IUT 1 - GRENOBLE
En régime périodique, appelons V(t) la tension aux bornes d'un dipôle et I(t) le
courant traversant le même dipôle. Ces fonctions réelles .... de respecter ces
axiomes. Une définition particulière, suggérée par le dernier axiome, peut être
adoptée dans un espace hermitique qui prend alors le nom d'espace de Hilbert :
(II-11).
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IUT 1 - GRENOBLE Jean-Pierre KERADEC
GE & II 1 - 2ème année 2006/2007
Préambule
Ce cours s'adresse principalement à des étudiants en seconde année de DUT Génie électrique. Il ne reprend pas les techniques enseignées en première année (matrices, calcul intégral, équations différentielles), il les suppose connues ! La première partie, plus spécialement orientée vers l'analyse spectrale, est proche du contenu de MA31. La seconde s'attache principalement à étudier les liens qui existent entre les diverses réponses des systèmes continus et échantillonnés, ce qui constitue lobjectif de MA32.
Ce polycopié n'est, enfin je l'espère, ni un formulaire dans lequel rien n'est démontré, ni un livre encyclopédique qui démontre tout, y compris ce qui ne sert jamais. Mon intention est de présenter, dans un document aussi concis que possible, les bases des techniques mathématiques exploitées par les matières technologiques en introduisant le vocabulaire nécessaire et en établissant les résultats par des démonstrations aussi rigoureuses que possible.
Dans un premier temps, un inventaire des différents théorèmes et des différents termes mathématiques exploités dans les cours technologiques a été dressé. Dans un second temps, quelques éléments théoriques plus généraux ont été ajoutés afin de donner à l'ensemble une présentation synthétique et cohérente. En pensant à ceux qui, en formation initiale ou en formation permanente, poursuivront des études, j'ai, autant que possible, choisi la présentation la plus ouverte, celle qui permet d'aller au-delà du cadre présenté. C'est tellement rassurant d'aborder d'autres domaines techniques ou scientifiques en retrouvant des mathématiques familières
Chacun pourra se faire, à la lecture, une idée de la cohérence interne et de la pertinence des choix. Pour juger de son adéquation au public visé, il est indispensable de prendre connaissance des exercices proposés. On y remarquera que de nombreux problèmes sont issus de préoccupations techniques familières à nos étudiants, ce qui facilite leur motivation. Un soin particulier a été apporté pour amener la maîtrise d'un vocabulaire précis et les calculs analytiques compliqués ont été évités afin de focaliser l'attention sur les raisonnements et les justifications.
Merci à tous ceux, étudiants, enseignants ou lecteurs occasionnels, qui voudront bien me signaler les erreurs, m'indiquer des lacunes ou me faire part de leurs remarques et suggestions de tous genres. Ayant constaté que la transformée de Fourire est finalement très proche de celle de Fourier, je m'attends au pire !
Jean-Pierre Keradec,
Grenoble, Octobre 06.
SOMMAIRE
1ère Partie : Analyse spectrale
I FONCTION ET PEIGNE DE DIRAC
1 - La fonction de Dirac
.
1
2 - Trois propriétés essentielles de la fonction de Dirac
.
.
. 1
3 - Le peigne de Dirac
.
.
3
4 - Produit par une fonction continue
.
3
II - ESPACES VECTORIELS DE FONCTIONS
1 - Introduction
.
5
2 - Espace vectoriel de fonctions
.. 5
3 - Produit hermitique - Produit scalaire
..
. 6
4 - Inégalité de Schwarz - Inégalité triangulaire
6
5 - Longueur d'un vecteur - Angle formé par deux vecteurs
8
6 - Orthogonalité - Bases orthogonales et orthonormées
.. 10
7 - égalité de Parseval
.. 11
8 - Corrélation - Ressemblance de deux fonctions
11
9 - Distance et développement limité
... 12
10 - Espace de dimension infinie continue
..
... 13
III SERIES DE FOURIER
1 - But de lanalyse spectrale
15
2 - Série de Fourier à coefficients complexes
15
3 - Incidence des symétries des fonctions complexes
16
a - Parité de la fonction
b - Théorème du retard. Absence dharmoniques pairs
c - Dérivation. Intégration
4 - Conséquences de légalité de Parseval
..
..
17
5 - Séries de Fourier des fonctions réelles
..
..
.
.
17
6 - Conséquences des symétries des fonctions réelles
..
19
7 - Egalité de Parseval pour les fonctions réelles
..
19
8 - Décomposition en série de Fourier du peigne de Dirac..
19
IV TRANSFORMATION DE FOURIER
1 - Décomposition dun produit de fonctions périodiques.
.
21
2 - Une écriture appropriée : la transformation de Fourier.
.
21
3 - Définitions et notations relatives à la transformée de Fourier
.. 22
4 - Définition du produit de convolution
.. 23
5 - Convolution par un peigne de Dirac
..
.. 23
6 - Propriétés opératoires de la transformation de Fourier
.
.. 24
7 - Transformée dune fonction périodique
.
.. 24
8 - Transformée dune gaussienne
..
.
.. 26
9 - Conservation du produit hermitique - égalité de Parseval
.
. 28
10 - Théorème de Wiener - Kinchine
. 29
11 - Extension à plusieurs variables
29
V - échantillonnage PéRIODIQUE.
1 - Introduction
.
33
2 - Les mirages de l'échantillonnage
.
33
3 - Signal échantillonné bloqué et échantillonné
..
35
4 - Théorème de l'échantillonnage
.... 34
5 - Interprétation fréquentielle
.. 37
6 - Reconstitution du signal
... 38
VI TRANSFORMATION DE FOURIER DISCRETE
1 - Introduction
. 43
2 - Approximations incontournables
43
3 - Astuces de calcul. FFT
. 46
4 - Densité spectrale de puissance
.... 47
5 - Lecture de TFD de signaux simples
..
.. 47
2ème Partie : Réponses des filtres et des systèmes
VII CONVOLUTION ET REPONSES DES SYSTEMES
1 - Linéarité, stationnarité, convolution
53
2 - Dérivation
55
3 - Fonctions propres
. 56
4 - Réponses percussionnelle et indicielle
. 57
5 - Réponse harmonique
58
6 - Causalité
.. 60
7 - Transformée d'une fonction réelle causale
.. 60
8 - Filtre passe bas idéal
61
9 - Autres filtres idéaux
..
.. 63
10 - Filtre gaussien
..
64
11 - Deux relations relatives au temps de montée
.. 65
VIII LES TRANSFORMATIONS Fondamentales.
1 - Objectif commun des transformations cherchées
..
.. 69
2 - Forme générale de ces transformations
.
.. 70
3 - Transformations de Fourier et de Laplace. Transmittance
... 71
4 - Transformations en z et en w.
. 72
5 - Le schéma fonctionnel des automaticiens
72
6 - Transformée de Laplace de la fonction dérivée
..
73
7 - Théorème des valeurs initiale et finale
.... 73
8 - Valeurs initiale et finale de la réponse indicielle
.. 74
9 - Réponses dun système à constantes localisées
..
. 74
IX REPONSES DES SYSTEMES ECHANTILLONNES.
1 - Convolution discrète
..
.. 77
2 - Filtrage numérique
.
.. 78
3 - Fonction de transfert en z
.
... 79
4 - Réponse en régime harmonique.
. 80
5 - Domaines de stabilité en z et en w
..
81
Problèmes sur la premiere partie
Problèmes Sur La seconde partie
.. 83
BIBLIOGRAPHIE.
. 91
I - FONCTION ET PEIGNE DE DIRAC
1 La "fonction" de Dirac
Les composantes des vecteurs rencontrés jusquici peuvent être numérotées (par un indice) : on dit quelles sont dénombrables. Dans les espaces de fonctions, il est fréquent que ceci soit impossible, on dit alors que la base est continue. Pour étendre les raisonnements précédents à ce type despaces vectoriels, la fonction de Dirac joue un rôle clé. Cest pourquoi nous lintroduisons maintenant.
EMBED MSDraw.Drawing.8.2
Fig. I-1. Fonction Dðeð servant à définir la fonction de Dirac
La fonction Dðeð(t), représentée par la figure I-2, est une fonction paire, de surface unité, définie par :
EMBED Equation.DSMT4 où eð est positif.
Nous appelons "fonction" de Dirac la fonction :
EMBED Equation.DSMT4 (I-1)
Cette "fonction" présente des particularités si peu banales que les mathématiciens préfèrent parler de "distribution" plutôt que de fonction. C'est pour attirer l'attention sur ce fait que le mot fonction a été écrit ici entre guillemets mais, la notion de distribution n'étant pas indispensable pour établir ce qui suit, nous conserverons le vocabulaire habituel. A laide de cette définition, il est facile détablir que :
EMBED Equation.DSMT4 pour tout EMBED Equation.DSMT4 .
2 - Trois propriétés essentielles de la fonction de Dirac
a) Quelle que soit f(t),
EMBED Equation.2 (I-2)
En effet, puisque dð(t t0) est la fonction dð(t) décalée de t0, on peut écrire :
EMBED Equation.2
La seconde intégrale est la moyenne de f(t) entre t0 eð ð/ 2 et t0 + eð ð/ð ð2. Lorsque eð ®ð 0, cette valeur moyenne s'identifie à la valeur de la fonction, soit f(t0).
La définition de la fonction de Dirac donnée au paragraphe précédent est simple et commode et elle s'avère suffisante pour les applications envisagées ici. Néanmoins elle n'est pas unique et toute définition qui conduit à la relation (1) est considérée comme convenable par d'autres auteurs.
b) Par définition, Dð(t) possède une surface unité et elle partage cette particularité avec dð(t). Il en résulte un lien simple entre l'échelon unité u(t) et la fonction de Dirac dð(t) :
EMBED Equation.2 (I-3)
c) La relation (3) s avère fondamentale pour la justification de la transformation de Fourier :
EMBED Equation.2 (I-4)
Pour l'établir, montrons d'abord que :
EMBED Equation.2 (I-5)
Pour chercher la dérivée de la fonction F(y) que nous définissons ci-dessous, nous dérivons, par rapport à y, sous le signe somme. Le calcul de l'intégrale ne présente alors plus aucune difficulté et le résultat permet de se faire une idée de la fonction F(y).
EMBED Equation.3 qq. y > 0 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Il en résulte que :
EMBED Equation.3
Selon sa définition, F(y) tend vers 0 lorsque y tend vers l'infini ; il faut donc fixer la constante à pð/2. Ceci fait, la limite pour y tendant vers 0 conduit directement à la relation (5).
Pour revenir à l'expression (34), évaluons l'intégrale suivante en posant x = 2pðft :
EMBED Equation.2 qq. t > 0
La valeur 1/2 attribuée au résultat de l intégrale résulte de (5) et de la parité de la fonction intégrée. Si t , avec les cinq propriétés suivantes :
EMBED Equation.2
c) < y, x > = EMBED Equation.2 commutativité complexe
d) < x, x > > 0 qq. x EMBED "Equation" "Objet de Word13" \* mergeformat 0
e) = 0 Þð x = 0
Conventionnellement, on dit que est le produit hermitique de y par x. Attention à l'ordre, car ce produit n'est pas tout à fait commutatif ! Un espace vectoriel dans lequel on a défini un "produit hermitique" est appelé "espace hermitique". Si le corps choisi est celui des réels, ce produit est dit "scalaire (ou euclidien)", il est commutatif et l'espace vectoriel est qualifié d' "euclidien".
Exemple. Considérons l'ensemble des fonctions complexes de période T et définissons le produit hermitique par (1). Cet ensemble T est désormais un espace vectoriel hermitique.
EMBED Equation.2 (II-1)
Il est facile de vérifier que ce mode de calcul satisfait tous les axiomes précédents.
4 - Inégalité de Schwarz - Inégalité triangulaire.
a) Inégalité de Schwarz.
Cette inégalité (2) a de très nombreuses conséquences en physique.
EMBED Equation.2 (II-2)
Maintenant, démontrons-la. Quel que soit le complexe lð, la quantité : est réelle et non négative en vertu des axiomes d et e du produit hermitique. Développons ce produit hermitique en nous aidant des axiomes a, b et c.
= lð +
= lð EMBED Equation.2 + EMBED Equation.2
= lð EMBED Equation.2 + EMBED Equation.2
= lð EMBED "Equation" \* mergeformat + lð + EMBED Equation.2 +
= lð EMBED "Equation" \* mergeformat + 2 Re[ lð ] +
En posant lð = rð ejjð, il vient, quels que soient rð et jð :
= rð2 + 2 rð Re [ej jð ] + EMBED "Equation" "Objet de Word21" \* mergeformat 0 (II-3)
Seul le second terme dépend de jð mais il ne peut être inférieur à :
Min{ Re[ ejjð ]} = -ôðôð = -ôðôð
Même pour cette valeur de jð, le trinôme (3) de la variable rð ne doit jamais devenir négatif, ce qui implique que son discriminent soit négatif ou nul :
Dð' = ôðôð2 - . EMBED "Equation" "Objet de Word21" \* mergeformat 0
L'inégalité de Schwarz (2) s'en déduit immédiatement. Remarquons que pour aboutir à l'égalité, il faut poser dès le départ :
= 0 Þð lð x + y = 0 (cf. axiome e)
Ainsi, l'égalité ne survient que s'il existe un complexe lð tel que : y = - lð x (II-4)
Exemple. En régime périodique, appelons V(t) la tension aux bornes d'un dipôle et I(t) le courant traversant le même dipôle. Ces fonctions réelles appartiennent à T (II-3). En notant P(t) la puissance instantanée fournie au dipôle et Pmoy sa valeur moyenne, (1) conduit à :
EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 (II-5)
et EMBED Equation.2 (II-6)
L'inégalité de Schwarz conduit, après extraction de la racine carrée, à :
EMBED Equation.2 (II-7)
Cette conclusion est valable en régime périodique quelconque, même si le dipôle est non linéaire. En outre, la propriété (4) indique que l'égalité ne survient que si V(t) est proportionnelle à I(t), c'est à dire lorsque le dipôle est purement résistif.
L'inégalité (7) permet d'introduire le facteur de puissance F ( EMBED "Equation" "Objet de Word3" \* mergeformat 1) tel que :
EMBED Equation.2
b) Inégalité triangulaire :
EMBED Equation.2 (II-8)
Cette seconde inégalité s'établit aisément. En effet, avec lð = 1, (3) conduit à :
= + 2 Re[] + (II-9)
alors qu'en exploitant l'inégalité de Schwarz, on peut écrire :
EMBED Equation.2 (II-10)
La justification de (8) en découle simplement :
< x + y, x + y > EMBED "Equation" "Objet de Word21" \* mergeformat < x, x > + 2 EMBED Equation.2 + < y, y >
< x + y, x + y > EMBED "Equation" "Objet de Word21" \* mergeformat EMBED Equation.2
En joignant la condition d'égalité de l'inégalité de Schwarz à la relation (10), on établit que l'égalité de (8) ne survient que si y = a x avec a réel et positif. Dans l'espace T on établit, en se servant de (5), que :
La valeur efficace de la somme de deux fonctions est inférieure ou égale à la somme des valeurs efficaces de chacune. L'égalité n'a lieu que si une fonction est égale au produit de l'autre par une constante positive.
5 - Longueur d'un vecteur, angle formé par deux vecteurs.
On est tellement habitué à représenter les vecteurs par des flèches que ces notions semblent naturelles. Pourtant, aucune définition cohérente ne peut être formulée sans adopter des axiomes supplémentaires.
La longueur (ou "norme") du vecteur x sera notée EMBED Equation.2 . Pour conserver à cette notion son sens intuitif, nous formulons quatre axiomes :
a) EMBED Equation.2 est un réel positif pour tout x non nul.
b) EMBED Equation.2 = 0 Þð x = 0
c) EMBED Equation.2 = ôðmôð.ð EMBED Equation.2 qq le complexe m (ôðmôð est son module)
d) EMBED Equation.2 (inégalité triangulaire)
De nombreux choix permettent de respecter ces axiomes. Une définition particulière, suggérée par le dernier axiome, peut être adoptée dans un espace hermitique qui prend alors le nom d'espace de Hilbert :
EMBED Equation.2 (II-11)
D'après les paragraphes précédents, cette norme est conforme aux quatre axiomes. Dans l'espace T, la norme d'une fonction réelle se confond, d'après (5), avec sa valeur efficace. La relation ci-dessous permet, quant à elle, de définir de façon cohérente l'angle EMBED Equation.3 formé par deux vecteurs réels ou complexes :
EMBED Equation.2 (II-12)
Dans un espace euclidien, les vecteurs (et leur produit scalaire) sont réels et la notation Re[ ] est inutile. En revenant à (7), on voit que le facteur de puissance F est conforme à cette définition.
Ce cosinus est, comme le montre l'inégalité de Schwarz, compris entre -1 et 1 et il permet, en association avec la définition précédente de longueur, de satisfaire l'égalité triangulaire (13) de la géométrie habituelle. En effet, grâce aux définitions (11) et (12), (9) s'écrit maintenant :
EMBED Equation.2 (II-13)
EMBED Word.Picture.6
Fig. I-1. égalité triangulaire.
Remarque importante.
L'inégalité de Schwarz permet d'associer, à tout couple de vecteurs, un réel s compris entre 0 et 1 :
EMBED Equation.2 (II-14)
Cette possibilité est à la base de nombreuses définitions en physique, traitement du signal, probabilités.... à l'évidence, il existe un lien étroit entre le cos(qð)ð défini ci-dessus et le coefficient s. En comparant les deux expressions, nous pouvons écrire :
- dans un espace euclidien : EMBED Equation.3 ð= s EMBED "Equation" \* mergeformat 1
- dans un espace hermitique : EMBED Equation.3 EMBED "Equation" \* mergeformat s EMBED "Equation" \* mergeformat 1
Ainsi, dans un espace hermitique, s = 0 Þð cos(qð) = 0 et ôðcos(qð)ôð = 1 Þð s = 1, ces implications n'étant pas réversibles. En particulier, pour obtenir s = 1, il faut, selon (4), qu il existe un complexe quelconque tel que y = lð x.
Pour obtenir ôðcos(qð)ðôð = 1, cette condition nécessaire n'est plus suffisante : lð doit en plus être réel. En effet, puisque nécessairement si s = 1, y = - lð x (avec lð complexe), il vient :
EMBED Equation.2
On voit que ôðcos(qð)ôð ne peut être égal à 1 que si lð est réel.
6 - Orthogonalité. Bases orthogonales et orthonormées.
Les notions de longueur et d'angle introduites ci-dessus suggèrent de définir des bases particulières dans lesquelles les calculs prendront une forme plus simple.
a - Orthogonalité.
On dit de deux vecteurs non nuls x et y qu'ils sont orthogonaux si :
= 0 (II-15)
Si deux vecteurs sont orthogonaux, cos(qð) = 0 si bien que, d'après (13), les longueurs associées vérifient le théorème de Pythagore :
EMBED Equation.2 (II-16)
b - Base orthogonale.
Une base est orthogonale si tous ses vecteurs (b1, b2, ...) sont orthogonaux deux à deux, ce qui se résume, en faisant prendre à i et j toutes les valeurs possibles, par :
< bi, bj > = ai si i = j
0 si i EMBED "Equation" "Objet de Word28" \* mergeformat j
L'axiome d du produit hermitique implique que les ai = < bi, bi > soient des constantes réelles positives. La constante ai, égale au carré de la norme du vecteur de base bi, est parfois appelée "poids attaché à la ième composante". Le symbole de Kronecker dðij, défini ci-dessous, mène à une écriture plus compacte.
dðij = 1 si i = j (II-17)
0 si i EMBED "Equation" "Objet de Word28" \* mergeformat j
La condition d'orthogonalité d'une base s'écrit alors :
= ai . dðij (II-18)
Exprimons le produit hermitique des deux vecteurs x et y en fonction de leurs composantes.
Si : EMBED Equation.2 et EMBED Equation.2
alors EMBED Equation.2
soit, en prenant en compte l'orthogonalité de la base :
EMBED Equation.2 (II-19)
c - Base orthonormée.
Une base orthogonale est dite d'orthonormée si tous ses vecteurs sont unitaires, c'est à dire si leur norme vaut 1. Dans ces conditions :
< bi, bj > = dðij (II-20)
Dans une telle base le produit hermitique s'évalue simplement :
EMBED Equation.2 (II-21)
Enfin, en remplaçant x par bi, on obtient :
EMBED Equation.2 (II-22)
Donc, dans une base orthonormée (et seulement dans une telle base) chaque composante d'un vecteur est égale au produit hermitique du vecteur par le vecteur de base correspondant (attention à l'ordre des deux vecteurs ! ).
7 - égalité de Parseval.
Exprimons la longueur d'un vecteur quelconque x en fonction de ses composantes dans une base orthogonale, puis dans une base orthonormée. Les expressions établies au paragraphe précédent pour le produit scalaire permettent d'écrire :
EMBED Equation.2 dans une base orthogonale, (II-23)
EMBED Equation.2 dans une base orthonormée. (II-24)
Cette dernière relation est connue sous le nom d'égalité de Parseval.
Ces égalités s'interprètent facilement à l'aide du théorème de Pythagore. La décomposition d'un vecteur sur une base fait apparaître une somme de vecteurs dont chaque élément est parallèle à l'un des vecteurs de la base.
EMBED Equation.2
Si la base est orthogonale, les xi sont orthogonaux deux à deux et le théorème de Pythagore nous enseigne que :
EMBED Equation.2
Les relations (27) et (28) s'en déduisent directement.
8 - Corrélation. Ressemblance de fonctions.
La corrélation est une notion très utile en traitement du signal. Nous lintroduisons ici pour illustrer lintérêt du langage vectoriel et des inégalités qui en découlent.
a - Corrélation.
Par définition, la fonction de corrélation c(t), associée aux deux fonctions complexes f(t) et g(t) prises dans cet ordre, est la fonction complexe calculée de la manière suivante :
EMBED Equation.2 (II-25)
Plus précisément, on dira : "autocorrélation" si f et g sont confondues et "intercorrélation" dans le cas contraire. Ces fonctions jouent un rôle très important en traitement du signal. La fonction d'autocorrélation présente deux particularités importantes :
* EMBED Equation.2 (II-26)
* EMBED Equation.2 (II-27)
Ainsi, la fonction d'autocorrélation d'une fonction réelle est réelle et paire.
b - Ressemblance de deux fonctions.
Nous convenons ici que la ressemblance de deux fonctions f et g d'une même variable est maximum lorsqu'il existe lð tel que g = lð f. Pour chiffrer cette ressemblance, le coefficient s défini par (14) semble bien approprié : il est compris entre 0 et 1 et il vaut 1 lorsque la ressemblance est maximum.
En pratique cette première définition de la ressemblance est trop restrictive : appliquée aux fonctions f(t) = sin(wðt) et g(t) = cos(wðt) qui se ressemblent beaucoup, elle conduit à un s nul ! Ceci nous amène à admettre que deux fonctions se ressemblent parfaitement s'il existe au moins une valeur de translation temporelle t' telle que f(t) = lð g(t - t'). En conséquence, il faut étudier la valeur de s associée à f(t) et g(t - t') et cette valeur dépend de t. Ceci introduit une fonction temporelle (28), très étroitement liée à la fonction de corrélation c.
EMBED Equation.2 (II-28)
En posant t" = t' - t, il apparaît que t peut être omis dans la seconde intégrale du dénominateur de (18) et que celui-ci ne dépend pas de t, alors que le numérateur est le module de c(t).
On retiendra que la fonction de corrélation s'avère très utile pour évaluer la ressemblance de deux fonctions.
9 - Distance et développement limité.
Définissons la distance d(x, y) séparant deux vecteurs x et y par :
EMBED Equation.2 (II-29)
Un espace vectoriel dans lequel une distance a été choisie conformément à cette définition est appelé "espace de Banach".
Les propriétés de la longueur (cf § II - 5) sont telles que :
EMBED Equation.2 (II-30)
et réciproquement. Ainsi, plus cette distance est faible, plus les vecteurs se ressemblent.
Cette notion permet de résoudre le problème suivant. Quelle est la meilleure approximation d'un vecteur quelconque x que l'on peut obtenir avec un vecteur y dont certaines composantes ont été fixées arbitrairement (à zéro par exemple) ?
On peut logiquement répondre que la meilleure approximation est celle qui minimise d(x, y). Il n'en reste pas moins que, dans le cas général, la résolution est compliquée. Cette résolution est en revanche très simple si la base choisie est orthogonale car on a :
EMBED Equation.2 (II-31)
Les ai étant positifs, il est clair que :
- indépendamment du choix fait pour les autres composantes, la meilleure valeur pour yi est xi,
- à chaque fois qu'on ajuste une composante supplémentaire à sa valeur optimale (yi = xi), d diminue.
Bien que ces résultats semblent naturels, leur utilisation ne peut être étendue aux bases quelconques. En particulier, à chaque fois qu'on prend en compte une composante supplémentaire dans une base quelconque, toutes les composantes précédemment calculées doivent être rectifiées et la valeur optimum de yi n'est généralement pas xi. On mesure ici tout l'intérêt que présentent les bases orthonormées.
10 - Espace de dimension infinie continue.
Les notions introduites dans ce chapitre s'appliquent quelle que soit la dimension de l'espace considéré. L'indice de sommation peut ne prendre que quelques valeurs ou, au contraire, varier de - EMBED "Equation" \* mergeformat à + EMBED "Equation" \* mergeformat . Cependant, jusqu'à maintenant on attribuait à cet indice que des valeurs entières : les vecteurs de base étaient numérotables (dénombrables est le terme exact). Dans la suite, on considérera parfois que l'indice varie continûment. Cela ne change rien de fondamental mais une adaptation de l'écriture est nécessaire.
Un indice qui varie continûment (nous le noterons lð)ð est assimilable à une variable, si bien que les sommes doivent être remplacées par des intégrales. En outre, c'est très souvent la fonction de Dirac qui remplace le symbole de Kronecker.
La décomposition d'un vecteur x sur une base { b(lð) } s'écrit :
EMBED Equation.2 (II-32)
La notation (lð) sous le signe somme indique que celle-ci est étendue à l'ensemble des valeurs de lð. Suivant la base considérée, lð variera entre 1 et +1, entre -( et +(, etc. Notons que b(lð1) et b(lð2) sont deux vecteurs distincts de la même base.
L'orthogonalité d'une base se traduit par :
= ai . dðij ®ð = a(lð1) . dð(lð1-lð2) (II-33)
L'ensemble des poids ai est remplacé par a(lð), "fonction de pondération" ou "mesure" suivant lð. Les fonctions de pondérations associées aux familles de fonctions orthogonales les plus courantes sont données ci-dessous à titre d'exemple.
- EMBED Equation.2 sur [-1 ; +1] ==> Polynômes de Legendre,
- EMBED Equation.2 sur [-1 ; +1] ==> Polynômes de Tchebycheff,
- EMBED Equation.2 sur [ 0 ; + EMBED "Equation" "Objet de Word3" \* mergeformat ] ==> Polynômes de Laguerre,
- EMBED Equation.2 sur [- EMBED "Equation" "Objet de Word3" \* mergeformat ; + EMBED "Equation" "Objet de Word3" \* mergeformat ] ==> Polynômes d'Hermite,
- EMBED "Equation" "Objet de Word2" \* mergeformat sur [- EMBED "Equation" "Objet de Word3" \* mergeformat ; + EMBED "Equation" "Objet de Word3" \* mergeformat ] ==> Exponentielles à exposants imaginaires purs.
Dans une base orthogonale le développement du produit hermitique prend la forme :
EMBED Equation.2 (II-34)
Si la base est orthonormée, a(lð) = 1, la condition (23) s'écrit :
EMBED Equation.2 (II-35)
et le produit hermitique (24) prend une forme encore plus simple :
EMBED Equation.2 (II-36)
La composante x(lð) de x (25) se détermine grâce à un produit hermitique :
EMBED Equation.2 (II-37)
Enfin, l'égalité de Parseval (27) se transforme également :
EMBED Equation.2 (II-38)
============
III SERIES DE FOURIER
1 - But de lanalyse spectrale
Lanalyse spectrale consiste à décomposer un signal temporel (une fonction du temps) en une somme de sinusoïdes ou, ce qui revient au même, d'exponentielles complexes. Etant donné que ces fonctions sont celles qui subissent le moins de déformations lors de la traversée d'un système linéaire et stationnaire (un filtre par exemple), une décomposition de ce type est très souvent utile. La décomposition en série de Fourier permet de procéder à cette décomposition lorsque le signal est périodique. Cette technique étant la plus simple, nous létudierons en premier.
Toutefois, dans la pratique de lélectronique et de bien dautres disciplines, il est fréquent de rencontrer des signaux (où des fonctions) non périodiques. Dans ce cas, cest la transformée de Fourier qui se révèle être loutil adapté pour les décomposer en sinusoïdes ou en exponentielles complexes. Cest une première raison pour létudier aussi.
2 - Séries de Fourier à coefficients complexes.
Considérons lensemble des fonctions complexes de la variable t présentant une période T. Nous avons déjà dit en II-2 que cet ensemble constitue un espace vectoriel T. En adoptant le produit hermitique (1) cet espace devient hermitique.
EMBED Equation.2 (III-1)
Désormais, chercher une base orthonormée pour cet espace a un sens. En fait, lensemble des fonctions exponentielles complexes admettant la période T semble un bon candidat à tester. Remarquons au passage quune fonction de période T est également périodique sur une durée 2T, 3T, nT (où n est un entier quelconque).
{bn = EMBED Equation.2 }
Dans la suite, nous nommerons fréquence de lexponentielle EMBED Equation.2 la grandeur f et cette fréquence pourra être positive ou négative. Pour savoir si lensemble de fonctions défini ci-dessus constitue une base orthonormée, calculons le produit hermitique de deux quelconques de ses éléments.
EMBED Equation.DSMT4
Le numérateur de la fonction est nul, ce qui entraîne la nullité de la fraction sauf si le dénominateur est également nul. Finalement, la relation que nous venons détablir caractérise une base orthonormée (II-20). Nous pouvons maintenant décomposer une fonction périodique sur cette base et calculer ses composantes selon (II-22).
EMBED Equation.DSMT4 (III-2)
EMBED Equation.DSMT4 (III-3)
La relation (2) présente la fonction complexe de période T sous la forme dune combinaison linéaire dexponentielles complexes dont les fréquences sont des multiples entiers de 1/T. Afin dalléger lécriture, nous posons désormais f0 = 1/T. La relation (2) est appelée « décomposition en série de Fourier à coefficients complexes ». La relation (3), quant à elle, montre comment calculer les coefficients complexes lorsquon connaît la fonction f(t).
3 Incidence des symétries des fonctions complexes.
a Parité de la fonction.
Afin déviter les calculs inutiles, il est intéressant de noter que la parité de la fonction décomposée se traduit par des relations entre les coefficients. Ainsi par exemple, si f(t) est paire, lexpression (3) donnant cn ne change pas si, simultanément, on change t en t et n en n. On en déduit que, dans ce cas, c-n = cn, ce quon peut exprimer en disant que :
La série des coefficients complexes de Fourier attachée à une fonction paire est paire et, réciproquement, celle attachée à une fonction impaire est impaire.
La réciproque énoncée ci-dessus sétablit par un raisonnement analogue au précédent.
b Théorème du retard. Absence dharmoniques pairs.
Si f(t) admet une décomposition de coefficients cfn, que valent les coefficients de la même fonction retardée ? Posons : g(t) = f(t - t0)
EMBED Equation.DSMT4 (III-4)
Cette relation permet de passer très rapidement des coefficients dune fonction connue à ceux de la même fonction retardée. On peut remarquer que le module des coefficients est inchangé lors de cette opération puisque le module de lexponentielle est égal à 1.
Considérons maintenant une fonction f(t) telle quune avance dune demi-période la change simplement de signe. Cette propriété se traduit par f(t + T/2) = -f(t). Voyons ce que cela entraîne pour son développement. Pour cela, calculons les coefficients cn de la fonction avancée : ils doivent être identiques à ceux de la fonction initiale, changés de signes.
EMBED Equation.DSMT4
Il est clair que, si n est pair, cette égalité requiert que cn = 0. Autrement dit :
Une fonction telle que f(t + T/2) = - f(t) ninclut aucun harmonique pair.
c Dérivation. Intégration
Comment, connaissant le développement de f(t), déduire celui de sa dérivée f(t) ?
EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4
On en conclut, en notant cdn les coefficients cherchés que :
EMBED Equation.DSMT4 (III-5)
Le cas de lintégration se résout de la même façon. On a, en notant cin les coefficients de la fonction primitive :
EMBED Equation.DSMT4 (III-6)
Attention pour n = 0. Si c0 nest pas nul, la primitive du terme associé est une droite : la fonction obtenue nest pas périodique.
4 Conséquence de légalité de Parseval.
Légalité de Parseval, établie en II-8, prend ici la forme suivante.
EMBED Equation.2 (III-7)
La moyenne du carré du module de la fonction est égale à la somme des carrés des modules de ses coefficients.
5 - Séries de Fourier des fonctions réelles.
Dans le cas où la fonction f(t) est réelle, changer n en n dans (3) revient à changer le signe de j et donc à conjuguer lexpression de cn. On en déduit que, pour une fonction réelle :
EMBED Equation.DSMT4 (III-8)
Puisque les coefficients associés à n et à n ne sont pas indépendants, il est possible de donner une autre forme à lexpression (2). Pour cela, nous séparons le terme relatif à n = 0 (que nous notons a0) et nous regroupons les autres termes deux à deux (-n avec n).
EMBED Equation.DSMT4
Nous avons posé, pour n positif, : EMBED Equation.DSMT4 (où an et bn sont réels) (III-9)
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 (III-10)
La relation (10), qui sapplique exclusivement aux fonctions réelles de période T, constitue la décomposition en série de Fourier à coefficients réels. Le calcul des coefficients peut se déduire de (3) après avoir inversé (8) et (9). Leurs expressions sont données par (11).
EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4 (III-11)
EMBED Equation.DSMT4 (III-12)
La sinusoïde associée à n = 1 est nommée composante fondamentale. La sinusoïde associée à une autre valeur de n est appelée « harmonique de rang n » et la partie constante (a0), « composante continue ». Cette dernière coïncide avec la valeur moyenne de la fonction.
Il est possible détablir ces relations plus directement en adoptant, pour le sous espace des fonctions réelles de période T, le produit scalaire (II-1) évoqué en II-3. Ce sous espace est alors euclidien. Par rapport à ce produit scalaire, lensemble de fonctions :
{1, sin(2ðpðf0ðt), cos(2ðpðf0ðt), sin(4ðpðf0ðt), cos(4ðpðf0ðt),...}
constitue une base orthogonale et la norme (II-11) d une de ces fonctions est égale à sa valeur efficace. Pour obtenir une base orthonormée, il suffit de multiplier par EMBED Equation.DSMT4 ces sinusoïdes.
EMBED Equation.2 (III-13)
Les composantes du vecteur f sur cette base se déduisent, comme précédemment, à laide dun produit scalaire.
EMBED Equation.DSMT4 (III-14)
Malgré leurs apparences différentes, les relations (13) et (14) sont équivalentes aux relations (9) et (10).
6 Conséquences des symétries des fonctions réelles.
Les symétries envisagées pour les fonctions complexes peuvent sappliquer aux fonctions réelles et, comme précédemment, elles induisent des conséquences sur les composantes du développement en série de Fourier. Enonçons-les rapidement.
- Les an attachés à une fonction impaire sont nuls ainsi que les bn attachés à une fonction paire.
- Une fonction telle que f(t + T/2) = - f(t) ninclut aucun harmonique pair.
- La dérivation de la fonction induit les changements suivants :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
-Tandis que lintégration a les conséquences ci-dessous :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
7 Egalité de Parseval pour les fonctions réelles.
Lorsque la fonction est réelle, légalité (7) fait apparaître le carré de la valeur efficace de la fonction et, grâce à (9), les composantes réelles an et bn peuvent être substituées aux complexes cn.
EMBED Equation.2 (III-15)
Le carré de la valeur efficace dune fonction réelle périodique sobtient en ajoutant les carrés des valeurs efficaces de toutes les composantes de la décomposition (10).
On remarque en particulier que le carré de la valeur efficace dun signal réel périodique ayant une composante continue non nulle sobtient en ajoutant le carré de la composante continue au carré de la valeur efficace du signal sans composante continue.
8 Décomposition en Séries de Fourier du peigne de Dirac.
Nous avons défini cette fonction périodique en I-3. Utilisons-la comme exemple pour calculer les coefficients cn de son développement en série de Fourier. Dans l'intervalle de calcul de l intégrale, un seul pic de Dirac est non nul si bien que:
EMBED Equation.2 (III-16)
Le calcul se conclut grâce à (I-2) et son résultat très simple permet d'écrire la décomposition de dðTe en série de Fourier. La relation (17) est très utile lors de létude de léchantillonnage.
EMBED Equation.2 (III-17)
IV TRANSFORMATION DE FOURIER
1 - Décomposition dun produit de fonctions périodiques.
Au début du chapitre précédent, nous nous sommes proposé de décomposer des fonctions en sommes de sinusoïdes ou dexponentielles complexes. Grâce aux séries de Fourier, ce but est désormais atteint pour les fonctions périodiques. Avant daborder le cas des fonctions les plus générales, nous allons montrer que certaines fonctions non périodiques se prêtent également à la décomposition en une somme de sinusoïdes ou dexponentielles complexes.
Prenons l'exemple du produit d'une fonction A(t) réelle périodique de fréquence fm par une sinusoïde B(t) de fréquence fp. Bien que dans le cas général un tel produit ne soit pas périodique, il est facile de décomposer cette fonction.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 (IV-1)
Comme annoncé, ce produit de fonctions se met sous la forme d'une somme d'exponentielles. En outre, en observant les fréquences de ces exponentielles, on remarque qu'à toute fréquence positive correspond la même négative : il est donc possible de reconstituer des sinusoïdes. Pour simplifier l'écriture, il est commode de mettre le coefficient complexe cn sous la forme polaire rð ejjð et de tenir compte de la symétrie complexe EMBED Equation.DSMT4 qui découle de la réalité de la fonction développée. On obtient ainsi :
EMBED Equation.DSMT4 (IV-2)
Contrairement à ce qu on observait pour les fonctions périodiques, les fréquences présentes dans le développement ne sont plus équidistantes et leur répartition serait bien plus compliquée encore si B(t) était une fonction périodique quelconque.
Bien que les relations (1) et (2) montrent que les décompositions recherchées sont possibles, un problème important demeure : comment trouver les coefficients du développement lorsquon ne connait que la courbe représentative du produit A(t) B(t) ? Les formules établies pour les séries de Fourier cessent d'être applicables dès que la période T n'est plus définie. En outre, le repérage des fréquences par un numéro (le rang de l'harmonique) perd sa pertinence : le produit de deux fonctions périodiques quelconques ferait apparaître, dans (17), des coefficients dépendant de deux indices (n et m). Toutes ces questions seront résolues en recourant à la transformation de Fourier.
2 - Une écriture appropriée : la transformation de Fourier
Nous venons de voir, sur un exemple, que la décomposition dune fonction quelconque en exponentielles complexes ne comprend pas que des fréquences équidistantes. Il est même probable que les fréquences impliquées dans le cas général ne sont plus dénombrables. Dans ces conditions, la situation la plus générale que lon puisse imaginer est celle où toutes les fréquences sont susceptibles dintervenir dans la somme. Lécriture adéquate est donc celle que lon adopte pour une base de dimension infinie continue. Selon (II-32), la combinaison linéaire dune infinité dexponentielles complexes de fréquences f allant de moins à plus linfini sécrit :
EMBED Equation.DSMT4 (IV-3)
Il savère que cette écriture est exactement celle de la transformée de Fourier inverse. Avant dapprofondir cet aspect, adoptons, pour les fonctions complexes, le produit hermitique (4).
EMBED Equation.2 (IV-4)
Il apparaît que la base b(f) = ej2pð f t, constituée par l ensemble des fonctions exponentielles de toutes fréquences présentes dans (3), est orthonormée. On constate en effet que le produit scalaire de deux vecteurs de base quelconques (associés respectivement à f1 et f2), calculé selon (4), conduit à la relation dorthonormalité (II-35). Pour conclure le calcul, il suffit de faire appel à (I-4).
EMBED Equation.2 (IV-5)
Puisque lespace des fonctions complexe est rapporté à une base orthonormée, la fonction S(f), qui joue dans (1) le rôle des composantes, se déduit du produit hermitique, conformément à (II-37).
EMBED Equation.DSMT4 (IV-6)
Cette écriture est celle de la transformée de Fourier. Nous allons maintenant approfondir cela.
3 - Définitions et notations relatives à la transformée de Fourier
Considérons l'espace vectoriel des fonctions complexes du temps t (domaine temporel) et l'espace vectoriel des fonctions complexes de la fréquence f (domaine fréquentiel). La transformation de Fourier associe, à toute fonction du temps s(t), une fonction de la fréquence S(f) définie par (6). La transformation inverse (3), qui permet de retrouver s(t) en partant de S(f), est appelée transformation inverse de Fourier. Attention : ces deux transformations se ressemblent mais le signe de l'exposant est différent !
Vérifions que ces deux transformations sont bien inverses l'une de l'autre. Pour cela, appliquons la seconde transformation au résultat S(f) de la première et appelons r(t) le résultat de ces opérations successives :
EMBED Equation.2 (IV-7)
En changeant l'ordre d'intégration, il vient :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.2 (IV-8)
En vertu de (I-4), la parenthèse est égale à dð(t-t') et donc à dð(t'-t). En intégrant sur t', (I-2) nous permet d'établir que r(t) = s(t). Ceci établit que les transformations définies par (1) et (2) sont bien inverses l'une de l'autre.
Afin d'abréger l'écriture, nous symboliserons par TF[ ] la transformation de Fourier et par TF-1[ ] son inverse. Ainsi :
S = TF[ s ] et s = TF-1[ S ] (IV-9)
4 - Définition du produit de convolution.
La transformation de Fourier présente des propriétés très importantes vis-à-vis du produit de convolution. Ce produit étant invoqué dans le tableau des propriétés de la transformation de Fourier, nous le définissons ci-dessous.
Le produit de convolution est une opération qui associe, à deux fonctions h et e de la même variable, une fonction s de la même variable. Les fonctions peuvent prendre des valeurs complexes et nous notons s = h * e. En choisissant t comme variable commune, l'opération est définie par :
EMBED Equation.2 (IV-10)
Cette opération est :
- commutative : f * g = g * f
- associative : (p * q) * r = p *(q * r) = p * q * r
- distributive par rapport à l'addition : f * (g1 + g2) = f * g1 + f * g2
- pourvue d'un élément neutre égal à dð : f * dð = f
Ces propriétés se démontrent aisément. à titre d'exemple examinons la première. En posant t" = t - t', on peut écrire :
EMBED Equation.2
Après avoir permuté les bornes d'intégration, on peut ôter le signe - précédant dt". On retrouve ainsi la valeur de g * f (t). Puisque ceci est vrai pour tout t, la commutativité est établie.
5 Convolution par un peigne de Dirac
Le fait que la fonction de Dirac soit lélément neutre du produit de convolution induit une propriété intéressante concernant le produit dune fonction continue f(t) par un peigne de Dirac dðTe(t). En insérant la définition (I-6) du peigne de Dirac dans celle (10) du produit de convolution et en tenant compte de I-2, il vient :
EMBED Equation.2 (IV-11)
Ainsi, le produit de convolution de f(t) par dðTe(t) donne une fonction périodique qui sobtient en sommant, sur toutes les valeurs possibles de n, la fonction f(t) décalée de nTe, et en multipliant le résultat par Te. On dit parfois que cette opération « périodise » f(t).
6 - Propriétés opératoires de la transformation de Fourier.
Ces propriétés étant faciles à démontrer, nous les avons regroupées dans le tableau 1. La grande similitude des transformations de Fourier directe et inverse amène des propriétés analogues que nous avons inscrites face à face.
7 Transformée dune fonction périodique.
La transformation de Fourier, applicable à une large variété de fonctions, montre une analogie certaine avec le développement en série de Fourier, exploitable uniquement avec des fonctions périodiques. Dans ce paragraphe, nous précisons ce lien. La définition de la périodicité de la fonction, jointe à la propriété (3) de translation de la transformation, donne un aperçu de la transformée cherchée. La fonction s admet la période T si :
EMBED Equation.3 quels que soient t et lentier n.
Cela entraîne :
EMBED Equation.3
Pour que cette égalité soit satisfaite, il faut : soit que S(f) = 0, soit que lexponentielle vaille 1. Cette seconde condition devant être satisfaite pour tout n, f doit être un multiple entier de 1/T. Comme prévu :
La transformée de Fourier dune fonction de période T est nulle partout sauf, éventuellement, pour les fréquences (positives, nulle et négatives) multiples de f0 = 1/T.
Pour plus de précision, revenons à lécriture (III2) du développement de s(t) en série de Fourier à coefficients complexes:
EMBED Equation.3
En vertu de la propriété (I-2) de la fonction de Dirac, lexponentielle de cette écriture admet une écriture différente :
EMBED Equation.3
Pour abréger l'écriture, nous convenons que :
TF[ f ] = F, TF[ g ] = G et inversement.
Transformée de FourierPropRiétésdirecteinverse1 - LinéaritéTF[ aðf + bðg ] = aðF + bðG
qq. að, bðTF-1[ aðF + bðG ] = aðf + bðg
qq. að, bð2 - ConvolutionTF[ f * g ] = F . GTF-1[ F * G ] = f . g3 - TranslationSi g(t) =ð f(t - t')
G(f) = e -j2pðft'. F(f)Si G(f) = F(f - f')
g(t) = ej2pðf't. f(t)4 - SimilitudeSi g(t) =ð f(k.t) avec k > 0
G(f) = EMBED "Equation" \* mergeformat Si G(f) =ð F(k.f) avec k > 0
g(t) = EMBED "Equation" \* mergeformat 5 - RenversementSi g(t) =ð f(-t)
G(f) = F(-f)Si G(f) = F(-f)
g(t) = f(-t)6 - ConjugaisonSi g(t) =ð EMBED "Equation" \* mergeformat
G(f) = EMBED "Equation" \* mergeformat (-f)Si G(f) =ð EMBED "Equation" \* mergeformat
g(t) = EMBED "Equation" \* mergeformat (-t)7 - ParitéSi f est paire, F l'est aussi, et réciproquement.
Si f est impaire, F l'est aussi, et réciproquement.8 - ComplexitéSi f est réelle,
F(-f) = EMBED "Equation" \* mergeformat
Si f est imaginaire,
F(-f) = - EMBED "Equation" \* mergeformat (-f)Si F est réelle,
f(-t) = EMBED "Equation" \* mergeformat
Si F est imaginaire,
f(t) = - EMBED "Equation" \* mergeformat 9 - DérivationSi g(t) =ð EMBED "Equation" \* mergeformat f(t)
G(f) = j2pðf .ð ðF(f)Si G(f) =ð EMBED "Equation" \* mergeformat F(f)
g(t) = - j2pðt . f(t)
Tab. 1. Principales propriétés de la transformation de Fourier.
En reportant cette égalité dans la précédente, il vient :
EMBED Equation.3
Cette expression est la transformée de Fourier inverse de la fonction de f définie par la somme sur n. Cette somme est donc la transformée de Fourier S(f) de s(t). On en déduit que :
EMBED Equation.3 (IV-12)
Cette écriture de la transformée prend une forme particulièrement simple lorsque les tous les coefficients cn sont égaux à 1 ce qui est le cas, nous lavons établi (III-16), de ceux associés au peigne de Dirac dðT(t). L écriture (13) de la transformée de Fourier de la fonction dðT(t) en découle directement.
TF[dðT(t)] = EMBED Equation.3 (IV-13)
La transformée de Fourier du peigne de Dirac temporel de période T est un peigne de Dirac fréquentiel de période 1/T, multiplié par T.
Lexpression générale (12) sinterprète en introduisant la transformée de Fourier dune période de la fonction du temps :
EMBED Equation.DSMT4 (IV-14)
En revenant à (III-3) il apparaît que cn sexprime en fonction de ST.
EMBED Equation.DSMT4 (IV-15)
En reportant (14) dans (11) et en faisant usage de (I-8), il vient :
EMBED Equation.3 (IV-16)
Autrement dit, la transformée de Fourier dune fonction de période T est égale à la transformée de Fourier de sa période centrale échantillonnée à un intervalle 1/T.
8 - Transformée dune gaussienne
Nous appelons "fonction de Gauss" ou "gaussienne" la fonction réelle g de la variable réelle x définie par :
EMBED Equation.2 (IV-17)
Cette fonction se rencontre très souvent dans les calculs qui impliquent des statistiques et elle présente une allure en cloche bien reconnaissable (Fig. IV-1).
Fig. IV-1. Fonction de Gauss (sð = 1). Le maximum vaut (2pð)-1/2.
Notons que, grâce au facteur qui précède l'exponentielle de (17), la surface totale emprisonnée sous la gaussienne vaut 1, indépendamment du paramètre sð. En pratique nous élargirons l'appellation "gaussienne" à des fonctions d'allure semblable à celle de la figure IV-1 mais non nécessairement normées. Avec cette acceptation, une gaussienne de la variable temps se définit par (18).
EMBED Equation.2 (IV-18)
Cette gaussienne, dont le paramètre sðt est un temps, satisfait l'équation différentielle (19) :
EMBED Equation.2 (IV-19)
Inversement, toute solution de (20) est une gaussienne car :
EMBED Equation.2
Afin de trouver la transformée de Fourier G(f) de la gaussienne g(t), écrivons l'égalité des transformées des deux membres de (19) en exploitant la propriété 9 (Tab. 1) :
EMBED Equation.2 (IV-20)
Cette équation différentielle de variable f est analogue à (20) et on en conclut que G(f) est une gaussienne dont le paramètre sðf prend la valeur 1/(2pðsðt). Ainsi :
La transformée de Fourier d'une gaussienne est une gaussienne.
La solution de (20) n'est définie qu'à une constante multiplicative k près. Pour lever l'indétermination, explicitons la transformée de Fourier d'une gaussienne normée conforme à (17) :
EMBED Equation.2 (IV-21)
L'observation de cette relation, lorsque f = 0, montre que k = 1. Finalement :
EMBED Equation.2 (IV-22)
Une autre propriété utile s'établit aisément à l'aide des transformées de Fourier.
Le produit de convolution de deux gaussiennes normées est lui-même une gaussienne normée.
En effet, si les paramètres sð des deux fonctions initiales valent að et bð, celui du produit de convolution gð est tel que gð2 = að2 + bð2 car :
EMBED Equation.2 EMBED Equation.3 (IV-23)
9 - Conservation du produit hermitique - Egalité de Parseval.
L'interprétation vectorielle permet d'établir deux autres relations importantes. Nous avons vu (II-36) comment exprimer un produit hermitique en fonction des composantes, sur une base orthonormée, des deux vecteurs. Pour la base choisie ici, le paramètre lð est la fréquence f et les composantes des fonctions sur cette base sont les transformées de Fourier des fonctions du temps (4). La relation (II-36) prend donc la forme :
EMBED Equation.2 (IV-24)
En évaluant le produit hermitique des fonctions f et g directement d'après (4), on obtient une expression différente qu'on peut rapprocher de (24) :
EMBED Equation.2 (IV-25)
où F = TF[ f ] et G = TF[ g ]
Ainsi le théorème de conservation du produit hermitique s'énonce :
Le produit hermitique de deux fonctions est égal au produit hermitique de leurs transformées de Fourier.
Le cas particulier où g = f donne une égalité analogue à celle de Parseval (III-7). Elle est attribuée, suivant les auteurs, soit à Rayleigh soit à Plancherel :
EMBED Equation.2 (IV-26)
Enfin, si f est réelle, cette relation se simplifie encore en raison de la propriété 8 (Tab. 1) :
EMBED Equation.2 (IV-27)
10 - Théorème de Wiener - Kinchine
Soit c la fonction de corrélation associée à f et g (cf III-7). Notons C, F et G les transformées de Fourier respectives de ces trois fonctions. Le théorème de Wiener - Kinchine stipule :
EMBED Equation.2
Pour le démontrer, posons : a(t) = g(-t) et b(t) = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED "Equation" \* mergeformat . A(f) et B(f) étant les transformées de Fourier respectives de ces deux fonctions, nous pouvons écrire :
c(t) = f * b(t) EMBED "Equation" "Objet de Word1" \* mergeformat C(f) = F(f) . B(f) (Propriété 2)
b(t) = EMBED "Equation" \* mergeformat EMBED "Equation" "Objet de Word1" \* mergeformat B(f) = EMBED "Equation" \* mergeformat (Propriété 6)
a(t) = g(-t) EMBED "Equation" "Objet de Word1" \* mergeformat A(-f) = G(f) (Propriété 5)
En regroupant ces résultats, nous établissons le théorème. Celui-ci s'interprète d'une façon particulière lorsque g est identique à f. Dans ces conditions c s'appelle "fonction d'autocorrélation associée à f" et, puisque G = F, il vient :
EMBED Equation.2 (IV-26)
Le module de F est couramment appelé "densité spectrale d'énergie de f" si bien que :
La transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation de f est égale au carré de sa densité spectrale d'énergie.
11- Extension à plusieurs variables
La transformée de Fourier ordinaire associe une fonction de la fréquence à une fonction du temps. Les variables temps et fréquences sont dites conjuguées car, si nous changeons l'unité de la première, celle de la seconde change automatiquement de telle manière que le produit temps fréquence reste constant. Par exemple, une durée d'une seconde et une fréquence de un Hertz donnent un produit t.f égal à 1. Avec la minute comme unité de temps, la durée vaut 1/60ème et la fréquence, qui s'exprime en cycles par minute, passe à 60 si bien que le produit reste égal à 1.
Pour définir la transformée de Fourier d'une fonction scalaire de EMBED Equation.3 (I-13), nous commençons par définir trois variables kx, ky, kz, respectivement conjuguées de x, y, et z. Comme la fréquence par rapport au temps, ces variables ont les dimensions de l'inverse d'une longueur et nous pouvons les regarder comme les composantes d'un même vecteur EMBED Equation.3 . Cependant, lors d'un changement de base pour les vecteurs EMBED Equation.3 de l'espace physique, (qui équivaut, dans certains cas, à un changement d'unité de longueur sur chaque axe), les composantes de EMBED Equation.3 ne se transforment pas comme celles de EMBED Equation.3 . Nous disons que EMBED Equation.3 est un vecteur de l'espace dual. L'essentiel est que le produit scalaire EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 est invariant lors d'un changement de base ( = de repère) de l'espace physique. Finalement, nous disons que EMBED Equation.3 est conjugué de EMBED Equation.3 parce que l'invariance de leur produit scalaire est adoptée comme définition.
A toute fonction scalaire de l'espace physique f( EMBED Equation.3 ), la transformée de Fourier associe une fonction scalaire de l'espace dual F( EMBED Equation.3 ) définie comme suit.
EMBED Equation.3 où dr = dx.dy.dz. (IV-27)
Conformément à l'usage, nous n'avons pas introduit de facteur 2pð dans l'exposant. Les exponentielles ainsi définies constituent une base orthogonale mais non orthonormée. L'introduction du facteur multiplicatif remédie à cela. Pour le vérifier, formons le produit hermitique (IV-7) de deux quelconques des fonctions qui servent de base aux fonctions de EMBED Equation.3 . Chacune est repérée par la valeur donnée à EMBED Equation.3 et nous devons vérifier que le produit hermitique de ces deux fonctions donne une fonction de Dirac conformément à (II-35).
EMBED Equation.3
Le passage d'une ligne à l'autre s'opère en développant le produit scalaire de l'exposant ainsi que dr et la conclusion s'obtient en revenant à la définition de dð( EMBED Equation.3 ) et en exploitant une propriété de la fonction de Dirac qui résulte directement de sa définition (I-1):
EMBED Equation.3
Il résulte de tout cela que :
EMBED Equation.3
Cette base étant orthonormée, la transformée inverse s'obtient par un produit scalaire que le lecteur écrira facilement (?).
Nous avons vu que la dérivation de la fonction temporelle équivaut à une opération plus simple sur sa transformée de Fourier fréquentielle. Ici, les dérivations par rapport aux trois variables spatiales équivalent toutes à des opérations plus simples sur la transformée. Tous les opérateurs différentiels ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , etc) donnent lieu à des opérations simples sur la transformée de Fourier. C'est ce qui justifie son succès dans de nombreux domaines de la physique.
Pour illustrer la richesse de cette technique mathématique, évoquons brièvement pour terminer, la transformée à quatre dimensions. Les lois de l'électromagnétisme s'expriment d'une façon très naturelle dans un espace physique à quatre dimensions dans lequel le temps joue un rôle comparable aux coordonnées : c'est la base de la théorie de la relativité restreinte. Dans cet espace, le vecteur d'univers groupe les trois composantes du vecteur d'espace EMBED Equation.3 et une composante complexe liée au temps mais homogène à une longueur : tð = j c t où c est la vitesse de la lumière. Les variables conjuguées de x, y, z sont les mêmes que précédemment, et celle conjuguée de tð a la dimension inverse d'une longueur, c'est : j wð / c. Tout ceci conduit à adopter, pour produit scalaire indépendant du repère, la quantité : EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 + jct. jwð/c = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 - wð.ðt. C'est le point de départ de la transformée de Fourier à quatre dimensions&
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V - éCHANTILLONNAGE PéRIODIQUE.
1 - Introduction.
Comme tout système numérique, un ordinateur ne peut représenter une fonction du temps que par une suite de nombres correspondant à des points de sa courbe représentative. Le passage d'une fonction du temps à la suite de nombres qui la représente comporte deux étapes. D'abord, des valeurs de la fonction appelées "échantillons" sont prélevées à certains instants (échantillonnage). Ensuite ces valeurs sont converties en nombres (conversion analogique numérique).
La présente étude porte uniquement sur l'échantillonnage, la numérisation (ou quantification) étant étudiée ailleurs. Ceci se justifie par le fait que, dans de nombreux cas pratiques, la numérisation est suffisamment fine (conversion sur un nombre de bits suffisant) pour que ses effets soient négligeables. Signalons également que certains dispositifs non numériques (à transfert de charge, à capacités commutées, etc.) mettent en uvre un échantillonnage. De ce fait, leur étude peut naturellement tirer profit des méthodes mathématique développées ici. Enfin, puisqu'en pratique les échantillons sont très souvent prélevés à intervalle fixe (échantillonnage périodique), nous n'étudierons que ce cas et le qualificatif "périodique" sera sous-entendu.
Par nature, l'échantillonnage ne fournit pas un reflet fidèle de la réalité puisqu'une grande variation peut passer inaperçue si elle survient entre deux prises d'échantillons. Nous cherchons maintenant à savoir à quelles erreurs une telle représentation nous expose et à quelles conditions elles sont négligeables. Lorsque ces conditions seront bien comprises, nous saurons comment remplacer un filtre analogique ou un asservissement continu par un système numérique. N'oublions pas cependant que l'objectif poursuivi ici est d'introduire les mathématiques appropriées à ces études. La mise en application pratique nécessite des enseignements plus techniques.
2 - Les mirages de l'échantillonnage.
L'application la plus connue de l'échantillonnage est le cinéma. La sensation de mouvement est obtenue en projetant, à une cadence suffisamment rapide, une succession d'images fixes. Bien que ce système soit satisfaisant dans bien des cas, les amateurs de westerns connaissent l'aberration de la roue de charrette. Alors que la charrette accélère régulièrement, le sens de rotation la roue semble s'inverser à plusieurs reprises (fig. V-1). Examinons de près ce phénomène.
Les images sont prises (et projetées) à intervalle de temps fixe (Te) et nous appelons fréquence d'échantillonnage (Fe) l'inverse de ce temps. En supposant que la roue tourne à vitesse constante, son image est périodique et sa période est le temps mis pour tourner de 45° (angle séparant deux rayons identiques).
De quel angle la roue a-t-elle tourné entre les deux images de la figure V-1 ? Instinctivement, le spectateur répond qð1 car c'est la valeur qui correspond au plus petit déplacement, au mouvement le plus continu. La figure montre pourtant que d'autres réponses doivent être envisagées puisque, les rayons étant indiscernables, l'origine et l'extrémité de qð1 ne sont connues qu'à k fois 45° près (k est un entier quelconque). Ainsi, qð2 = qð1 - 45° est une réponse acceptable, de même que toutes les valeurs qð1 + k . 45°. C'est cette ambiguïté qui explique le mouvement apparent de la roue qui semble avancer, reculer et même s'arrêter lorsque, entre deux images successives, elle tourne de k fois 45°.
EMBED Designer.Drawing.6
Fig. V-1. Dans quel sens va la charrette ? Les rayons
de l'image initiale sont fins, ceux de l'image suivante sont épais.
Supposons maintenant que la vitesse de la charrette soit limitée. La vitesse de rotation de la roue l'est aussi. Si cette dernière est inférieure à ±22,5° entre deux images, il n'y a plus qu'une réponse possible à la question précédente car un seul angle (qð1) satisfait cette inégalité. Observons que dans ce cas limite, il faudrait deux périodes d'échantillonnage pour que l'image tourne de 45°, c'est à dire qu'elle parcoure une période de l'image. On en conclut que :
La vitesse de la roue de charrette peut être déduite sans ambiguïté si la fréquence de son image est inférieure à la moitié de celle de l'échantillonnage.
Pour une vitesse de rotation donnée de la roue, tous les angles de rotation envisageables sont distants de 45°. En indiquant que la réponse était comprise entre + et - 22,5°, nous avons effectivement levé l'ambiguïté. Cependant, pour formuler les choses plus généralement, l'indication d'un intervalle quelconque de 45° conduit au même résultat. Par exemple, sachant qu'entre deux images successives la rotation va de 50 à 95°, l'angle parcouru (Fig. V-1) est parfaitement déterminé.
En convenant que les fréquences caractérisant une rotation de la roue dans le sens trigonométrique sont positives et inversement, les bornes de l'intervalle angulaire sont associées aux fréquences de répétition de l'image fmin et fmax et l'affirmation précédente se formule comme suit :
La vitesse de la roue de charrette peut être déduite sans ambiguïté si la fréquence de son image est comprise entre fmin et fmax et si fmax - fmin < Fe.
Tout comme celui d'une scène animée, l'échantillonnage d'un signal s(t) consiste à observer sa valeur à intervalle fixe. L'étude précédente nous montre que les fréquences du signal devront être soigneusement limitées pour qu'un choix cohérent de la fréquence d'échantillonnage évite toute aberration. Si le signal provenant des capteurs placés sur la roue du TGV indiquent à tort une vitesse négative, que va faire l'asservissement du freinage ?
3 - Signal échantillonné bloqué et échantillonné.
Nous l'avons dit, la première opération à effectuer pour introduire un signal dans un système numérique, c'est de prélever des échantillons. Nous avons vu ci-dessus que cette opération se traduisait par des propriétés surprenantes. Comment traduire cela mathématiquement ?
En pratique, pour prélever des échantillons, on fait appel à un échantillonneur-bloqueur. Avec une périodicité que l'on impose de l'extérieur, ce dispositif enregistre instantanément la valeur de s et la maintient jusqu'au prochain enregistrement (Fig. V-2). Cette opération associe un signal de sortie s*b au signal d'entrée s.
EMBED Designer.Drawing.6
Fig. V-2. Fonction échantillonneur bloqueur.
Comment exprimer s*b(t) en fonction de s(t) ? Comme le montre la figure V-2, s*b(t) est une addition d'impulsions rectangulaires successives de largeur Te.
EMBED Equation.2 (V-1)
où Dð(t) = 1/Te pour 0 p=h1DhFÊCJOJQJ^Jh±Y hÝhhÝhh^hÜÀhÝh hFÊ;hFÊ hFÊ;\ hFÊ5;CJ OJQJ^J jhFÊU\mHnHuhFÊOJQJ\^J hI)5
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