unicursale (courbe plane) - Free.fr
Heures enseignant équivalent TD (coût) ...... Intégration : Calcul d'intégrales
multiples ...... Méthode des équations intégrales en champs électrique et
magnétique. ..... 100% ecrit, le sujet etant composé de differents problemes
illustrant les diverses parties de l UE ...... Coordonnées curvilignes et tenseurs en
espace courbe
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ion "unicursale" vient de ce qu'on peut les tracer d'un seul coup de crayon ; ceci n'est vraiment exact dans le plan affine que lorsque le polynôme R n'a pas de racine réelle. Sinon, c'est dans le plan projectif, qu'il faut se placer pour imaginer qu'on ne lève pas le crayon (pour tracer une hyperbole ou une cubique mixte par exemple).
Par contraposée, ceci montre qu'une courbe qui possède plusieurs composantes connexes dont l'une est une courbe fermée, n'est pas unicursale. Exemple : la parabole divergente INCORPORER Equation.3; la réciproque est fausse : la parabole divergente INCORPORER Equation.3 qui est probablement la courbe non unicursale dont l'équation cartésienne est la plus simple, se trace d'un coup de crayon.
VAGUE
catastrophe
VARIÉTÉ (topologique, différentielle, algébrique)
VARSOVIE (CERCLE DE)
VERHULST (DIAGRAMME DE BIFURCATION DE)
Pierre-François Verhulst (1804-1849) :
puf
VERONESE (SURFACE DE)
Giuseppe Veronese (1854-1917) : mathématicien italien.
Berger 1 p. 123
Surface (i.e. variété de dimension 2) sans singularité plongée dans R5 et homéomorphe au plan projectif réel.
Y en a-t-il dans R4?
INCORPORER Equation.3
permet d'étudier toutes les coniques du plan ??? (hauchecorne)
VERSIERA
Diablesse en italien.
Autre nom de la cubique d'Agnesi. Ce nom aurait été donné par Agnesi elle-même suite à une confusion avec l'appellation antérieure donnée par Grandi : versoria qui signifie : amure (corde servant à virer de bord).
C'est la raison pour laquelle les Anglais appellent cette courbe : witch (sorcière) of Agnesi.
VILLARCEAU (CERCLE DE)
Antoine Yvon Villarceau (1813-1883) : astronome et mathématicien français.
Section d'un tore par un plan qui lui est bitangent, et non perpendiculaire à laxe.
C'est l'une des loxodromies du tore.
solénoïde torique?
puf
VIS A FILET CARRÉ (SURFACE DE LA)
Autre nom de lhélicoïde droit.
VIS A FILET TRIANGULAIRE (SURFACE DE LA)
Surface engendrée par le mouvement hélicoïdal dune droite (D) autour dun axe, dans le cas où cette droite est sécante (mais ni orthogonale ni parallèle) à laxe.
Voir à hélicoïde réglé.
VIVIANI (FENÊTRE OU COURBE DE) (Roberval ; Viviani,1692)
Vincenzo Viviani (1622-1703) : mathématicien italien.
Système déquations cartésiennes : INCORPORER Equation.2 .
Quartique gauche unicursale.
Système déquations sphériques : r = R, qð ð = lð.ð
Paramétrisation cartésienne : INCORPORER Equation.2 (où INCORPORER Equation.2 ) ou : INCORPORER Equation.2 (avec 2a = R, t = 2qð)ð ð;ð forme utilisée dans la suite.
Abscisse curviligne : INCORPORER Equation.2 .
Système d équations cylindriques dans le repère (A , INCORPORER Equation.2 , INCORPORER Equation.2 , INCORPORER Equation.2 ) où A(a, 0, 0) :
INCORPORER Equation.2 .La longueur totale est égale à la longueur d'une ellipse de demi-axes R et R/2 (exprimée par une intégrale elliptique) ( 4,844 R.
Aire de la double fenêtre de Viviani découpée sur la sphère : 4(( - 2)R2 ;
l'aire de la surface restante sur la sphère vaut donc 8 R2.
Volume commun à la boule et à l'intérieur du cylindre : INCORPORER Equation.2 ;
le volume restant vaut donc INCORPORER Equation.2 .
La fenêtre de Viviani est lintersection d'une sphère de rayon R et d'un cylindre de révolution de diamètre R dont une génératrice passe par le centre de la sphère (cest un cas particulier dhippopède).
Figure Viviani 1
On obtient donc une fenêtre de Viviani en plantant la pointe dun compas sur un cylindre et en traçant un cercle de même rayon que le diamètre du cylindre.
Le système déquations sphériques montre que la fenêtre de Viviani est un cas particulier de clélie (voir à ce terme pour une construction mécanique) et le système déquations cylindriques montre que la fenêtre de Viviani est un cas particulier de couronne sinusoïdale.
Les projections sur les plans xOy, xOz et yOz sont respectivement un cercle, un arc de parabole et une lemniscate de Gerono, et plus généralement, les projections sur des plans passant par Oz sont des besaces, qui sont donc des vues de la fenêtre de Viviani.
Figure Viviani 2
La projection stéréographique de pôle sud est la strophoïde déquation : INCORPORER Equation.2 .
Si l'on développe le cylindre sur lequel est tracée la courbe de Viviani, on obtient une période de sinusoïde : INCORPORER Equation.2 , avec INCORPORER Equation.2 . On obtient donc facilement une fenêtre de Viviani en découpant dans du papier la figure formée par deux arches de sinusoïde en vis-à-vis et en enroulant la feuille pointe contre pointe.
WATT (COURBE DE)
James Watt (1736 - 1819) : ingénieur et mécanicien écossais (celui des kilowatts...).
Autre nom : courbe à longue inflexion.
b:=1.5:c:=1:plot([[
> sqrt(b^2-(sin(t)+sqrt(c^2-cos(t)^2))^2),t,t=0..2*Pi],
[sqrt(b^2-(sin(t)-sqrt(c^2+cos(t)^2))^2),t,t=0..2*Pi]],
coords=polar,color=[blue,red],scaling=constrained);
Équation polaire : INCORPORER Equation.2 ,???????????
Lorsque a = c : INCORPORER Equation.3 ou INCORPORER Equation.2 .
Sextique.
La courbe de watt est le lieu du milieu de la barre [PQ] d'un quadrilatère articulé (APQB), A et B étant fixes et AP = BQ (cest donc un cas particulier de courbe du trois-barres) ; ici, A(0, a), B(0, -a), AP = BQ = b, PQ =2c.
Lorsque la barre centrale PQ a même longueur que la barre fixe AB, on obtient la réunion du cercle (O,b) et de....., laquelle est la lemniscate de Bernoulli quand INCORPORER Equation.2 .
Ce dispositif a été imaginé par Watt pour transformer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne approché, car lorsque b est grand devant a et c, la courbe se confond sensiblement avec les deux tangentes d'inflexion en O.??????
WEIERSTRASS (COURBE DE)
Karl Weierstrass (1815 - 1897) : mathématicien allemand.
ZAHRADNIK (CISSOÏDALE DE)
Voir à cissoïdale de Zahradnik.
BIBLIOGRAPHIE
I ouvrage général
D. WELLS : the penguin dictionary of curius and interesting geometry, Penguin books, (1991).
II COURBES
F. GOMES TEXEIRA : traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches T.1, 2 et 3 (1909, réédité par Chelsea publishing company (USA) en 1971) : livre traduit de l'espagnol, très complet, avec toutes les démonstrations.
BROCARD : notes de bibliographie des courbes géométriques, Bar Le Duc (1897), photocopies par lIREM de Jussieu : avant-projet manuscrit du livre suivant, qui présente lavantage dêtre complet.
H. BROCARD et T. LEMOINE : courbes géométriques remarquables (courbes spéciales) planes et gauches T. 1, 2 et 3 (1919, réédité par A. Blanchard en 1967) : livres fournissant sans démonstration pour chaque courbe ou famille de courbes une liste impressionnante de propriétés non triviales. Le travail publié est incomplet, la présentation alphabétique allant de "abaque" à "glissette", mais contient toutes les courbes dont la dénomination commence par "courbe", ce qui est assez courant... (attention, les courbes de Lissajous sont à chercher à F et non à C ; ce sont les figures de Lissajous !)
R. C. YATES : curves and their properties, NCTM (USA) (1952, réédité en1974) : magnifique petit livre en anglais, dans lequel nous avons pris de nombreuses informations.
E.H. LOCKWOOD : a book of curves, Cambridge University Press (1967)
C. LEBOSSE C. HEMERY : géométrie, classe de mathématique, Fernand Nathan (1963), réédité chez Albert Blanchard : magnifique livre de géométrie, dont un bon tiers est consacré aux coniques.
J. DENNIS LAWRENCE : a catalog of special plane curves, Dover (1972) : livre en anglais à usage plus scolaire (calcul des dérivées de x et y, du rayon de courbure etc...) comportant quelques erreurs.
J. BRETTE : courbes mathématiques, revue du Palais de la Découverte (1976, réédité 1995) : livre d'images, quelques propriétés étant indiquées au bas de chaque figure.
J.C. CARREGA : théorie des corps, la règle et le compas, Hermann (1981) : pour le chapitre concernant les constructions graphiques approchées (quadratrices, duplicatrices, trisectrices).
M.-N. et R. VUILLOT : de points en courbes, histoire, construction, utilisation pédagogique des courbes mathématiques célèbres, C.R.D.P de Dijon (1987) : livre écrit et illustré à la main par des collégiens sous la houlette de professeurs extrêmement bien documentés.
J. AYMES : ces problèmes qui font les mathématiques (la trisection de l'angle), APMEP(1988).
La double page centrale de la revue Tangente (la playmath, éditée aussi en tiré à part)
COXETER ???? redécouvrons....
Walker, R. J. Algebraic Curves. New York: Springer-Verlag, 1978.
http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math
=à .
MacTutor History of Mathematics Archive.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Curves.html
Site de luniversité de saint Andrew. Les informations ressemblent étrangement à celles du livre de YATES, avec des courbes animées en plus.
Lee, X. ``A Catalog of Special Plane Curves.''
http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html.
``Geometry.'' The New Encyclopædia Britannica, 15th ed. 19, pp. 946-951, 1990.
Gray, A. ``Famous Plane Curves.'' Ch. 3 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 37-55, 1993.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html.
Oakley, C. O. Analytic Geometry. New York: Barnes and Noble, 1957.
Shikin, E. V. Handbook and Atlas of Curves. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.
Smith, P. F.; Gale, A. S.; and Neelley, J. H. New Analytic Geometry, Alternate Edition. Boston, MA: Ginn and Company, 1938.
von Seggern, D. CRC Standard Curves and Surfaces. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.
Weisstein, E. W. ``Plane Curves.'' Mathematica notebook Curves.m.
Zwillinger, D. (Ed.). ``Algebraic Curves.'' §8.1 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 3rd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.
http://www.geom.umn.edu/docs/reference/CRC-formulas/node33.html.
II COURBES ET SURFACES
R. DELTHEIL : cours de mathématiques générales tome 2 , J.B. Baillère et fils (1947) : cours très clair et illustré d'exemples sur les courbes algébriques, les enveloppes, les courbes gauches, les courbes tracées sur une surface etc...
DARBOUX : Théorie générale des surfaces 3 tomes.
Une somme sur les surfaces. D'après Berger, tout n'a pas été traduit en langage moderne..
J. TAILLE : courbes et surfaces, Que-sais-je ?, PUF (1953) : très dense, meilleur rapport qualité prix sur le sujet...
G. CASANOVA : mathématiques spéciales, tome 3, géométrie analytique, Belin (1965) : semblable au Deltheil, les démonstrations étant parfois rapides.
A. FEDENKO : recueil d'exercices de géométrie différentielle, Mir (1979) : fourmille d'exemples, avec corrigé.
P. SAMUEL : géométrie projective, PUF (1986) : présentation moderne des notions classiques sur les courbes et surfaces algébriques, par un spécialiste de géométrie algébrique.
III FRACTALS
B. MANDELBROT : the fractal geometry of nature, Freeman, San Francisco (1983)
M. BARNSLEY ; fractals everywhere, Academic Press (1988).
K. FALCONER : fractal geometry, J. Wiley & sons (1990)
III POLYÈDRES
H.S.M. COXETER : regular polytopes , Dover (1963)
Endraß, S. ``Home Page of S. Endraß.'' http://www.mathematik.uni-mainz.de/~endrass/.
Fischer, G. (Ed.). Mathematical Models from the Collections of Universities and Museums. Braunschweig, Germany: Vieweg, 1986.
Francis, G. K. A Topological Picturebook. New York: Springer-Verlag, 1987.
Geometry Center. ``The Topological Zoo.'' http://www.geom.umn.edu/zoo/.
Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.
Hunt, B. ``Algebraic Surfaces.'' http://www.mathematik.uni-kl.de/~wwwagag/Galerie.html.
Morgan, F. ``What is a Surface?'' Amer. Math. Monthly 103, 369-376, 1996.
Nordstrand, T. ``Gallery.'' http://www.uib.no/people/nfytn/mathgal.htm.
Nordstrand, T. ``Surfaces.'' http://www.uib.no/people/nfytn/surfaces.htm.
von Seggern, D. CRC Standard Curves and Surfaces. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.
Wagon, S. ``Surfaces.'' Ch. 3 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 67-91, 1991.
Yamaguchi, F. Curves and Surfaces in Computer Aided Geometric Design. New York: Springer-Verlag, 1988.0
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