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Suites. I - Suites arithmétiques : 1° - Approche : Une parfumerie a vendu 5 000
parfums en 2002. Le responsable prévoit pour les années à venir une ...
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I - Suites arithmétiques :
1° - Approche :
Une parfumerie a vendu 5 000 parfums en 2002. Le responsable prévoit pour les années à venir une augmentation de 150 unités par an. Il établit le tableau suivant pour les huit années à venir.
Année
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Nombre de parfums
5 000
5 150
5 300
Une telle suite est appelée ..............................................................., de premier terme u1 = 5 000 et de ............................ r = 150 .Le second terme, 5 150 est désigné par u2 ; u2 = u1 + r
2° - Définition :
On appelle suite arithmétique, une suite de nombre réels tels que chacun deux, à partir du deuxième, est égal à la somme du précédent et dun nombre constant, appelé raison de la suite .
u n = u n-1 + r
3° - Exemples :
( Ecrire les quatre premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u1 = 11 et de raison r = 3 .
( Ecrire les six premiers termes dune suite arithmétique de premier terme u1 = 7 et de
raison r = - 5 .
4° - Détermination du terme de rang n :
a - Définition :
Le terme de rang n est tel que : u n = u 1 + ( n - 1 ) r
b - Exemple :
Calculons le septième terme de la suite arithmétique de premier terme u1 = 17 et de raison r = 2,5 .
5° - Somme des termes dune suite arithmétique limitée :
S = EMBED Equation.3 x (u1 + un) EMBED Equation.3
( Application :
Calculer la somme des 25 premiers termes dune suite arithmétique de premier terme
u1 = 5 et de raison r = 7.
Calculons le 25ème terme :
La somme est :
Quelle est la somme des 30 premiers nombres impairs ?
Une entreprise produit 20 000 unités par an. La production augmente de 1 550 unités par an.
Combien cette entreprise aura-t-elle produit en 5 ans ?
Quelle sera la production au bout de la 10ème année ?
II - Suites géométriques :
1° - Exemple :
Un capital de 5 000 ¬ est placé au taux annuel de 6 %. Quel sera le capital acquis au bout de la première année, de la deuxième année, de la troisième ?
Capital acquis à la fin de la première année :
A la fin de la deuxième année :
A la fin de la troisième année :
Remarque :.......................................................................................................................
.......
.....................................................................................................................................................
2° - Définition :
On appelle suite géométrique, toute suite de nombres, tel que chacun de ses termes est obtenu en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison ( q ).
u n = u n-1 x q
3° - Exemples :
a - Calculer les 6 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 10 et de raison 5.
Calculer les 4 premiers termes de la suite géométrique de premier terme u1 = 1 et de raison q = EMBED Equation.3 .
4° - Détermination du terme de rang n :
a - Définition :
Le terme de rang n est tel que : u n = u 1 x q n - 1
b - Exemples :
( Calculer le 7ème terme dune suite géométrique de premier terme u1 = 6 et de raison q = 3 .
( Calculer le 8ème terme dune suite géométrique de premier terme u1 = 5 et de raison q = 2 .
5° - Somme de termes dune suite géométrique :
a - Définition :
S = u 1 x EMBED Equation.3
b - Application :
( Calculer la somme des dix termes consécutifs dune suite géométrique de premier terme u1 = 2 et de raison q = 3 .
Suites : Etudes de situations
Exercice 1 : Deux entreprises A et B ont chacune une production de 100 000 articles en 2005. Lentreprise A prévoit daugmenter sa production de 12 000 articles par an. Lentreprise B prévoit daugmenter sa production de 9% par an.
(On affecte à lannée 2005 le numéro 1, à lannée 2006 le numéro 2, etc. On désigne par a1, a2, a3,
les productions correspondantes à lentreprise A et par b1, b2, b3,
celles de lentreprise B).
1° - Pour lentreprise A :
Déterminer la nature de la suite, son premier terme et sa raison.
Exprimer an en fonction de n.
Calculer sa production pour lannée 2009.
2° - Pour lentreprise B :
Déterminer la nature de la suite, son premier terme et sa raison.
Exprimer bn en fonction de n.
3° - Représenter graphiquement les productions an et bn sur un graphique, jusquà n = 10.
4° - Au bout de combien dannées, la production de lentreprise B aura-t-elle dépassé celle de lentreprise A ?
Exercice 2 : Le prix de vente dun magazine desthétique est augmenté de 8% chaque fin dannée.
1° - a- Sachant quà sa création son prix de vente P1 est égal à 14,5 ¬ . Déterminer le prix de vente P2 de la deuxième année.
b En déduire le coefficient multiplicateur permettant de calculer directement le prix de vente d une année sur l autre.
2° Exprimer et calculer les prix de vente P3, P4 de cette brochure la 3ème année, la 4ème année (arrondir à 0,01 ¬ près).
3° - Exprimer en fonction de P1, le prix de vente Pn de la brochure la nième année.
Calculer pour n = 10 (arrondir à 0,01 près)
Exercice 3 : Une fabrique de parfums réalise une étude de marché conce $%&+567tøùf × Ø 5
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