Bac maths S 2003 - Pondichéry - Inde
Annales bac mathématiques S non corrigées. ... Exercices : suites numériques,
complexe ? Problème : fonction exponentielle. Annales bac S non corrigées ...
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Bac S 2003 - Pondichéry - Inde
Exercices : suites numériques, complexe Problème : fonction exponentielle.
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Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2003/bac_s_inde_2003.doc
BACCALAUREAT GENERAL Session 2003
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
L'utilisation dune calculatrice est autorisée
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars 1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.
EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats
On considère la suite numérique (un) définie sur N par
u0 = a, et, pour tout entier n, un+1 = un(2- un) où a est un réel donné tel que 0 < a < 1.
1'- On suppose dans cette question que a = EMBED Equation.3
a) Calculer u1 et u2.
b) Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l'intervalle [0 ; 2], la droite d d'équation y = x et la courbe P représentative de la fonction
f : x ( x(2-x).
c) Utiliser dl et P pour construire sur l'axe des abscisses les points A1, A2, A3 d'abscisses respectives u1, u2 et u3.
2°- On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l'intervalle ]0 ; 1 [.
a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < un < 1.
b) Montrer que la suite (un) est croissante.
c) Que peut-on en déduire ?
3°- On suppose à nouveau dans cette question que a = EMBED Equation.3
On considère la suite numérique (vn) définie sur N par vn =1- un.
a) Exprimer, pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn.
b) En déduire l'expression de vn en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (un).
EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire
Première partie
On considère, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante (E):
z3+2z2-16=0
1° - Montrer que 2 est solution de ( E ), puis que ( E ) peut s'écrire sous la forme :
(z-2)(az2 +bz+c)=0
où a, b et c sont trois réels que l'on déterminera.
2°- En déduire les solutions de l'équation ( E ) sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 ).
1°- Placer les points A, B et D d'affixes respectives :
zA =-2-2i, zB = 2 et zD = -2+2i.
2°- Calculer l'affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
3°- Soit E l'image du point C par la rotation de centre B et d'angle EMBED Equation.3 et F l'image du point C par la rotation de centre D et d'angle + EMBED Equation.3 .
a) Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.
b) Placer les points E et F.
4°- a) Vérifier que EMBED Equation.3 = i.
b) En déduire la nature du triangle AEF.
5°- Soit I le milieu de [EF].
Déterminer l'image du triangle EBA par la rotation de centre I et d'angle - EMBED Equation.3 .
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Première partie
ABC est un triangle direct du plan orienté.
On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA].
Soit ± un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe en page 5 sur laquelle on raisonnera.
La page 4 sera jointe à la copie.
d1 est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle ±. d2 est l'image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d'angle ±. d3 est l'image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d'angle ±. A1 est le point d'intersection de d1 et d3, B1 celui de d1 et d2, et C1 celui de d2 et d3.
1°- On appelle H le point d'intersection de (BC) et dl. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.
2°- En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 ).
A - Construction de la figure
1°- Placer les points A(- 4 - 6i), B(14), C(-4 + 6i), A1 (3 - 7i), B1(9 + 5i) et C1(-3 - i). 2°- Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.
3°- Montrer que Al, I, B1 sont alignés.
On admettra que B1, J, C1 d'une part, et C1, K, A1 d'autre part sont alignés.
4°- Déterminer une mesure en radians de l'angle (EMBED Unknown,EMBED Unknown).
On admettra que (EMBED Unknown,EMBED Unknown) = EMBED Equation.3 et (EMBED Unknown,EMBED Unknown) = EMBED Equation.3
5°- Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle EMBED Equation.3 ?
B -Recherche d'une similitude directe transformant ABC en A1B1C1.
On admet qu'il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C respectivement en Al, B1 et C1.
1 °- Montrer que l'écriture complexe de s est z' = ( EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 i) z + 2 - 2i, où z et z' désignent respectivement les affixes d'un point et de son image par s.
2°- a) Déterminer le rapport et l'angle de s. b) Déterminer l'affixe du centre ( de s.
3°- Que représente le point ( pour le triangle ABC ?
EXERCICE 2 Spécialité Suite
Le candidat joindra cette page à sa copie
PROBLEME (11 points) commun à tous les candidats
On considère la fonction numérique f définie sur R par f(x) = EMBED Equation.3 .
Le graphique ci-dessous est la courbe représentative de cette fonction telle que laffiche une calculatrice dans un repère orthonormal.
Conjonctures
A lobservation de cette courbe, quelles conjonctures pensez-vous pouvoir faire concernant :
a) le sens de variation de f sur [-3 ; 2] ?
b) la position de la courbe par rapport à laxe (xx)
Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.
Partie A : Contrôle de la première conjecture.
1 °- Calculer f (x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction définie sur R par g(x) = (x + 2)ex-1 -1.
2°- Etude du signe de g(x) pour x réel.
a) Calculer les limites de g(x) quand x tend vers + " puis quand x tend vers - "
b) Calculer g' (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.
c) En déduire le sens de variation de la fonction g, puis dresser son tableau de variation.
d) Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans R. On note ± cette solution. Montrer que 0,20 ** ® à á s ¶ Ì p
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