Correction Devoir surveillé N°1 - CanalBlog
Déterminons la direction du champ électrique en utilisant les règles de symétrie :
Comme ... Déterminons les coordonnées dont dépend le champ électriques :.
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Correction Devoir surveillé N°1
Electromagnétisme 2005/2006
Exercice N°1
Déterminons la direction du champ électrique en utilisant les règles de symétrie :
Comme le cylindre est supposé infini ( h>>b) ; les plans EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont deux plans de symétrie, donc le champ est dirigé suivant lintersection de ces deux plans soit EMBED Equation.3
Déterminons les coordonnées dont dépend le champ électriques :
Le système est invariant par rotation autour de Oz donc E ne dépend pad de EMBED Equation.3
Le système est invariant par translation suivant Oz donc E ne dépend pad de z
Donc : EMBED Equation.3
On a daprès les relations de continuité : EMBED Equation.3
Or au voisinage de la surface de séparation entre le diélectrique est le vide, le champ électrique se réduit a sa composante tangentielle c-à-d EMBED Equation.3 . Comme cette composante est continue donc EMBED Equation.3
Comme on a un mélange de charge libre et de charge de polarisation, pour
calculer le champ électrique, il est plus simple de déterminer dabord le champ D qui ne dépend que des charge s libres :
on a : EMBED Equation.3
Surface de Gauss est un cylindre de hauteur h et de rayon r ( a < r < b ). On a donc :
EMBED Equation.3
Car E est le même dans les deux milieux. (N.B le calcul de lintégrale se fait sur la moitié dun cylindre)
Donc : EMBED Equation.3
La charge libre intérieur à la surface de Gauss est : EMBED Equation.3
Avec EMBED Equation.3 est la densité de charge libre la moitié qui contient le diélectrique.
EMBED Equation.3 est la densité de charge libre la moitié qui contient le vide.
Donc :
EMBED Equation.3
Déterminons E en fonction de U, a et b, pour cela calculons la circulation de E entre les deux conducteurs :
EMBED Equation.3
Doù EMBED Equation.3
Expression de la polarisation :
Dans le vide P = 0
Dans le diélectrique : EMBED Equation.3
Expressions du vecteur déplacement électrique :
Dans le vide : EMBED Equation.3
Dans le diélectrique : EMBED Equation.3
Densité de charge de polarisation :
Surface r = a : dans le vide EMBED Equation.3
Dans le diélectrique EMBED Equation.3
Surface r = b: dans le vide EMBED Equation.3
Dans le diélectrique EMBED Equation.3
La somme des charges de polarisation :
EMBED Equation.3
Exercice N°2
Calcul du vecteur excitation magnétique :
On a dans ce cas un mélange de courant libre et de courant daimantation mais la circulation de H ne dépend que des courants libres.
Direction de H : On utilise les règles de symétrie : Tout plan EMBED Equation.3 est un plan de symétrie donc EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
En déduire B :
EMBED Equation.3
En déduire laimantation M. Comme le milieu est un ferro doux, on a EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Soit I le courant qui fournit le même champ si le ferro est remplacé par le vide, on aura donc :
EMBED Equation.3
Calcul de lénergie magnétique du torre :
On a EMBED Equation.3
Déterminons lexpression du champ magnétique dans la coupure
Comme la circulation de H ne dépend que des courants libres et on a dans le ferro EMBED Equation.3 et dans le vide EMBED Equation.3
Donc :
EMBED Equation.3
Exercice 3
Densités de charges de polarisation surfacique
On a EMBED Equation.3
a) Expression du potentiel crée par un dipôle élémentaire :
EMBED Equation.3
b) on a EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
c) J est un champ électrique fictif crée par un plan charge avec une densité de charge uniforme EMBED Equation.3
doù le calcul de J se déduit facilement par le th de Gauss : EMBED Equation.3
a) En déduire V
On a EMBED Equation.3
b) on a EMBED Equation.3
c) Le plan polarisé est équivalent à un condensateur plan chargé avec une densité EMBED Equation.3 . Or le champ à lextérieur dun condensateur plan infini est nul, ceci explique la valeur trouvée.
