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Exercice 1: étude expérimentale de dipôles électriques

EQUATIONS DIFFERENTIELLES. I) EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS LINÉAIRES: y'.a(x) + y.b(x) = c(x). Equations linéaires par rapport à y et à ses dérivées ...




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uation.DSMT4 = 4,0.10–3 A = 4,0 mA.
Pour t2 = 9 ms, uC(t2) = E = 4,0 V donc : i(t2) =  EMBED Equation.DSMT4 = 0 A.
Allure du graphe i(t) : l’intensité décroît exponentiellement de 4,0 mA jusqu’à tendre vers 0 A.







Dipôle « résistance et bobine en série »

2.1. Loi d’Ohm (convention récepteur) : uR’(t) = R’.i(t). La tension uR’(t) est proportionnelle à l’intensité i(t) qui circule dans le circuit après la fermeture de l’interrupteur K. Connaissant les valeurs de uR’(t) et la valeur de R’ (R’ = 10 () on peut faire calculer à l’ordinateur les valeurs de l’intensité : i(t) =  EMBED Equation.DSMT4 .
2.2. On observe le retard de l’établissement du courant i(t) dans le circuit. La bobine est la cause de ce retard.

2.3. Loi d’additivité des tensions : E = uL(t) + uR’(t)
en notant uL(t) la tension aux bornes de la bobine.
Or : uL(t) = r.i(t) + L. EMBED Equation.DSMT4 
Et d’après la loi d’Ohm : uR’(t) = R’.i(t)
Donc : E = r.i(t) + L. EMBED Equation.DSMT4  + R’.i(t)
Finalement : E = L. EMBED Equation.DSMT4  + (R’ + r).i(t)

2.4. En régime permanent, i(t) = IP = Cte donc  EMBED Equation.DSMT4  = 0. L’équation différentielle devient :
E = (r + R’).Ip

2.5. E = r.IP + R’.IP
E – R’.IP = r.IP
r =  EMBED Equation.DSMT4 
r =  EMBED Equation.DSMT4 = 3,8 (





Dipôle « bobine et condensateur en série »

Lorsque l’interrupteur est en position 1, il se produit la charge du condensateur. La constante de temps (( = R.C) est très faible car il n’y a pas de résistance dans le circuit de charge et que la résistance des fils est quasi-nulle. Ainsi la charge du condensateur est instantanée.

3.2. La décharge du condensateur dans la bobine met en évidence des oscillations électriques libres et amorties.

Energie électrique accumulée dans le condensateur : Ee(t ) = ½.C.uC²(t)
Energie magnétique accumulée dans la bobine : Em(t ) = ½.L.i²(t)

Avec la convention du schéma : i(t) =  EMBED Equation.DSMT4  et q(t) = C.uC(t) donc i(t) =  EMBED Equation.DSMT4 , il vient avec C constante: i(t) = C. EMBED Equation.DSMT4 .

3.4.1. Initialement le condensateur est chargé donc uC(0) = E’ ( 0 V ainsi Ee(0 ) = ½.C.E² ( 0 J.
La courbe a est associée à Ee puisqu’elle ne passe pas par l’origine.

Initialement aucun courant ne circule dans le circuit donc i(0) = 0 A ainsi Em(0 ) = 0 J.
La courbe b est associée à Em puisqu’elle passe par l’origine.


3.4.2. Graphiquement :
Ee(t1) = 0 µJ, Ee(t2) = 2,7 µJ
Em(t1) = 4,5 µJ , Em(t2) = 0 µJ

Pour le condensateur : (Ee = Ee(t2) – Ee(t1) = 2,7 – 0 = 2,7 µJ
Pour la bobine : (Em = Em(t2) – Em(t1) = 0 – 4,5 = – 4,5 µJ

Entre ces deux dates, la bobine cède plus d’énergie que n’en reçoit le condensateur.

3.4.3. L’énergie totale du circuit est : ET(t) = Ee(t) + Em(t)
pour t1 : ET(t1) = Ee(t1) + Em(t1) = 0+ 4,5 = 4,5 µJ
pour t2 : ET(t2) = Ee(t2) + Em(t2) = 2,7 + 0 = 2,7 µJ
Ainsi l’énergie totale du circuit diminue au cours du temps.
Cette évolution est due à la dissipation d’énergie sous forme de chaleur, due à l’effet Joule, dans la résistance r de la bobine.
Voie 1

Voie 2

Régime transitoire

Régime permanent


Ee

Em

( = 1,00 ms

uc(() = 2,5 V

Pour t = ( , uC(() = 0,63 x E = 0,63 x 4,00 = 2,52 V ( 2,5 V
Méthode :
on trace la droite uc(() = 2,5 V
cette droite coupe le graphe uC(t) en un point d’abscisse égale à (.

i(mA)

t(ms)

0

4,0

9

uL

IP = 290 mA

t2=2,0 ms

t1=0,50 ms

Em(t1)=4,5 µJ

Ee(t2)=2,7 µJ





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