9. fonction approximante - Thierry Karsenti
Il/elle dépose la correction dans un espace de travail accessible aux ... Calculer
la valeur d'une intégrale curviligne suivant une courbe non fermée. Calculer ...
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RASOANAIVO René Yves, Ph.D.
RASOANAIVO René Yves, Ph. D.
I . INTRODUCTION
TITRE :
PRE REQUIS
TEMPS
4. MATERIELS DIDACTIQUES
Micro ordinateur avec connexion Internet, Microsoft office, Matériels multimédia
Pour les activités 2. , 3. et 4. Logiciels : Microsoft Excel 2000 ; Maxima
5 . JUSTIFICATION
Les mathématiques sont considérées comme des outils pour les sciences physiques. Ce module Physique Mathématique 1 contient des éléments mathématiques utilisés dans lenseignement de la physique. Ces éléments permettent à un(e) apprenant(e), non seulement, de mieux appréhender les concepts de la physique, de leur donner un sens mais aussi de mettre en relation des grandeurs physiques entre elles.
Beaucoup de domaines de la physique tels que la Mécanique, la physique quantique loptique, la thermodynamique utilisent les éléments mathématiques comme : la dérivation, lintégration, la résolution dun système déquations linéaires, le calcul différentiel, les méthodes numériques
.développés dans ce module. Une bonne maitrise de ces outils mathématiques est nécessaire pour une meilleure explication de certaines lois de la physique.
II . CONTENU
6 . RESUME
Le module traite des éléments mathématiques indispensables à la compréhension des cours de physique, à savoir létude des fonctions réelles, la dérivation et lintégration dune fonction à une et à plusieurs variables réelles, le développement dune fonction, quelques éléments de calculs numériques et, finalement, la résolution dun système déquations linéaires.
Des activités dapprentissage de niveaux de difficultés différents y sont développées, avec des évaluations formatives. Par ailleurs, des ouvrages en lignes ou des liens utiles permettront aux apprenant(e)s détudier en détails certains points. Finalement, les apprenant(e)s auront aussi loccasion dutiliser des logiciels tels que le « Microsoft Excel 2000 » et « Maxima » .
Les grandes lignes sont :
Analyse : Limite et continuité dune fonction, dérivée, détermination des extrema ; Intégration (Riemann, Impropre, Indéfinie)
Séries : Série infinie, tests de convergence, développements de Taylor et de MacLaurin
Calcul Différentiel : Dérivée partielle, dérivée dune fonction implicite, différentiel total et exact
Intégration : Intégration sur un contour ouvert et fermé, Intégral multiple.
Méthodes Numériques : La fonction gamma, évaluation numérique dune somme finie et infinie, évaluation numérique dune intégrale : règle de trapèze et règle de Simpson
Algèbre linéaire : Calculs matriciels, déterminant, résolution dun système déquations linéaires
Représentation graphique :
7. Objectifs généraux
Au terme du module lapprenant(e) doit être capable de :
comprendre. les notions de dérivée partielle
comprendre les notions de dérivée totale
comprendre le calcul des intégrales simples
comprendre le calcul des intégrales doubles ou triples
comprendre les calculs numériques sur des sommes finies
comprendre les calculs numériques sur des sommes infinies
connaître les opérations matricielles
Chercher les solutions un système déquations linéaires
8. Objectifs spécifiques
Activités dapprentissageObjectifs spécifiques
1. Eléments d Analyse et Séries
Rappeler les conditions de dérivabilité et de continuité dune fonction
Calculer lintégrale dune fonction à une variable réelle
Rappeler le développement en séries dune fonction au voisinage dun point
2. Différentiation et Intégration
Rappeler le différentiel total dune fonction à deux variables réelles
Calculer la dérivée partielle dune fonction à deux variables réelles
Calculer la valeur dune intégrale curviligne le long dune courbe fermée et non fermée
Calculer la valeur dune intégrale double sur une région bien déterminée
3. Méthodes Numériques
Rappeler les principes fondamentaux des calculs numériques
Calculer numériquement une somme finie
Calculer numériquement une somme infinie
Calculer numériquement la valeur dune intégrale définie
4. Algèbre linéaireRappeler les opérations matricielles
Calculer le déterminant dune matrice carrée
Déterminer linverse dune matrice carrée
Déterminer les solutions dun système déquations linéaires et non homogènes
EMBED PBrush
III. ACTIVITES DENSEIGNEMENT ET DAPPRENTISSAGE
9. Evaluation prédictive : Eléments danalyse
Justification :
Cette activité permet à un(e) apprenant(e) de se jauger par rapport au niveau requis pour entamer le module et, donc, didentifier les éléments mathématiques quil ou elle doit revoir. Les dix sept questions formulées ci-après touchent essentiellement trois domaines danalyse, à savoir la dérivée, la primitive, la continuité, la limite et, finalement, les extrema dune fonction à une variable réelle. Elles sont conçues pour évaluer les prérequis des apprenant(e)s.
En outre, ces prérequis constituent des outils indispensables pour quun enseignant(e) puisse aider les apprenants à simpliquer totalement dans les activités dapprentissage élaborées dans ce module. Doù, lenseignant(e) gagnera du temps et lapprenant(e) sera ainsi motivé(e).
Questions :
La dérivée de la fonction f(x) = 3x2 2x + 1 sécrit :
a. ¡% 3x 2 ; b. ¡% 6x 2 ; a. ¡% 3x + 2
La dérivée de la fonction f (x) = 1/ (x + 1) s écrit :
a. ¡% 1/ ( x + 1)2 ; b. ¡% - 1/ ( x + 1)2 ; c. ¡% x / ( x + 1)2
3. La dérivée de la fonction f(x) = 1/ ( x2 2x + 1 ) s écrit :
a. ¡% 2 / ( x - 1)2 ; b. ¡% -2 x / ( x - 1)3 ; c. ¡% 2/ ( x - 1)5
4. La dérivée de la fonction f(x) = tan ( x ) s écrit f ( x ) = 1 + tan2 ( x )
a. ¡% Vrai ; b. ¡% Faux
5. La primitive de la fonction f(x) = 3x3 + 2x2 x + 1 s écrit :
a. ¡% 9 x 4 + 6 x3 2 x 2 + x + c ; b. ¡% (3/4) x 4 + (2/3) x3 (1/2) x 2 + x + c
6. La primitive de la fonction f ( x ) = 1/ x s écrit :
a. ¡% - 1/ x 2 + c ; b. ¡% ln ( x ) + c ; c. ¡% ln (x + c)
7. La primitive de la fonction ln ( x) s écrit F ( x ) = x ln (x) - x + c
a. ¡% Vrai ; b. ¡% Faux
8. La primitive f(x) = 3 cos( 2 x ) s écrit F (x) = 3 sin ( 2 x ) + c
a. ¡% Vrai ; b. ¡% Faux
La limite de la fonction f (x ) = 2 x 3 3x + 1 quand x tend vers 1 est égale à :
a. ¡% 1 ; b. ¡% 0 ; c. ¡% - 1
La limite de la fonction f (x ) = cos (x)/ x quand x tend vers zéro est égale à
a. ¡% 0 ; b. ¡% 1 ; c. ¡% "
La limite de la fonction f (x ) = sin (x)/ x quand x tend vers zéro est égale à
a. ¡% 0 ; b. ¡% 1 ; c. ¡% "
La limite de la f (x ) = ex / x quand x tend vers zéro est égale :
a. ¡% 0 ; b. ¡% 1 ; c. ¡% "
La limite de la fonction f (x ) = tan ( x ) quand x tend vers (À/2) + 0 est égale à + "
a. ¡% Vrai ; b. ¡% Faux
La fonction f ( x ) = 2 x2 + 1 admet un maximum au point x = 0
a. ¡% Vrai ; b. ¡% Faux
La fonction f ( x ) = x3 + x admet elle des maxima et des minima ?
a. ¡% Oui ; b. ¡% Non
Combien de minima la fonction f ( x ) = sin (x) admet-elle dans l intervalle
[ 0, 3 À ] ?
a. ¡% 1 ; b. ¡% 2 ; c. ¡% 3
Réponses Clés :
La dérivée de la fonction f(x) = 3x2 2x + 1
La dérivée de f (x) = xn sécrit EMBED Equation.DSMT4
Si on applique cette formule on doit obtenir : f ( x ) = 6x 2
La bonne réponse est b.
Si vous avez coché les cases a. et c, vous avez certainement oublié la formule de la dérivée
La dérivée de la fonction f ( x ) = 1/ (x + 1) :
La formule à utiliser est :
Si f(x) = EMBED Equation.DSMT4 , alors EMBED Equation.DSMT4
En particulier, si u = 1 et v = x+1 , alors EMBED Equation.DSMT4
La réponse exacte est donc b.
3. La dérivée de la fonction f(x) = 1/ ( x2 2x + 1 ) :
Notons que la fonction peut aussi sécrire : EMBED Equation.DSMT4
Donc sa dérivée est : EMBED Equation.DSMT4
La réponse correcte est b.
Si vous avez raté cette question, vous devrez vous exercer sur les dérivées
La dérivée de la fonction f(x) = tan(x) :
On applique toujours la formule donnée dans la question 2. Le résultat exact est
EMBED Equation.DSMT4
La réponse correcte est b.
La primitive de la fonction f(x) = 3x3 + 2x2 x + 1 :
Pour chaque terme du polynôme, on applique la formule :
EMBED Equation.DSMT4 .
Doù : EMBED Equation.DSMT4
Le résultat exact est b.
6. La primitive de la fonction f ( x ) = 1/ x :
EMBED Equation.DSMT4
Cest lune des primitives des fonctions élémentaires quil faut retenir.
La réponse exacte est b.
La primitive de la fonction ln ( x)
Il faut effectuer lopération suivante :
EMBED Equation.DSMT4
en utilisant la technique de lintégrale par partie : EMBED Equation.DSMT4
On identifie : u = ln (x) et dv = dx , il vient : v = x et du = dx / x
Par conséquent : EMBED Equation.DSMT4
La réponse correcte est a.
8. La primitive f(x) = 3 cos( 2 x )
Il faut se rappeler les primitives des fonctions trigonométriques.
Comme précédemment, on doit effectuer : EMBED Equation.DSMT4
On effectue dabord un changement de variable en posant u = a x :
EMBED Equation.DSMT4
Finalement, on obtient : EMBED Equation.DSMT4
La réponse correcte est b.
La limite de la fonction f (x ) = 2 x 3 3x + 1 quand x tend vers 1:
Il sagit dune fonction continue EMBED Equation.DSMT4 x , donc la limite sobtient en remplaçant x par 1 dans lexpression de f(x) :
EMBED Equation.DSMT4
La réponse exacte est b.
La limite de la fonction f (x ) = cos (x)/ x quand x tend vers zéro :
Rappelons que cos (0) = 1, donc EMBED Equation.DSMT4 , le zéro au dénominateur signifie que la fonction nest pas définie pour x = 0 .
Par contre, on peut dire que : EMBED Equation.DSMT4
La bonne réponse est c.
La limite de la fonction f (x ) = sin (x)/ x quand x tend vers zéro
Si on remplace x par 0 dans f(x), on obtient : EMBED Equation.DSMT4 ;
Le résultat nest pas défini .
Toutefois, la fonction sinus peut être représentée par une série entière de la forme :
EMBED Equation.DSMT4
Donc :
EMBED Equation.DSMT4
Daprès cette expression : EMBED Equation.DSMT4
La bonne réponse est b.
La limite de la f (x ) = ex / x quand x tend vers zéro :
On remplace x par 0 dans f ( x ) : EMBED Equation.DSMT4
Le choix c. est correct.
La limite de la fonction f (x ) = tan ( x ) quand x tend vers (À/2) + 0
Rappelons que : EMBED Equation.DSMT4
Comme cos (À/2) = 0 et que sin (À/2) = 1, on a : EMBED Equation.DSMT4
Donc la fonction tan(x) n est pas définie quand x = À/2 .
EMBED Equation.DSMT4 , selon que x = À/2 + 0 ou x = À/2 - 0
cest-à-dire que :
EMBED Equation.DSMT4 , cest la limite à gauche
EMBED Equation.DSMT4 , cest la limite à droite
Cela devient clair, si vous tracez la courbe tan (x) en fonction de x, car le graphe montre que la fonction tangente admet effectivement des asymptotes aux abscisses : x = À (2k+1)/2, pour k = 0,1,2,& .
La bonne réponse est b.
15. La fonction f ( x ) = 2 x2 + 1 admet un maximum au point x = 0
Rappelons qu une fonction f( x ) admet un maximum ou un minimum en certaines abscisses xk si sa dérivée s annule en ces points. Par conséquent, il faut calculer la dérivée de cette fonction et vérifier si elle peut sannuler :
f ( x ) = 4 x
Cette dérivée est nulle si x = 0, la fonction admet donc un extremum au point
x = 0.
Pour savoir si cet extremum est un maximum ou un minimum, on doit vérifier le signe de la dérivée seconde de f(x ), cest-à-dire le signe de f ( x )
Dans le cas présent, f (x) = 4 , donc elle est positive ; ce qui signifie que lextremum est un maximum.
La bonne réponse est donc a.
Vous devez tracer cette fonction pour vérifier le résultat
16. La fonction f ( x ) = x3 + x admet elle des maxima et des minima ?
Il faut commencer par calculer la dérivée de f ( x ) : f ( x ) = 3x2 + 1
Cette fonction ne peut pas sannuler donc elle nadmet pas des maxima.
La bonne réponse est donc b.
Les minima la fonction f ( x ) = sin (x) dans lintervalle [ 0, 3 À ] ?
Calculons la dérivée de f(x ) : f ( x) = cos ( x ),
et cos (x) = 0 pour xk = À (2k+1)/2
Donc la fonction f ( x ) admet des extrema aux points.
xo = À /2 , x1 = 3À /2, x2 = 5À /2, x3 = 7 À /2, & ..
De plus , EMBED Equation.DSMT4
La fonction admet donc 2 maxima et un minimum dans l intervalle [ 0, 3 À ]
La bonne réponse est a.
COMMENTAIRES PEDAGOGIQUES POUR LES APPRENANTS (ES)
Vous avez plus de 75 %, votre intérêt pour les mathématiques est évident, Je vous encourage à persévérer dans le travail puisque je suis persuadé que nous ferons ensemble de bon travail. Vous verrez que létude des mathématiques est un domaine très passionnant.
Vous avez entre 50 % et 75 %, votre résultat est très encourageant, les mathématiques ne vous est pas inconnue. Nous aurons beaucoup de travail à faire tout au long de ce parcours. Je peux vous assurer que cest un domaine très passionnant que vous avez choisi. Alors Bon courage.
Vous avez entre 35 % et 50 %, bien sûr ce nest pas parfait. Mais vous avez vraiment la volonté de réussir dans ce domaine il me semble. Cest cette volonté dont nous aurons besoin. Je ne vous le cache pas, le domaine que vous avez choisi est très passionnant, mais il demande beaucoup de travail. Pour commencer, il y a un certain nombre de rattrapages que vous devez faire. Cest à ce prix que nous pourrons réussir.
Vous avez moins de 35 %, vous aurez de gros efforts à faire, puisquen plus du module vous devez revoir vos précédents cours de mathématiques.
10. ACTIVITES DAPPRENTISSAGE
ACTIVITE DAPPRENTISSAGE # 1
TITRE DE LACTIVITÉ : Eléments danalyse et les séries
TEMPS DE LAPPRENTISSAGE : 30H
Consigne : Pour cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du très bon travail, vous pouvez continuer.
Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez relire les lectures proposées et refaire lactivité.
Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon travail, mais vous devez faire des efforts pour la suite.
OBJECTIFS SPÉCIFIQUES
A lissue de cette activité, lapprenant(e) doit être capable de :
Rappeler la continuité dune fonction à une variable réelle
Rappeler la dérivabilité dune fonction à une variable réelle
Calculer des intégrales simples
Rappeler les tests de convergence dune série numérique
Rappeler le développement en série dune fonction (Taylor, Maclaurin)
Rappeler la série de Fourier
RÉSUMÉ DE L ACTIVITE :
Cette activité traite les éléments essentiels de lanalyse en complément des pré-acquis de lapprenant(e), à savoir la dérivée dune fonction de fonction, la condition de dérivabilité dune fonction, la continuité dune fonction et lexistence des extrema. En outre, des exercices sont conçus pour rappeler les tests de convergence dune série.
LECTURES OBLIGATOIRES :
RASOANAIVO, R-Y. ( 2006). Eléments dAnalyse I. Ecole Normale Supérieure, Université dAntananarivo, Madagascar
RASOANAIVO, R-Y. (2006). Eléments dAnalyse II. Ecole Normale Supérieure, Université dAntananarivo, Madagascar
RESSOURCES MULTIMEDIA : Microsoft Excel
LIENS UTILES : MITOPENCOURSEWARE. : HYPERLINK "http://ocw.mit.edu/" http://ocw.mit.edu/
Les-Mathematiques.net : HYPERLINK "http://www.les-mathematique;net/" http://www.les-mathematique;net
Openlearninginitiative : HYPERLINK "http://www.cmu.edu/oli/courses/" http://www.cmu.edu/oli/courses/
DESCRIPTION DE LACTIVITÉ :
Cette activité comporte trois exercices traitant des sujets permettant de consolider les acquis dun(e) apprenant(e) dans le domaine danalyse, avant dentamer la suite du programme de ce module. Les trois exercices proposés ci après sont judicieusement choisis pour que lapprenant révise ses acquis et ensuite aborde des nouveaux sujets.
EVALUATION FORMATIVE :
Les 8 exercices, dont 7 sont donnés sous forme de QCM, doivent être traités obligatoirement en cochant la (ou les) bonnes réponses, et sur papier, dans lordre
Les six premiers exercices comptent pour 10% des points, les 2 derniers comptent pour 20% chacun.
Exercice 1 :
La valeur de la dérivée de la fonction sin( x2 1 ) au point x = 1 est égale à :
a. ¡% 1 ; b. ¡% 0 ; c. ¡% 2
Exercice 2 :
On considère la fonction f(x) = 1/(1 + x2)
¡% la fonction est dérivable au point x = 1
¡% la fonction n est pas dérivable au point x = - 1
¡% la fonction est continue au point x = 1
¡% la fonction n admet pas des extrema
Exercice 3 :
Soit la fonction : EMBED Equation.DSMT4
1. Le nombre de maxima est égal à : a. ¡% 0 ; b. ¡% 1 ; c. ¡% 2
2. Le nombre de minima est égal à : a. ¡% 0 ; b. ¡% 1 ; c. ¡% 2
Exercice 4 :
Soit la fonction : EMBED Equation.DSMT4
a. ¡% EMBED Equation.DSMT4 ; b. ¡% EMBED Equation.DSMT4
c. ¡% EMBED Equation.DSMT4 ; d. ¡% EMBED Equation.DSMT4
e. ¡% EMBED Equation.DSMT4 ; f. ¡% EMBED Equation.DSMT4
g. ¡% EMBED Equation.DSMT4 ; h ¡% EMBED Equation.DSMT4
Exercice 5 :
La série de terme général Wn = 2n / n ! est
a. ¡% convergente ; b. ¡% divergente ; c. ¡% ni convergente , ni divergente
Exercice 6 :
L intervalle de convergence de la série EMBED Equation.DSMT4 est :
a. ¡% [ -1 , 1[ ; b. ¡% ] 1 , 1 [ ; c. ¡% ] 1 , 1 ] ; d. ¡% [ 1 , 1 ]
Exercice 7 :
La valeur de l intégrale EMBED Equation.DSMT4 est égale à :
a. ¡% À/2 ; b. ¡% - À/2 : c. ¡% À
Exercice 8 :
Développer en série de Fourier :
EMBED Equation.DSMT4
ACTIVITÉS DAPPRENTISSAGE :
- Chaque apprenant(e) doit préalablement lire le cours sur lanalyse et les séries avant de faire ces exercices.
- Le tuteur les organisera en groupe pour un travail collaboratif.
- Ils discutent en chat les différents points quils ou elles nauraient pas compris sous la supervision du tuteur.
- Quand le tuteur jugera que les apprenant(e)s ont un niveau de compréhension satisfaisant des lectures, alors ils/elles pourront commencer à résoudre les exercices.
- Tous les groupes traitent le même exercice en même temps sous la supervision du tuteur qui fixera la durée.
- Chaque groupe cherche en son sein un rapporteur qui mettra les noms de tous les membres du groupe sur le compte rendu de lexercice avant de lenvoyer par émail en fichier attaché au professeur titulaire du cours.
REPONSES CLES
Exercice 1 :
La dérivée dune fonction de fonction apparaît fréquemment dans les problèmes de physique. Cet exercice donne un exemple.
La formule à utiliser est la suivante :
EMBED Equation.DSMT4
Dans ce cas, u( x ) = x2 - 1
Il vient donc : EMBED Equation.DSMT4
Doù : EMBED Equation.DSMT4
Pour x = 1 , on a EMBED Equation.DSMT4
La bonne réponse est donc le choix c.
Exercice 2 :
Les conditions de dérivabilité et de la continuité dune fonction en un point sont importantes quand on manipule des fonctions. Cet exercice donne loccasion à un(e) apprenant(e) à consolider ses acquis .
La fonction considérée ici est : EMBED Equation.DSMT4
Il sagit dune fonction définie pour tout x appartenant à R .
Sa dérivée est : EMBED Equation.DSMT4
Pour obtenir les bonnes réponses, il faut se rappeler de la condition de dérivabilité, la condition de continuité, et la condition de lexistence des extrema :
Une fonction f( x ) est continue au point x = xo, EMBED Equation.DSMT4
Dans le cas présent , nous avons :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Ce qui signifie que :
la fonction est continue et dérivable en labscisse x = 1
la fonction admet un extrémum en labscisse x = 0 car la dérivée sannule en cette abscisse
Ces résultats montrent que les bonnes réponses sont : a. et c.
Exercice 3 :
La dérivée de la fonction EMBED Equation.DSMT4 sécrit EMBED Equation.DSMT4
Elle admet deux racines : EMBED Equation.DSMT4
Donc, f ( x ) admet deux extrema. Pour se renseigner sur ces extrema, on peut par exemple dresser un tableau de variation :
x- " 1/3 1 "f (x) + 0 - 0 +
Ce tableau indique les signes de la dérivée :
f (x) 0 ailleurs
Rappelons que : f(x) est croissante dans la région où f ( x ) > 0
f (x ) est décroissante dans la région où f ( x ) 0, alors EMBED Equation.DSMT4
Limite à gauche :
posons 1- x = µ > 0 , alors EMBED Equation.DSMT4
Donc les choix f. et g. sont corrects
Exercice 5.
Cet exercice concerne les tests de convergence d une série. L apprenant doit se rappeler des tests développés dans le cours. Dans ce cas particulier , le terme général est :
EMBED Equation.DSMT4
Appliquons le test de D Alembert :
EMBED Equation.DSMT4
Donc, puisque la limite obtenue est inférieure à lunité, la série est convergente.
La bonne réponse est le choix a.
Exercice 6 :
Lintervalle de convergence de la série EMBED Equation.DSMT4 :
Appliquons le test de DAlembert :
EMBED Equation.DSMT4
Donc la série converge si | x | < 1
De plus, notons que :
EMBED Equation.DSMT4
On peut démontrer facilement que S(1) est une série divergente, par contre S(-1) est convergente.
Ce qui signifie finalement que lintervalle de convergence de S( x ) est [ -1 , 1[
La bonne réponse est le choix a.
Exercice 7 :
La valeur de lintégrale EMBED Equation.DSMT4
Effectuons un changement de variable en posant : x = tan ( ¸ )
Alors :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
quand x = 0, ¸ = 0 ; et quand x = " , ¸ = À/2
L intégrale devient : EMBED Equation.DSMT4
La bonne réponse est le choix a.
Exercice 8 :
Développement en série de Fourier de : EMBED Equation.DSMT4
Ecrivons :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Donc, finalement on obtient :
Auto évaluation
Les apprenant(e)s consigneront les difficultés rencontrées et les erreurs commises pendant la recherche de solution des exercices afin de pouvoir les éviter plus tard. Ils/Elles pourront revoir les parties du cours quils nont pas bien comprises et préparer lévaluation sommative.
Guide de lenseignant(e)
Le/la Professeur corrigera les productions des groupes. Il/elle dépose la correction dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction est accompagnée dun feedback adéquat. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 20% de lévaluation finale du module.
ACTIVITE DAPPRENTISSSAGE # 2 :
TITRE DE LACTIVITE : Différentiation : dérivée partielle, dérivée dune fonction de
fonction, dérivée totale. Intégrales curvilignes. Intégrales doubles. Théorème de Green
TEMPS DE LAPPRENTISSAGE : 30 H
Consigne : Pour cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du très bon travail, vous pouvez continuer.
Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez relire les lectures proposées et refaire lactivité.
Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon travail, mais vous devez faire des efforts pour la suite.
OBJECTIFS SPÉCIFIQUES
A lissue de cette activité, lapprenant(e) doit être capable de :
Déterminer la dérivée partielle dune fonction à deux variables réelles
Déterminer la dérivée totale dune fonction à deux variables réelles
Calculer la valeur dune intégrale curviligne suivant une courbe non fermée
Calculer la valeur dune intégrale double sur une région bien déterminée
RÉSUMÉ DE LACTIVITE :
Cette activité traite les calculs des dérivées totales ou exactes, lévaluation dune intégrale curviligne le long de deux courbes non fermées différentes reliant deux points A et B mais de nature différente, et finalement lévaluation dune intégrale double sur une région géométrique bien déterminée.
LECTURE OBLIGATOIRE :
RASOANAIVO, R. Y. ( 2006). Eléments dAnalyse II, Ecole Normale Supérieure, Université dAntananarivo, Madagascar. Cours inédit
RESSOURCES MULTIMEDIA : Microsoft Excel ; Maxima
LIENS UTILES : MITOPENCOURSEWARE. : HYPERLINK "http://ocw.mit.edu/" http://ocw.mit.edu/
Les-Mathematiques.net : HYPERLINK "http://www.les-mathematique;net/" http://www.les-mathematique;net
Openlearninginitiative : HYPERLINK "http://www.cmu.edu/oli/courses/" http://www.cmu.edu/oli/courses/
DESCRIPTION DE LACTIVITÉ :
Lactivité consiste, dabord, à évaluer les connaissances de lapprenant sur les calculs des dérivées partielles et les dérivées exactes (Exercice 1) et ensuite à permettre à lapprenant de mettre en uvre ses connaissances dans les calculs dune intégrale curviligne le long dune courbe (Exercice 2). Finalement, lapprenant (e) va traiter un exercice sur lévaluation dune intégrale double (Exercice 3)
EVALUATION FORMATIVE :
Les 04 exercices sont donnés sous forme de QCM. Lapprenant doit les traiter obligatoirement en cochant la (ou les) bonnes réponses, et dans lordre.
Les quatre exercices comptent pour 25% des points chacun.
Exercice 1 :
Déterminer la différentiel total de la fonction u(x,y) donnée ci-dessous :
.u(x,y) = ex cos (y)
¡% du = ex cos(y) dx + ex sin(y) dy
¡% du = ex cos(y) dx - ex sin(y) dy
¡% du = ex sin(y) dx - ex cos (y) dy
1.2 .u(x,y) = ln (x2 + y2)
¡% du = EMBED Equation.DSMT4 dx + EMBED Equation.DSMT4 dy
¡% du = EMBED Equation.DSMT4 dx + EMBED Equation.DSMT4 dy
¡% du = EMBED Equation.DSMT4 dx - EMBED Equation.DSMT4 dy
Exercice 2 :
On donne une fonction à deux variables u( x,y) telle que du = 2y dx + 2x dy
On se propose de déterminer l expression de u(x,y). Choisir la bonne réponse parmi celles proposées ci-dessous
a. ¡% u = xy ; b. ¡% u = 2xy ; c. ¡% u = 2(x+y)
On se propose de calculer la valeur de lintégrale : EMBED Equation.3 , où C est l une des courbes non fermées représentées dans la figure ci-dessous :
C est un arc de cercle de centre O et de rayon égal à lunité ( en bleu ).
Choisir la bonne réponse parmi celles proposées ci-dessous
a. ¡% I = 0 ; b. ¡% I = 1 ; c. ¡% I = À
2.2 C est un segment de droite reliant deux points A (1,0) et B(0,1)
Choisir la bonne réponse parmi celles proposées ci-dessous
a. ¡% I = 2 / 3 ; b. ¡% I = 0 ; c. ¡% I = 1/ 4
Exercice 3 :
Soit l intégrale curviligne : EMBED Equation.DSMT4
Où :
( C ) est un chemin suivant lequel l intégrale doit être effectuée
EMBED Equation.DSMT4 est le déplacement élémentaire sur ( C )
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 sont des vecteurs unitaires portés respectivement par les axes Ox et Oy dun repère cartésien Oxy.
Si ( C ) est donnée par les segments droites joignant les points A(1,1), Q(3,1) et B(3,3), la valeur de lintégrale est :
a. ¡% I = 10 ; b. ¡% I = 2 ; c. ¡% I = 12
Exercice 4 :
On se propose d évaluer l intégrale double suivante :
EMBED Equation.DSMT4
4.1 La nature géométrique de la région d intégration est :
¡% une surface rectangulaire
¡% une surface triangulaire
¡% une surface d un cercle de rayon égal à l unité
La valeur de l intégrale est égale à :
a. ¡% 11/ 3 ; b. ¡% 14 / 3 ; c. ¡% 5 / 3
ACTIVITÉS D APPRENTISSAGE :
- Chaque apprenant(e) doit préalablement lire le cours sur la méthode numérique avant de faire les exercices.
- Le tuteur les organisera en groupe pour un travail collaboratif.
- Ils discutent en chat les différents points quils ou elles nauraient pas compris sous la supervision du tuteur.
- Quand le tuteur jugera que les apprenant(e) ont un niveau de compréhension satisfaisant des lectures, alors ils pourront commencer à résoudre les exercices.
- Tous les groupes traitent le même exercice en même temps sous la supervision du tuteur qui fixera la durée.
- Chaque groupe cherche en son sein un rapporteur qui mettra les noms de tous les membres du groupe sur le compte rendu de lexercice avant de lenvoyer par émail en fichier attaché au professeur titulaire du cours.
REPONSES CLES
Exercice 1 :
Cet exercice comporte des calculs des dérivées partielles de deux fonctions élémentaires à deux variables réelles, à savoir le cosinus, le logarithme et lexponentiel.
En effet, dune manière générale, le différentiel total dune fonction u(x,y) sécrit :
EMBED Equation.DSMT4
Par conséquent, pour obtenir la bonne réponse il faut savoir calculer les dérivées partielles et, surtout, se rappeler des dérivées des fonctions logarithme, cosinus et exponentielle
Si u(x,y) = ex cos (y ) , on doit obtenir :
EMBED Equation.DSMT4
Si u(x,y) = ln ( x2 + y2 ) , on doit obtenir :
EMBED Equation.DSMT4
Ainsi, les bonnes réponses sont : b. dans 1.1 et a. dans 1.2
Lapprenant(e) qui na pas trouvé ces réponses devrait réviser les sections sur les dérivées dans le cours ou dans les autres ressources pertinentes..
Exercice 2 :
Cet exercice traite essentiellement un exemple de calcul dune intégrale curviligne. Lintégrale est, en fait, une différentielle exacte, donc le résultat doit être indépendant de la courbe reliant deux points préalablement définis.
1. Dans un premier temps, dans la première question, on demande à lapprenant(e) didentifier la fonction u(x,y) à partir de lexpression de sa dérivée exacte. Pour obtenir la bonne réponse, il faut faire lidentification :
EMBED Equation.DSMT4
A partir de ces deux équations, on peut tirer : u(x,y) = 2xy
La bonne réponse est donc b.
2. Cet exercice mobilise une habilité exceptionnelle chez lapprenant( e ).
Il faut établir dabord une équation paramétrique de la courbe en question et utiliser le résultat pour exprimer le différentie du en fonction du paramètre considéré.
1. Considérons lintégration sur la courbe C. donnée par un demi-cercle de rayon égal à l unité :
L équation paramétrique de C est : x = cos ( ¸ ) et y = sin ( ¸ ), ¸ [ 0, À / 2 ]
D où : dx = - sin ( ¸ ) d ¸ et dy = cos ( ¸ ) d ¸
On en déduit : d u = (cos 2 ( ¸ ) - sin 2 ( ¸ ) ) d ¸
et EMBED Equation.DSMT4
2. Considérons l intégration sur la courbe C donnée par un segment de droite reliant A et B :
L équation paramétrique de la droite est : x = t et y = - t + 1 , où t [ 0, 1 ]
D où : d u = ( - 2t + 1) d t
Il vient :
EMBED Equation.DSMT4
Finalement, les bonnes réponses sont : a. dans la question 1. et b. dans la question 2.
Exercice 3 :
Evaluation de lintégrale curviligne : EMBED Equation.DSMT4
Où :
( C ) est un chemin suivant lequel lintégrale doit être effectuée
EMBED Equation.DSMT4 est le déplacement élémentaire sur ( C )
EMBED Equation.DSMT4
Calculons lintégrante : EMBED Equation.DSMT4
Donc, lintégrale devient : I = I1 + I2 , tel que :
EMBED Equation.DSMT4
Dans lintégrale I1 , dx = 0 sur le segment QB et y = 1 sur AQ, donc :
EMBED Equation.DSMT4
Dans lintégrale I2 , dy = 0 sur le segment AC et x = 3 sur QB, donc :
EMBED Equation.DSMT4
Finalement , on a : I = I1 + I2 = 2 + 10 = 12
La bonne réponse est les choix c.
Exercice 4 :
On se propose dévaluer lintégrale double suivante :
EMBED Equation.DSMT4
4.1 La nature géométrique de la région dintégration est :
¡% une surface rectangulaire
¡% une surface triangulaire
¡% une surface d un cercle de rayon égal à l unité
La valeur de l intégrale est égale à :
a. ¡% 11/ 3 ; b. ¡% 14 / 3 ; c. ¡% 5 / 3
Auto évaluation
Les apprenant(e)s consigneront les difficultés rencontrées et les erreurs commises pendant la recherche de solution des exercices afin de pouvoir les éviter plutard. Ils/Elles pourront revoir les parties du cours quils nont pas bien comprises et préparer lévaluation sommative.
Guide de lenseignant(e)
Le/la Professeur corrigera les productions des groupes. Il /elle dépose la correction dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction est accompagnée dun feedback adéquat. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 20% de lévaluation finale du module.
ACTIVITE DAPPRENTISSAGE # 3
TITRE DE LACTIVITE : Calculs numériques : évaluations dune somme finie et dune somme infinie, évaluation dune intégrale
TEMPS DE LAPPRENTISSAGE : 30 H
Consigne : Pour cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du très bon travail, vous pouvez continuer.
Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez relire les lectures proposées et refaire lactivité.
Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon travail, mais vous devez faire des efforts pour la suite.
OBJECTIFS SPÉCIFIQUES :
A lissue de cette activité, lapprenant doit être capable de :
Appliquer les principes fondamentaux des calculs numériques
Utiliser la méthode ditération
Identifier les sources derreur dans un calcul numérique
Estimer lerreur commise dans une approximation
Interpréter un algorithme dun calcul numérique
Calculer numériquement une somme finie et une somme infinie
Identifier les sources derreur des intégrations numériques
appliquer la formule de trapèze
appliquer les formules de Simpson
identifier la formule adéquate pour des cas divers.
RÉSUMÉ :
Cette activité traite lévaluation numérique dune intégrale. Des éléments essentiels sont particulièrement développés à savoir : la méthode ditération, lestimation dune erreur de troncation, et létude des algorithmes fréquemment utilisés pour évaluer numériquement une intégrale (la formule de trapèze et les formules de Simpson ).
LECTURE OBLIGATOIRE :
RASOANAIVO, R. Y. ( 2006). Méthodes Numériques. Ecole Normale Supérieure, Université dAntananarivo, Madagascar.
RESSOURCES MULTIMEDIA : Microsoft Excel , Maxima
LIENS UTILES : MITOPENCOURSEWARE : HYPERLINK "http://ocw.mit.edu/" http://ocw.mit.edu/
Les-Mathematiques.net : HYPERLINK "http://www.les-mathematique;net/" http://www.les-mathematique;net
Openlearninginitiative : HYPERLINK "http://www.cmu.edu/oli/courses/" http://www.cmu.edu/oli/courses/
DESCRIPTION DE LACTIVITÉ :
Lactivité consiste, dabord, à évaluer les connaissances de lapprenant sur les principes fondamentaux des calculs numériques, et ensuite à permettre à lapprenant de les mettre en uvre dans les calculs numériques dune intégrale définie. Des exercices simples sont ainsi proposés pour, dune part, mesurer le niveau de compréhension de lapprenant ( Exercice 1 et Exercice 2 ) et, dautre part, mettre en pratique les connaissances acquises ( Exercice 3 ).
EVALUATION FORMATIVE :
Les apprenant(e)s font obligatoirement tous les exercices en travail collaboratif. La note du groupe est commune aux différents membres du groupe. Lexercice 1 compte pour 45% des points et lexercice 2 pour 30% des points et lexercice 3 pour 25% des points
Lapprenant doit cocher la (ou les) bonne réponse.
Exercice 1 :
Léquation x2 2x 3 = 0 admet une racine positive et une racine négative.
Laquelle des deux formules d itération suivantes conduit à la racine positive ?
a. ¡% EMBED Equation.DSMT4 ; b. ¡% EMBED Equation.DSMT4
Exercice 2 :
On se propose d intégrer la fonction y(x), dont les valeurs numériques sont données dans le tableau ci-dessous, x variant 1. à 2.5 :
x 1.1 1.5 1.9 2.3 y 1.6 5.2 6.3 4. 8
Le résultat des calculs basés sur la formule de trapèze est :
a.¡% 11,07 ; b. ¡% 5,88 ; c. ¡% 7,19
Exercice 3 :
Le tableau suivant donne les valeurs numériques dune fonction y(x) :
x1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8y1.54 1.66 1.81 1.97 2.15 2.35 2.57 2.88 3.11
Calculer lintégrale :
EMBED Equation.DSMT4
en utilisant la formule de Simpson 1/3 .
ACTIVITÉS DAPPRENTISSAGE :
- Les apprenant(e)s doivent lire les lectures appropriées avant de faire les exercices.
- Le tuteur les organisera en groupe pour un travail collaboratif.
- Ils discutent en chat les différents points quils ou elles nauraient pas compris sous la supervision du tuteur.
- Quand le tuteur jugera que les apprenant(e)s ont un niveau de compréhension satisfaisant des lectures, alors ils pourront commencer à résoudre les exercices.
- Tous les groupes traitent le même exercice en même temps sous la supervision du tuteur qui fixera la durée.
- Chaque groupe cherche en son sein un rapporteur qui mettra les noms de tous les membres du groupe sur le compte rendu de lexercice avant de lenvoyer par e-mail en fichier attaché au professeur titulaire du cours.
RÉPONSES CLÉS :
Exercice 1 :
Cet exercice constitue un exemple de la méthode ditération fréquemment utilisée dans les calculs numériques. Il sagit détudier un algorithme permettant de déterminer les racines dune fonction f(x). Léquation en question est x2 2x 3 = 0
Pour répondre à la question posée, on doit effectuer les calculs .
Prenons : EMBED Equation.DSMT4 , n = 0,1,2,
.. et x0 = 1
N 1 2 3 4 xn2.2360 2.7334 2.9098 2.9697
Prenons : EMBED Equation.DSMT4 , n = 0, 1, 2,
.. et x0 = 1
N 1 2 3 4 xn-3 -0.6 -1.1538 -0.9512
Ces résultats montrent que cest la première formule qui donne la racine positive qui est ici égale à 3 .
Par conséquent, le choix a. est correct
Exercice 2 :
Rappelons que la formule de trapèze :
I = (h/2) [ y1 + 2 ( y2 + y3 +
..+ yn-1 ) + yn ]
h étant le pas dintégration
Dans le tableau ci-dessous, h = 0,4
I = (0,4/2) [ 1,6 + 2 ( 5,2+6,3 ) + 4,8 ] = 5,88
La bonne réponse est donc le choix b.
Exercice 3 :
Le tableau suivant donne les valeurs numériques dune fonction y(x) :
x1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8y1.54 1.66 1.81 1.97 2.15 2.35 2.57 2.88 3.11
Calculer lintégrale :
EMBED Equation.DSMT4
en utilisant la formule de Simpson 1/3 .
Lorsquon doit effectuer lintégration dune fonction connue pour quelques points seulement, il faut toujours commencer par analyser le tableau de valeurs, et particulièrement vérifier si les abscisses ou les points de base sont équidistants et, ensuite, compter le nombre dintervalles. La méthode à utiliser dépend du résultat de cette analyse préliminaire. La formule de Simpson 1/3 est applicable dans ce cas car on a un nombre pair dintervalles
Rappelons la formule de Simpson 1/3 :
I = (h/3) [[ y1 + 4 ( y2 + y3 +
..+ yn-1 ) + yn ]
Dans ce cas , le pas dintégrale h = 0,1.
Si on remplace les valeurs des yi correctement on devrait obtenir I = 1,7714
Auto évaluation
Les apprenant(e)s consigneront les difficultés rencontrées et les erreurs commises pendant la recherche de solution des exercices afin de pouvoir les éviter plus tard. Ils/Elles pourront revoir les parties du cours quils nont pas bien comprises et préparer lévaluation sommative.
Guide de lenseignant(e)
Le/la Professeur corrigera les productions des groupes. Il/Elle déposera la correction dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction sera accompagnée dun feedback adéquat centré sur les erreurs commises par les apprenant(e)s. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 20% de lévaluation finale du module.
ACTIVITE DAPPRENTISSAGE 4
TITRE DE LACTIVITE : Déterminant : propriétés et évaluation. Algèbre matricielle.
Résolution dun système déquations
TEMPS DE LAPPRENTISSAGE : 30 H
Consigne : Pour cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du très bon travail, vous pouvez continuer.
Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez relire les lectures proposées et refaire lactivité.
Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon travail, mais vous devez faire des efforts pour la suite.
OBJECTIFS SPÉCIFIQUES :
Lapprenant(e) doit être capable de :
Rappeler les opérations matricielles
Calculer le déterminant dune matrice
Calculer linverse dune matrice
Résoudre un système déquations linéaires
RÉSUMÉ :
Cette activité comporte trois exercices liés à la résolution dun système déquations linéaires non homogènes. En effet, la maîtrise des opérations matricielles et la connaissance des propriétés du déterminant dune matrice sont indispensables lorsquon doit déterminer les solutions dun système déquations. Les deux premiers exercices traitent respectivement quelques opérations matricielles, et des calculs de déterminant pour savoir si une matrice est inversible ou non. Le dernier exercice proposé ici est une application des connaissances acquises.
LECTURE OBLIGATOIRE :
RASOANAIVO, R.-Y. ( 2006). Eléments dalgèbre linéaire, Ecole Normale Supérieure, Université dAntananarivo, Madagascar
RESSOURCES MULTIMEDIA : Microsoft Excel ; Mathematica
LIENS UTILES : MITOPEN COURSEWARE : HYPERLINK "http://ocw.mit.edu/" http://ocw.mit.edu/
Les-Mathematiques.net : HYPERLINK "http://www.les-mathematique;net/" http://www.les-mathematique;net
Openlearninginitiative : HYPERLINK "http://www.cmu.edu/oli/courses/" http://www.cmu.edu/oli/courses/
DESCRIPTION DE LACTIVITÉ :
Cette activité comporte des exercices sous forme de QCM. Dans la plupart des cas, lapprenant(e) est obligé deffectuer des calculs sur papier. Dans un premier temps, lapprenant(e) doit effectuer des opérations matricielles et se rendre compte que certaines opérations ne sont pas possibles (Exercice 1). Ensuite, il/elle va effectuer des calculs de déterminant et den déduire la relation avec linversion dune matrice (Exercice 2). Finalement, lapprenant va sexercer à la résolution dun système déquations linéaires.
EVALUATION FORMATIVE :
Les apprenant(e)s font obligatoirement tous les exercices en travail collaboratif. La note du groupe est commune aux différents membres du groupe. Lexercice 1 compte pour 40% des points et lexercice 2 pour 30% des points et lexercice 3 pour 30% des points
Exercice 1 :
On considère les matrices suivantes :
EMBED Equation.3
1. Quelles sont les opérations qui peuvent seffectuer :
a. ¡%. A B ; b. ¡% B BT ; c. ¡% A BT ; d. ¡% BT A ; e. ¡% BA
On se donne une matrice B = A + AT et une matrice C = A - AT .
a. ¡% B est symétrique ; b. ¡% B est antisymétrique ;
c. ¡% C est symétrique ; d. ¡% C est antisymétrique
Exercice 2 :
On considère les deux matrices A et B suivantes :
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.DSMT4
a. ¡% A est inversible ; b. ¡% A n est pas inversible
c. ¡% B est inversible ; d. ¡% B n est pas inversible
Exercice 3 :
Résoudre le système d équations non homogènes suivant :
EMBED Equation.DSMT4
1. Le déterminant est égal à :
a. ¡% 5 b. ¡% 7 c. ¡% 11
2. Les solutions sont :
a. ¡% x = 5, y = 3 ; b. ¡% x = 13/7, y = 3 ; c. ¡% x = 3 , y = 5
ACTIVITES DAPPRENTISSAGE
- Les apprenant(e)s doivent lire les lectures appropriées avant de faire les exercices.
- Le tuteur les organisera en groupe pour un travail collaboratif.
- Ils/elles discutent en chat les différents points quils ou elles nauraient pas compris sous la supervision du tuteur.
- Quand le tuteur jugera que les apprenant(e)s ont un niveau de compréhension satisfaisant des lectures, alors ils pourront commencer à résoudre les exercices.
- Tous les groupes traitent le même exercice en même temps sous la supervision du tuteur qui fixera la durée.
- Chaque groupe cherche en son sein un rapporteur qui mettra les noms de tous les membres du groupe sur le compte rendu de lexercice avant de lenvoyer par émail en fichier attaché au professeur titulaire du cours.
REPONSES CLES
Exercice 1 :
Cet exercice permet de tester si lapprenant maîtrise les opérations matricielles.
Le produit de deux matrices nest possible que si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième. Pour obtenir la bonne réponse, lapprenant doit vérifier si cette règle est respectée. Donc, les réponses a, b. et d. sont correctes, par contre, les réponses c. et e. sont fausses.
Le produit AB est possible car :
A est une matrice 3 x 3 : 3 lignes et 3 colonnes
B est une matrice 3 x 2 : 3 lignes et 2 colonnes.
Le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B
Le produit BA nest pas possible car B a 2 colonnes ce qui est différent du nombre de lignes de A qui est égal à 3
Pour obtenir la bonne réponse, lapprenant (e) doit se rappeler de la définition dune matrice symétrique et celle dune matrice antisymétrique :
Les réponses a. et d. sont correctes car :
B = ( A + At ) est symétrique par contre C = (A At ) est antisymétrique
Exercice 2 :
Lexercice demande à lapprenant( e ) de calculer les déterminants de ces deux matrices, car une matrice dont le déterminant est nul nadmet pas une inverse.
Après un calcul sur papier, lapprenant(e) doit constater que :
Le déterminant de A est égal à -13, qui est donc différent de zéro
Le déterminant de B est égal à zéro
En fait, on devrait constater, sans faire de calcul, que les deux dernières lignes de la matrice de B sont proportionnelles, par conséquent son déterminant doit être nul.
Les bonnes réponses sont donc les choix a. et d.
Exercice 3 :
Cet exercice donne loccasion à lapprenant (e) dappliquer ses connaissances en résolvant un système de deux équations. Pour déterminer les valeurs de x et y qui satisfont ces deux équations, l apprenant(e) doit se rappeler de la procédure développée dans le cours qui consiste à calculer d abord le déterminant et ensuite utiliser les formules ci-dessous pour x et y:
EMBED Equation.DSMT4
Ce qui donne : = 7 , x = 5 et y = 3
La bonne réponse est donc le choix a.
Auto évaluation
Les apprenant(e)s consigneront les difficultés rencontrées et les erreurs commises pendant la recherche de solution des exercices afin de pouvoir les éviter plutard. Ils/Elles pourront revoir les parties du cours quils nont pas bien comprises et préparer lévaluation sommative.
Guide de lenseignant(e)
Le/la Professeur corrigera les productions des groupes. Il/Elle déposera la correction dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction sera accompagnée dun feedback adéquat centré sur les erreurs commises par les apprenants. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 20% de lévaluation finale du module.
11. LISTE COMPILEE DES MOTS CLES DU MODULE
1. SERIES
En physique, il arrive souvent dadditionner un certain nombre de termes ou une « série » de termes. Une série peut avoir soit un nombre fini de termes, soit un nombre infini de termes. Dans le dernier cas, on a une « série infinie ».
Notons quune série peut être utilisée pour représenter soit une constante soit une fonction f(x). Pour ce dernier cas, on parle dune « série entière ».
2. CONVERGENCE
La convergence dune série est liée au fait que la somme des termes de la série donne une valeur finie stable lorsquon atteint un nombre important de termes dans la série ; sinon, on dit que la série « diverge ».
3. DÉRIVÉE PARTIELLE
On rencontre souvent en physique une fonction qui dépend de plusieurs variables. Par exemple, en thermodynamique la température T peut dépendre à la fois de la pression P et du volume V. Si on veut connaître la variation de la température en fonction de la pression, on doit calculer la dérivée de T en fonction de P, sans toucher à V. Cette situation mène à la « dérivée partielle de T par rapport à P », V est considéré constant dans cette opération. On écrit :
EMBED Equation.DSMT4
4. DIFFÉRENTIELLE TOTALE
La différentielle totale dune fonction à plusieurs variables réelles est le changement infinitésimal de la fonction lorsque chacune de ses variables subit un changement infinitésimal. Exemple :
EMBED Equation.DSMT4
La notation df(x,y) représente le différentiel exact de la fonction f(x,y)
5. DIFFERENTIELLE EXACTE
La différentielle totale dune fonction est dite « exacte » si la condition suivante est satisfaite:
EMBED Equation.DSMT4
6. INTÉGRALE DÉFINIE
Une intégrale est dite « définie » quand les bornes dintégration sont spécifiées; sinon on parle dune intégrale « indéfinie ». Le résultat dune intégrale définie correspond à la valeur de la surface au dessous de la courbe considérée.
7. INTÉGRALE CURVILIGNE
Lintégrale curviligne est une opération dintégration qui seffectue le long dune courbe. Exemple :
EMBED Equation.DSMT4
( i ) : intégration suivant une courbe non fermée ( C )
( ii ) : intégration suivant une courbe fermée ( C )
8. MATRICE
Une matrice est un tableau de valeurs contenant n lignes et m colonnes,notée généralement par n x m
On peut distinguer plusieurs sortes de matrices :
Matrice carrée : le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes, n x n
Matrice colonne : le nombre de colonnes est égal à 1, n x 1
Matrice ligne : le nombre de lignes est égal à 1, 1 x m
9. FONCTION APPROXIMANTE
En physique, les résultats des expériences effectuées au laboratoire sont souvent des valeurs numériques de la grandeur mesurée, Y, en fonction dun certain paramètre x. Linterprétation dun tel résultat exige parfois la connaissance de la corrélation entre Y et x. En méthode numérique, la procédure consiste à chercher une fonction F pour « approximer » la grandeur Y . La fonction ainsi définie sappelle « Fonction approximante ».
10. POINTS DE BASE
Ce sont les valeurs discrètes, xi , du paramètre x duquel dépend une grandeur physique Y mesurée au laboratoire ( cf : Fonction approximante ). Le couple ( Yi , xi ) définit un point dans un repère Oxy
12. LISTE COMPILEE DES LECTURES OBLIGATOIRES
Lecture #1 :
Référence complète : RASOANAIVO, R-Y. (2006). Eléments dAnalyse I. Ecole Normale Supérieure, Université dAntananarivo, Madagascar
Résumé :
Le cours contient des chapitres traitant des éléments de mathématique dont certains sont déjà connus par les apprenants et les apprenantes à savoir la limite dune fonction à une variable réelle, la continuité dune fonction et les calculs différentiels. En particulier, les notions de différentiel total et de différentiel exact y sont introduites. Des discussions basées sur des exemples bien choisis permettent dapprofondir ces éléments danalyse.
Justification : Cette lecture permet de consolider les pré-acquis des apprenant(e)s. Elle donne des informations permettant de résoudre certains exercices du module
Lecture #2 :
Référence complète : RASOANAIVO, R.-Y. ( 2006). Eléments dAnalyse II. Ecole Normale Supérieure, Université dAntananarivo, Madagascar
Résumé :
Ce cours est consacré à létude des séries : séries entières, série de Taylor, série de MacLaurin et série de Fourier. Les différents tests de convergence sont largement expliqués, comme le test de DAlembert, le test de Gauss, etc
Les applications sont illustrées par des exercices résolus.
Justification : Cette lecture permet aux apprenants davoir des connaissances approfondies des outils mathématiques souvent utilisés dans le domaine scientifique
Lecture # 3 :
Référence complète : RASOANAIVO, R.-Y. ( 2006). Eléments dAlgèbre Linéaire. Ecole Normale Supérieure, Université dAntananarivo, Madagascar
Résumé :
Ce cours expose les différentes propriétés des matrices et explique les opérations matricielles : laddition et le produit des deux matrices. De plus, les calculs de déterminant sont illustrés par des exemples. Ces outils serviront à la résolution dun système déquations linéaires qui fera lobjet du dernier chapitre.
Justification : Cette lecture renseigne lapprenant(e) sur quelques éléments dalgèbre qui sont indispensables pour la résolution de beaucoup dexercices du module. En ce sens sa lecture est incontournable.
Lecture # 4 :
Référence complète : RASOANAIVO, R. Y.( 2006). Méthodes numériques. Ecole Normale Supérieure, Université dAntananarivo, Madagascar
Résumé :
Ce cours traite des éléments de méthodes numériques en commençant par la méthode ditération, suivie par les méthodes dévaluation numérique dune somme finie et dune somme infinie. De plus, le dernier chapitre expose quelques techniques dévaluation numérique dune intégrale : méthode de trapèze et méthodes de Simpson.
Justification : Les éléments développés dans ce cours sont nécessaires pour résoudre certains exercices de lévaluation sommative du module. Sa lecture par les apprenant(e)s savère dés lors nécessaire.
13. LISTE COMPILEE DES RESSOURCES MULTIMEDIA
Ressource complète #1 : Microsoft ® Excel 2000
Description
Cest un logiciel conçu et élaboré par les ingénieurs de Microsoft Corporation, qui permet non seulement deffectuer des calculs statistiques, mais surtout de tracer des courbes représentant des fonctions numériques ou des fonctions dexpressions analytiques connues. Le logiciel, grâce aux plusieurs fonctions intégrées, est un outil dapprentissage efficace, disponible dans tous les ordinateurs qui fonctionnent sous Windows, et, finalement, facile à manipuler.
Justification : Représentation graphique des fonctions.
Ressource complète #2 : Maxima
Description
Maxima est un logiciel libre et gratuit de calcul formel descendant sous licence GPL du package Macsyma. Ce logiciel est téléchargeable directement en ouvrant ( voir lien # 6)
Justification
Maxima permet deffectuer des calculs aussi bien analytiques que numériques. Donc cest un outil dapprentissage indispensable pour les apprenant(e)s
14. LISTE COMPILEE DES LES LIENS UTILES
Lien utile # 1 :
Titre : WEBMATHS
URL : HYPERLINK "http://www.webmaths.com/" www.Webmaths.com/
Capture écran
Description :
Ce site est libre et offre des cours des mathématiques dalgèbre et danalyse en ligne qui peuvent être consultés, voire téléchargés gratuitement. En outre, le site met à la disposition un forum par lequel les apprenant(e)s peuvent échanger.
Justification :
Ce site permet aux apprenant(e)s non seulement détoffer leurs cours mais surtout de se mettre en contact avec dautres étudiant(e)s dans le monde et de discuter avec eux/elles sur des problèmes de mathématiques à laide du Forum Lien utile # 2 :
Titre Les-mathematiques.net :
URL : HYPERLINK "http://www.les-mathematiques.net/" http://www.les-mathematiques.net/
Capture écran
Description :
Ce site est libre, et offre aux mathématicien(ne)s de communiquer à laide dun forum. Des cours sont offerts et téléchargeables, et des liens utiles sont aussi suggérés.
Justification :
Le site offre une occasion particulière aux apprenant(e)s de suivre lévolution des mathématiques, en participant au forum ou, au moins, en lisant les articles écrits par des divers enseignant(e)s. Les liens utiles suggérés dans ce site permettent aux apprenant(e)s de mettre à jour leurs documents.
Lien utile # 3 :
Titre : MITOPENCOURSEWARE :
URL : HYPERLINK "http://ocw.mit.edu/" http://ocw.mit.edu
Capture écran
Description :
Ce site est libre et fournit une liste de cours de mathématiques élaborés par des imminents professeurs de MIT aux USA, qui sont téléchargeables gratuitement. Les apprenant(e)s peuvent choisir le thème quils ou elles veulent consulter.
Justification :
Les compléments des cours sont toujours nécessaires pour les apprenant(e)s pour les raisons suivantes : dune part, ils ou elles liront dautres approches ou dautres explications venant dautres enseignant(e)s ; dautre part, ils ou elles auront loccasion dapprofondir les notions contenues dans le module
Lien utile # 4 :
Titre : Openlearninginitiative :
URL : HYPERLINK "http://www.cmu.edu/oli/courses/" http://www.cmu.edu/oli/courses/
Capture écran
Description :
Ce site est libre et fournit une liste de cours de mathématiques élaborés à Carnégie Mellon, qui sont téléchargeables gratuitement. Les apprenant(e)s peuvent choisir le thème quils ou elles veulent consulter.
Justification :
Ce site offre des cours sur divers domaines : mathématiques, chimie, statistique, biologie, etc
qui pourront servir des ressources en ligne pour les apprenants et apprenantes.
Lien utile # 5
Titre : Le portail des mathématiques. Nombres, grandeurs et formes
URL : HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/Portail;Math%C3%A9matiques" http://fr.wikipedia.org/Portail;Math%C3%A9matiques
Capture décran
Description:
Wikipedia est un site dune encyclopédie libre et ouvert à tout le monde, ayant une panoplie darticles scientifiques que les apprenants et les apprenantes peuvent consulter.
Justification :
Le portail mathématique mène dans un monde de mathématiques où les apprenant(e)s peuvent trouver des articles ou des cours qui les intéressent, comme le montre le tableau ci-dessous.
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Nuvola_apps_kwin4.png" \o "Arithmétique" INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Nuvola_apps_kwin4.png/32px-Nuvola_apps_kwin4.png" \* MERGEFORMATINET
Général HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Nuvola_apps_kig.png" \o "Géométrie" INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Nuvola_apps_kig.png/32px-Nuvola_apps_kig.png" \* MERGEFORMATINET
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Analyse HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9maticiens_c%C3%A9l%C3%A8bres" \o "Mathématiciens célèbres" Mathématiciens célèbres
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HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" \o "Équation aux dérivées partielles" Équation aux dérivées partielles HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Nuvola_apps_edu_mathematics.png" \o "Algèbre" INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Nuvola_apps_edu_mathematics.png/32px-Nuvola_apps_edu_mathematics.png" \* MERGEFORMATINET
Algèbre HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Nuvola_apps_kchart.png" \o "Statistiques" INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Nuvola_apps_kchart.png/32px-Nuvola_apps_kchart.png" \* MERGEFORMATINET
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Probabilit%C3%A9s_et_Statistiques" \o "Portail:Probabilités et Statistiques" Statistiques et probabilités HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Pi-CM.svg" \o "Théorie des nombres" INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Pi-CM.svg/32px-Pi-CM.svg.png" \* MERGEFORMATINET
Théorie des nombres HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre" \o "Algèbre" Algèbre
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_abstraite" \o "Algèbre abstraite" Algèbre abstraite
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" \o "Algèbre linéaire" Algèbre linéaire
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_multilin%C3%A9aire" \o "Algèbre multilinéaire" Algèbre multilinéaire
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_tensorielle" \o "Algèbre tensorielle" Algèbre tensorielle
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles" \o "Théorie des ensembles" Théorie des ensembles
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" \o "Théorie de Galois" Théorie de Galois ( HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes" \o "Théorie des groupes" théorie des groupes)
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_commutative" \o "Algèbre commutative" Algèbre commutative ( HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_anneaux" \o "Théorie des anneaux" théorie des anneaux) HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Statistiques" \o "Statistiques" Statistiques
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Probabilit%C3%A9s_et_Statistiques" \o "Portail:Probabilités et Statistiques" Le portail des statistiques et des probabilités
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89cart_type" \o "Écart type" Écart type
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne" \o "Moyenne" Moyenne
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9s" \o "Probabilités" Probabilités
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Probabilit%C3%A9s_et_Statistiques" \o "Portail:Probabilités et Statistiques" Le portail des statistiques et des probabilités
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_probabilit%C3%A9s" \o "Théorie des probabilités" Théorie des probabilités
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_probabilit%C3%A9" \o "Loi de probabilité" Loi de probabilité HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres" \o "Théorie des nombres" Théorie des nombres
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_analytique_des_nombres" \o "Théorie analytique des nombres" Théorie analytique des nombres
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_mati%C3%A8res_de_la_th%C3%A9orie_des_nombres" \o "Liste des matières de la théorie des nombres" Liste des matières de la théorie des nombres
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique" \o "Arithmétique" Arithmétique
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_modulaire" \o "Arithmétique modulaire" Arithmétique modulaire
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre" \o "Nombre" Nombre
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_corps_de_classes" \o "Théorie des corps de classes" Théorie des corps de classes
HYPERLINK "http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctions_L" \o "Fonctions L" La théorie des fonctions L
Lien utile # 6
Titre : Maxima
URL : HYPERLINK "http://michel.gosse.free.fr/telechargement/index.htlm" http://michel.gosse.free.fr/telechargement/index.htlm
Capture décran
SHAPE \* MERGEFORMAT
Description
Cest un logiciel libre et gratuit à plusieurs versions : version Linux et version Window, dont la taille est de lordre de 9 Mo , donc le téléchargement ne devrait pas poser de problèmes particuliers.
Justification
Téléchargé ce logiciel peut aider les apprenant(e)s à résorber les difficultés rencontrées dans certaines opérations mathématiques
15. SYNTHESE DU MODULE
Ce module est conçu pour des futurs enseignant(e)s de physique dans le secondaire. Le contenu est composé des quatre unités, à savoir « Eléments dAnalyse et Séries », « Calcul différentiel et Intégration », « Méthodes Numériques » et « Algèbre linéaire », répondant aux objectifs généraux préalablement fixé tels que « consolider les pré acquis », « maîtriser les outils indispensables pour suivre les cours de physique durant sa formation » et, finalement, « enseigner des disciplines scientifiques dans le secondaire ».
A chaque unité correspond une activité dapprentissage dans laquelle lapprenant (e) met en uvre ses connaissances acquises dans le cadre dune évaluation formative, cest-à-dire:
Un(e) apprenant (e) doit préalablement lire le cours sur lunité avant de faire les exercices.
Le tuteur organise un travail collaboratif pour quil y ait des échanges entre les apprenants et les apprenantes.
Des ressources pertinentes et des liens utiles sont mis à la disposition des apprenants et des apprenantes.
Les apprenants et les apprenantes sont tenus à répondre obligatoirement aux questions posées en se conformant aux consignes.
Des réponses clés sont fournies à lintention des apprenants et des apprenantes.
Lunité, intitulée « Eléments dAnalyse et Séries », comprend les notions de limite et de continuité dune fonction à une variable réelle, les intégrales définies et indéfinies, les séries et les tests de convergence, et, finalement, le développement en séries dune fonction réelle (séries de Taylor et de MacLaurin). Certains de ces éléments mathématiques sont déjà connus par les apprenants et les apprenantes, mais on les a approfondit pour étoffer leurs connaissances et renforcer leurs compétences.
Lunité, intitulée « Calcul différentiel et Intégration », introduit les apprenants et les apprenantes à des nouveaux outils mathématiques. Lactivité dapprentissage est concentrée sur les calculs des dérivées partielles, les calculs des intégrales curvilignes et les intégrales doubles.
Lunité, intitulée « Méthodes numériques », touche un domaine mathématique important pour des futurs scientifiques. Les apprenants et les apprenantes ont loccasion dinterpréter des valeurs numériques, destimer des erreurs dues aux approximations et de manipuler des algorithmes. En particulier, les évaluations numériques dune somme finie et dune somme infinie font intervenir systématiquement les méthodes ditération très utilisées en calculs numériques. De plus, les évaluations numériques des intégrales donnent des exemples intéressants dalgorithmes, comme la formule de trapèze et la formule de Simpson.
Finalement, lunité, intitulée «Algèbre linéaire», concerne les calculs matriciels, le calcul du déterminant dune matrice et, enfin, la résolution dun système déquations linéaires. Effectivement, beaucoup de problèmes de physique débouchent à un système déquations linéaires. Les méthodes classiques sont expliquées, en particulier, la méthode délimination de Gauss et lutilisation de linverse dune matrice.
Les explications du contenu de ce module sont développées dans des ouvrages spécialement conçus pour ce module. Dautres cours pertinents se trouvent dans des sites ouverts listés dans la rubrique « Liens utiles ». Les apprenants et les apprenantes doivent les consulter aussi.
16. Evaluation sommative
Lapprenant (e) doit cocher la bonne réponse pour les questions à choix multiples.
1. Soit : EMBED Equation.DSMT4
a. ¡% L = 0 ; b. ¡% L = 1 ; c. ¡% L = ½
2. Soit : EMBED Equation.DSMT4
a. ¡% L = -2 ; b. ¡% L = e-2 ; c. ¡% L = ln(2)
3. La dérivée n ème de f(x) = sin(x) s écrit f(n) (x) = sin (x + n À/2)
a. ¡% Vrai ; b. ¡% faux ;
4. Soit :
EMBED Equation.DSMT4
La série est absolument convergente pour :
a. ¡% EMBED Equation.DSMT4 ; b. ¡% EMBED Equation.DSMT4 ; c. ¡% EMBED Equation.DSMT4 ; d. ¡% EMBED Equation.DSMT4 ;
e. ¡% EMBED Equation.DSMT4
5. Soit :
EMBED Equation.DSMT4
Le rayon de convergence R de la série représentative de f(x) est :
a. ¡% R = 1/2 ; b. ¡% R=1 ; c. ¡% R=2
6. On considère :
EMBED Equation.DSMT4
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[Pour suivre et comprendre ce module : physique mathématique 1, lapprenant(e) doit maîtriser les notions suivantes
Concept de fonction : fonction réelle à une variable ; fonctions élémentaires
Dérivée dune fonction ; techniques de dérivation
Limite dune fonction
Représentation graphique dune fonction
Primitives ; intégrales définies ; techniques dintégration
Le module comprend 4 unités dapprentissage réparties dans le temps comme suit
1. Eléments dAnalyse et Séries : 30 H
2. Dérivation et Intégration : 30 H
3. Méthodes Numériques : 30 H
4. Algèbre linéaire : 30 H
Intégrale curviligne et théorème de Green
EMBED PBrush
Evaluation numérique
dune somme finie et dune somme infinie
Représentations dune fonction :
Séries de Taylor et de MacLaurin, Série de Fourier
Opérations sur une fonction à deux variables réelles :
dérivées partielles, différentielle totale, intégrale double
Opérations sur une fonction à une variable réelle :
dérivées, primitive, intégrale définie
Etude analytique dune fonction à une variable réelle :
limite et continuité
EMBED PBrush
EMBED Equation.DSMT4
y
O
x
C
A
B
EMBED Equation.DSMT4
EMBED PBrush
Evaluation numérique dune intégrale :
Méthode des trapèzes, Méthodes de Simpson
Algèbre matricielle :
somme, produit, déterminant, inverse
Méthodes de résolution dun système déquations linéaires:
Formule de Cramer, Décomposition LU, Méthode de la matrice inverse
