EXERCICE I Chute d'une bille dans la glyvérine (5,5 points)
Lors de sa chute, la bille atteint rapidement sa vitesse limite vlim avant son
passage au niveau du repère R1. ... + Av = B avec A = 34,4 s-1 et B = 8,23 m.s-2.
part of the document
EXERCICE I. CHUTE DUNE BILLE DANS LA GLYCÉRINE (5,5 points)
Antilles Guyane 2008 http://labolycee.org
La glycérine connue aussi sous le nom du glycérol se présente sous la forme dun liquide transparent, visqueux, incolore et non toxique.
On se propose dans cet exercice de déterminer dans une première partie, la valeur expérimentale de la viscosité de ce liquide. La deuxième partie, théorique, utilise une méthode numérique pour simuler le mouvement de chute dune bille dans ce liquide.
1. Mesure de la viscosité ( de la glycérine
La viscosité désigne la capacité dun fluide à sécouler. Elle dépend fortement de la température.
Pour mesurer la viscosité de la glycérine, on utilise un dispositif appelé viscosimètre de HOEPLER (ou viscosimètre à chute de bille).
Il se compose dun long tube de verre vertical, rempli du liquide étudié, dans lequel on laisse tomber une bille sphérique en acier de diamètre calibré.
La durée de chute (t correspondant à une distance de chute h connue est mesurée à laide de deux capteurs reliés à un chronomètre électronique. Les deux capteurs sont repérés par les positions R1 et R2 comme le montre le schéma de la figure 1 ci-contre.
Données :
Rayon de la bille : r = 5,00 mm
Masse volumique de la bille : ( = 7,80.103 kg.m-3
Masse volumique de la glycérine : (0 = 1.26.103 kg.m-3
Intensité de la pesanteur : g = 9,81 m.s-2
Volume dune sphère : EMBED Equation.DSMT4
On étudie le mouvement de la bille dans le référentiel terrestre (considéré comme galiléen) muni dun repère (O, EMBED Equation.DSMT4 ). O est lorigine du repère. Son vecteur unitaire EMBED Equation.DSMT4 est vertical et orienté vers le bas. La bille totalement immergée dans le liquide, est abandonnée du point O sans vitesse initiale.
1.1. Représenter sur un schéma, sans souci déchelle, les forces appliquées à la bille en mouvement dans le liquide : son poids EMBED Equation.DSMT4 , la poussée dArchimède EMBED Equation.DSMT4 et la force de frottement fluide EMBED Equation.DSMT4 .
1.2. Exprimer littéralement la valeur P du poids de la bille en fonction de (, V et g.
1.3. Exprimer la valeur PA de la poussée dArchimède en fonction de (o, V et g.
1.4. Lors de sa chute, la bille atteint rapidement sa vitesse limite vlim avant son passage au niveau du repère R1.
1.4.1. Quel est le mouvement de la bille entre les deux repères R1 et R2? Justifiez votre réponse.
1.4.2. Quelle est alors la relation vectorielle liant les forces appliquées à la bille ? Justifiez votre réponse.
1.5. Dans le cas du fluide étudié, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse de chute de la bille :
EMBED Equation.DSMT4 = 6((r EMBED Equation.DSMT4 où ( est la viscosité de la glycérine.
1.5.1. À la suite dune analyse dimensionnelle, donner lunité de (.
1.5.2. En projetant la relation vectorielle établie dans la question 1.4.2 suivant le repère (O, EMBED Equation.DSMT4 ), montrer que la viscosité ( du fluide étudié sexprime par la relation :
EMBED Equation.DSMT4
1.6. On mesure la durée de chute de la bille en mouvement rectiligne uniforme entre les repères R1 et R2 distants dune hauteur h = 40,0 cm. On obtient (t = 1,66 s à la température ( = 20°C.
1.6.1. Calculer la vitesse limite vlim de la bille.
1.6.2. En déduire la valeur expérimentale de la viscosité n de la glycérine à la température détude.
1.6.3. La valeur théorique de la viscosité de la glycérine à cette température est (thé= 1,49 SI.
En effectuant un calcul décart relatif, comparer la valeur trouvée expérimentalement de la viscosité ( de la glycérine à sa valeur théorique.
2. Étude théorique du mouvement de la bille
À linstant choisi comme origine des dates, la bille est abandonnée sans vitesse initiale au point O.
2.1. En utilisant la deuxième loi de Newton, montrer que léquation différentielle liant la vitesse de la bille et sa dérivée par rapport au temps est de la forme :
EMBED Equation.DSMT4 + Av = B avec A = 34,4 s-1 et B = 8,23 m.s-2.
Identifiez les expressions des termes A et B dans cette équation.
2.2. En déduire la valeur de la vitesse limite atteinte par la bille. Est-elle en accord avec la valeur trouvée expérimentalement dans la question 1.6.1.?
2.3. À quelle grandeur physique le rapport 1/A correspond-il ? Même question pour le paramètre B.
2.4. La courbe dévolution de la vitesse au cours du temps est représentée sur la FIGURE 2 DE LANNEXE. Elle a été obtenue par résolution de léquation différentielle précédente par la méthode numérique itérative dEuler. Cette méthode permet de calculer, pas à pas, de façon approchée, les valeurs de la vitesse instantanée vi et de laccélération ai à linstant ti. Pour ce calcul, on a utilisé les relations suivantes :
v(ti) = v(ti1) + a(ti1).(t où (t est le pas ditération du calcul.
a(ti) = B A.v(ti)
Un extrait de la feuille de calcul est donné par le tableau 1 ci-dessous :
ti(s)v(m.s-1)a (m.s-2)0,02001273,860,0250,1463,200,0302,650,0350,1750,0400,1861,82Tableau 1
2.4.1. Quel est le pas (t utilisé pour les calculs ?
2.4.2. En utilisant la méthode dEuler, calculer la vitesse v6 à la date t = 0,030 s et laccélération a7 à la date t = 0,035 s.
2.5. La courbe v = f(t) représentée sur la FIGURE 2 DE LANNEXE, permet de mettre en évidence deux régimes distincts pour le mouvement de la bille. Ces deux régimes sont séparés par le trait en pointillé vertical dessiné sur le graphe.
2.5.1. Compléter les cases de la FIGURE 2 DE LANNEXE en identifiant ces deux régimes.
2.5.2. Déterminer graphiquement le temps caractéristique ( en prenant soin dexpliquer votre méthode.
ANNNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
h
R1
R2
O
EMBED Equation.DSMT4
y
Figure 1
Figure 2
