2) Equations du second degré
part of the document
Nom :
Prénom :Equation du second degréClasse : 1 BAC PRO
Une des attractions les plus connues dans les fêtes foraines du début du siècle était « lhomme canon ».
Celui-ci était placé dans le fut du canon et propulsé sur un tas de matelas disposé pour laccueillir, encore fallait il les mettre au bon endroit !
La trajectoire de lhomme canon est une parabole qui peut être modélisé par léquation suivante :
EMBED Equation.3
Compléter le tableau ci-dessous et tracez la trajectoire dans un repère.
On remplace chaque valeur de x dans léquation.
Exemple : pour x = 0, on a y = -0,1× 02 + 0 + 2,4 = 2,4
pour x = 1, on a y = -0,1× 12 + 1 + 2,4 = 3,3
x012345678910y2.43.344.54.84.94.84.543.32.4
A laide du graphique ainsi tracé, déterminez approximativement lendroit où doit être disposé le matelas de réception de lhomme canon.
Si on prolonge le graphique on peut estimer que lhomme canon retouche le sol pour x = 12 c'est-à-dire à 12 mètres.
Proposer une équation qui permettrait de retrouver le résultat.
Il faut trouver la ou les valeurs de x pour lesquelles laltitude de lhomme canon est égale à 0. C'est-à-dire y = 0.
Léquation serait donc EMBED Equation.3 . Cest une équation du second degré.
Méthode de résolution dune équation du second degré
Une équation du second degré se présente sous la forme :
EMBED Equation.3 Le but est de trouver les valeurs de x pour lesquelles léquation est vérifiée
Première étape : On identifie les coefficients a, b et c.
Question : par rapport au problème posé, quelles sont les valeurs de a, b et c ?
Léquation à résoudre est EMBED Equation.3 donc par rapport à la forme : EMBED Equation.3 , on identifie :
EMBED Equation.3 -0,1 EMBED Equation.3 1 EMBED Equation.3 2,4
Deuxième étape : On calcule le discriminant "
Il se calcule par la formule EMBED Equation.3
Question : par rapport au problème posé, calculer ".
EMBED Equation.3 = 12 4 × -0,1 ×2,4 = 1,96
Troisième étape : On regarde le signe de ".
Si " 0
L équation admet deux solutions :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Quatrième étape : on écrit les solutions de l équation selon le signe de ".
Question : par rapport au problème posé, regarder le signe de " et retrouver les solutions de l équation posée par le problème de l homme canon
" = 1,96
" est positif, il y a donc 2 solutions.
x1 = EMBED Equation.3
x1 = 12
x2 = EMBED Equation.3
x2 = -2
La solution est bien celle vue graphiquement, c'est-à-dire x = 12. On doit donc poser le matelas à 12 mètres pour sauver lhomme canon. La deuxième solution x = -2 na pas de sens physique.
Exercices
Exercice 1 : A laide de la fiche méthode du cours, résoudre les équations du second degré suivantes :
1) EMBED Equation.3
a = 2 b = 5 c = -3
" = b2 4 a c = 52 (4 ×2×-3) = 49
" est positif donc il y a 2 solutions.
x1 = EMBED Equation.3
x1 = -3
x2 = EMBED Equation.3
x2 = 0.52) EMBED Equation.3
a = 1 b = 1 c = -6
" = b2 4 a c = 12 (4 ×1×-6) = 25
" est positif donc il y a 2 solutions.
x1 = EMBED Equation.3
x1 = -3
x2 = EMBED Equation.3
x2 = 23) EMBED Equation.3
a = 1 b = -6 c = 5
" = b2 4 a c= (-6)2 (4 ×1×5) = 16
" est positif donc il y a 2 solutions.
x1 = EMBED Equation.3
x1 = 1
x2 = EMBED Equation.3
x2 = 54) EMBED Equation.3
a = 3 b = -13 c = 14
" = b2 4 a c = (-13)2 (4 ×3×14) = 1
" est positif donc il y a 2 solutions.
x1 = EMBED Equation.3
x1 = 2
x2 = EMBED Equation.3
x2 = 2.3335) EMBED Equation.3
a = 1 b = -4 c = 16
" = b2 4 a c = (-4)2 (4 ×1×16) = -48
" est négatif donc il n y a pas de solutions.
6) EMBED Equation.3
a = 4 b = 20 c = 25
" = b2 4 a c = 20'(1:; ; < = ¢ £ ¶ · ¸ ¹ » ½ ¾
8
?
^
_
m
p
¡
£
º
»
½
À
úõúðëúãßÑÍÉÍÉÍÁͲ¥Á¡ÍÍ}}unjuhva hvahvahvahva6hB6hB65H*hB6hB65>*hB6hB65hB6h+%häfájhvahvaEHöÿU j~¯_L
hvaCJUVaJjh}WUhÕi h}Wjh´ÖUmHnHuhaCYh}WCJaJ h q5 häfá5 hµ`º5 h}W5)(;BG"Z\^÷ãÔÇ¿÷Ç÷«Ç¿÷Ç÷yÇ¿÷umhchc\cRcjh¸Ù5U hK Þh¸Ù h¸Ù5 hK Þ5h¸Ùh¸Ù5h¸Ù j^`h qh¸Ù5EHúÿU&jÈ»_L
h qh¸Ù5CJUVaJ jE^h qh¸Ù5EHúÿU&j»_L
h qh¸Ù5CJUVaJh qh q5jh qh¸Ù5U j,\h qh¸Ù5EHúÿU&j»_L
h qh¸Ù5CJUVaJh qh¸Ù5 òøþ,.02:*h qh q5H* j¾dh qh q5EHúÿU&j»õN
h qh q5CJUVaJh qh q5jh qh q5U h q5 hK Þ5 h¸Ù5h¸Ùh¸Ù>*h¸Ùh¸Ùh¸Ù5jh¸Ù5U jvbh¸Ùh¬ 5EHúÿU j#VN
h¬ CJUVaJ pÈÊÌÞà(*,>@ÀÂÄÖØ N~úúñååññÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙ $$Ifa$gdP. $$Ifa$gdK Þ $IfgdK ÞgdK Þ¸º¼¾ÌÎÐÒ FHJLNPvxz| .2øú:@öñâÓöñÎñÎñöñ¿°öñöñ¡öñzvngcñ\c\Xh q hK ÞhK ÞhK Þ hE hK ÞhK ÞhK Þ>*hE hE h¸Ù5hE hE 5hK ÞhK Þ5 jõkhK ÞhK Þ5EHèÿU jâ½_L
hK ÞCJUVaJ jXihK ÞhK Þ5EHèÿU jѽ_L
hK ÞCJUVaJ hE 5 jghK ÞhK Þ5EHèÿU j
½_L
hK ÞCJUVaJ hK Þ5jhK Þ5U" >@R¢¤Þîvqllggggggggd qgdvagdK Þkdn$$IfFÖÖFºÿø
7 v*>??
tàÖ0ÿÿÿÿÿÿö6Ö ÿÿÿÖ ÿÿÿ Ö ÿÿÿ Ö ÿÿÿ4Ö4Ö
laö& @BHPRT¤¦¨®°ÖØÚÜÞàâìîðòøú÷òèá÷òÙÏÙÂÙ³¤ÂòsÙlÙÂÙ]NÂò j rh qh q5EHäÿU j¼õN
h qCJUVaJ h q5H*h q5ehrÊÿ#h.Vêh q5H*ehrÊÿ h.Vêh q5ehrÊÿ jûnh qh q5EHäÿU js¼õN
h qCJUVaJjh.Vêh q5Uh.Vêh q5H*h.Vêh q5 h q5>*h qh q5>* h q5hK Þh q5 î ÝÞßêëRSnoJLÔä 2húúúúúõËÆÆƽ½½½½½½½½½½½ $IfgdÉbHgdÉbH)$$d%d&d'dNÆÿOÆÿPÆÿQÆÿa$gdÉbHgdvagd q ÜÝÞéêëóõöø SVWjklmoty~
ïáÜÔÜÍÉÄ¿¸®§¸££skgkgkb[ h¬ h¬ h¬ 5h.Vêh.Vêh.Vê>*juhÉbHh¬ EHúÿU jñ bL
h¬ CJUVaJh¬ jh¬ UhäfáhÁ ýhÉbH hÉbH5>*hÉbHhÉbH5>* hÉbHhÉbH hÉbH5 hK Þ5h q h qh qh qh q5 h q5h q5ehrÊÿ h.Vêh q5ehrÊÿ
"$&DHJL¤¦ÌÎÐÒÔÖØäæèîð÷ðëæßæÕÎÇæÇ¿µ¿¨¿¨æygy¿`¿¨¿Q j=¯õN
h.VêCJUVaJ h.Vê5H*#h.Vêh.Vê5H*ehrÊÿ h.Vêh.Vê5ehrÊÿ jqwh.Vêh.Vê5EHèÿU jø®õN
h.VêCJUVaJjh.Vêh.Vê5Uh.Vêh.Vê5H*h.Vêh.Vê5 h.Vê5>* h¬ 5>*h.Vêh.Vê5>* h.Vê5H* h.Vê5 h¬ 5 h¬ h¬ h¬ h¬ H* $028:`bdfjrt~¢¤¨°²´ÄÌÎìô@BDñäßμ屩±©±
|
|
|ßumußfß_ß_Wh.Vêh.Vê5 h.Vê5>* h.Vê5H*h¬ h.VêH* h¬ h.Vêh.Vê h.Vê>*h.Vêh.Vê>*jû|hÉbHhäfáEHúÿU jÒ bL
häfáCJUVaJjhäfáUhäfá h.Vêh.Vê#h.Vêh.Vê5H*ehrÊÿ h.Vêh.Vê5ehrÊÿ h.Vê5jh.Vêh.Vê5U j9zh.Vêh.Vê5EHèÿU"hj¦¨òôB|ÆÖ JLä , f v öííííííííöääííííííííö $Ifgdäfá $Ifgd.Vê $IfgdÉbHDFLNtvxz|~¾ÀÂÄÆÈÌÒÔÚÜÞöîáîÒÃá¾îîáî
vá¾hd]UQh¬ jh¬ U hÉbHhäfáhäfáh.Vê5ehrÊÿ jh.Vêh.Vê5EHèÿU j¯õN
h.VêCJUVaJ h.Vê5H*#h.Vêh.Vê5H*ehrÊÿ h.Vêh.Vê5ehrÊÿ h.Vê5 jMh.Vêh.Vê5EHèÿU j¯õN
h.VêCJUVaJjh.Vêh.Vê5Uh.Vêh.Vê5h.Vêh.Vê5H*
"*.>FHLTVXhtvâäæèîð ðãÛ×ÏÊÆÏÊÆÏÊÆÁº²ºÁ«Á¤Á¤
vg
ÁV h.Vêh.Vê5ehrÊÿ j"h.Vêhc»5EHèÿU já¯õN
hc»CJUVaJjh.Vêh.Vê5Uh.Vêh.Vê5H*h.Vêh.Vê5 h.Vê5>* h.Vê5H*h¬ h.VêH* h¬ h.Vê h.Vê5h.Vê h.Vê>*h.Vêh.Vê>*häfájh¬ UjÌhÉbHh¬ EHúÿU j¨ bL
h¬ CJUVaJ! " * , . 0 6 8 ^ ` b d f h l r t ~ ¦ ¨ ª ¬ ® ° ¸ º Ä Ì Ò â ê î ò íßÎƿƲƣ²ÎíÎßtgbZbVZbVZbVhc»h.Vêhc»>* hc»>*j/hÉbHhäfáEHúÿU j(¡bL
häfáCJUVaJjhäfáUhäfá h.Vê5 jêh.Vêhc»5EHèÿU j
°õN
hc»CJUVaJjh.Vêh.Vê5U h.Vê5H*h.Vêh.Vê5 h.Vêh.Vê5ehrÊÿh.Vê5ehrÊÿ#h.Vêh.Vê5H*ehrÊÿ!v x ® ° ð ò B Ê Ø of]]f]]]]] $Ifgdc» $IfgdÉbHkdº$$IfFÖxÖFºÿø
7 v*>??
tàÖ0ÿÿÿÿÿÿö6ööÖ ÿÿÿÖ ÿÿÿ Ö ÿÿÿ Ö ÿÿÿ4Ö4Ö
laö&
ò ú ü þ > B Â Ä Æ È Ê Ì Î Ö Ø Ú Ü â ä
úóëóúäúÝúÝÕËÕ¾Õ¯ ¾ú}oÕhÕ¾ÕY j°õN
hc»CJUVaJ hc»5H*hc»5ehrÊÿ#h.Vêhc»5H*ehrÊÿ h.Vêhc»5ehrÊÿ jh.Vêhc»5EHèÿU j}°õN
hc»CJUVaJjh.Vêhc»5Uh.Vêhc»5H*h.Vêhc»5 hc»5>* hc»5H*h¬ hc»H* h¬ hc» hc»5 ( * 0 2 X Z \ ^ b j l v ~ ¢ ª ¬ ® ¾ Ì Î ì ñäßμήª¦¦~vqªvqªvqª~ßjbjß[ß hc»5H*h¬ hc»H* h¬ hc» hc»>*h.Vêhc»>*h¬ j,hÉbHhäfáEHúÿU j2¡bL
häfáCJUVaJjhäfáUhäfáhc»hc»5ehrÊÿ#h.Vêhc»5H*ehrÊÿ h.Vêhc»5ehrÊÿ hc»5jh.Vêhc»5U j\h.Vêhc»5EHèÿU * ` b ¢ ô ö T V X Z \ ^ ` b Ø Ú X"XrXtX¬X®XÀXÂXöííöíöööíííííííííöíöíííöíöí $IfgdÉbH $Ifgdc»ì ô R T ` b h j ¢ ¤ ® ¶ º Ê Ò Ö Ú â ä æ ö XX X X X"XtX|X~X¤X¦XùôùðìèàèÑÄàèì¼·ì¼·ì¼·ìô°¨°ô¦ôùìôq jª±õN
hc»CJUVaJjh.Vêhc»5Uh.Vêhc»5hc»hc»5>* hc»5H*Uh¬ hc»H* h¬ hc» hc»>*h.Vêhc»>*jhÉbHhäfáEHúÿU jH¡bL
häfáCJUVaJjhäfáUhäfáhc»h¬ hc»5 hc»5>*&2 (4 ×4×25)=0
" est égal à 0, donc il y a 1 solution.
x = EMBED Equation.3
x =-2.5
7) -x² + 6x -10 = 0
a = -1 b = 6 c = -10
" = b2 4 a c = 62 (4 ×-1×-10) = -4
" est négatif donc il n y a pas de solutions.
8) x² + 4x - 21 = 0
a = 1 b = 4 c = -21
" = b2 4 a c = 42 (4 ×1×-21) =100
" est positif donc il y a 2 solutions.
x1 = EMBED Equation.3
x1 = -7
x2 = EMBED Equation.3
x2 = 3
9) 9x² + 6x + 1 = 0
a = 9 b = 6 c = 1
" = b2 4 a c = 62 (4 ×1×9)=0
" est égal à 0, donc il y a 1 solution.
x = EMBED Equation.3
x =-0.3333
Exercice 2 :
Afin d orienter ses investissements une chaîne d hôtels réalise une analyse sur le taux d occupation des chambres. L analyse montre que le bénéfice B(x), en euros en fonction du taux d occupation x en pourcentage peut s exprimer par :
EMBED Equation.3
On appelle seuil de rentabilité le taux d occupation x pour lequel le bénéfice est nul, calculer ce seuil de rentabilité.
Exercice 3 :
Une entreprise de jouets dispose d une chaine de production de voitures électriques pour enfants. L exercice a pour but de déterminer le nombre de voitures à produire et à vendre pour assurer un bénéfice.
Le cout de production C en euros pour x voitures fabriquées est donné par la relation :
EMBED Equation.3
Le prix de vente d une voiture est de 150 euros.
Exprimer en fonction de x le montant total annuel des ventes qu on notera V(x).
Pour que l entreprise réalise un bénéfice il faut que le montant des ventes V(x) soit au moins égal au montant de production C(x). Soit B(x) le bénéfice. Exprimer B(x) en fonction de C(x) et V(x).
Résoudre l équation B(x) = 0
Déduire le nombre de voitures à produite pour que le bénéfice soit nul
