J'ai été très surprise de la réaction de Géraldine qui me semble ...
Corrigé. 1. La fonction f est une fonction rationnelle définie et dérivable en tout
point ... La fonction polynôme g est définie et dérivable sur et : g'(x) = 6x2 + 2x ....
1. a) La fonction f est une fonction fraction rationnelle dont le dénominateur ne ...
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out point de (* et :
f (x) = EMBED Equation.3 soit f (x) = EMBED Equation.3 ou encore
Donc f (x) et g(x) sont de même signe.
2. La fonction polynôme g est définie et dérivable sur ( et : g(x) = 6x2 + 2x ( g(x) = 2x(3x + 1).
Ainsi,
g(x) > 0 ( x ( EMBED Equation.3
g(x) < 0 ( x ( EMBED Equation.3
g(x) = 0 ( x = EMBED Equation.3 ou x = 0.
Donc la fonction g est strictement croissante sur EMBED Equation.3 et g est strictement décroissante sur EMBED Equation.3
De plus, EMBED Equation.3 et, de même, EMBED Equation.3
Doù le tableau de variation de g
x-(
+(g(x) + - + g
La fonction g admet un maximum strictement négatif sur lintervalle ]-(,0]. On en déduit que g est strictement négative sur ce même intervalle par conséquent léquation g(x) = 0 nadmet aucune solution dans lintervalle ]-(,0].
Dautre part, la fonction g est définie, dérivable et strictement croissante sur lintervalle ]0,+([. Donc elle réalise une bijection de cet intervalle sur lintervalle-image g(]0,+([) = EMBED Equation.3 soit
g(]0,+([) = ]-1,+([. Lintervalle-image contenant la valeur 0 on en déduit que 0 admet un unique antécédent par g dans ]0,+([. Autrement dit, léquation g(x) = 0 admet une solution unique, (, dans lintervalle ]0,+([.
De plus, vérifier que 0 < ( < 1 équivaut à vérifier que g(0) < g(() < g(1) soit 1 < 0 < g(1) où g(1) = 2.
En conclusion,
3. Létude précédente permet de conclure que : g(x) < 0 sur ]-(,0]. De plus, la fonction g étant strictement croissante sur ]0,+([,
si 0 < x < (, g(x) < g(() soit g(x) < 0
et, si x > (, g(x) > g(() soit g(x) > 0.
En conséquence,
f (x) < 0 ( x ( ]-(,0[ ( ]0,([
f (x) = 0 ( x = (
f (x) > 0 ( x ( ](,+([.
Donc la fonction f est strictement décroissante sur les intervalles ]-(,0[ et ]0,(] et strictement croissante sur lintervalle [(,+([.
EMBED Equation.3
De cette étude de limites on déduit que la courbe (C) représentative de f admet pour asymptote laxe des ordonnées déquation x = 0.
Le point I de (C) dabscisse (- 1) a pour ordonnée y = f(- 1) soit y = EMBED Equation.3
Le point J de (C) dabscisse (+ 1) a pour ordonnée y = f(1) soit y = 1.
Tableau de variation de f
x- ( f (x)--+f
4. a. La tangente en J à (C) a pour équation : y = f (1)(x 1) + f(1) soit y = EMBED Equation.3
Les coordonnées de I vérifient léquation y = EMBED Equation.3
Donc la droite (IJ) est la tangente en J à la courbe (C).
b. Une équation de la tangente (T) en I à (C) sécrit : y = f (- 1)(x + 1) + f(- 1) soit
5. Pour étudier la position de (C) par rapport à (T) on considère les points M et P respectivement sur (C) et (T) de même abscisse x dans (* alors la position relative de (C) et (T) dépend du signe de yM - yP.
Pour tout x de (*,
yM - yP = f(x) - EMBED Equation.3 ( yM - yP = EMBED Equation.3
Donc (yM - yP) est du signe de x(x + 1) cest-à-dire que :
yM - yP > 0 ( x ( ]- ( , - 1[ ( ]0,+ ([
yM - yP = 0 ( x = - 1
yM - yP < 0 ( x ( ]- 1, 0[.
Autrement dit, la courbe (C) est au-dessus de (T) sur chacun des intervalles ]- ( , - 1[ et ]0,+ ([; et la courbe (C) est en-dessous de (T) sur lintervalle ]- 1,0[.
6. Tracé de la courbe (C)
Exercice 2
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0, 1[ par :
EMBED Equation.3 .
1. Etudier les variations de f .
2. Soit (1 la courbe représentative de f dans le plan muni dun repère orthonormal EMBED Equation.3 .
Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à la courbe (1 au point dabscisse EMBED Equation.3 .
Tracer la courbe (1 et la tangente T.
3. Sur le même graphique, tracer (2 courbe symétrique de (1 dans la réflexion daxe (Ox).
4. Soit ( = (1 ( (2 .
Montrer que ( a pour équation cartésienne :
x(x2 + y2) - y2 = 0.
La courbe ( est appelée la cissoïde de Dioclès.
Corrigé
1. La fonction f est la composée de :
( la fonction rationnelle : x EMBED Equation.3 définie et dérivable, donc continue, sur tout intervalle de (-{1} donc, en particulier sur lintervalle [0, 1[ et alors à valeurs positives, s annulant en x = 0 ;
( et de la fonction racine carrée définie et continue sur (+ et dérivable sur (+*.
On en déduit que f est définie et continue sur lintervalle [0, 1[ et dérivable sur lintervalle ]0, 1[.
On est donc amené à étudier la dérivabilité de f au point 0.
EMBED Equation.3
On déduit de cette étude que la fonction f est dérivable en 0 et f (0) = 0.
Pour tout x de lintervalle ]0, 1[,
EMBED Equation.3 .
On déduit de cette dernière écriture de f (x) et de e que x est élément de lintervalle ]0, 1[, que f (x) > 0 et donc que f est strictement croissante sur lintervalle [0, 1[.
EMBED Equation.3
On déduit de cette dernière étude que la courbe représentative de f admet la droite déquation x = 1 pour asymptote.
2. La fonction f étant dérivable en particulier au point EMBED Equation.3 , la courbe (1, représentative de f, admet au point dabscisse EMBED Equation.3 une tangente T déquation : y = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 soit y = 2x - EMBED Equation.3 .
3. La courbe (2, symétrique de (1 par rapport à laxe des abscisses, a pour équation y = - f(x).
4. Soit M un point quelconque du plan, de coordonnées (x, y).
Quel que soit le réel x de lintervalle [0, 1[,
EMBED Equation.3
On en déduit que la courbe ( a pour équation : x(x2 + y2) - y2 = 0.
Tracé des courbes (1 et (2 (feuille suivante)
Exercice 3
On considère la fonction f définie par :
f : ( ( (
x EMBED Equation.3
1. a) Etudier f et construire sa courbe représentative C dans un plan (P) rapporté au repère orthonormé EMBED Equation.3 .
On montrera que C admet comme asymptote la droite déquation : y = x 3.
b) Déterminer les coordonnées du point dintersection I de la courbe C et de son asymptote oblique.
Démontrer que I est le centre de symétrie de C .
2. a) Déterminer lensemble des entiers relatifs x tels que :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
b) Trouver les points de C dont les coordonnées sont toutes deux des entiers relatifs.
Corrigé
1. a) La fonction f est une fonction fraction rationnelle dont le dénominateur ne sannule jamais sur ( (car son discriminant est strictement négatif : ( = - 3). Par conséquent la fonction f est définie et dérivable sur ( et, pour tout x réel,
EMBED Equation.3
Ainsi, f (x) = 0 ( x = - 3 ou x = 0
f (x) > 0 ( x ( ]-(, - 3 [(]- 3, 0[(]0, +([.
Donc f est strictement croissante sur (.
EMBED Equation.3
Tableau de variation de f
Sachant que :
EMBED Equation.3
on peut conclure que la droite D déquation y = x 3 est asymptote à la courbe C en - (.
De même, EMBED Equation.3 . Donc la droite D est aussi asymptote à la courbeC en + (.
b) Il existe au moins un point dintersection I entre la courbe C et la droite D si, et seulement si, le système formé par les équations respectives de C et D admet au moins un couple solution.
EMBED Equation.3
En conclusion de cette étude, la courbe C coupe la droite D en un seul point I de coordonnées
Soit M et M deux points de la courbe C dabscisses respectives : EMBED Equation.3
On en déduit quils ont pour ordonnées respectives : EMBED Equation.3 où x décrit (. Alors les coordonnées du milieu I de [MM] sont : x = EMBED Equation.3 Or :
EMBED Equation.3
En conséquence, lorsque x décrit (, les points M et M se déplacent sur toute la courbe C de telle sorte que I soit le milieu de [MM] donc ce point I est le centre de symétrie de la courbe C .
Tracé de la courbe C représentative de f et de son asymptote D
2. a) Pour tout x de (,
Les trinômes EMBED Equation.3 ont même discriminant : ( = 33. Par conséquent ils admettent, chacun, deux racines distinctes qui sont, pour le premier :
EMBED Equation.3
pour le second trinôme : EMBED Equation.3
Sachant que ces deux trinômes doivent être simultanément positifs et compte tenu de leurs signes
respectifs donnés par les schémas ci-dessous :
sgn EMBED Equation.3
sgn EMBED Equation.3
On peut conclure que lensemble des entiers relatifs x tels que : 0 < EMBED Equation.3 est :
b) Les coordonnées de points de la courbe C sont des entiers relatifs lorsque x et f(x) sont deux nombres entiers relatifs.
Daprès la question précédente, pour toutes les valeurs de x inférieures à (- 8) ou supérieures à 5, la différence entre f(x) et (x 3) est strictement comprise entre (- 1) et 1. Dans le cas où x désigne un entier relatif, (x 3) est également un nombre entier. Donc f(x) ne peut être un nombre entier, f(x) différant de moins dune unité de lentier (x 3).
On en déduit que, sil existe des points de la courbe C à coordonnées entières, leurs abscisses ne peuvent être que strictement comprises entre (- 8) et 5.
Les calculs (« à la main » ou avec la calculatrice) permettent de conclure quil ny a que 4 points de la courbe C à coordonnées entières, les points de coordonnées respectives :
f (x) = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
0
0
0
+(
- (
- 1
EMBED Equation.3
- 1
léquation g(x) = 0 admet une solution unique ( sur ( et 0 < ( < 1.
(
0
+(
0
-(
+(
f(()
+(
+(
EMBED Equation.3
x0 1 f(x)0 +f
+ (
0
x- ( - 3 0 + ( f (x) + 0 + 0 + f
+ (
0
- 9
- (
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
+ (
- (
x1
0
+
+
x2
0
+ (
x2
- (
0
0
-
+
+
la réunion de lensemble des entiers relatifs inférieurs ou égaux à (- 8)
et de lensemble des entiers relatifs supérieurs ou égaux à 5.
(- 3 ; - 9), (- 2 ; - 8), (- 1 ; - 1) et (0 ; 0).
