Correction des exercices 2 et 3 du contrôle du mois d'avril 2013
i) est la fonction polynôme de degré 2 définie par .... énoncé ainsi que la solution
rédigée par l'autre groupe et corrigerez les éventuelles erreurs (de rédaction, ...
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dappareils à produire pour que le bénéfice horaire de lentreprise soit maximal ?
Le coût moyen de production dun objet est égal à :
f(x) = EMBED Equation.3 , pour x appartenant à [5 ; 40].
Montrer que f(x) = x + 50 + EMBED Equation.3 , puis que f(x) = EMBED Equation.3 , pour x EMBED Equation.3 [5 ; 40].
Etudier le signe de f(x) et dresser le tableau de variation de f sur [5 ; 40].
Pour quelle valeur de x le coût moyen est-il minimal ? Préciser alors sa valeur.
Le bénéfice est-il maximal lorsque le coût moyen est minimal ?
Correction
a) B(x) = R(x) C(x) (la recette le coût total)
R(x) = 100x (le coût unitaire x la quantité)
Donc B(x) = 100x (x² + 50x + 100) = - x² + 50x 100 pour x appartenant à [5 ; 40].
b) B(x) = - 2x + 50 cest une fonction affine qui sannule pour x = 25.
X52540B(X)+0
c) Le tableau de variations de B sur [5 ; 40].
X52540B(X)+0B(x)
125
525
300
d) Pour que le bénéfice horaire de lentreprise soit maximal il faut produire 25 appareils.
a) f(x) = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = x + 50 + EMBED Equation.3
f(x) = 1 + 100 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 pour x appartenant à [5 ; 40].
b) (x 10)(x + 10) est un polynôme de second degré qui sannule pour 10 et 10.
X51040f(X)0+f(x)75
7092,5
c) Le coût moyen est minimale pour une quantité de 10 appareils est sa valeur est de 70 ¬ .
Non car le bénéfice est maximal pour x = 25 et le coût moyen est minimal pour x = 10.
Exercice 3 :
Un comité d entreprise propose, pour un week-end, deux formules à ses employés :
Formule A : le voyage s effectue en 1re classe et l hôtel est de catégorie supérieure, pour 150 ¬ ;
Formule B : le voyage s effectue en 2e classe et l hôtel est de catégorie moyenne, pour 100 ¬ .
60 % des employés inscrits choisissent la formule A.
Le comité d entreprise propose une excursion facultative pour un coût de 30 ¬ .
Quelle que soit la formule choisie, 80 % des employés choisissent l excursion facultative. On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage.
A : « l employé a choisi la formule A »
B : « l employé a choisi la formule B »
E : « lemployé a choisi de faire lexcursion » et EMBED Equation.3 son événement contraire.
Utiliser un arbre pondéré pour décrire cette situation.
Montrer que la probabilité que cet employé ait choisit la formule A et lexcursion facultative est 0,48.
Recopier et compléter avec des pourcentages le tableau suivant.
Formule AFormule BTotalExcursionPas dexcursionTotal
X est la variable aléatoire donnant le coût total du voyage. Déterminer les valeurs prises par X puis la loi de probabilité de X
Quelle est la probabilité qu un participant ait payé mois de 150 ¬ .
Correction
a)
E
A
0,6 EMBED Equation.3
E
0,4 B
EMBED Equation.3
On aussi p(E) = 0,8.
b) P(B EMBED Equation.3 E) = EMBED Equation.3 = 0,48.
c)
Formule AFormule BTotalExcursion48%32%80%Pas dexcursion12%8%20%Total60%40%100%d) La variable aléatoire X prend : 100, 130, 150 et 180.
P(X= 100) = p(B EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) = 0,08
P(X= 130) = p(B EMBED Equation.3 E) = 0,32
P(X= 150) = p(A EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) = 0,12
P(X= 180) = p(A EMBED Equation.3 E) = 0,48
La loi de probabilité de cette variable aléatoire est donnée par le tableau suivant :
xi100130150180P(X = xi)0,080,320,120,48
La somme 0,08 + 0,32 + 0,12 + 0,48 = 1
e) La probabilité de cet événement = 0,08 + 0,32 = 0,4.
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