Td corrigé Modélisation de systèmes linéaires - Physique-appliquee.net pdf

Modélisation de systèmes linéaires - Physique-appliquee.net

Système dont les grandeurs caractéristiques sont liées par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. figure 1. formule 1. exemple d' équation différentielle d'un système linéaire. Les paramètres a1, a0, b2, b1 et b0 sont constants (ils ne varient pas avec le temps) et dépendent des éléments internes du ...




part of the document



e

Les paramètres a1, a0, b2, b1 et b0 sont constants (ils ne varient pas avec le temps) et dépendent des éléments internes du système.
L’ordre du système est défini par l’ordre de dérivé le plus haut.
1.2 Système linéaire du premier ordre
Exercice 1 : quadripôle RC
 figure 2

1. Trouver la relation entre s(t), e(t), R et C.
2. Montrer que l’on peut mettre l’équation différentielle sous la forme canonique :

Forme canonique d’un système linéaire du premier ordre EMBED Equation.3 

tð est la constante de temps du système (s).formule 2
1.3 Système linéaire du second ordre
Exercice 2 : quadripôle RLC
 figure 3
1. Montrer que  EMBED Equation.3  formule 3
2. On pose  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  formules 4 et 5
Mettre l équation différentielle sous sa forme canonique.

Forme canonique d un système linéaire du second ordre EMBED Equation.3 

wð0 est la pulsation propre du système (rad.s-1).
m est le coefficient d amortissement (ss dim.).formule 62. Comportement dynamique d’un système linéaire
2.1 Généralités
Si on modifie l’entrée d’un système, ce dernier va réagir. La sortie va varier en passant d’abord par une phase transitoire puis par une phase d’équilibre.
Exemple
Entrée
ou commande
ou consignefigure 4Sortie Elle s’adapte plus ou moins vite à la nouvelle valeur d’entrée.figure 5Selon que le système soit du premier ou second ordre, le régime transitoire est différent.
On peut caractériser un système linéaire et déterminer son ordre sans qu’il soit nécessaire d’établir les équations différentielles.
Pour cela on choisit un signal d’entrée particulier, appelé excitation, servant à tester ou à modéliser le système.
Une excitation typique est l’échelon tel qu’il est représenté en figure 4. Le signal e(t) passe subitement de 0 à une valeur non nulle. On parle aussi de saut d’indice.
La réponse de s(t) à un échelon s’appelle une réponse indicielle.
2.2 Réponse indicielle d’un système d’ordre 1
Equation différentielle : voir la formule 2.
Conditions initiales : s(0) = 0 ; e(0-) = 0 ; e(0+) = X".
Solution :
 EMBED Equation.3 formule 7Allure :
 figure 6
Relevés graphiques :
 figure 7

La solution la plus précise pour relever la constante de temps consiste à relever l intervalle de temps mis par le signal s(t) pour passer de 10% à 90% de sa valeur maximum.
tð : constante de temps (s) EMBED Equation.3 formule 82.3 Réponse indicielle d un système d ordre 2
Equation différentielle : voir la formule 6.
Conditions initiales : s(0) = 0 ; e(0-) = 0 ; e(0+) = X".
Solutions :
Il existe trois solutions différentes selon la valeur du facteur d amortissement m.
m > 1  le système possède un régime de fonctionnement apériodique amorti.
 figure 8

m = 1  le système possède un régime de fonctionnement apériodique critique.
 figure 9

m < 1 – le système possède un régime de fonctionnement oscillatoire amorti.
 figure 10

Comment distinguer un système du second ordre en régime apériodique d’un système du premier ordre ?
 figure 11
La tangente à l’origine de la réponse d’un système du second ordre est horizontale. Ce n’est pas le cas pour la réponse d’un système du premier ordre.

2.4 Retard pur
Dans cette situation s = e mais avec un retard t0 .
s(t) = e( t - t0 )formule 9
 figure 12
Relevés graphiques.
 figure 13
On estime que le régime permanent est établi lorsque le signal ne dépasse plus ± 5% de sa valeur finale.
3. Transformation de Laplace
3.1 Introduction
La manipulation d’équations différentielles peut devenir très vite laborieuse.
La transformation de Laplace permet de résoudre plus facilement les équations d’un système car dans le domaine de Laplace les dérivées et les intégrales deviennent des produits et des fractions.
La résolution du système revient alors à trouver les racines d’un polynôme.

 EMBED Equation.3  est la variable complexeformule 10Dérivation
formule 11Intégration
formule 12Echelon de tension
formule 13Voir le cours de mathématique pour plus d’informations.

3.2 Fonction de transfert de Laplace d’un système du premier ordre
Exercice
On poseformules 141. Ecrire l’équation de Laplace correspondante à l’équation différentielle  EMBED Equation.3 .
2. En déduire la fonction de transfert ou transmittance du système :
 EMBED Equation.3 formule 153. Remplacer  EMBED Equation.3 par son expression (formule 11) et exprimer  EMBED Equation.3 .
3.3 Fonction de transfert de Laplace d’un système du second ordre
Exercice
1. Ecrire l’équation de Laplace correspondante à l’équation différentielle :
 EMBED Equation.3 
2. En déduire la fonction de transfert du système :  EMBED Equation.3 
4. Nécessité des systèmes en boucle fermée.
4.1 Insuffisance des systèmes en boucle ouverte
Exemple
A partir d’une commande en tension ve, on souhaite contrôler la vitesse de rotation WðS d un moteur à courant continu selon la relation  EMBED Equation.3 . Ce contrôle se fait par l intermédiaire de la tension d alimentation Ua.

figure 14
Plusieurs phénomènes vont perturber le système : frottement, pertes par effet joule, …
Par exemple si la charge entraînée par le moteur varie, du fait des pertes par effet joule la vitesse de rotation va légèrement varier sans que la commande ve change.

Le système en boucle ouverte manque donc de fidélité ou de précision.
4.2 Système en boucle fermé
On réalise un système en boucle fermée en soustrayant de la grandeur de commande vc une grandeur vWð qui dépend de la grandeur de sortie.
Le système est décrit par un schéma bloc.

figure 15
Le système en boucle fermée permet de limiter les influences des perturbations.
Supposons en effet que, la grandeur de commande vc étant constante, une perturbation provoque une diminution de la vitesse de sortie Wðs.
La chaîne de retour fait alors apparaître une diminution de la grandeur de retour vWð.
La grandeur d entrée va donc augmenter et la vitesse également. Elle va augmenter jusqu à ce que la tension  EMBED Equation.3  s’annule.
Remarquer que ce résultat est obtenu sans qu’il soit nécessaire de connaître l’origine de la perturbation.
4.3 Précision des systèmes bouclés.
La tension ve étant la différence de deux grandeurs qui tendent à s’équilibrer, elle va être très petite. Pour avoir une bonne précision il faudra donc l’amplifier suffisamment.
Précision : un système est dit précis si la sortie suit l'entrée en toutes circonstances. Elle est donnée par la valeur de l'erreur (ou de l'écart) , par rapport à des entrées données, une fois le régime transitoire passé.
Parmi les critères de précision, on peut distinguer :
Ecart : c'est la différence entre la valeur souhaitée et la valeur effectivement obtenue.
Rapidité : un système a une rapidité satisfaisante s'il se stabilise a son niveau constant en un temps jugé satisfaisant. Elle caractérise la facilité du système à suivre des variations rapides de la consigne. Elle est liée à la bande passante du système.

Temps de réponse : c'est le temps mis pour atteindre 95 % de la valeur finale sans s'en écarter de plus de 5 %.
4.4 Stabilité des systèmes bouclés.
Si la commande varie d’un grand écart et rapidement, cette variation va être autant plus importante que l’amplification (c’est-à-dire la précision) de ve est grande. Si le moteur a une forte inertie, il va réagir avec un certain retard et aura du mal à se stabiliser à la valeur de la consigne. La vitesse va alors dépasser la vitesse de consigne qui va réagir.
La vitesse du moteur va osciller avant de se stabiliser.
Stabilité : un système est stable si pour une entrée constante e(t), la sortie du système s(t) tend vers une constante. C'est la caractéristique la plus impérative. Quelles que soient les perturbations, il faut garantir la stabilité avec une marge de sécurité.

Précision et stabilité sont deux exigences contradictoires. 4.4 Exemples pour un système d’ordre 2
Système précis mais peu stable
m 1



figure 17Système stable et plus rapide mais manque de précision
m=1



figure 18Compromis entre stabilité, précision et rapidité
m = 0,707



figure 194.5 Correction d’un système asservi
A partir de la fonction de transfert d’un système on en déduit sa dynamique et sa stabilité.
Si le système asservi présente des caractéristiques trop médiocres et ne répond pas au cahier des charges, on va insérer dans la chaîne directe des filtres ou correcteurs.
Les trois actions de correction possibles sont la proportionnelle P, l’intégrale I et la dérivée D. Le correcteur physiquement utilisé permet d’agir sur les trois actions à la fois. On parle de correcteur PID.
Le correcteur va permettre d’intervenir sur la précision, le temps de réponse et la stabilité du système en boucle fermée.
figure 20
4.6 Equation fondamental d’un système en bouclés
figure 21On cherche la transmittance complexe :  EMBED Equation.3 
Le schéma bloc permet d’écrire :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  formules 16
 EMBED Equation.3 
Ce qui permet de trouver  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 

Fonction de transfert en boucle fermée FTBF. EMBED Equation.3 formule 17 4.7 Equation fondamentale du système en boucle ouverte
L’étude en boucle ouverte permet de déterminer la stabilité du système.
figure 22On cherche la transmittance complexe :  EMBED Equation.3 
Le schéma bloc permet d’écrire :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  formules 18
 EMBED Equation.3 
Ce qui permet de trouver  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 

Fonction de transfert en boucle ouverte FTBO. EMBED Equation.3 formule 19 5. Asservissement de vitesse d’un moteur à courant continu
 HYPERLINK "http://hebergement.ac-poitiers.fr/l-cc-angouleme/coulomb-exos-phy/exos_t/regu_n/" http://hebergement.ac-poitiers.fr/l-cc-angouleme/coulomb-exos-phy/exos_t/regu_n/

6. Structure d’un régulateur
6.1 Vocabulaire
Asservissement : c’est le fait qu’un système électromécanique doit suivre le plus fidèlement une consigne. Il existe des asservissements de vitesse, de position, etc.
Régulation : c’est le fait de rendre un système le moins sensible aux perturbations.
6.2 Régulateur tout ou rien à comparateur ou trigger
C’est la régulation la plus simple. Selon le signe de ve – vs, la commande e est à 0 ou 1. C’est-à-dire que le système est en marche ou à l’arrêt.


6.2 Régulateur tout ou rien à comparateur ou trigger
Dans ce cas, c’est selon l’écart ve – vs, la commande e est à 0 ou 1. C’est-à-dire que le système est en marche ou à l’arrêt. Cet écart peut être réglé.

Dans ces deux cas, la sortie oscille en permanence autour de la valeur de consigne. Ce type de régulation ne possède pas de réglage et ne peut fonctionner que sur des systèmes lents tels que la régulation de température.
6.3 Régulateur à action proportionnelle, intégrale et dérivée (PID)

Sources :
Equipements de puissance ; Henry Ney, Noël Morel ; Nathan Technique ; 2000

STS CIM Physique appliquée : module 6
Modélisation, commande et contrôle de systèmes linéaires

© Claude Divoux, avril 2005  PAGE 12/ NUMPAGES 13


 :