Td corrigé resolution des equations differentielles - Phychim pdf

resolution des equations differentielles - Phychim

Dans ce TD, vous allez découvrir, à partir d'un exemple, une procédure de résolution de l'équation différentielle, pas à pas ?. II/ La méthode d'Euler : Il s' agit de résoudre numériquement une équation différentielle par la méthode d' EULER (mathématicien suisse du XVIIIième siècle), et de comparer la solution numérique ...




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TD : Méthode d'Euler



I/ Problème :
On est souvent amené en classe de Terminale S, en électricité, en radioactivité (voir à la rentrée) ou en mécanique, par exemple, à MODELISER un phénomène et par la suite à comparer (d'où l'écart relatif …) un résultat expérimental avec ce modèle. Nombreux sont les modèles qui débouchent sur la résolution d'une équation différentielle.
De nombreux logiciels de saisies et de traitement de données résolvent graphiquement les équations différentielles et permettent la superposition d'une courbe expérimentale avec la résolution graphique de l'équation différentielle.
Dans ce TD, vous allez découvrir, à partir d’un exemple, une procédure de résolution de l'équation différentielle, pas à pas ….

II/ La méthode d'Euler :
Il s'agit de résoudre numériquement une équation différentielle par la méthode d' EULER (mathématicien suisse du XVIIIième siècle), et de comparer la solution numérique trouvée avec la solution analytique, déterminée grâce aux Mathématiques.

1/ Principe :
On choisit de traiter, comme exemple, la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension (ici, la charge d'un condensateur ) qui conduit à l'équation différentielle suivante (cf cours) :

u + R.C.  EMBED Equation.3 = E

avec R, la résistance du circuit, C la capacité du condensateur, u la tension aux bornes du condensateur et E l'échelon de tension.
On donne E = 6,00 V ; R = 1,00 kWð ; C = 10,0 mðF.

Plutôt que de rechercher l'expression mathématique de la fonction u = f(t) , on essaie de résoudre numériquement l'équation différentielle : on cherche donc à obtenir les valeurs approchées de cette fonction à des intervalles de temps (t considérés "petits" ce qui nous permettra, ainsi, d’en déduire la représentation graphique u = f(t).

Remarques :
L'intervalle de temps (t est petit ; on précisera dans la suite de ce TD dans quelle mesure il peut être considéré comme petit ...
(t porte le nom de « pas » de la méthode et doit être constant tout au long des calculs effectués. On montrera également dans ce TD, l'influence du pas de calcul sur la pertinence de la solution.


2/ Méthode et résolution :

2.1 / Méthode :
A une date t donnée, on assimile la valeur de  EMBED Equation.3 , à celle de  EMBED Equation.3 , où (u est la variation de la valeur de u(t) pendant la durée (t , à condition de choisir (t petit.

Ainsi :  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 . Soit : (u = ( EMBED Equation.3 ) (t (1)
D’un point de vue mathématique, on doit écrire  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 . Or, ici, on ignore le « lim …. » , à condition de choisir (t petit.
2.2/ Résolution

On suppose connues les conditions initiales : u0 et t0 , et les valeurs de E, R, C sont fixées.
Le pas choisi ici est Dðt = 1,0.10-4 s, c est à dire que le calcul de la tension u s'effectuera donc toutes les 1,0.10-4 s.
L'objectif est de déterminer les cinq premières valeurs de la tension u, notées u0, u1, u2, u3 et u4.

- A la date t0, u a pour valeur u0 telle que u0 = 0,0 V (condensateur déchargé).

- A la date t1= t0 + Dðt , u a pour valeur u1 telle que Dðu0 = u1  u0 =  EMBED Equation.3  Dðt , d' après (1).

D'où : u1 = u0 + EMBED Equation.3  Dðt

Le calcul de  EMBED Equation.3 s'effectue à partir de l'équation différentielle : en effet, puisque
 u + R.C.  EMBED Equation.3 = E (  EMBED Equation.3  donc  EMBED Equation.3 


Numériquement, avec E = 6,00 V , R = 1,00 k(, et C = 10,0 (F ,
 EMBED Equation.3 

Et : u1 = u0 + [ EMBED Equation.3 ]. ( t  AN : u1 = 6,00.102 x 1,0.10-4 = 6,0.10-2 V

Ce qui permet de calculer  EMBED Equation.3  , à la date t1 :
 EMBED Equation.3 

- Nous déterminons alors u2, valeur de u à la date t2 (avec t2 = t1 + Dðt = 2Dðt) :

u2 = u1 + (u1 = u1 +  EMBED Equation.3  (t.

Numériquement : u2 = u1 +  EMBED Equation.3  (t = 6,0.10-2 + 5,9.102 x 1,0.10-4 = 1,2.10-1 V

- De la même manière, calculer u3 et u4 puis compléter le tableau suivant :

Date ti (s)Valeur de ui (V)Valeur de  EMBED Equation.3 en V.s-1t0 = 006,00.102t1 = Dðt6,0.10-25,9.102t2 = 2Dðt1,2.10-1& & t3 = 3Dðt& & & & .t4 = 4Dðt& & .& & .
Et ainsi de suite .......

On résout l'équation différentielle en répétant un calcul ; la méthode d'Euler est une méthode itérative.
Ainsi :

- Conditions initiales et paramètres connus : : u0 , t0 , E, R, C
- Calcul de  EMBED Equation.3  à l'instant t0.
- Calcul de u1 à t0 +(t grâce à u1 = u0 +  EMBED Equation.3 (t
- Nouvelles conditions initiales : u0 ( u1 ; t0 ( t0 + ( t


Maintenant que vous « maîtrisez » la méthode d'Euler, cette résolution peut s'effectuer sur vos calculatrices ou l'aide d'un tableur comme EXCEL.


III/ Résolution et discussion, à l'aide du tableur Excel :
Préparer la fenêtre en précisant les conditions initiales

 EMBED PBrush 

Remplir la colonne A :
Elle contient les dates successives ti. Chaque temps ti est égal au précédent augmenté du pas de calcul.
On remplit la première cellule (A13, par exemple: voir la copie d'écran ci-contre), on programme la seconde puis on recopie sur toute la colonne (environ 500 valeurs pour avoir tmax = 5 tð = 5,0.10-2 s ).

Remplir la colonne B
Elle contient les valeurs de la tension u calculées analytiquement. Pour cela, programmer la première cellule (B13, par exemple) : u = E( 1  e  t/RC)) puis recopier la formule dans toute la colonne.

Remplir la colonne C et la colonne D
Elle contient les valeurs de  EMBED Equation.3  calculées par la méthode d'Euler. D'après l'équation différentielle, on a à chaque instant :  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 .
Calculer  EMBED Equation.3  dans la première cellule de la colonne C (C13, par exemple) à partir de l'équation différentielle puis indiquer la première valeur de u dans la colonne correspondante (D13, par exemple).
Calculer u à t1 = t0 + (t dans la deuxième cellule de sa colonne (&ÓÛÕ
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h2CJOJQJUVh2CJOJQJjh2CJOJQJUj`h2CJEHìÿOJQJUD14) puis déterminer celle de  EMBED Equation.3  à cette même date à l'aide de l'équation différentielle. L'indiquer dans la deuxième cellule (C14) de sa colonne.
Recopier en seul coup ces deux formules sur la totalité des deux colonnes.
Remarque : l’introduction du sigle « $ » dans la cellule B14 par exemple, permet de garder les valeurs de E, R, C constantes, égales aux valeurs indiquées respectivement dans les cellules C8, A8 et B8.
Insérer à côté des colonnes le graphique correspondant aux deux séries « u analytique » et « u (Euler) » avec t en abscisse. On choisira le nuage de points et l'affichage de courbes lissées sans points. Fixer les échelles du graphique en x et en y aux valeurs indiquées.

 EMBED PBrush 










D’après le site :
 HYPERLINK "http://www.spc.ac" http://www.spc.ac-marseille.fr/Sciences_Physiques/Menu/Simulation/Tableur_equations_differentielles/resol_equa_diff.htm


Faire superposer le graphe correspondant au précédent.
Modifier le pas du calcul ( Dðt = 5,0.10-3 s par exemple). Que constate-t-on ? Conclure.
On constate donc que le pas Dðt doit être petit par rapport à la constante de temps (, qui caractérise l évolution de u .

Pourquoi ne le prend-on pas infiniment petit alors ????

Deux raisons :
nous venons de vérifier que l’erreur théorique due à la méthode est d’autant plus petite que le pas est petit, mais cette erreur s’ajoute à l’erreur numérique due aux approximations faites à chaque pas, qui croit en fonction du nombre de calculs.
de plus, pour chaque valeur calculée ui, nous effectuons deux opérations élémentaires (+ et x) soit un nombre d’opérations égal à  EMBED Equation.3  sur l’intervalle de temps [0-5( ]. Donc, plus (t est petit, plus le nombre d’opérations à effectuer e¾eÎfÏfçfèfëfïfðfñfòfófôfõföf g¤g¥g¦gÞgxhzi|iðiòijÿjúøóøøøøøøøøøøøñøøììßøìøøÚ"
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