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-Ecrire un polynôme du second degré comme produit de deux polynômes du
premier degré. - donner la condition d'existence d'une fraction rationnelle. -
simplifier une fraction ..... CALCULE LITTERAL. CORRECTION DES
EXERCICES. I-1.
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Deuxième partie : ACTIVITES NUMETRIQUES
Chapitre 1 :
OBJECTIFS :
A la fin de cette leçon, lélève doit être capable de :
- développer, réduire et ordonner un polygone
- utiliser les identités remarquables
-Ecrire un polynôme du second degré comme produit de deux polynômes du premier degré
- donner la condition dexistence dune fraction rationnelle
- simplifier une fraction rationnelle
- calculer des valeurs numériques de0s expressions littérales
A ESSENTIEL DU COURS
I- QUOTIENT
1.1. Définition
Un nombre réel nest appelé quotient de a par b lorsque x = EMBED Equation.3 avec b EMBED Equation.3 0.
1.2. Propriété
a, b, c et d sont des réels différents de zéro.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 équivaut à ad = bc
(produit des extrêmes (ad) égal au produit des moyens bc)
NB : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 équivaut à EMBED Equation.3 échange des moyens
équivaut à EMBED Equation.3 échange des extrêmes.
1.3. Opérations sur les quotients
Soit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 deux quotients,
EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3
Exercice dapplication
Calcule : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
Solution
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
II CALCUL LITTERAL
2.1. Propriétés des puissances
a et b étant des nombres non nuls, m et n des entiers relatifs.
an x bn = (a x b)n
an x am = an+m
a0 = 1
(am) n
EMBED Equation.3
an = a x a x
x a
2.2. Développements et réductions
Identités remarquables
(a +b)2 = a² + 2 ab + b²
(a b)2 = a² - 2ab +b²
(a + b) (a b) = a² - b²
NB : Dans le développement dune expression littérale, la multiplication est prioritaire sur laddition et lélévation à une puissance est prioritaire sur la multiplication
Exercice dapplication
Développe et réduis les expressions
A = (2a -6) (2 + a) a²
B = (12x 2)²
Solution
A = (2a 6) (2 + a) a²
= 4a + 2a² - 12 6a a²
= a² - 2ª 12
B = (12x 2 )² = (12x)² - 2 (12x) (2) + (2)²
= 144x² - 48x +4
2.3. Factorisations
Factoriser une expression littérale revient à lécrire sous forme dun produit. Nous avons plusieurs cas :
1er cas : mise en évidence dun facteur commun
Exemple1 : 2x (x-4) + (3+x) (x-4) = (x-4) [2x + (3+x)]
= (x-4) (2x + 3 +x)
= (x-4) (3x + 3)
= 3 (x-4) (x+1)
Exemple 2 : (2x 5) (x-3) + (3-x) (x+1)
(2x-5) (x-3) + (3-x) (x+1) = (2x-5) (x-3) (x-3) (x+1)
= (x-3) [(2x-5) (x+1)]
= (x-3) (2x 5 x 1)
= (x-3) (x-6)
Exemple 3 : 2x (x-1) + 2x-2 = 2x (x-1) + 2 (x-1)
= (x-1) (2x+2)
= 2 (x-1) (x+1)
2e cas : utilisation des identités remarquables
Exemple 1 : 9x² + 24x + 16 = (3x)² + 2 (3x) (4) + 4²
En posant a = 3x et b = 4, nous avons a² + 2ab + b² = (a+b)²
Ainsi 9x² +24x +16 = (3x + 4)²
Exemple 2 :16 4x² = 4² - (2x)²
En posant a = 4 et b = 2x, nous avons a² - b² = (a+b) (a-b)
Ainsi, 16 4x² = (4 + 2x) (4 2x)
Exemple 3 : 9 a² - 12a + 4 = (3a)² - 2 (3a) (2) + (2)²
= (3ª 2)²
3e cas: utilisation de plusieurs techniques
Exemple 1 : x² - 10x + 25 + 4x (x-5) = x²-2 (x) (5) + 5² + 4x (x-5)
= (x-5)² + 4x (x-5)
= (x-5) [(x-5) + 4x]
= (x-5) (x-5 +4x)
= (x-5) (5x-5)
= 5 (x-5) (x-1)
Exemple 2 :
4x² - 16 + (x-1) (2x+4) = (2x)² - 4² + (x-1) (2x+4)
= (2x + 4) (2x-4) + (x-1) (2x +4)
= (2x + 4) [(2x-4) + (x-1)]
= (2x +4) (2x 4 + x 1)
= (2x + 4) (3x 5)
4e cas : utilisation du début de développement dun carré parfait
Exemple 1: x² + 4x 5
Nous savons que (x+2)² = x² + 4x + 4
Doù x² + 4x = (x+2)² -4
Par suite x² + 4x 5 = (x+2)² - 4 5
= (x+2)² - 9
= (x+2)² - 3²
= (x + 2 + 3) (x + 2 3)
= (x+5) (x-1)
Exemple 2 : 4x² + 12x 7
Nous savons que (2x +3)² = 4x² + 12x + 9
Doù 4x² +12x = (2x+3)² -9
Par suite 4x² + 12x 7 = (2x+3)² - 9 7
= (2x+3)² - 16
= (2x+3)² - (4²)
= (2x + 3 + 4) (2x + 3 4)
= (2x +7) (2x 1)
III- EXEMPLES DEXPRESSIONS LITTERALES
3.1. Polynômes et monômes.
On appelle monôme toute expression de la forme axn ou a EMBED Equation.3 IR, n EMBED Equation.3 IN.
a et le coefficient du monôme et n son degré.
Exemples : 3x² ; 4 ; -4x9
On appelle polynôme la somme de plusieurs monômes.
Exemples : 2x3-4x2-3 ; x5 x + 2x² - 2
Propriété :
Soit a et b deux nombres réels.
ab = 0 équivaut à a = 0 ou b = 0
ab EMBED Equation.3 0 équivaut à a EMBED Equation.3 0 et b EMBED Equation.3 0
3.2. Fractions rationnelles
Soit P(x) et Q(x) deux polynômes. On dit que lexpression EMBED Equation.3 est une fraction rationnelle de numérateur P (x) et de dénominateur Q(x).
NB : La condition dexistence de cette fraction rationnelle est : Q(x) EMBED Equation.3 0.
On peut simplifier une fraction rationnelle.
Exercice dapplication
On donne A = EMBED Equation.3
a) A existe si et seulement si x (2x-5) EMBED Equation.3 0.
cest-à-dire x EMBED Equation.3 0 et 2x -5 EMBED Equation.3 0
x EMBED Equation.3 0 et x EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
A existe si et seulement si x EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Simplifions A
A = EMBED Equation.3
b) valeur numérique de A pour x = 5
A = EMBED Equation.3
Pour s = 5, A = 1
B. Exercices
I.1 Pour chaque question, indique toutes les bonnes réponses :
1. a et b sont non nuls. Linverse de EMBED Equation.3 est :
a) EMBED Equation.3 d) EMBED Equation.3
b) EMBED Equation.3 c) EMBED Equation.3
c) EMBED Equation.3
2. (x-9) (x+4) peut aussi sécrire :
a) x² - 36
b) (x 3) (x + 3)
c) x² - 5x + 36
d) x² - 5x 36
e) x² + 5x 36
3. Dans (x-5)² + 3x -25 on peut mettre en facteur:
a) 3
b) x
c) 3x 15
d) 3x 5
e) x 5
4. (a b)² + (a b)² =
a) a² + b²
b) 2a²
c) 2a² + 2b²
d) 2a² b²
e) 4ab
1.II on donne: A(x) = x3 4x + (2x-1) (2x+4) (x+2) (4x-3)
1. Développe, réduis et ordonne A(x) et suivant les puissances croissantes de x.
2. Factorise A(x)
1. III Simplifie les expressions suivantes :
A = EMBED Equation.3 B = EMBED Equation.3 C = EMBED Equation.3
1. IV effectue les calculs suivants :
A = EMBED Equation.3
B = EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3
1. V on donne A(x) = x² -9 - EMBED Equation.3 (x+3)
B(x) = EMBED Equation.3 x + EMBED Equation.3
Factorise A(x) et B(x)
donne la condition dexistence de EMBED Equation.3 puis simplifie EMBED Equation.3 .
donne la valeur numérique de EMBED Equation.3 pour x = 0
1.VI Soit P(x) = (x² - 1) (x² -4)
1. Développe, réduis et ordonne P(x) suivant les puissance décroissantes de x.
2. Ecris P(x) sous forme dun produit de quatre facteurs
1. VII On donne A(x) = EMBED Equation.3 et B(x) = EMBED Equation.3
1. Donne la condition dexistence de A(x) et B(x)
2. Simplifie A(x) et B(x)
3. Calcule la valeur numérique de A(x) et de B(x) pour x = 2.
1. VIII Trouve une méthode pour calculer rapidement et sans calculette :
a) 352
b) 992
c) 101² - 99²
1. IX n désigne un nombre entier naturel différent de O.
1) 2n désigne donc un nombre pair, quelle sera lécriture du nombre pair qui le précède ? Qui le suit ?
2) 2n +1 désigne donc un nombre impair, quelle sera lécriture du nombre impair qui le précède ? Qui le suit ?
1.X 1. Donne une écriture générale de trois nombres entiers naturels impairs consécutifs.
2. Trouve trois nombres entiers naturels impairs consécutifs dont la somme est 1071.
1.XI Soit E = EMBED Equation.3
Montre quil existe trois nombre a, b et c tels que
E = EMBED Equation.3
1.XII Démontre que EMBED Equation.3 équivaut à EMBED Equation.3
1.XIII On donne P(x) = x² - 9 + (x+1) (x-3) + (3-x) (3x+1).
1. Calcule P(O) ; P ( EMBED Equation.3 ) et P ( EMBED Equation.3 )
2. Développe, réduis et ordonne P(x) suivant les puissances décroissantes de x.
3. Factorise P(x).
1. XIV On donne B(x) = EMBED Equation.3
a). Développe, réduis et ordonne B(x) suivant les puissances croissantes de x.
b) écris B(x) sous forme dun produit de trois facteurs.
c) donne la valeur numérique de B(x) pour x = 3.
1. XV Factorise les expressions littérales suivantes :
A = x² - 4x EMBED Equation.3 + 8 (2x - EMBED Equation.3 )²
B = EMBED Equation.3 - (x -3)²
C = 5x² + 2x EMBED Equation.3 +1.
1.XVI Choisi la réponse juste :
1. La forme factorisée de lexpression EMBED Equation.3 avec a EMBED Equation.3 0 et :
a) EMBED Equation.3
b) EMBED Equation.3
c) EMBED Equation.3
d) EMBED Equation.3 2. La forme simplifié de la fraction rationnelle EMBED Equation.3 est :
a) EMBED Equation.3
b) EMBED Equation.3
c) EMBED Equation.3
d) EMBED Equation.3
CE8.1. 1.17. Calcule chacun des nombres suivants et donne le résultat sous forme de fractions irréductibles
a = EMBED Equation.3 ; b = EMBED Equation.3 ; c = EMBED Equation.3
CE8.2.1.18. On donne les expressions suivantes :
A = (x+2) (2x 1) (3x -4) (x + 2)
B = (2x -3) (2x + 1) + (3 2x) (x + 3)
C = x² - 4 + (x 2) (3x -5) (x -2)²
1. Développe et réduis A , B et C suivant les puissances décroissantes de x.
2. Factorise A, B et C
3. Calcule la valeur numérique de A pour x = -1
CE8.3.1.19. Calcule chacun des nombres suivants et donne le résultat sous forme irréductible.
a = EMBED Equation.3 b = 1- EMBED Equation.3
c = EMBED Equation.3 d = 1- EMBED Equation.3
2. Range a, b, c et d dans lordre croissant.
CE8.4.1.20. Factorise les expressions suivantes :
A = 8x² -2 et B = 4x² +2x
2. On donne F = EMBED Equation.3
a) Donne la condition dexistence dune valeur numérique de F.
b) Simplifie F dans cette condition.
CE8.5.1.21. On donne :
F(x) = (x-3) (2x+1) x² + 9 et g(x) = 2x2 5x 3
Calcule g (- EMBED Equation.3 ) ; g (-3) et g (3)
factorise f(x)
montre que g(x) = (2x + 1) (x -3)
soit h(x) = EMBED Equation.3
Trouve la condition dexistence dune valeur numérique de h (x)
Montre que h (x) = EMBED Equation.3
CE8.6.1.22.
1. Ecris sous la forme dune puissance de 10.
a) 100 000 ; b) 105 x 10 ; c) 0, 0001 ; d) EMBED Equation.3
d) 103 x 10-5 ; f) EMBED Equation.3
2. Factorise :
A = EMBED Equation.3 ; B = 36x2 - EMBED Equation.3
CHAPITRE 1
CALCULE LITTERAL
CORRECTION DES EXERCICES
I-1.
1. a
2. d
3. e
4. c
I.2. A(x) = x3 4x + (2x -1) (2x +4) (x+2) (4x -3)
1. Développons, réduisons et ordonnons A(x) suivant les puissances croissantes de x.
A(x) = x3 4x +4x2 + 8x 2x 4 (4x2 3x + 8x 6) développement
= x3 + 4x2 + 2x 4 4x2 + 3x 8x + 6
= x3 3x + 2
Doù A(x) = 2 3x + x3 réduction et ordonnancement.
2. Factorisons A(x).
A(x) = x (x² - 4) + (2x-1) (2x +4) (x+2) (4x-3)
= x (x+2) (x-2) + 2(2x-1) (x+2) (x+2) (4x-3)
= (x+2) [x (x-2) + 2(2x-1) (4x-3)]
= (x+2) (x² - 2x + 4x 2 4x + 3)
= (x+2) (x² - 2x + 1)
I.3. A = EMBED Equation.3
B = EMBED Equation.3
C = EMBED Equation.3
= (3x3)² x 56x (5x2)4x34
= 3² x3² x 56 x 54 x24 x 34
= 38 x 510 x 24
I.4.
A = EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
B = EMBED Equation.3
I-5. A(x) = x² -9 - EMBED Equation.3 (x+3)
B(x) = EMBED Equation.3 x + EMBED Equation.3
1. Factorisons A(x) et B(x)
A(x) = x² - 3² + EMBED Equation.3 (x+3)
= (x+3) (x-3) + EMBED Equation.3 (x+3)
= (x+3) [x 3 + EMBED Equation.3 ]
B(x) = EMBED Equation.3 x + EMBED Equation.3
2. EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 existe si et seulement si EMBED Equation.3 (x+3) EMBED Equation.3 0 EMBED Equation.3 x + 3 EMBED Equation.3 0
EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 -3
Simplifions EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
3. Valeur numérique de EMBED Equation.3 pour x = 0
2 (0) -5 = -5
I.6 P(x) = (x² - 1) (x² - 4)
1. P(x) = x4 4x2 x² + 4
= x4 -5x² +4
2. Factorisons P(x)
P(x) = (x² - 1) (x² - 4)
= (x+1) (x-1) (x+2) (x-2)
I.7. A(x) = EMBED Equation.3 B(x) = EMBED Equation.3
1. Conditions dexistence de A(x) et de B(x).
A(x) existe si et seulement si 2x -10 EMBED Equation.3 0
2x EMBED Equation.3 10
x EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
x EMBED Equation.3 5
B(x) existe si et seulement si EMBED Equation.3
EMBED Equation.DSMT4
20 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 -2 et EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 2
x EMBED Equation.3 -6 et x EMBED Equation.3 6
2. Simplifions A(x) et B(x)
A(x) = EMBED Equation.3
B(x) = EMBED Equation.3
3. Valeur numériques de A(x) et B(x) pour x=2.
A (2) = EMBED Equation.3
B (2) = EMBED Equation.3
I-8. a= 352 = (30 +5)² = 30² + 2 x 30 x 5 + 5²
= 900 + 300 + 25
= 1225
b) 99² = (100-1)² = 100² - 2(100) (1) +1²
= 10 000 200 +1
= 9801.
c) 101² - 99² = (101 + 99) (101 99) = (200) (2)
= 400.
I- 9. 1)
Le nombre paire qui suit 2n est : 2(n+1) = 2n +2
Le nombre pair qui précède 2n est : 2 (n-1) = 2n -2
2) Le nombre impair qui suit 2n+1 est : 2 (n+1)+1 = 2n +3
Le nombre impair qui précède 2n+1 est : 2 (n-1) + 1 = 2n -1.
1.10
1. Soit 2n+1 un nombre entier naturel impair. Trois nombres entiers naturels impairs consécutifs sont :
2n+1 ; 2n+3 ; 2n+5
2. (2n+1) + (2n+3) + (2n +5) = 1071
EMBED Equation.3 6n+9 = 1071
EMBED Equation.3 6n = 1075 9 = 1062
EMBED Equation.3 n = EMBED Equation.3 doù 2n+1=355
2n+3 = 357
2n+5 = 359
355 + 357+ 359 = 1071
1.11. E = EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
Ainsi, C = 9, a = 2 et b = 3
I-12. Démontrons que EMBED Equation.3 équivaut à EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
I-13. P(x) = x² - 9 + (x+1) (x-3) + (3-x) (3x+1)
1. P(O) = 0² -9 + (1) (-3) + (3) (1) = -9 -3 +3 = -9
P ( EMBED Equation.3 ) = EMBED Equation.3 ² - 9 + ( EMBED Equation.3 +1) ( EMBED Equation.3 -3) + (3- EMBED Equation.3 ) (3 EMBED Equation.3 +1)
= 2-9+2+6 EMBED Equation.3 -4
= -11 +6 EMBED Equation.3 .
P EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= -11 + 2 EMBED Equation.3
P EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
2. P(x) = x² - 9 + x² - 3x + x 3 + 9x + 3 3x² - x
= - x² + 6x 9
3. P(x) = (x-3) (x+3) + (x+1) (x-3) (x-3) (3x+1)
= (x-3) [x + 3 + x + 1 3x 1] = (x-3) (-x+3) = (x-3)²
I- 14. B(x) = EMBED Equation.3
1. B(x) = EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= -6x² +3x +3
2. B(x) = EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
I-15.
A = x² - 4x EMBED Equation.3 + 8 (2x - EMBED Equation.3 )²
= x² - 2 (x) (2 EMBED Equation.3 ) + (2 EMBED Equation.3 )² - (2x - EMBED Equation.3 )²
= (x - 2 EMBED Equation.3 )² - (2x - EMBED Equation.3 )²
= (x - 2 EMBED Equation.3 + 2x - EMBED Equation.3 ) (x - 2 EMBED Equation.3 - 2x + EMBED Equation.3 =
B = EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
C = 5x² + 2x EMBED Equation.3 + 1
= 5 (x² + 2x EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 )
= 5 (x² + 2 (x) + EMBED Equation.3 )
= 5 (x + EMBED Equation.3 )²
I- 16. 1.c)
2.b)
Mathematiques 3ème
Collection l'Essentiel
n fois
A(x) = (x+2) (x-1) (x-1)
A = EMBED Equation.3
A(x) = (x+3) (x - EMBED Equation.3 )
B(x) = EMBED Equation.3 (x+3)
E = EMBED Equation.3
B(x) = -3 (2x+1) (x-1)
A = (3x - 3 EMBED Equation.3 ) (-x - EMBED Equation.3 )
B = (x- EMBED Equation.3 ) (-x + EMBED Equation.3 )
C = 5 (x + EMBED Equation.3 ) (x + EMBED Equation.3 )
calcul litteral
Calcul littéral
1
