MIAS septembre 02 - L'UTES
1 sept. 2002 ... Examen de mathématiques 1 ... Corrigé de l'examen et remarques .... On peut
par exemple travailler sur la forme de la fraction rationnelle (si le facteur .....
Module sur les polynômes et spécialement le chapitre « apprendre, ...
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Université Pierre et Marie Curie
DEUG MIAS 1
Examen de mathématiques 1
Septembre 2002
Corrigé de lexamen et remarques
Questions de cours
On trouvera bien sûr la réponse et des détails dans le cours, mais voici quelques remarques.
Donner la définition de la borne supérieure dans R dune partie A non vide de R.
On peut donner la définition de deux façons :
en français
La borne supérieure S dun sous-ensemble non vide A de R est, sil existe, le plus petit des majorants.
en langage quantifié
Le réel S est la borne supérieure dun sous-ensemble non vide A de R si
EMBED Equation.DSMT4
Un théorème du cours dit que si A est majoré, la borne supérieure de A existe. Cest une propriété de R. Par exemple, lensemble des rationnels Q ne satisfait pas cette propriété.
Erreurs fréquentes
confondre majorant et borne supérieure,
confondre borne supérieure et plus grand élément ou affirmer que la borne supérieure appartient à A . Sil y a un plus grand élément, cest la borne supérieure, si la borne supérieure appartient à A cest le plus grand élément, mais (exemple classique) soit A lensemble des rationnels positifs r tels que r2 g:=x->exp(cos(x));
> g1:=diff(g(x),x);s1:=subs( x=Pi/4,g1);eval(s1);
> g2:=diff(g1,x);s2:=subs( x=Pi/4,g2);eval(s2);
> g3:=diff(g2,x);s3:=subs( x=Pi/4,g3);eval(s3);
> g4:=diff(g3,x);s4:=subs( x=Pi/4,g4);eval(s4);
Remarques
Dans les développements limités ne pas oublier décrire les epsilons (ou les petit o)
Références dans Université en Ligne ( HYPERLINK "http://www.uel.cicrp.jussieu.fr" http://www.uel.cicrp.jussieu.fr)
Le module « développements limités », les sections «apprendre » et « sexercer, calculs de développements limités ».
HYPERLINK "http://www.uel.cicrp.jussieu.fr/uel/mathematiques/dev_limites/sexercer/chapitre3/exos_frames/ex1-1.html" http://www.uel.cicrp.jussieu.fr/uel/mathematiques/dev_limites/sexercer/chapitre3/exos_frames/ex1-1.html
Exercice 3
On considère la suite EMBED Equation.DSMT4 définie par récurrence à laide de la fonction
EMBED Equation.DSMT4
par
EMBED Equation.DSMT4
et la donnée de u0 strictement positif
Etudier les variations et le signe de la fonction auxiliaire g définie sur lintervalle EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 .
La fonction polynomiale g est dérivable, et EMBED Equation.DSMT4 . On en déduit le tableau de variation
Lexistence et lunicité de a tel que g(a)=0 sont impliquées par le théorème des valeurs intermédiaires (cf le cours) et la monotonie de g.
A cette question, ou à la suivante, on a besoin de déterminer a, il suffit de résoudre
EMBED Equation.DSMT4
On en déduit que EMBED Equation.DSMT4 .
Pour quelle valeur de u0 la suite EMBED Equation.DSMT4 est-elle constante ?
La suite EMBED Equation.DSMT4 est constante si et seulement si
EMBED Equation.DSMT4 .
si et seulement si EMBED Equation.DSMT4 .
Discuter suivant la valeur initiale u0 de la suite, la monotonie et la convergence de la suite EMBED Equation.DSMT4
De la question 1 on déduit que
EMBED Equation.DSMT4
On a aussi (vérification immédiate) que
EMBED Equation.DSMT4
On montre par récurrence (faites-le) que
EMBED Equation.DSMT4
On en déduit
si EMBED Equation.DSMT4 , la suite est décroissante, minorée (par 0) donc convergente. La limite L vérifie
EMBED Equation.DSMT4
donc la suite converge vers 0 .
Remarque : comme la suite est décroissante, on a EMBED Equation.DSMT4 .
si EMBED Equation.DSMT4 la suite est constante.
si EMBED Equation.DSMT4 la suite , minorée par une suite géométrique de raison >1 tend vers EMBED Equation.DSMT4 (en croissant).
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
Remarques
Ne pas dire que la suite est constante pour u0=0 (dans lénoncé, il est supposé u0>0)
discussion de la monotonie : elle se déduit du signe de g. Une récurrence (ou du moins dire que cela se montre par récurrence) est indispensable.
La variation de f nest pas demandée mais elle est utile pour le 3) (et élémentaire).
On peut aussi dire quand EMBED Equation.DSMT4 que la suite est croissante et que si elle est majorée, elle est convergente vers une limite L telle que
EMBED Equation.DSMT4
or ce système na pas de solution.
Linégalité stricte vient de ce que comme la suite est croissante, on a EMBED Equation.DSMT4 .
Références dans Université en Ligne ( HYPERLINK "http://www.uel.cicrp.jussieu.fr" http://www.uel.cicrp.jussieu.fr)
Le module «nombres réels, suites et fonctions » et plus spécialement la partie « apprendre, suites numériques, suites récurrentes ».
HYPERLINK "http://www.uel.cicrp.jussieu.fr/uel/mathematiques/analyse1/apprendre/lessuites/7.htm" http://www.uel.cicrp.jussieu.fr/uel/mathematiques/analyse1/apprendre/lessuites/7.htm.
Exercice 4
Chercher le PGCD (noté D) des polynômes suivants
EMBED Equation.DSMT4
On fait la division euclidienne de A par B
EMBED Equation.DSMT4
puis
EMBED Equation.DSMT4
Le dernier reste non nul est donc EMBED Equation.DSMT4 et, comme le PGCD est unitaire, EMBED Equation.DSMT4 .
Écrire une relation de Bézout entre A, B et D.
De la première division de la question précédente on déduit que A = B - D.
Donner une factorisation de A et B en facteurs irréductibles dans R[X] puis dans C[X].
La deuxième division de la première question montre que
EMBED Equation.DSMT4 .
Une autre division donne
EMBED Equation.DSMT4
On remarque que
EMBED Equation.DSMT4
et comme EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont des polynômes irréductibles de R[X] (de degré é à discriminant strictement négatif) on en déduit les factorisations en facteurs irréductibles dans R[X] :
EMBED Equation.DSMT4
puis dans C[X]
EMBED Equation.DSMT4
Remarques
On attendait un algorithme dEuclide en 1) puis en 3) une factorisation du PGCD (de degré 2 donc on sait en calculer les racines) puis de A et B en factorisant les quotients de degré 2 aussi par D.
On pouvait aussi repérer des racines évidentes, factoriser - résoudre la question 3) - et en déduire le PGCD question 1) - .
De même on pouvait remarquer sans autre formalité que B = A - D.
Références dans Université en Ligne ( HYPERLINK "http://www.uel.cicrp.jussieu.fr" http://www.uel.cicrp.jussieu.fr)
Module sur les polynômes et spécialement le chapitre « apprendre, arithmétique dans K[X]»
HYPERLINK "http://www.uel.cicrp.jussieu.fr/uel/mathematiques/polynomes1/apprendre/titre1.htm" http://www.uel.cicrp.jussieu.fr/uel/mathematiques/polynomes1/apprendre/titre1.htm.
Testez sur un exercice analogue si vous avez compris.
Chercher le PGCD (noté D) des polynômes suivants
EMBED Equation.DSMT4
Écrire une relation de Bézout entre A, B et D.
Donner une factorisation de A et B en facteurs irréductibles dans R[X] puis dans C[X].
Demandez la réponse (code P02) à l équipe pédagogique de L UTS ou
par mail à
HYPERLINK "mailto:lutelmaths@cicrp.jussieu.fr" lutelmaths@cicrp.jussieu.fr
Exercice 5
Trouver tous les polynômes P à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 4, tels que
EMBED Equation.DSMT4
Le fait de connaître la valeur de dérivées successives en 1 incite à utiliser la formule de Taylor en 1.
Puisque P est de degré au plus 4 on a légalité
EMBED Equation.DSMT4
Posant EMBED Equation.DSMT4 et tenant compte des valeurs indiquées dans lénoncé :
EMBED Equation.DSMT4
soit
EMBED Equation.DSMT4
Prenant la valeur en 0 :
EMBED Equation.DSMT4
qui donne a = -24
On en déduit que
EMBED Equation.DSMT4
(réponse acceptée) ou en développant
EMBED Equation.DSMT4
Il y a donc une solution unique.
Remarques
La recherche des coefficients de P en résolvant un système de 5 équations à 5 inconnues, un peu fastidieuse et longue, permettait dobtenir tous les points de la question (la perte de temps pénalisait déjà suffisamment).
Un erreur de logique à éviter : traiter à part le cas des polynômes strictement inférieur à 4 (de degré 3, 2,..) .Ce sont des polynômes de degré au plus 4 avec le coefficient du terme X4 nul, donc sil y en a on les trouve en résolvant le système ou en appliquant la formule de Taylor et si certains en trouvent cest parce quils oublient des conditions..
Références dans Université en Ligne ( HYPERLINK "http://www.uel.cicrp.jussieu.fr" http://www.uel.cicrp.jussieu.fr)
Module sur les polynômes et spécialement la rubrique « apprendre, fonctions polynômes, formule de Taylor, étude des polynômes à coefficients réels ou comlexes» HYPERLINK " !&+-01JKLUWYZ[\]^f~õêõêÜÎêÃêµê§§}rdYÜÎN@Yh[ûh< ©5CJ \aJ h"L°5CJ \aJ h[ûh"L°CJ aJ hlQ*hÊ:5CJ \aJ h< ©5CJ \aJ hlQ*h$5CJ \aJ hlQ*hé[¤5CJ \aJ hlQ*h[û5CJ \aJ hlQ*h"L°5CJ \aJ h[ûhé[¤5CJ \aJ hÊ:5CJ \aJ h[ûh[û5CJ \aJ h[ûh"L°5CJ \aJ hlQ*5CJ \aJ h[û5CJ \aJ !./01K[\]^òóD E F u úøp#¥ øp#¥ øp#¥ øp#¥ ðp#¥ ðp#¥ ðp#¥ ðp#¥ øp#¥ èp#¥ èp#¥ øp#¥ øp#¥ øp#¬àp#¬àp#¬Ìp#¬àp#¬àp#¬àp#¬àp#¬$
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