer la limite de f quand x tend vers 0, x réel positif. En déduire que C possède une asymptote dont on précisera léquation.
2. Déterminer la limite de f en EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que la droite D déquation y = 2x +1 est asymptote à C. Étudier la position de C par rapport à la droite D.
3. a. Calculer, pour tout x réel strictement positif, le nombre dérivé f (x). Montrer que, pour tout x réel strictement positif, EMBED Equation.DSMT4 .
b. Étudier le signe de f (x) sur lintervalle ]0 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
En déduire le tableau de variations de f sur cet intervalle.
4. Tracer la courbe C et ses asymptotes.
5. a. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x > 0, EMBED Equation.DSMT4 .
b. Hachurer la partie du plan limitée par la courbe C laxe des abscisses et les droites déquations x = 1 et x = 3. Déterminer laire de cette partie du plan, exprimée en unités daire.
Étude+aire, Polynésie, nov 2010, 7 pts
Partie 1
Soit g la fonction définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer la limite de g en EMBED Equation.DSMT4 .
2. Étudier les variations de la fonction g.
3. Donner le tableau de variations de g.
4. a. Démontrer que l équation EMBED Equation.DSMT4 admet sur EMBED Equation.DSMT4 une unique solution. On note EMBED Equation.DSMT4 cette solution.
b. À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude 10"2 de EMBED Equation.DSMT4 .
c. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
5. Déterminer le signe de EMBED Equation.DSMT4 suivant les valeurs de x.
Partie 2
Soit A la fonction définie et dérivable sur EMBED Equation.DSMT4 telle que EMBED Equation.DSMT4 .
1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, EMBED Equation.DSMT4 a le même signe que EMBED Equation.DSMT4 , où g est la fonction définie dans la partie 1.
2. En déduire les variations de la fonction A sur EMBED Equation.DSMT4 .
Partie 3
On considère la fonction f définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 . On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé EMBED Equation.DSMT4 . La figure est donnée ci-dessous.
Pour tout réel x positif ou nul, on note :
M le point de (C) de coordonnées (x ; f(x)),
P le point de coordonnées (x ; 0),
Q le point de coordonnées (0 ; f(x)).
1. Démontrer que laire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse EMBED Equation.DSMT4 .
2. Le point M a pour abscisse EMBED Equation.DSMT4 . La tangente (T) en M à la courbe (C) est-elle parallèle à la droite (PQ) ?
Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou dinitiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.

Famille de fonctions expo + intégrales
On donne les courbes Cn représentatives des fonctions EMBED Equation.DSMT4 sur [0 ; 1] avec EMBED Equation.DSMT4 (sur la figure on sest arrêté à n = 10, mais les représentations sont similaires).
On considère alors la suite dintégrales EMBED Equation.DSMT4 .
On rappelle que EMBED Equation.DSMT4 et que EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Déterminez graphiquement la valeur des coefficients directeurs des tangentes aux courbes Cn en 0 pour n = 1 puis pour EMBED Equation.DSMT4 . Vérifiez vos résultats avec un calcul.
b. Donnez une interprétation géométrique de ( EMBED Equation.DSMT4 ). Quelles conjectures pouvez-vous faire sur le comportement de cette suite (sens de variation, convergence, limite) ?
2. On va montrer les résultats obtenus en 1.b.
a. Montrez que EMBED Equation.DSMT4 au moyen dune intégration par parties.
b. Montrez que ( EMBED Equation.DSMT4 ) est décroissante ; déduisez-en un encadrement de EMBED Equation.DSMT4 et concluez quand à sa convergence.
c. Montrez que sur [0 ; 1] on a EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la limite de EMBED Equation.DSMT4 ? Déterminez la valeur de lentier n0 tel que pour EMBED Equation.DSMT4 on est sûr que EMBED Equation.DSMT4 .
3. On essaie dobtenir une expression de EMBED Equation.DSMT4 .
a. Au moyen dune intégration par parties, montrez que EMBED Equation.DSMT4 . Déduisez-en les valeurs exactes de EMBED Equation.DSMT4 .
b. Il semble clair que EMBED Equation.DSMT4 peut se mettre sous la forme EMBED Equation.DSMT4 : déterminez une relation de récurrence entre EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Montrez par récurrence que EMBED Equation.DSMT4 .
Déduisez-en que EMBED Equation.DSMT4 .
Expo+suite integrales
On considère la fonction f définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 . On rappelle que EMBED Equation.DSMT4 .
La courbe C représentative de f dans un repère orthonormé est donnée sur la feuille jointe (les unités nont aucune importance) ; le tableau de variation de f est fourni ci-dessous.
On considère lintégrale EMBED Equation.DSMT4 ; lobjet de lexercice est de trouver un encadrement permettant un calcul approché de J et non den donner un calcul exact.
1. Interpréter géométriquement J : on fera un petit croquis explicatif sur la feuille jointe que lon rendra avec la copie. Donner une estimation à la louche de J.
2. Utiliser le tableau de variation de f pour justifier que EMBED Equation.DSMT4 .
3. Rappeler la démonstration de la formule de la somme des termes dune suite géométrique de 1er terme 1 et de raison x. Justifier alors légalité : EMBED Equation.DSMT4 .
4. En déduire que EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
5. Justifier lencadrement EMBED Equation.DSMT4 ; en déduire que EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la limite de EMBED Equation.DSMT4 quand n tend vers linfini ?
On pose dorénavant EMBED Equation.DSMT4 ; on voit donc que la suite EMBED Equation.DSMT4 tend vers 0, soit que les valeurs successives de EMBED Equation.DSMT4 constituent une « bonne » approximation de J.
6. Jusqu à quel terme n0 doit-on calculer EMBED Equation.DSMT4 pour être sûr que EMBED Equation.DSMT4 est une valeur approchée de J à 10"2 près ?
7. On s intéresse de plus près à EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer EMBED Equation.DSMT4 .
b. En utilisant une intégration par parties montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
c. A laide de cette relation donner sous la forme EMBED Equation.DSMT4 , où EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont deux entiers relatifs, la valeur de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . En déduire les valeurs de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Donner une estimation de la précision obtenue ainsi sur J.
EMBED Excel.Chart.8 \s
Problème expo, Amérique du Nord 1999
On considère la fonction numérique f définie sur ] EMBED Equation.DSMT4 ; 1[ par EMBED Equation.DSMT4 .
On désigne par ( EMBED Equation.DSMT4 ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé EMBED Equation.DSMT4 , lunité graphique étant 2 cm.
Partie 1
1. a. Soit EMBED Equation.DSMT4 . Prouver légalité EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la limite de f quand x tend vers 1 par valeurs inférieures.
b. Déterminer la limite de f en EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire une asymptote à la courbe ( EMBED Equation.DSMT4 ).
2. a. Soit v la fonction numérique définie sur ] EMBED Equation.DSMT4 ; 1[ par EMBED Equation.DSMT4 . Calculer v(x).
b. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
c. Etudier les variations de f.
d. Tracer la courbe ( EMBED Equation.DSMT4 ).
Partie 2
1. Déterminer une primitive de f sur ] EMBED Equation.DSMT4 ; 1[.
2. Soit EMBED Equation.DSMT4 un réel tel que 0 < EMBED Equation.DSMT4 0 , calculer g'(t) .
b. Prouver que pour tout EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire le signe de g' et le sens de variation de g (on ne demande pas de construire la courbe représentative de g).
3. On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. À cet effet on introduit la fonction h définie sur [0, EMBED Equation.DSMT4 [ par : EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer h et h, ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0).
b. Prouver que pour tout EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 (1). Pour cela, on établira dabord que EMBED Equation.DSMT4 et on en déduira un encadrement de h et de h.
c. Déduire de la relation (1) un encadrement de EMBED Equation.DSMT4 . Prouver finalement que g est dérivable en 0 et donner la valeur de g(0).
4. Construire la courbe représentative C de g, le plan étant rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 .
Equation diff+fonction+intégrale
Partie A
On se propose de résoudre sur EMBED Equation.DSMT4 léquation différentielle (E) : y 2y = 2(e2x 1).
1. Montrer que la fonction h définie sur EMBED Equation.DSMT4 par : EMBED Equation.DSMT4 est solution de léquation différentielle (E).
2. On pose : y = z + h. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de léquation différentielle : EMBED Equation.DSMT4 .
Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de (E).
3. Démontrer quil existe une solution et une seule de (E) sannulant en 0. Elle sera appelée g et étudiée dans la partie B.
Partie B
On considère la fonction g définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer le sens de variation de g. Présenter son tableau de variation. En déduire le signe de g sur EMBED Equation.DSMT4 .
2. Résoudre dans EMBED Equation.DSMT4 linéquation : EMBED Equation.DSMT4 .
3. Calculer lintégrale : EMBED Equation.DSMT4 .
4. Interpréter graphiquement les résultats des questions 2. et 3.
Partie C
On considère la fonction numérique f définie pour tout x réel par : EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Calculer les limites de f en EMBED Equation.DSMT4 , en 0 et en EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote que lon précisera.
2. Déterminer le sens de variation de f et donner son tableau de variation (on pourra utiliser la partie B).
3. Soit (C) la courbe représentative de f dans le repère orthogonal EMBED Equation.DSMT4 avec pour unités 4 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.
Après avoir recopié et complété le tableau ci-dessous avec des valeurs approchées arrondies à 10"2 près, construire la courbe (C) pour les valeurs de x comprises entre 2 et 1.

x 2 1,5 1 0,5 0,2 0,1 0,050,050,10,20,51f(x)
4. Soit f1 la fonction définie par EMBED Equation.DSMT4 .
Cette fonction est définie et continue sur EMBED Equation.DSMT4 . En supposant que f1 est dérivable en 0, expliquer comment on peut déterminer graphiquement une valeur approchée du nombre dérivé EMBED Equation.DSMT4 .
Faire cette lecture graphique. Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?
Partie D
On se propose de trouver un encadrement de lintégrale EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que pour tout x de [2 ; 1] on a : EMBED Equation.DSMT4 .
En déduire un encadrement de J damplitude 0,1.
Etude+aire+volume révo., C. étrangers 2006
6 points
On désigne par f la fonction définie sur lensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres réels par EMBED Equation.DSMT4 .
On note C la courbe representative de f dans un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 , (unité graphique : 5 cm).
Partie A : étude de la fonction f
1. Vérifier que pour tout nombre réel x : EMBED Equation.DSMT4 .
2. Déterminer les limites de f en EMBED Equation.DSMT4 et en EMBED Equation.DSMT4 . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3. Calculer f (x) pour tout nombre réel x. En déduire les variations de f sur EMBED Equation.DSMT4 .
4. Dresser le tableau des variations de f.
5. Tracer la courbe C et ses asymptotes éventuelles dans le repère EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B : quelques propriétés graphiques.
1. On considère les points M et M de la courbe C dabscisses respectives x et "x. Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [MM ]. Que représente le point A pour la courbe C ?
2. Soit n un entier naturel. On désigne par Dn le domaine du plan limité par la droite d équation y = 1, la courbe C et les droites d équations x =0 et x = n, An désigne laire du domaine Dn exprimée en unité daire.
a. Calculer An.
b. Étudier la limite éventuelle de An, lorsque n tend vers EMBED Equation.DSMT4 .
Partie C : calcul dun volume
Soit EMBED Equation.DSMT4 un réel positif, On note V( EMBED Equation.DSMT4 ) lintégrale EMBED Equation.DSMT4 . On admet que V( EMBED Equation.DSMT4 ) est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de laxe des abscisses, de la portion de la courbe C obtenue pour EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer les nombres réels a et b tels que : pour tout nombre réel x, EMBED Equation.DSMT4 .
2. Exprimer V( EMBED Equation.DSMT4 ) en fonction de EMBED Equation.DSMT4 .
3. Déterminer la limite de V( EMBED Equation.DSMT4 ) lorsque EMBED Equation.DSMT4 tend vers EMBED Equation.DSMT4 .
Sol équation+vol de révolution, Antilles 2004
5 points
Soit f la fonction définie sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par EMBED Equation.DSMT4 .
Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.
Partie A
1. Dresser le tableau des variations de f sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative.
2. a. Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction f et de la fonction logarithme népérien ; on notera L cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de léquation f(x) = ln(x)
sur [1 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
b. Montrer que la fonction g définie sur ]0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par : g(x) = ln(x)" f(x) est strictement croissante sur [1 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
En déduire que l équation f (x) = ln(x) admet une unique solution EMBED Equation.DSMT4 sur [1 ; +"[.
c. Déterminer à 10"3 près une valeur approchée de EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
1. À laide dune double intégration par parties déterminer EMBED Equation.DSMT4 .
2. On définit le solide S obtenu par révolution autour de laxe (Ox) de la courbe déquation y = f(x) pour EMBED Equation.DSMT4 dans le plan (xOy) (repère orthonormal dunité 4 cm).
On rappelle que le volume V du solide est donné en unités de volume par : EMBED Equation.DSMT4 .
a. Exprimer V en fonction de I.
b. Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm3 près du volume du solide.
Solution déqua diff, Polynésie 2004
1. Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction fk définie sur EMBED Equation.DSMT4 par : EMBED Equation.DSMT4 .
a. Justifier que, pour rout réel k positif ou nul, la fonction fk est solution de léquation différentielle :
(E) : 2y = (y "x)2 +1.
b. En déduire le sens de variations de fk sur EMBED Equation.DSMT4 .
2. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . Sur la figure ci-dessous on a représenté la droite D d équation EMBED Equation.DSMT4 , la droite D déquation EMBED Equation.DSMT4 et plusieurs courbes Ck correspondant à des valeurs particulières de k.
Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe C passant par le point A de coordonnées (1 ; 1).
3. On remarque que, pour tout x réel, on a : EMBED Equation.DSMT4 (1) et EMBED Equation.DSMT4 (2).
En déduire pour tout k strictement positif :
- la position de la courbe Ck par rapport aux droites D et D ;
- les asymptotes de la courbe Ck.
4. Cas particulier : k = 1.
a. Justifier que f1 est impaire.
b. Soit la fonction F définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 . Interpréter graphiquement le réel F(x) dans les deux cas : x >0 et x < 0. Déterminer alors la parité de F à laide dune interprétation graphique.
c. Déterminer les variations de F sur EMBED Equation.DSMT4 .
d. En utilisant légalité (2), calculer explicitement F(x).

Problème classique, Am. du Sud 2002
10 points
A. Étude dune fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Étudier le sens de variation de g.
2. Démontrer que léquation g(x) = 0 admet une unique solution dans lintervalle [ 1,27 ; 1,28 ] ; on note a cette solution.
3. Déterminer le signe de g(x) sur ] EMBED Equation.DSMT4 ; 0[. Justifier que g(x) > 0 sur [0 ; a[ et g(x) 0 on a g(x)>0. En déduire les variations de g sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
b. Calculer g(0). En déduire que pour tout x>0 on a g(x)>0.
2. Soit h la fonction définie sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par EMBED Equation.DSMT4 .
a. Etudier la fonction h et dresser son tableau de variations.
b. Montrer que l équation h(x) = 0 admet une solution et une seule EMBED Equation.DSMT4 sur [1 ; 2].
c. Donner un encadrement de EMBED Equation.DSMT4 d amplitude 10"2.
d. Préciser suivant les valeurs du réel positif x le signe de h(x).
Partie B : Etude de la fonction f et tracé de la courbe C
1. a. Justifier que f est définie en tout point de [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
b. Montrer que pour tout x EMBED Equation.DSMT4 0 on peut écrire EMBED Equation.DSMT4 . En déduire EMBED Equation.DSMT4 et interpréter relativement à C le résultat obtenu.
c. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
d. Etudier la fonction f et dresser son tableau de variation.
2. a. Montrer que pour tout x EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire suivant les valeurs du réel positif x la position de la courbe C par rapport à la droite EMBED Equation.DSMT4 déquation y = x.
3. a. Préciser la tangente à C en son point dabscisse 0.
b. Tracer C en faisant figurer sur le dessin la droite Dð d équation y = 1 ainsi que tous les éléments obtenus au cours de l étude.
Partie C : Etude de suite
(un) est définie par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer une primitive de la fonction f. En déduire l expression de un en fonction de n.
2. Interpréter géométriquement le nombre réel u1.
3. Déterminer EMBED Equation.DSMT4 (on pourra utiliser légalité EMBED Equation.DSMT4 )
4. Interpréter géométriquement le nombre réel EMBED Equation.DSMT4 puis le résultat obtenu dans la question précédente.
Acc. finis, N. Calédonie 1993
On appelle f la fonction définie sur [0 ; +([ par EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Calculer la dérivée de f ainsi que EMBED Equation.DSMT4 .
b. On appelle g la fonction définie sur [0 ; +([ par EMBED Equation.DSMT4 .
Etudier le sens de variation de g et montrer que l équation EMBED Equation.DSMT4 a une unique solution að sur [0 ; 0,5]. En déduire l étude du signe de g(x) sur [0 ; +([ et les variations de f.
2. On appelle h la fonction définie sur l intervalle I = [0 ; 0,5] par EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 est lunique solution sur I de léquation h(x) = x.
b. Etudier les variations de h, en déduire que pour tout élément x de I, h(x) appartient à I.
c. Prouver que pour tout élément x de I on a 0,83 EMBED Equation.DSMT4 h(x) EMBED Equation.DSMT4 0.
En déduire que pour tout x de I on a EMBED Equation.DSMT4 .
(La suite nest plus au programme depuis 2002 même si elle reste abordable).
3. On définit une suite EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que pour tout entier n, un appartient à I, et que EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que pour tout entier n, EMBED Equation.DSMT4 .
c. Déterminer la limite de la suite (un).
4. Préciser un entier p tel que lon ait EMBED Equation.DSMT4 . Calculer up à laide de votre calculatrice (on en donnera la partie entière et deux décimales). En déduire un encadrement de að.
Montrer que EMBED Equation.DSMT4 , et donner un encadrement de f (að).
Bac S, 1997
Partie A
Soit EMBED Equation.DSMT4 la fonction définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Etudier le sens de variation de EMBED Equation.DSMT4 et ses limites en EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
2. Montrer que l équation EMBED Equation.DSMT4 admet une solution unique a sur ["2 ; "1] et que EMBED Equation.DSMT4 .
3. Etudier le signe de EMBED Equation.DSMT4 sur EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
Soit f la fonction définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 et C sa courbe représentative dans le plan muni dun repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 4 cm.
1. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 . En déduire le sens de variation de f.
2. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 et en déduire un encadrement de f(a).
3. Soit T la tangente à C au point dabscisse 0. Donner une équation de T et étudier la position de C par rapport à T.
4. Chercher les limites de f en EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Démontrer que la droite D déquation y = x est asymptote à C et étudier la position de C par rapport à D.
5. Faire le tableau de variation de f.
6. Tracer sur un même graphique les droites T, D et la courbe C. La figure devra faire apparaître les points de dabscisse comprise entre 2 et 4.
Exponentielle de base quelconque
1. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a. EMBED Equation.DSMT4 b. EMBED Equation.DSMT4 c. EMBED Equation.DSMT4 d. EMBED Equation.DSMT4
2. Déterminer lensemble de définition des fonctions suivantes et calculer leur dérivée :
a. f définie par EMBED Equation.DSMT4 b. g définie par EMBED Equation.DSMT4 .
Equa diff + cosh, Centres étrangers 2001
Les objectifs du problème sont de déterminer la solution d'une équation différentielle (partie A), d'étudier cette solution (partie B) et de la retrouver dans un contexte différent (partie C).
Partie A
On appelle (E) l'équation différentielle EMBED Equation.DSMT4 , où y est une fonction définie et deux fois dérivable sur l'ensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres réels.
1. Déterminer les réels r tels que la fonction h définie par EMBED Equation.DSMT4 soit solution de (E).
2. Vérifier que les fonctions EMBED Equation.DSMT4 ðdéfinies par EMBED Equation.DSMT4 , où EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont deux nombres réels, sont des solutions de (E). On admettra qu'on obtient ainsi toutes les solutions de (E).
3. Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe passe par le point de coordonnées EMBED Equation.DSMT4 et admet en ce point une tangente de coefficient directeur EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
On appelle f la fonction définie sur l'ensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres réels par EMBED Equation.DSMT4 . On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 .
1. Soit EMBED Equation.DSMT4 un réel. Montrer que pour tout réel x, EMBED Equation.DSMT4 équivaut à EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que l'équation EMBED Equation.DSMT4 a une unique solution dans EMBED Equation.DSMT4 et déterminer sa valeur en fonction de EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Déterminer les limites de f en EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
b. Calculer f ' (x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation de f sur EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. Déterminer une équation de la tangente T à C en son point d'abscisse 0.
b. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 , préciser la position de T par rapport à C.
c. Tracer T et C (unité graphique 2cm).
4. Soit D la partie représentant sur le graphique l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) telles que EMBED Equation.DSMT4 . Hachurer le domaine D, calculer en cm2 l'aire de D.
Partie C
On cherche à déterminer les fonctions EMBED Equation.DSMT4 dérivables sur l'ensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres réels, telles que pour tout réel x : EMBED Equation.DSMT4 (H).
1. On suppose qu'il existe une telle fonction EMBED Equation.DSMT4 .
a. Justifier que pour tout nombre réel x, EMBED Equation.DSMT4 . Calculer EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que pour tout nombre réel x, EMBED Equation.DSMT4 . Calculer EMBED Equation.DSMT4 .
c. Vérifier que EMBED Equation.DSMT4 est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie A. Déterminer laquelle, parmi toutes les solutions explicitées dans la question A. 2.
2. a. A l'aide d'une intégration par parties, calculer EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que la fonction trouvée à la question 1.c. vérifie bien la relation (H).
Tangentes communes à ln et exp, 1996
L'objectif est de déterminer les droites tangentes à la fois à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien et à celle de la fonction exponentielle. Le plan est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 d'unité graphique 1 cm.
On note :
EMBED Equation.DSMT4 et C les courbes d'équations respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ;
Ta la tangente à la courbe EMBED Equation.DSMT4 en son point A d'abscisse a, a étant un nombre réel.
EMBED Equation.DSMT4 la tangente à C en son point K d'abscisse EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 étant un nombre réel strictement positif.
Les deux parties sont, dans une large mesure, indépendantes.
Partie A
Dans cette partie on recherche des tangentes aux courbes C et EMBED Equation.DSMT4 qui sont parallèles ; puis à quelle condition une droite tangente à EMBED Equation.DSMT4 est également tangente à C.
1. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite Ta. Déterminer de même une équation cartésienne de la droite EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de a pour que les droites Ta et EMBED Equation.DSMT4 soient parallèles.
On notera b la valeur de EMBED Equation.DSMT4 ainsi obtenue, B le point de la courbe C d'abscisse b et Db la tangente correspondante.
2. Montrer que les droites Ta et Db sont confondues si et seulement si :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
Dans cette partie, on se propose de déterminer les solutions de l'équation : EMBED Equation.DSMT4 (1).
Pour cela, on considère la fonction f définie pour tout x différent de 1 par EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 si et seulement si EMBED Equation.DSMT4 .
b. Etudier les variations de f sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ et la limite de f en EMBED Equation.DSMT4 .
c. Montrer que l'équation EMBED Equation.DSMT4 admet dans [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ une solution unique EMBED Equation.DSMT4 dont on donnera un encadrement à 10"1 près.
2. a. Pour tout nombre réel x différent de 1 et 1, calculer le produit EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déduire des questions précédentes que l'équation (1) admet deux solutions opposées.
c. Déterminer les tangentes communes aux courbes C et Gð.
3. Tracer dans le repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 les courbes C et EMBED Equation.DSMT4 . On rappelle que ces courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation EMBED Equation.DSMT4 . Tracer également les tangentes communes EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour EMBED Equation.DSMT4 la valeur approchée 1,55.
4. On appelle A le point de contact de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , B le point de contact de EMBED Equation.DSMT4 et C, H le point de contact de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , K le point de contact de EMBED Equation.DSMT4 et C. Montrer que ces points ont pour coordonnées EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . Démontrer que ABHK est un trapèze isocèle.

Exp et suites, La Réunion 2004
4 points
On considère la fonction f définie sur lintervalle [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par EMBED Equation.DSMT4 .
Son tableau de variations est le suivant :
x01 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 "0+f101
Sa courbe représentative C et son asymptote EMBED Equation.DSMT4 , d équation y = 1, sont tracées ci-dessous.
A -Lecture graphique
1. k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans lintervalle [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ de léquation f(x) = k.
2. n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles léquation EMBED Equation.DSMT4 admet deux solutions distinctes.
B - Définition et étude de deux suites
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.Montrer que léquation EMBED Equation.DSMT4 admet deux solutions un et vn respectivement comprises dans les intervalles [0 ; 1] et [1 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
2. Sur la feuille en annexe, construire sur laxe des abscisses les réels un et wn pour n appartenant à lensemble {2 ; 3 ;4}.
3. Déterminer le sens de variation des suites (un) et (vn).
4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite (vn). En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
EMBED Excel.Chart.8 \s

Exp et suites, N. Calédonie 1996,
Partie A
On considère la fonction f définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Etudier les limites de f en EMBED Equation.DSMT4 et en EMBED Equation.DSMT4 .
2. Calculer EMBED Equation.DSMT4 , étudier les variations de f, dresser son tableau de variation.
3. Tracer la courbe représentative C de f dans un repère orthonormal d'unité 2cm.
Partie B
La fonction f est toujours celle définie dans la partie A. On note EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 les dérivées successives de f, n désignant un entier naturel non nul.
1. Calculer EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
2. Montrer par récurrence sur l'entier non nul n que EMBED Equation.DSMT4 .
3. Pour tout n non nul, la courbe représentative de EMBED Equation.DSMT4 admet une tangente horizontale en un point EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer les coordonnées EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 .
b. Vérifier que la suite EMBED Equation.DSMT4 est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison. Quelle est la limite de EMBED Equation.DSMT4 ?
c. Vérifier que la suite EMBED Equation.DSMT4 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. Quelle est la limite de EMBED Equation.DSMT4 ?
Bac S 1995, plus classique, tu meurs (Corneille)
Dans ce problème, on étudie les fonctions f et g définies sur EMBED Equation.DSMT4 par : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A : étude de f
1. Justifier que f est dérivable sur EMBED Equation.DSMT4 , calculer sa dérivée EMBED Equation.DSMT4 , étudier le sens de variation de f.
2. Déterminer les limites de f en EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
3. Donner le tableau de variation de f.
4. Montrer que léquation EMBED Equation.DSMT4 admet une solution EMBED Equation.DSMT4 unique sur EMBED Equation.DSMT4 , donner un encadrement de EMBED Equation.DSMT4 à 10"2 près.
Partie B : Etude de g
1. Justifier que g est dérivable sur EMBED Equation.DSMT4 et que l on a pour tout x : EMBED Equation.DSMT4 .
2. Déterminer les limites de g en EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
3. Donner la tableau de variation de g (on calculera la valeur exacte de g( EMBED Equation.DSMT4 ) ).
4. a. Etablir que pour tout réel x, on a : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que pour tout réel x, on a : EMBED Equation.DSMT4 .
c. Préciser la position de la courbe de g par rapport à sa tangente à lorigine.
Exp et radical
On appelle f la fonction définie sur [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par EMBED Equation.DSMT4 si EMBED Equation.DSMT4 , et EMBED Equation.DSMT4 .
1. Prouver que EMBED Equation.DSMT4
2. En déduire la continuité de f en 0.
3. Etudier le signe de f(x).
4. Etudier la limite de f en EMBED Equation.DSMT4 .
5. Montrer que lon a pour tout EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 .
6. Etudier les variations de f à laide dune fonction auxiliaire.
7. Etudier la dérivabilité de f en 0 (on sera amené à utiliser la question 1)
Exp par morceaux, Bac E, Rennes 1976
On appelle f la fonction définie sur EMBED Equation.DSMT4 par : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Etudier les limites de f en EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
2. Etudier la continuité de f en 0.
3. Etudier la dérivabilité de f en 0.
4. Etudier les variations de f.
5. Montrer que la droite déquation EMBED Equation.DSMT4 est asymptote à la courbe de f (on sera amené à poser EMBED Equation.DSMT4 .
6. Tracer la courbe de f dans le plan muni dun repère orthonormal dunité 3 cm.
Un problème pas très marrant
Pour chaque entier naturel n, on définit sur lintervalle ]0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ la fonction fn par EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A : étude du cas particulier n = 0.
f0 est donc définie sur ]0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Justifier, pour tout réel u, linégalité EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que pour tout réel x, EMBED Equation.DSMT4 , puis que, pour tout réel x, EMBED Equation.DSMT4 .
2. Déterminer les limites de f0 en 0 et en EMBED Equation.DSMT4 .
3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à ]0 ; EMBED Equation.DSMT4 [, la dérivée de f0 est donnée par EMBED Equation.DSMT4 . En déduire le sens de variation de f0.
4. Représenter la courbe C0 de f0 dans le plan muni dun repère orthonormal dunité graphique 2 cm.
Partie B : étude de la famille de fonctions fn pour EMBED Equation.DSMT4 .
On appelle Cn la courbe représentative de fn dans le repère précédent.
1. Déterminer le sens de variation de fn sur lintervalle ]0 ; EMBED Equation.DSMT4 [.
2. Déterminer les limites de fn en 0 et en EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que Cn possède une asymptote que lon précisera.
3. Etudier les positions relatives des courbes Cn et Cn+1.
4. Montrer que toutes les courbes Cn passent par un même point B dont on précisera les coordonnées.
5. Pour tout entier naturel non nul n, montrer quil existe un unique réel an appartenant à ]0 ; 1[ tel que EMBED Equation.DSMT4 .
6. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que EMBED Equation.DSMT4 , puis que la suite (an) est convergente.
7. a. En utilisant la partie A, montrer que pour tout réel x appartenant à ]0 ; 1], EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, EMBED Equation.DSMT4 , puis que EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire la limite de la suite (an).
8. Construire sur le graphique précédent les courbes C1 et C2.
Autour de exp(1/x)
1. Soit EMBED Equation.DSMT4 lapplication de EMBED Equation.DSMT4 dans EMBED Equation.DSMT4 définie par : EMBED Equation.DSMT4 .
a. Etudier les limites de EMBED Equation.DSMT4 aux bornes du domaine de définition.
b. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 et en déduire les variations de EMBED Equation.DSMT4 . Construire le tableau de variations de EMBED Equation.DSMT4 et en déduire que EMBED Equation.DSMT4 est strictement positive sur EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit f lapplication définie dans EMBED Equation.DSMT4 par : EMBED Equation.DSMT4 si EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que f est continue en 0.
b. Etudier la dérivabilité de f en 0 et en donner les conséquences graphiques.
c. Etudier les variations de f (on sera amené à utiliser le 1. pour trouver le signe de f). Donner le tableau de variations de f.
d. Construire la courbe de la fonction f.
Coûts de fabrication
A. Etude dune fonction : f est la fonction définie sur I = [0 ; EMBED Equation.DSMT4 [ par : EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Démontrer que pour tout réel x de I, EMBED Equation.DSMT4 où g est une fonction définie sur I que lon déterminera.
b. Démontrer quil existe un réel EMBED Equation.DSMT4 unique de I tel que EMBED Equation.DSMT4 . Donner un encadrement de EMBED Equation.DSMT4 damplitude 10"1.
c. En déduire le tableau de variations de f et démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
Construire la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d unités 2 cm.
B. Application économique : après avoir lancé la fabrication d un no
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Exercices TS

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