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Correction du final PS26 P2011 - Moodle UTBM

Par exemple dans un alternateur, un circuit électrique tournant dans le champ magnétostatique d'un stator subira des forces de Laplace dues au courant induit  ...




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Correction du final PS26 P2011.


Questions de cours :


Le vecteur aimantation représente le moment dipolaire d’un corps aimanté par unité de volume soit : EMBED Equation.DSMT4 où  EMBED Equation.DSMT4  représente le moment magnétique dipolaire d’un petit élément de volume dtð.
L aimantation rémanente représente l aimantation EMBED Equation.DSMT4  qui reste dans un matériau lorsqu il n est plus exposé à aucun champ magnétisant d origine extérieure.

Le cycle d hystérésis est la courbe qui donne l aimantation d un matériau en fonction de l’excitation magnétique extérieure qui lui est imposée (voir cette courbe sur le polycopié)


La loi d’Ohm généralisée donne la différence de potentiel VA-VB entre deux points A et B d’un conducteur ohmique soumis à un phénomène d’induction : VA-VB = RIAB - eAB. Dans cette formule R représente la résistance du conducteur entre A et B, IAB le courant traversant le conducteur, orienté de A vers B et eAB la fem d’induction prenant naissance entre A et B que l’on calculera par la loi de Faraday ou en faisant circuler le champ électromoteur.

La loi de Lenz précise qu’un courant induit par ses effets s’oppose aux causes qui l’ont fait naitre. Par exemple dans un alternateur, un circuit électrique tournant dans le champ magnétostatique d’un stator subira des forces de Laplace dues au courant induit et au champ qui tendront à le ralentir puisque la cause du courant induit est le mouvement du circuit. Dans le cas d’un circuit fixe soumis à un champ magnétique variable, le courant induit créé génèrera un champ magnétique induit opposé à la variation du champ magnétique inducteur, cause de l’induction.

Une onde électromagnétique plane est une onde telle que tous les points d’un plan perpendiculaire à la direction de propagation de cette onde seront dans le même état électromagnétique à un instant donné. D’un point de vue mathématique cette onde se mettra sous la forme d’une fonction f(t-z/c) ou g(t+z/c) si la direction de propagation est l’axe des z. Pour une onde sphérique, tous les points dans le même état électromagnétique à un instant donné se trouveront sur une sphère de rayon r centrée sur l’émetteur par exemple. D’un point de vue mathématique, cette onde fera apparaitre une fonction mathématique de la variable (t - r/c) pour traduire ce type de propagation.

Dans une onde électromagnétique plane progressive dans le vide, les propriétés sont les suivantes :
Les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires à la direction de propagation.
Les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires entre eux.
Le champ électrique a une norme c fois plus grande que le champ magnétique (c : vitesse de la lumière).
Le trièdre formé par le champ électrique, le champ magnétique et la direction de propagation est direct.
Correction du final PS26 P2011.


Exercice 1 :
Il s’agit d’induction de Neumann puisque la spire ne bouge pas mais est soumise à un champ magnétique variable de la part de l’aimant.

Il faut distinguer trois phases :
L’entrée du champ dans la spire  EMBED Equation.DSMT4 
Le champ est entièrement dans la spire  EMBED Equation.DSMT4 
Le champ quitte la spire  EMBED Equation.DSMT4 
Puis l’aimant est passé  EMBED Equation.DSMT4 .
Ci-dessous les schémas correspondant aux trois phases.
 SHAPE \* MERGEFORMAT 

On a alors de façon évidente :
 EMBED Equation.DSMT4  Fð(t) = -avtB (spire orientée dans le sens trigo).
 EMBED Equation.DSMT4  Fð(t) = -Ba²
 EMBED Equation.DSMT4 = -Ba(a-(vt-b))
L allure générale du graphe sera donc :
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
La fem est donnée par la loi de Faraday, donc en prenant la dérivée au signe près de la courbe précédente :
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
Pour transformer le dispositif en compteur de vélo, il suffit de fixer l’aimant sur un rayon de la roue, la spire sur la fourche et de mettre un détecteur d’impulsions qui comptera le nombre d’impulsions positives par exemple par seconde ce qui donnera le nombre de tours par seconde puis de remonter à la vitesse connaissant le diamètre du pneu.

Exercice n°2 :

D’après la loi de Biot et Savart, le champ magnétique est proportionnel au courant qui le crée et le flux est proportionnel au champ magnétique par définition, donc le flux sera proportionnel au courant dans la spire 1 CQFD. Le coefficient de proportionnalité est appelé le coefficient de mutuelle entre les circuits.
La fem d’induction mutuelle dans la spire 2 sera donnée par la loi de Faraday . Si le courant i1 est en cosinus, la fem sera donc en sinus donc déphasée de  EMBED Equation.DSMT4 (retard).
On aura d’après la loi d’Ohm généralisée dans la spire 2, U = RI – e. Comme le courant sera nul puisque l’impédance du détecteur est infinie U = - e et le détecteur lira la fem (au signe près).
Chaque spire du disque peut être analysée du point de vue de l’induction comme la spire 2 et sera donc parcourue par un courant induit déphasé de  EMBED Equation.DSMT4 par rapport à i1 puisque la résistance n’est pas infinie.
Les courants de Foucault induits dans le disque vont eux-même créer un champ magnétique dans la spire 2 en plus de celui de la spire 1. Ce champ étant variable, la fem d’induction lue par le détecteur se trouvera donc modifiée ce que l’on détectera par une variation au niveau du détecteur.

Exercice n°3 :

Ex et Ey sont en V/m d’après  EMBED Equation.DSMT4 .
D’après le terme en  EMBED Equation.DSMT4 , l’onde se propage dans la direction de l’axe des y, dans le sens des y décroissants.
L’onde étant plane, le champ est perpendiculaire à la direction de propagation et donc Ey = 0.
On a w = 2pðf = 2pð108 rad.s-1 donc f = 108 Hz = 100 MHz.
On a  EMBED Equation.DSMT4 = 3 m.
Il s agit d ondes radios dans la bande FM. 
On a  EMBED Equation.DSMT4 . La norme du champ électrique est donc constante, le champ électrique décrit donc un cercle : c’est une polarisation circulaire.
On peut calculer le champ magnétique en se souvenant qu’il doit être perpendiculaire à la direction de propagation et au champ électrique, c fois plus petit en norme que le champ électrique et tel que le trièdre champ électrique, champ magnétique et direction de propagation soit direct. Il en résulte que :  EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4  W.m-2. Le vecteur de Poynting est constant dans le sens des y décroissants, il matérialise la propagation de l’énergie.
La puissance est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers la surface latérale de l’onde donc ici la puissance sera simplement de P =  EMBED Equation.DSMT4 = 2.4.10-8 W, puisque l’onde est plane et que le vecteur de Poynting ne dépend pas du temps.

Exercice n°4 :
Il suffit de remplacer x par vot d’où s(t) = kEocos(2#5žµ¶·¸»¼ÓÔÕÖ×

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