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Microéconomie 01-02 - Association pour la difusion de l'économie ...

TD 1. Exercice 1. Soit un système d'axes, dont les abscisses donnent des quantités de ... 1) Représenter quelques courbes d'indifférence d'un consommateur A non fumeur, mais ... Corrigé. Pour des rappels de cours, voir B. Guerrien, La théorie ... du modèle d'équilibre général, Economica, 1989, 3ème édition, pp.15 à 25.




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MICROECONOMIE (2005-2006)
Cours de B.Guerrien, S. Jallais, A.Hervier, C. Pignol
A préparer pour la première séance de TD

TD 1
Exercice 1
Soit un système d’axes, dont les abscisses donnent des quantités de cigarettes (bien 1) et les ordonnées des quantités de bonbons (bien 2), les unes et les autres étant supposées indéfiniment divisibles.
Représenter quelques courbes d’indifférence d’un consommateur A non fumeur, mais qui aime les bonbons, sans limite.
Représenter quelques courbes d’indifférence d’un consommateur B fumeur, sans limite, qui n’aime pas les bonbons.
Représenter quelques courbes d’indifférence d’un consommateur C fumeur et qui aime les bonbons (sans limite dans l’un et l’autre cas), qui est prêt à céder (au plus) deux bonbons contre une cigarette, et cela quel que soit le « panier » de bonbons et de cigarettes qu’il détient.
Donner le taux de substitution des bonbons par rapport aux cigarettes des consommateurs A, B et C.

Exercice 2

Soit un individu qui préfère, quel que soit le panier de biens qu’il détient, « consommer plus que moins » (il n’est jamais saturé) et qui, confronté aux paniers de biens suivants :
Q1 = (1, 12), Q2 = (2, 3), Q3 = (3, 4/3) et Q4 = (4, 3/4) ,
déclare qu’il les considère tous comme équivalents (il lui est indifférent qu’on lui attribue l’un ou l’autre de ces paniers).
Représenter dans un système d’axes cartésiens les quatre paniers Q. Tracer une courbe strictement convexe passant par ces points. On suppose que cette courbe est une courbe d’indifférence de l’individu.
L’individu ayant reçu le panier Q2, on lui propose de céder une unité du premier bien contre trois unités du second bien. Représenter sur le graphique le panier proposé. L’individu acceptera-t-il l’échange ?
Même question si on propose de lui donner, toujours s’il dispose de Q2, une unité du premier bien contre une unité du second bien.
Quels sont les taux d’échange (ou taux de substitution) pour l’individu lorsqu’il passe de Q1 à Q2 , de Q2 à Q3 et de Q3 à Q4 ?
On propose à l’individu de lui donner le panier (Q1 + Q3)/2 à la place du panier Q2. Est-ce qu’il acceptera cette proposition ? Même question à propos du panier (Q2 + Q4)/2, proposé contre le panier Q2.

Questions
Quelle condition doit vérifier la relation de préférence du consommateur pour que ses courbes d’indifférence soient décroissantes ?
Deux courbes d’indifférence d’un individu ayant une relation de préférence cohérente (transitive) peuvent-elles se couper ?

Corrigé. Pour des rappels de cours, voir B.Guerrien, La théorie néo-classique, bilan et perspectives du modèle d’équilibre général, Economica, 1989, 3ème édition, pp.15 à 25.

Exercice 1
Pour l’individu non fumeur (i.e. qui n’aime pas le bien 1), tous les paniers qui contiennent une même quantité de bien 2 procurent la même utilité, quelle que soit la quantité de bien 1 qu’ils contiennent. Tous ces paniers sont donc sur une même courbe d’indifférence : une courbe d’indifférence de niveau U° regroupe donc l’ensemble des paniers (q1,q°2) si q°2 est donné : c’est une droite horizontale.
Idem. Droite verticale.
(q1,q2) ~ (q1 +1,q2 -2). On constate graphiquement que les courbes d’indifférence sont des droites de pente égale à –2.
Le TMS du bien 1 par rapport au bien 2 est donné par le rapport le rapport (q2/(q1, quand (q1 tend vers 0+. C’est le taux d’échange qui serait appliqué si l’agent échangeait (q2 contre (q1 mais c’est un taux subjectif (il n’y a pas d’échange effectif : ce sont des échanges imaginés par les agents) et un taux limite, en deux sens : d’abord parce que ces échanges imaginés sont tels que les agents demeurent sur la même courbe d’indifférence (donc, à la différence des échanges effectifs, les agents sont, à ces taux, indifférents à l’échange) ; ensuite parce que (q1 tend vers 0+ (sinon, le TMS dépend de (q1).
L’interprétation économique du TMS est délicate :
d’abord parce que c’est un prix (la seule manière de comprendre pourquoi c’est un rapport de quantités est de montrer que si l’échange de (q2 contre (q1 implique que ces deux quantités sont équivalentes, c’est-à-dire, si l’on note p1 et p2 les prix des biens, que p1 (q1  = p2 (q2 ) mais qui n’a pas d’objectivité sociale : alors le prix est constaté dans un échange, le TMS est imaginé par les agents dans des échanges fictifs.
ensuite parce que (q1 tend vers 0+. On peut simplifier en disant que c’est la quantité maximale de bien 2 que l’individu accepte de céder pour obtenir une unité supplémentaire de bien 1 ou, réciproquement, la quantité supplémentaire minimale de bien 2 que l’individu exige pour céder une unité de bien 1, ce qui suppose que (q1 = 1. Dans le cas où les courbes d’indifférence sont linéaires (comme dans cet exercice), il n’y a pas de différence, mais sinon, cette interprétation est une approximation. Signaler dès maintenant qu’on se satisfera de cette approximation pour l’interprétation de tous les concepts marginaux.
Ici, TMS de l’agent A = 0, TMS de l’agent B = (, TMS de l’agent C = 2.
Rappeler que le TMS en un point est donné graphiquement par la pente de la tangente à la courbe d’indifférence en ce point.

Exercice 2

Q5 = (1,6). Par hypothèse de non saturation, l’individu préfère strictement Q1 à Q5 ; l’énoncé indique qu’il est indifférent entre Q1 et Q2 ; par transitivité, il préfère donc strictement Q2 à Q5 ; donc il refuse l’échange proposé. Faire remarquer que, par ce raisonnement, tous les paniers situés au-dessus de la courbe d’indifférence sont préférés aux paniers de la courbe d’indifférence.
Q6 = (3,2) est strictement préféré à Q3 par hypothèse de non-saturation ; Q3 est équivalent à Q2 d’après l’énoncé ; par transitivité, Q6 est préféré à Q2, donc l’individu accepte l’échange.
Les taux de substitution ( ! : pas marginaux ici) sont donnés par les rapports des quantités échangées, c’est-à-dire, en valeur absolue, la pente des droites joignant les paniers : TS = 9 dans l’échange de Q1 à Q2, 5/3 dans l’échange de Q2 à Q3, 7/12 dans l’échange de Q3 à Q4. Faire remarquer qu’il est décroissant, ce qui est équivalent à la convexité des courbes d’indifférence et s’interprète comme le goût des mélanges.
(Q1 + Q3)/2 = (2 ; 20/3) préféré à chacun car préféré à Q2 du fait de la non-saturation des besoins ; (Q2 + Q4)/2 = (3 ; 15/8) préféré à Q3 pour la même raison. Ils sont acceptés du fait du goût des mélanges (supposé).

Questions
On raisonne par l’absurde : si les courbes étaient constantes (horizontales par exemple), cela signifierait que deux paniers de biens contenant une même quantité de bien 2 et une quantité différente de bien 1 se situeraient sur la même courbe d’indifférence, donc procureraient au consommateur la même satisfaction. Cela signifierait qu’au moins pour le bien 1, le consommateur n’est pas davantage satisfait lorsqu’il en consomme davantage, i.e. qu’il a atteint la satiété. Idem pour le bien 2 si la courbe est verticale. Si la courbe est croissante, cela signifie que deux paniers dont l’un contient davantage de bien 1 et de bien 2 que l’autre procurent au consommateur la même satisfaction, i.e. que le consommateur, pour le panier contenant la plus faible quantité de chacun des biens, a atteint la satiété. Les courbes sont donc décroissantes si le consommateur n’atteint jamais la satiété, s’il veut toujours consommer davantage, si ses besoins ne sont jamais saturés.
Considérons deux paniers Q et Q’ appartenant à deux courbes d’indifférence différentes et tels que (par exemple) Q’ contient la même quantité de bien 1 que Q et davantage de bien 2. Alors, du fait de l’hypothèse de non-satiété, Q’ est préféré à Q. Supposons que ces deux courbes se coupent en Q’’. Alors, du fait de la définition des courbes d’indifférence, Q est équivalent à Q’’ (sont sur la même CI) et Q’ est équivalent à Q’’. Par transitivité, Q est équivalent à Q’, ce qui est incohérent avec ce qui précèdent. Deux courbes d’indifférence ne peuvent donc pas se couper.
TD 2

Exercice 1
Donner des fonctions d’utilité associées aux relations de préférence des consommateurs A, B et C de l’exercice 1 du TD 1.
La fonction U(q1,q2) = q1 q2 peut-elle être une fonction d’utilité associée à la relation de préférence du consommateur de l’exercice 2 du TD 1? Même question pour la fonction V(q1,q2) = q1² q2 .

Exercice 2
Soit les sept paniers de biens : (2,4,2), (1,7,2), (6,1,3), (1/2, 6,3), (3,4,1), (4,2,2), et (4,1,3).
Et soit un consommateur dont la relation de préférence, notée > (notation incorrecte) est telle que : (2,4,2) > ((3,4,1), (6,1,3) > (4,1,3), (4,2,2) > (1,7,2),
(3,4,1) > (4,1,3) et (1,7,2) > (1/2, 6, 3).
1) Cette information suffit-elle à classer complètement les paniers considérés ?
2) La relation de préférence peut-elle être représentée par les fonctins d’utilité U(.), V(.) et W(.) définies par : U(x,y,z) = (xyz)k , k >0 ; V(x,y,z) = lnx + lny + lnz ; W(x,y,z) = x + y + z.

Exercice 2 bis
Montrer que si la relation de préférence d’un consommateur est représentée par une fonction d’utilité de la forme:
U(q1 ,q2 ) = q1( q2( ,
alors elle est également représentée par la fonction d’utilité V(() définie par :
V(q1,q2) = q1(q21 - ( ,
où ( est un nombre que l’on précisera (en fonction de ( et de ().

Exercice 3
On considère deux individus A et B ayant la même relation de préférence, représentée par la fonction d’utilité U(() définie par :
U(q1 ,q2 ) = q1 q2 ,
la dotation initiale de A étant (10,5), celle de B étant (5,10).
Ces individus ont-ils intérêt à faire des échanges ?
De quelle forme sont leurs courbes d’indifférence?
Représenter dans un système d’axes donnant les quantités des biens 1 et 2, et dont l’origine est notée 0A, la courbe d’indifférence de A qui passe par sa dotation initiale.
Même chose pour B (en notant OB l’origine des axes).
En représentant ces courbes dans une « boîte d’Edgeworth » déterminer graphiquement les paniers de biens que A et B considèrent acceptables pour l’échange.

Exercice 4
On considère maintenant les individus A, B et C de l’exercice 1 du TD 1 avec, pour dotations, (10,5), (5,10) et (0,10), respectivement.
Déterminer dans une boîte d’Edgeworth les paniers de biens que A et B jugent acceptables pour l’échange. De même pour A et C.
Corrigé. Voir B.Guerrien, La théorie néo-classique, bilan et perspectives du modèle d’équilibre général, Economica, 1989, 3ème édition, pp.35-40.

Exercice 1
A qui n’aime que le bien 2 a une fonction d’utilité qui ne dépend que de la quantité de bien 2, et qui est une fonction croissante de cette quantité ; par exemple, U(q1,q2) = q2, mais aussi toute fonction de la forme foU où f est une fonction croissante de R+ sur R+. C’est l’inverse pour B qui a pour fonction d’utilité possible V(q1,q2) = q1. C’est plus compliqué pour C qui aime les deux biens : sa fonction d’utilité est croissante avec q1 et q2, mais comme une quantité de bien 1 lui procure deux fois plus d’utilité que la même quantité de bien 2 (tout ça n’est qu’une question d’unités de mesure), une fonction d’utilité doit tenir compte de cette différence : W(q1, q2) = 2q1 + q2.
On vérifie que U(() ne convient pas (le produit des quantités n’est pas le même pour tous les paniers supposés équivalents) mais que V(() convient (l’utilité calculée avec V(.) est égale à 12 pour tous les paniers.

Exercice 2
L’information n’est pas suffisante pour classer tous les paniers de biens puisqu’on ignore par exemple si (2,4,2) est préféré ou non à (6,1,3) (tous deux étant préférés à (3,4,1), équivalent à ((4,1,3), et qu’on ne sait pas non plus comparer ces paniers à (4,2,2), (1,7,2) ou (1/2, 6,3) (que l’on sait comparer entre eux).
En supposant k=1, U(.) représente correctement les préférences du consommateur. En effet, U(3,4,1) = 12 = U(4,1,3) ; U(2,4,2) = 16 > U(3,4,1) ; U(6,1,3) 18 > U(4,1,3) et U(4,2,2) = 16 > U(1,7,2) = 14 > U(1/2,6,3) = 9.
Or les fonctions d’utilité sont définies à une fonction croissante près : si U(.) représente correctement les préférences du consommateur, si V(.) = f(U(.)) où f(.) est une fonction croissante sur R+, alors V(.) représente correctement les préférences du consommateur. Ici, f(x) = xk est une fonction croissante sur R+ si k > 0. Donc (xyz)k = f(xyz) représente correctement les préférences du consommateur. Idem pour V(x,y,z) = ln(xyz), ln(.) étant une fonction croissante sur R+. Mais la relation n’est plus valable pour W(x,y,z) et l’on constate d’ailleurs que W(2,4,2) = 8 = W(3,4,1) ce qui contredit les hypothèses. W(.) est donc la seule fonction d’utilité qui ne convient pas.

Exercice 2 bis
Le TMS étant une notion ordinale, le TMS calculé à partir de deux fonctions d’utilité qui représentent la même relation de préférence est identique.
Calculé avec la fonction U(q1,q2), le TMS est égal à :  EQ \f((q1;(q2)  ; avec V(q1,q2), il est égal à  EQ \f(( q2;(1-()q1)  ; ils sont égaux pour tout panier (q1,q2) si  EQ \f((;() = \f((;1-() , ce qui donne  EQ ( = \f((;(+() .

Exercice 3
TMSA (q1 ,q2) = TMSB (q1 ,q2) = q2 /q1 ; TMSA (10,5) = 1/2 ; TMSB (5,10) = 2.
Au point de sa dotation initiale, ½ est la quantité maximale de bien 2 que A accepte de céder pour obtenir une unité supplémentaire de bien 1.
Si on lui propose un taux d’échange p1 /p2 inférieur à ½, A acceptera volontiers de céder du bien 2 pour obtenir du bien 1, puisqu’il cède alors, par unité de bien 1 obtenue, une quantité de bien 2 inférieure à sa quantité maximale ;
si on lui propose un taux d’échange du bien 1 en bien 2 supérieur à ½, ½ pouvant également s’interpréter comme la quantité minimale de bien 2 que A exige pour céder une unité de bien 1, A acceptera de céder du bien 1 pour obtenir du bien 2 ;
si on lui propose un taux d’échange égal à ½, A est indifférent à tout échange.
Idem pour B.
En confrontant les positions de A et B, on constate que les échanges sont impossibles entre eux pour des taux inférieurs à ½ (ils désirent tous deux céder du bien 2 pour obtenir du bien 1) et pour des taux supérieurs à 2 (inverse). Ils peuvent faire des échanges mutuellement avantageux à un taux (indéterminé) compris entre ½ et 2, échanges dans lesquels A cède du bien 1 et B cède du bien 2.
Les possibilités d’échanges mutuellement avantageux sont épuisées lorsque les TMS des deux agents sont égaux.
Les courbes d’indifférence sont « de type hyperbolique » (décroissantes, convexes et asymptotes aux axes), cas usuel car permettant une résolution simple du problème du consommateur. La décroissance exprime l’hypothèse de non-saturation des besoins, la convexité le goût des mélanges, le fait que les courbes soient asymptotes aux axes exprime la désirabilité des biens.
Par construction, un point du diagramme d’Edgeworth, qui représente une allocation des ressources disponibles de l’économie, indique à la fois le panier de A et celui de B.
On raisonne à partir de l’hypothèse de non-saturation : les agents préfèrent consommer davantage et atteindre des paniers situés sur des courbes d’indifférence les plus éloignées possibles de leur origine. A est donc désireux de se déplacer en haut à droite et B en bas à gauche ; en envisageant des paniers situés dans toutes les zones possibles du diagramme, on montre que A n’est désireux d’échanger que pour aller en un point situé au-dessus de sa courbe d’indifférence passant par (10,5), B pour aller en un point situé en dessous de sa courbe d’indifférence passant par (5,10). Les deux agents n’acceptent d’échanger que pour aller dans la zone comprise entre leurs deux courbes d’indifférence.

Remarques
On suppose l’échange volontaire : les agents n’échangent que s’ils améliorent leur situation.
De même que le 1) concluait à l’indétermination du taux d’échange, on conclut ici à l’indétermination du panier atteint (et donc du taux d’échange implicite à la transaction, taux représenté par la pente en valeur absolue de la droite reliant le point des dotations initiales au panier atteint).
Les possibilités d’échanges mutuellement avantageux sont épuisées lorsque la lentille est vide, c’est-à-dire lorsque l’on se trouve en un point où les courbes d’indifférence des deux agents sont tangentes entre elles, c’est-à-dire lorsque les TMS des agents sont égaux (le TMS d’un agent étant défini comme la pente de la tangente à sa courbe d’indifférence).

Exercice 4
(…)TD 3 Le choix du consommateur

Questions
1) Lorsqu’on écrit la contrainte de revenu sous la forme d’une égalité, cela signifie-t-il que le consommateur n’épargne pas ?
2) Parmi les termes qui interviennent dans le programme du consommateur, distinguer :
les données, considérées comme invariantes dans tous les modèles ;
les variables sur lesquelles porte le choix du consommateur ;
les paramètres qu’il considère comme donnés lorsqu’il effectue ce choix.

Exercice 1.
Soit un ménage dont la fonction d’utilité U(() est telle que :
U(q1, q2) = (q11/2 + 2q21/2)k,
où le bien 1 désigne des pommes et le bien 2 des poires.
Pour quelles valeurs de k la fonction qui associe à (q1, q2) le nombre q11/2 + 2q21/2 représente-t-elle la même relation de préférence que U(() ?
Calculer le taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2, pour un panier de biens (q1, q2) donné. Quel est l’ensemble des valeurs prises par ce taux lorsque ce panier parcourt la courbe d’indifférence sur laquelle il se trouve ? Les courbes d’indifférence sont-elles convexes ?
Tracer approximativement la courbe d’indifférence qui passe par le panier (4,1).
On suppose que le ménage a pour dotation initiale Q° = (4,1). Quelle est la valeur de ce panier lorsque les prix sont p1 = 1,2 et p2 = 1 ? Quel est l’ensemble des consommations possibles de ce ménage si on suppose que son revenu résulte de la vente (sans coût) aux prix p1 = 1,2 et p2 = 1 du panier Q° ? Représenter graphiquement cet ensemble, sur la figure de la question précédente.
Quel est le choix du ménage, aux prix donnés ?
Donner ses fonctions de demande, pour un revenu R quelconque.

Exercice 2 (choix intertemporel du consommateur).
Soit un ménage qui a la même fonction d’utilité et la même dotation initiale que celui de l’exercice 1. On suppose maintenant que le bien 1 désigne des « pommes aujourd’hui » et le bien 2 des « pommes demain ».
Etant donné la forme de sa fonction d’utilité, le ménage a-t-il une « préférence pour le présent » ?
On suppose p1 = 1,2 et p2 = 1. Quel est le taux d’intérêt en « pommes demain » associé à ces prix ?
A ces prix, le ménage sera-t-il demandeur ou offreur (net) de « pommes aujourd’hui » ?
Déterminer son offre, ou sa demande, nette de chaque bien, à ces prix.

Exercice 3 (offre de travail).
Soit un ménage qui a pour seule ressource son temps disponible t0 = 10, qu’il peut répartir entre travail et loisir, et soit un bien dont le prix affiché est p (sa quantité étant notée q).
Sachant que le salaire unitaire est w, écrire la contrainte budgétaire du consommateur. Représenter graphiquement son domaine de consommations possibles, dans un repère où le temps de loisir est mesuré sur l’axe des abscisses et la quantité consommée du bien sur l’axe des ordonnées.
Les préférences du ménage sont représentées par la fonction d’utilité : U(q,l) = q1/2l ,où l désigne le temps de loisir. Représenter graphiquement, dans la même figure qu’en 1), la courbe d’indifférence passant par le point (4,2).
Déterminer l’offre de travail et la demande du bien du ménage.
Même question, lorsque la fonction d’utilité du ménage est : U(q,l) = q1/2 + 2l1/2.
Corrigé. Voir B.Guerrien, La théorie néo-classique, bilan et perspectives du modèle d’équilibre général, Economica, 1989, 3ème édition, pp.25-34, 38-43, 233-242 pour l’exercice 2, et B.Guerrien et V.Parel, pp.

Questions
L’écriture de la contrainte de revenu sous forme d’une égalité pour résoudre le problème du producteur résulte de l’hypothèse de non-saturation des besoins ; le choix par le consommateur d’un panier de valeur inférieure à celle de ses dotations initiales serait contradictoire avec cette hypothèse. Cette écriture n’exclut pas l’épargne, définie comme la renonciation à une consommation présente en vue d’une consommation future : il suffit d’inclure la consommation future dans les dépenses, c’est-à-dire d’écrire une contrainte intertemporelle. L’écriture de cette contrainte suppose que les prix de tous les biens, présents et futurs, sont connus (hypothèse d’existence d’un système complet de marchés) et que le consommateur décide dès le début de l’ensemble de ses offres et demandes sur les biens présents et futurs.
Les données du consommateur sont les préférences (ses goûts, représentées par une fonction d’utilité) et les dotations initiales (ses ressources, exprimées en quantités de biens) ; les variables choisies par le consommateur sont les quantités offertes et demandées, les paramètres (donnés pour le consommateur, mais variables dans le modèle) sont les prix. La solution du problème du consommateur doit faire apparaître les variables en fonction des données et des paramètres.

Exercice 1
si V(q1 ,q2) = q11/2 + 2q21/2 , alors U(q1 ,q2) = foV(q1 ,q2), où f(.) est la fonction qui à x associe xk. U(.) et V(.) représentent la même relation de préférence si f est croissante de R+ dans R+. Comme f’(x) = kxk-1, f(x) est croissante pour x>0 si k>0.
La fonction d’utilité n’est pas une fonction Cobb-Douglas et les courbes d’indifférence ne sont pas asymptotes.  EQ TMS(q1 ,q2) = \f(\r(q2);2\r(q1)) . Pour calculer l’ensemble des valeurs du TMS le long d’une courbe d’indifférence, on détermine l’équation d’une courbe d’indifférence associée à l’utilité U°. Si k = 1,  EQ \r(q1) + 2\r(q2) = U° . Comme on a forcément q1 > 0 et q2 > 0, il faut  EQ q2 < \f(U°2;4)  et  EQ q1 < U°2  : ni q1 ni q2 ne peuvent être infinis, les courbes d’indifférence coupent les axes). L’équation s’écrit donc :  EQ \r(q2) = \f(U° -\r(q1);2) pour q1 < U°2. 
D’où l’on déduit le TMS sur cette courbe d’indifférence en fonction seulement de q1 :  EQ TMS(q1) = \f(U°- 2\r(q1);2\r(q1))  ; il n’est pas défini lorsque q1 est nul mais tend vers l’infini lorsque q1 tend vers 0 ; il est nul lorsque q1 = U°2. Il est donc décroissant le long de la courbe d’indifférence, ce qui équivaut à la convexité de la courbe, et s’interprète comme le goût des mélanges.
Cette courbe est décroissante et convexe (la fonction d’utilité n’étant pas du type ‘Cobb-Douglas’, la CI n’est pas asymptote aux axes).
La valeur du panier est égale à 5,8. L’ensemble des consommations possibles est l’ensemble des paniers (q1 ,q2 ) tels que  EQ 1,2q1 + q2 < 5,8 , c’est-à-dire tels que  EQ q2 < 5,8 – 1,2q1 . Ensemble représenté graphiquement par l’ensemble des points situés en dessous de la droite de revenu d’équation  EQ q2 = 5,8 – 1,2q1 .
Du fait de l’hypothèse de non-saturation, le choix du ménage, (q*1 ,q*2) est tel que q*2 = 5,8 -1,2q*1. Bien que les courbes d’indifférence coupent les axes, on applique la condition usuelle d’optimalité en égalisant TMS et rapport des prix. On obtient  EQ (q*1, q*2) = \b(\f(1;1,2) , 4,8) . Le fait que les courbes d’indifférence ne soient pas hyperboliques ne change rien ici ; dans le cas général, il est possible, lorsque les courbes d’indifférence coupent les axes, que l’égalisation du TMS et du rapport des prix conduise à une solution où les quantités choisies q*1 ou q*2 sont négatives, ce qui est absurde économiquement (c’est le cas si le TMS ne parcourt pas toutes les valeurs de 0 à l’infini sur une courbe d’indifférence et si le rapport des prix proposé n’est égal à aucun TMS sur la courbe) ; dans ce cas, on rectifie en choisissant pour le bien concerné une quantité nulle.
 EQ (q*1 , q*2) = \b(\f(p2 R;p1 p2 +4p12) , \f(4p1 R;p22 +4p1p2)). 

Exercice 2
la préférence pour le présent se déduit du TMS du ménage entre les pommes aujourd’hui et les pommes demain : si la quantité minimale de bien 2 qu’il exige pour renoncer à une unité de bien 1 est supérieure à 1, alors il a une préférence pour le présent ; si le TMS est égal à 1, il est indifférent entre consommation présente et consommation future ; s’il est inférieur à 1, il a une préférence pour le futur. Le TMS dépend bien sûr du panier que l’on considère ; pour simplifier, on calcule la préférence pour le présent en considérant des paniers composés d’une quantité égale des deux biens : si q1 = q2 = a, alors TMS(a,a) = ½. L’agent a donc une préférence pour le futur.
Le taux d’intérêt représente le rapport entre la quantité supplémentaire de bien futur obtenu en échange d’une renonciation au bien présent (quantité égale, pour un revenu R donné, à  EQ \f(R;p2) –\f(R;p1) ) et la quantité de bien présent qui aurait pu être obtenue ( EQ \f(;/p1) ). Donc  EQ r = \f(p1-p2;p2) . Ici r = 20%. Noter que les biens, présents ou futurs, sont payés dès la première période.
Le choix du ménage dépend de sa dotation : s’il est en Q° = (4,1), alors, comme dans l’exercice 1, il est offreur de bien 1 (bien présent) et demandeur de bien 2 (bien futur) ; s’il est en un panier où les quantités de bien 1 et 2 sont identiques, comme il préfère le bien futur et que le prix de ce bien est inférieur au prix du bien présent, il sera aussi demandeur de bien futur. Il ne l’est plus s’il est en un panier où son TMS est supérieur (ou égal) à 1,2.
Cf. question 5) de l’exercice 1 : aux prix proposés,  EQ (q*1 , q*2 ) = (1 , 4,8)  ;  EQ (e1 , e2 ) = (-3 , 3,8) .

Exercice 3
la contrainte budgétaire peut s’écrire pq + wl = wt0 = 10w ou (ce qui est équivalent et plus intuitif, mais moins proche de l’écriture usuelle des contraintes budgétaires :  EQ pq = wL  où L est le temps de travail :  EQ L = t0 – 10 . Le domaine des consommations réalisables est l’ensemble des paniers (l,q) tels que  EQ pq + wl < 10w , i.e. tels que  EQ q < \f(w (10-l);p)  ; c’est l’ensemble des paniers situés sur et en dessous de la droite d’équation  EQ q = \f(w (10-l);p) .
La courbe d’indifférence passant par (4,2) a pour équation : U(q,l) = U(4,2), i.e.  EQ \r(q) l = 4 , i.e.  EQ q = \f(4;l)=g(l) . Cette courbe est décroissante (g’(l)  0) et asymptote aux axes (g(l) tend vers l’infini quand l tend vers 0+ et vers 0+ quand l tend vers l’infini). On est donc dans le cas usuel.
On détermine les quantités désirées de bien et de loisir, q* et l* comme solution d’un système de deux équations :
la contrainte budgétaire écrite sous forme d’égalité : pq + wl = wt0 = 10w
l’égalité du TMS et du rapport des prix :  EQ \f(l;2q) = \f(p;w) .
On obtient  EQ (q* , l*)= \b(\f(wt0 ;3p) , \f(2t0 ;3)) . On en déduit l’offre de travail  EQ L* = t0 – l* = \f(t0;3) .
Remarques : l’offre de travail ne dépend pas du salaire réel (l’effet substitution d’une variation du salaire réel est toujours exactement égal à l’effet-revenu). Par ailleurs, 0 
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