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DECOMPOSITION DES FRACTIONS EN ELEMENTS SIMPLES

Nous allons nous intéresser aux fractions rationnelles du type f(x)=, où P et Q n' ont ... C'est une fraction du type où est une racine d'ordre q de Q, (ou pôle d'ordre q .... de calcul pouvant s'insérer au cours de ces manipulations de polynômes !




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að est une racine d ordre q de Q, (ou pôle d ordre q de f), et bð ðest un entier strictement positif mais inférieur ou égal à q.

Exemple :  EMBED Equation.DSMT4 , sont les trois éléments simples qui rentreront en jeu dans la décomposition de f(x).


Appelons að1, að2,& & .., aðn, les racines réelles ou complexes de Q ( on peut toujours trouver des racines complexes), d ordre respectifs q1, q2,& ., qn. Alors, quelle que soit la forme de P, si son degré est inférieur strictement à celui de Q, il existe toujours des constantes réelles ou complexes, A1, A2,…….., An telles que :
 EMBED Equation.DSMT4 
Par exemple, il existe trois constantes réelles A, B, et C, telles que :

f(x) = EMBED Equation.DSMT4 

Comment trouve-t-on ces constantes ? C’est l’objet des techniques de décomposition en éléments simples.



1er cas : Q n’admet que des racines simples (d’ordre 1)
C’est le cas le plus simple.

Exemple :  EMBED Equation.DSMT4 
valeur de A : multiplier les deux membres par x
 EMBED Equation.DSMT4 

remplacer ensuite x par 0 pour annuler les deux termes en B et C
 EMBED Equation.DSMT4 


valeur de B : multiplier les deux membres par (x-1)
 EMBED Equation.DSMT4 
remplacer ensuite x par 1 pour annuler les deux termes en A et C
 EMBED Equation.DSMT4 


Valeur de C : multiplier les deux membres par (x+2)
 EMBED Equation.DSMT4 
remplacer ensuite x par -2 pour annuler les deux termes en A et B
 EMBED Equation.DSMT4 

Conclusion :  EMBED Equation.DSMT4 





2ième cas : Q admet une seule racine multiple

Exemple : f(x) = EMBED Equation.DSMT4 
En observant les numérateurs des deux membres, on s’aperçoit rapidement que :

(1)  EMBED Equation.DSMT4 

valeur de A : remplacer dans l’expression précédente x par –2, pour annuler les termes en B et C
P(-2) =  EMBED Equation.DSMT4 

valeur de B : Dériver une fois l’expression (1) : P’(x) = EMBED Equation.DSMT4 
et remplacer dans l’expression précédente x par –2, pour annuler le terme en C
P’(-2) =  EMBED Equation.DSMT4 

valeur de C : Dériver deux fois l’expression (1) : P’’(x) =  EMBED Equation.DSMT4 

Conclusion :  EMBED Equation.DSMT4 


3ième cas : Q admet plusieurs racines dont une au moins est multiple.

C’est un petit peu plus compliqué, mais la méthode précédente, jouant sur les numérateurs, peut encore s’appliquer, même si elle est moins directe que dans le cas précédent. Reprenons l’exemple du début :

Exemple :  EMBED Equation.DSMT4 

En observant les numérateurs des deux membres, on s’aperçoit rapidement que :

(2)  EMBED Equation.DSMT4 

valeur de A : remplacer x par 1 dans l’expression précédente pour annuler les termes en B et C :
 EMBED Equation.DSMT4 




valeur de C : remplacer x par -3 dans l’expression précédente pour annuler les termes en A et B :
 EMBED Equation.DSMT4 

valeur de B

Dans ce cas relativement simple, connaissant A et C , il suffirait par exemple de remplacer x par 0 pour en déduire B.
Mais dans un cas plus compliqué, la méthode consistant à dériver pour trouver les coefficients suivants s’applique.
Jouons le jeu, et dérivons l’expression P(x) :

 EMBED Equation.DSMT4 

remplacer dans l’expression précédente x par 1, pour annuler le terme en C
 EMBED Equation.DSMT4 

Conclusion  EMBED Equation.DSMT4 



Ces techniques ne sont pas compliquées ; mais le plus difficile est d’éviter les nombreuses erreurs de calcul pouvant s’insérer au cours de ces manipulations de polynômes !
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