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Trouver une fonction polynôme définie sur un intervalle dont la courbe a l'allure
... Des fonctions fractions rationnelles ne sont pas des fonctions polynômes ...
des productions élèves mais permettent au professeur de disposer d'un corrigé.
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Le chapeau de Napoléon
Classe(s) : premières ; terminales
INCLUDEPICTURE "http://www.ac-strasbourg.fr/sections/pratique/logos/logos/downloadFile/attachedFile_1/acad2007_marianne150.jpg?nocache=1179914942.42" \* MERGEFORMATINET
Utilisation d'un logiciel de calcul formel pour déterminer une fonction dont on connait quelques valeurs et quelques nombres dérivés.
1) Objectifs
Faire le lien entre tangente et nombre dérivé
Traduire par un système déquations la forme dune courbe
Résoudre un système à laide dun logiciel
Vérifier ladéquation au problème posé dune solution trouvée
2) Énoncé de lexercice
Trouver une fonction polynôme définie sur un intervalle dont la courbe a lallure suivante :
Consignes :
Une production écrite est demandée aux élèves. Celle-ci pourra être ramassée en fin dheure ou donnée en devoir.
Les élèves débute le travail sur papier, puis utilisent calculatrices ou/et ordinateurs.
Régulièrement le professeur intervient pour, à partir de pistes proposées par certains élèves, analyser ces propositions, si nécessaire, rappeler des notions vues en cours et indiquer à toute la classe des stratégies pour poursuivre le travail.
3) Scénario
Les outils nécessaires ou utiles :
Matériel :
Une calculatrice par élève ou un poste informatique par binôme.
Logiciel :
Un logiciel de calcul formel (calculatrice ou PC) et un traceur de courbes
Quelques idées dinterventions pour le professeur :
Axe de symétrie dune courbe et fonction paire
Fonction polynôme paire
Degré dune fonction polynôme et nombre de paramètres
Dérivation à laide du calcul formel
Résolution dun système à laide du calcul formel
Unicité ou non de la solution à un système déquations
Il nest pas exclu que certains élèves proposent en 10 minutes EMBED Equation.3. On peut alors leur demander de rechercher des solutions de degré supérieur à 4.
Contenu et organisation des séances :
Le jour de la mise en uvre (témoignage dun enseignant) :
Classe de terminale S 20 élèves en classe entière Durée : 1 heure
« Les élèves sont motivés par lexercice et se mettent rapidement à conjecturer des solutions à laide de leur calculatrice graphique. Mais de nombreuses idées naboutissent pas.
Quelques unes de mes interventions :
Une tangente horizontale en un point peut se traduire par une équation
Des fonctions fractions rationnelles ne sont pas des fonctions polynômes
Une fonction du second degré ne peut pas répondre à la question
Au bout dune demi heure les élèves se rendent réellement compte que des calculs seront nécessaires »
Le jour de la mise en uvre (témoignage dun autre enseignant :
Classe de première S en module Durée : 1 heure
« Jai simplifié par rapport à lénoncé de départ, car jai mis le repère.
Les élèves ont tout de suite essayé avec GEOGEBRA de tracer des courbes au hasard. Mais pour eux polynôme = trinôme.
Jai donc du faire une mise au point avec tous les élèves. Je leur ai alors conseillé de prendre papier crayon pour écrire des choses. Comme ils avaient du mal seul, nous avons débattu en classe entière. Ils ont donc dabord fait des remarques sur ce quils savaient de la courbe : la parité, les tangentes horizontales, et les valeurs précises.
Ensuite ils ont essayé avec le logiciel, mais aucun nest arrivé au bout
Pas évident avec WIRIS. Ils ont à finir lactivité pour la fin des prochaines vacances scolaire.»
Les copies écran ci-dessous ne sont pas des productions élèves mais permettent au professeur de disposer dun corrigé.
Lévaluation
Compétences B2I :
C.1.1 : Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification
C.1.2 : Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.
C.2.4 : Je m'interroge sur les résultats des traitements informatiques (calcul, représentation graphique, correcteur...)
Compétences mathématiques (grille dévaluation) :
CompétencesM1Réaliser une production de qualitéM2Faire une recherche activeM3Énoncer une conjectureM4Savoir utiliser les outils du coursM5Rédiger une démonstration structuréeM6Rédiger une démonstration complète
Commentaires :
M1 :
La production réalisée peut être une construction, un programme de construction, un tableau à compléter, des calculs à effectuer,
Lélève a réussi à intégrer la problématique et a su utiliser loutil informatique pour apporter des réponses aux objectifs énoncés.
M2 :
La recherche est organisée. La démarche expérimentale est dynamique et autonome. Lélève développe lui-même les outils de son expérience : il demande par exemple dutiliser un outil informatique plutôt quun autre.
La narration de la recherche permet de dégager les différentes pistes ou essais qui nont pas nécessairement abouti : descriptions, dessins, schémas,
Si lactivité se fait en groupe, tous les élèves auront participé à la recherche.
M3 :
La conjecture énoncée peut être fausse mais cohérente avec la problématique énoncée. L'élève doit être convaincu de sa conjecture.
Lélève sait distinguer le statut d'une conjecture à celui dune propriété démontrée.
M4 :
Lélève sait appliquer ses connaissances mathématiques à bon escient.
M5 :
Lélève rédige un raisonnement cohérent à partir des données de lénoncé mais qui naboutit pas nécessairement.
La rédaction, rigoureuse et organisée, sappuie sur les outils du cours.
M6 :
La démonstration a abouti même si la rédaction nest pas rigoureuse et structurée. Lélève fait référence aux données nécessaires et a choisi les outils appropriés.
Activités Lycée Strasbourg PAGE 1/ NUMPAGES 4 DATE 17/10/2012
Christian Brucker
