Réseaux électriques en courant continu - IUT en Ligne
Exercices sur les fonctions alternatives sinusoïdales et sur leur somme ... Un
corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir ...
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Exercices sur les fonctions alternatives sinusoïdales et sur leur somme
Ce document est une compilation des exercices posés en devoirs surveillés délectricité au département Génie Electrique et Informatique Industrielle de lIUT de Nantes. Ces devoirs se sont déroulés généralement sans documents, sans calculette et sans téléphone portable
Les devoirs dune durée de 80 min sont notés sur 20 points. Donc chaque point proposé au barème correspond approximativement à une activité de 4 min.
Ces exercices correspondent aux chapitres 3 et 4 de la ressource HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/ressources/baselecpro-cours-et-exercices-d-electricite.html" Baselecpro sur le site IUTenligne.
Un corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir (Cest souvent le seul moment où ils vont réfléchir à ce quils ont su (ou pas su) faire dans ce devoir)
Personnellement, je me refuse à manipuler le barème dun devoir lors de la correction dans le but dobtenir une moyenne présentable. (ni trop ni trop peu
)
La moyenne dun devoir doit refléter ladéquation entre les objectifs de lenseignant et les résultats des étudiants.
Les documents proposés ici sont délivrés dans un format qui permet tout assemblage/désassemblage ou modification à la convenance de lutilisateur. Les dessins et les équations ont été réalisés avec Word97.
Nos étudiants disposent dune masse considérable dinformations sur internet. Les enseignants sont maintenant soucieux de leur apprendre à utiliser intelligemment cet immense champ de connaissance. Ils leur apprennent notamment à citer les sources
Michel PIOU - Agrégé de génie électrique IUT de Nantes France
Table des matières
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc406163240" 1. Questions de cours PAGEREF _Toc406163240 \h 1
HYPERLINK \l "_Toc406163241" 2. Passer du graphe à lexpression dune fonction alternative sinusoïdale PAGEREF _Toc406163241 \h 1
HYPERLINK \l "_Toc406163242" 3. Positionner le zéro dune fonction alternative sinusoïdale (1,5 pts) PAGEREF _Toc406163242 \h 2
HYPERLINK \l "_Toc406163243" 4. Représentation du graphe de fonctions alternatives sinusoïdales (1,5 pts) PAGEREF _Toc406163243 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc406163244" 5. Passage entre graphes et vecteurs de Fresnel (2 pts) PAGEREF _Toc406163244 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc406163245" 6. Somme par les vecteurs de Fresnel (3,5 pts) PAGEREF _Toc406163245 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc406163246" 7. Somme par les vecteurs de Fresnel (4 pts) PAGEREF _Toc406163246 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc406163247" 8. Somme par les vecteurs de Fresnel (1,5 pts) PAGEREF _Toc406163247 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc406163248" 9. Somme par les vecteurs de Fresnel (1,5 pts) PAGEREF _Toc406163248 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc406163249" 10. Somme par les vecteurs de Fresnel (2 pts) PAGEREF _Toc406163249 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc406163250" 11. Somme par les vecteurs de Fresnel (2 pts) PAGEREF _Toc406163250 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc406163251" 12. Somme par les vecteurs de Fresnel (2 pts) PAGEREF _Toc406163251 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc406163252" 13. Somme par les vecteurs de Fresnel (2 pts) PAGEREF _Toc406163252 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc406163253" 14. Principe dune somme de sinusoïdes avec les complexes (2 pts) PAGEREF _Toc406163253 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc406163254" 15. Somme par les nombres complexes (2 pts) PAGEREF _Toc406163254 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc406163255" 16. Somme par les nombres complexes avec un logiciel (3,5 pts) PAGEREF _Toc406163255 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc406163256" 17. Triphasé : courant dans le neutre par les vecteurs de Fresnel (2,5 pts) PAGEREF _Toc406163256 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc406163257" 18. Triphasé : courant dans le neutre calculé par un logiciel (2,5 pts) PAGEREF _Toc406163257 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc406163258" 19. Triphasé : courant dans le neutre (5 pts) PAGEREF _Toc406163258 \h 17
Questions de cours
qð0pð/6pð/3pð/22 ðpð/3cos(qð)sin(qð)Compléter le tableau:
Barème pour chaque case:
Réponse juste:+0,2 pt
Pas de réponse: 0 pt
Réponse fausse: -0,2 pt
Passer du graphe à l expression d une fonction alternative sinusoïdale
Cas N°1
Soit la fonction alternative sinusoïdale représentée ci-contre (Attention aux axes centrés !)
Indiquer sa période :
Indiquer sa fréquence :
Sachant que sa phase à lorigine est un multiple de EMBED Equation.3 , préciser (sans justification) son expression analytique de sous la forme :
EMBED Equation.3 .
Corrigé : période : 2 ms. fréquence : EMBED Equation.3 . Expression analytique: EMBED Equation.3 .
EMBED Word.Picture.6
Cas N°2
Déterminer lexpression analytique de la fonction u(t) ci-contre.
Corrigé : EMBED Equation.3 ou EMBED Equation.3 ou EMBED Equation.3 ou EMBED Equation.3
Positionner le zéro dune fonction alternative sinusoïdale (1,5 pts)
Cas N°1
Le graphe ci-contre est celui de la fonction du temps EMBED Equation.3.
Placer approximativement laxe des ordonnées au point EMBED Equation.3 .
Préciser la valeur de la période T de EMBED Equation.3
(La distance entre deux pointillés verticaux correspond à un angle de 1 rad)
Corrigé :
EMBED Equation.3
La période est EMBED Equation.3
Cas N°2
Le graphe ci-contre est celui de la fonction EMBED Equation.3. Placer laxe des ordonnées au point t = 0. (attention sinus !)
Préciser la valeur de la période en ms:
Corrigé :
EMBED Equation.3
Cas N°3
Le graphe ci-contre est celui de la fonction EMBED Equation.3. Placer laxe des ordonnées au point t = 0. Préciser la valeur de la période :
(La distance entre deux pointillés verticaux correspond à un angle de 1 rad)
Corrigé :
EMBED Equation.3
La période est EMBED Equation.3
Cas N°4
Le graphe ci-contre est celui de la fonction EMBED Equation.3. Placer laxe des ordonnées au point t = 0. Préciser la valeur de la période :
Le graphe ci-contre est celui de la fonction EMBED Equation.3. Placer laxe des ordonnées au point t = 0. (attention sinus !)
Préciser la valeur de la période :
Corrigé :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Représentation du graphe de fonctions alternatives sinusoïdales (1,5 pts)
a) (2 pts) Représenter le graphe des fonctions EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 (ne pas oublier les échelles damplitude et de temps).
Corrigé :
Passage entre graphes et vecteurs de Fresnel (2 pts)
Test sur la capacité à passer de lune à lautre des descriptions
EMBED Word.Picture.8
Soient deux fonctions alternatives sinusoïdales v1(t) et v2(t) dont les graphes sont donnés ci-contre. A la fonction EMBED Equation.3 on a associé le vecteur de Fresnel suivant.
a) Représenter le vecteur de Fresnel associé à EMBED Equation.3 avec la même convention
b) Compte tenu de lorigine choisie sur le graphe, donner l'expression analytique de v2(t) (Préciser la valeur de la pulsation).
Corrigé :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Somme par les vecteurs de Fresnel (3,5 pts)
EMBED Word.Picture.8
Après avoir dessiné à main levée les vecteurs de Fresnel associés à EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , estimer lamplitude de la somme: EMBED Equation.3 ).
Représenter lallure de v(t) sur le graphe ci-contre.
Corrigé : On doit trouver approximativement les valeurs suivantes :
Somme par les vecteurs de Fresnel (4 pts)
Donner les expressions analytiques de EMBED Equation.3 et de EMBED Equation.3 . Préciser leur pulsation « EMBED Equation.3 ». Le déphasage sera estimé. ()
Représenter à main levée le diagramme de Fresnel à un instant quelconque associé à EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et à EMBED Equation.3
Donner une estimation de lamplitude EMBED Equation.3 de EMBED Equation.3 et de son déphasage EMBED Equation.3 par rapport à EMBED Equation.3 en rad ou en d°
Corrigé :
EMBED Equation.3 ou EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ou EMBED Equation.3
avec EMBED Equation.3
ou EMBED Equation.3
On doit trouver approximativement les valeurs suivantes :
(Calcul avec le logiciel gratuit Scilab)
V2=6*exp(-%i*1)
VS=V2+10
module=abs(VS)
argument=atan(imag(VS),real(VS))
module = 14,71672 ; argument = - 0,3642642 rad ou 20,870801 d°
Somme par les vecteurs de Fresnel (1,5 pts)
Sachant que EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , estimer lexpression analytique de EMBED Equation.3 à laide dun diagramme de Fresnel à main levée. (1 rad = 57,3°)
Corrigé :
avec le logiciel Scilab :
v=10+15*exp(%i*1) = 8.104535 + 12.622065i
module=abs(v) = 22.070131
argument=atan(imag(v),real(v)) = 0.6088288 rad = 35°
On doit donc trouver approximativement : EMBED Equation.3
Somme par les vecteurs de Fresnel (1,5 pts)
Sachant que EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , estimer lexpression analytique de EMBED Equation.3 à laide dun diagramme de Fresnel à main levée. (1 rad = 57,3°)
Corrigé :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 )
avec le logiciel Scilab :
v=10+15*exp(-%i*1) = 8.104535 - 12.622065i
module=abs(v) = 22.070131
argument=atan(imag(v),real(v)) = -0.6088288 rad = -35°
EMBED Equation.3
Somme par les vecteurs de Fresnel (2 pts)
Sachant que EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Représenter un diagramme de Fresnel associé aux tensions.
Estimer lordre de grandeur de lexpression analytique de EMBED Equation.3 sous la forme : EMBED Equation.3
Corrigé
j=%i;pi=%pi;v1=10;v2=15*exp(j*pi/3);v3=20*exp(-j*pi/6);
v=v1+v2+v3
Vmax=abs(v)
phase=atan(imag(v),real(v))
Vmax = 34.948679
phase = 0.0856697
EMBED Equation.3 (ordre de grandeur)
Somme par les vecteurs de Fresnel (2 pts)
Sachant que EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Représenter un diagramme de Fresnel associé aux tensions.
Estimer lordre de grandeur de lexpression analytique de EMBED Equation.3 sous la forme : EMBED Equation.3
Corrigé :
Calcul sous Scilab :
j=%i; v1=10;v2=15*exp(j*1);v3=20*exp(-j*0.5);
v=v1+v2+v3
Vmax=abs(v)
phase=atan(imag(v),real(v))
Vmax = 35.784997
phase = 0.0848735
EMBED Equation.3 (ordre de grandeur)
Somme par les vecteurs de Fresnel (2 pts)
Sachant que EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , estimer lexpression analytique de EMBED Equation.3 à laide dun diagramme de Fresnel.
Corrigé :
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
Somme par les vecteurs de Fresnel (2 pts)
Soient EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 trois tensions alternatives sinusoïdales représentées ci contre.
On étudie le montage suivant :
A laide dun diagramme de Fresnel, estimer lamplitude EMBED Equation.3 de la tension EMBED Equation.3 et son déphasage EMBED Equation.3 par rapport à EMBED Equation.3 . Préciser quels sont les vecteurs EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Corrigé :
Principe dune somme de sinusoïdes avec les complexes (2 pts)
On veut déterminer EMBED Equation.3 à partir dune estimation graphique
.
Estimer le déphasage. () et compléter les 3 cases ci-dessous
Corrigé :
Somme par les nombres complexes (2 pts)
EMBED Word.Picture.8
Déterminer les expressions analytiques de v1(t) et de v2(t)
Soit v(t) = v1(t) + v2(t).
Calculer v(t) par les complexes.
(sans calculatrice)
(On remarquera que EMBED Equation.3 et que EMBED Equation.3 ce qui doit faire penser à un angle bien particulier
)
Corrigé : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Somme par les nombres complexes avec un logiciel (3,5 pts)
A laide du logiciel Scilab, on a fait la somme de deux sinusoïdes EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 de même fréquence en utilisant le calcul en complexes.
(Dans le langage Scilab, lopérateur complexe « i » ou « j » sécrit %i et les complexes ne sont pas soulignés)
Voici dans les encadrés les instructions et les résultats obtenus par Scilab
Sachant que EMBED Equation.3 , Compléter les expressions de EMBED Equation.3 et de EMBED Equation.3 ci-dessous :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Quel calcul a fait le logiciel Scilab pour obtenir le complexe EMBED Equation.3 sous forme algébrique V = 3.014 + 1.090i
à partir des expressions V1=2*exp(-%i*0.8) = 1.393 - 1.435i et V2=3*exp(%i*1) = 1.621 + 2.525i ?
Quel calcul a fait le logiciel Scilab pour obtenir le module du complexe EMBED Equation.3 à partir de V = 3.014 + 1.090i ?
Quel calcul a fait le logiciel Scilab pour obtenir largument du complexe EMBED Equation.3 à partir de V = 3.014 + 1.090i ?
Corrigé :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (Somme des parties réelles et somme des parties imaginaires)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Triphasé : courant dans le neutre par les vecteurs de Fresnel (2,5 pts)
Un câble « triphasé » comporte quatre conducteurs de cuivre (notés (, (, ( et EMBED Word.Picture.8 ).
Chaque conducteur a une section de 2,5 mm2. Il peut délivrer un courant alternatif sinusoïdal damplitude maximale 28 A sans que son échauffement (par effet Joule) ne soit excessif.
Ce câble alimente un ensemble de trois dipôles parcourus respectivement par les courants EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Les courants EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont représentés ci-contre :
Représenter, à main levée, les vecteurs de Fresnel EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 à un instant quelconque. En déduire graphiquement si lamplitude du courant EMBED Equation.3 est compatible avec la section des conducteurs du câble.
Corrigé :
Calcul en complexe (non demandé)
j=%i;pi=%pi
i1=20*exp(j*0);i2=10*exp(-j*7*pi/6);i3=15*exp(-j*4*pi/6);
iN=i1+i2+i3
module_iN=abs(iN)
argument_iN=atan(imag(iN),real(iN))
Les résultats obtenus sont les suivants :
module_iN = 8.865091
argument_iN = - 1.1228327
Visiblement lamplitude de EMBED Equation.3 est très inférieure à 28 A
Un simple diagramme de Bode à main levée permet den avoir la certitude
Triphasé : courant dans le neutre calculé par un logiciel (2,5 pts)
Un câble « triphasé » comporte quatre conducteurs de cuivre (notés (, (, ( et neutre).
Chaque conducteur a une section de 2,5 mm2. Il peut délivrer un courant alternatif sinusoïdal damplitude maximale 28 A sans que son échauffement (par effet Joule) ne soit excessif.
Ce câble alimente un ensemble de trois dipôles parcourus respectivement par les courants EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Les courants EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont représentés ci-contre. On pose EMBED Equation.3
Pour déterminer le courant EMBED Equation.3 , on utilise le logiciel Scilab qui peut effectuer des calculs en complexe.
Les instructions programmées sont les suivantes :
j=%i; pi=%pi
i1=20*exp(j*0);i2=10*exp(-j*7*pi/6);
i3=15*exp(-j*4*pi/6);
iN=i1+i2+i3
module_iN=abs(iN)
argument_iN=atan(imag(iN),real(iN))
Les résultats obtenus sont les suivants :
module_iN = 8.865091
argument_iN = - 1.1228327
Compléter lexpression EMBED Equation.3
Corrigé :
Commentaire : Aucune difficulté calculatoire dans cet exercice. Lobjectif est de tester la capacité à appréhender une situation inconnue sans paniquer. Pour cela, il faut quelques connaissances et un minimum de confiance en soi !
Triphasé : courant dans le neutre (5 pts)
Un câble « triphasé » comporte quatre conducteurs de cuivre (notés (, (, ( et EMBED Word.Picture.8 ).
Chaque conducteur a une section de 2,5 mm2. Il peut délivrer un courant alternatif sinusoïdal damplitude maximale 28 A sans que son échauffement (par effet Joule) ne soit excessif.
a) Ce câble est alimenté par trois tensions EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 représentées ci-dessous aux bornes des trois résistances R1, R2 et R3 ci-contre.
EMBED Word.Picture.6
Les amplitudes des courants EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 ont été mesurées : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Représenter les vecteurs de Fresnel EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 à un instant quelconque. En déduire graphiquement si lamplitude du courant EMBED Equation.3 est compatible avec la section des conducteurs du câble
b) Les trois résistances précédentes sont remplacées par trois nouveaux dipôles. Les nouveaux courants sont représentés ci-contre.
Représenter les vecteurs de Fresnel EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . En déduire graphiquement si lamplitude du courant est compatible avec la section des conducteurs du câble.
Corrigé :
a) Les courants EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont respectivement en phase avec les tensions EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . Le diagramme de Fresnel à main levée montre que lamplitude du courant EMBED Equation.3 est inférieure à 10 A
b)
Dans ce second cas, le diagramme de Fresnel à main levée montre que lamplitude du courant EMBED Equation.3 est de lordre de 40 A, donc incompatible avec la section du câble.
Rappel : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Rappel : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/" EMBED CorelPhotoPaint.Image.8 HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/ressources/exercicelecpro.html"ExercicElecPro
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t
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t
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EMBED Equation.3
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- 2 rad
1 rad
- 1 rad
3,14 rad
2 rad
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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v
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0 rad
- 2 rad
1 rad
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neutre
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i3
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- 0,44
15,83
-1 rad
1 pt
1 pt
( )
t
Somme avec une calculette ou un logiciel
Complexes
EMBED Equation.3
On décide de prendre EMBED Equation.3 comme référence et décrire : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
10V
0V
-10V
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Calcule avec le logiciel Scilab
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
1 pt
1 pt
0,5 pt
1 pt
Réponses de Scilab
V1 = 1.393 - 1.435i
V2 = 1.621 + 2.525i
V = 3.014 + 1.090i
moduleV = 3.205
argumentV = 0.347
Instructions données à Scilab :
V1=2*exp(-%i*0.8)
V2=3*exp(%i*1)
V=V1+V2
moduleV=abs(V)
argumentV=atan(imag(V),real(V))
0,5 pt
0,5 pt
1 pt
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
5
4
Ressource HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/ressources/exercicelecpro.html"ExercicElecPro proposée sur le site Internet HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/" EMBED CorelPhotoPaint.Image.8
Copyright : droits et obligations des utilisateurs
Lauteur ne renonce pas à sa qualité d'auteur et aux droits moraux qui s'y rapportent du fait de la publication de son document.
Les utilisateurs sont autorisés à faire un usage non commercial, personnel ou collectif, de ce document notamment dans les activités d'enseignement, de formation ou de loisirs. Toute ou partie de cette ressource ne doit pas faire l'objet d'une vente - en tout état de cause, une copie ne peut pas être facturée à un montant supérieur à celui de son support.
Pour tout extrait de ce document, l'utilisateur doit maintenir de façon lisible le nom de lauteur Michel Piou et la référence au site Internet IUT en ligne. La diffusion de toute ou partie de cette ressource sur un site internet autre que le site IUT en ligne est interdite.
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EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
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v
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v
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EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
v
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EMBED Equation.3
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0V
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(
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EMBED Word.Picture.8
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
//Calcul en complexe sous Scilab :
v1=3*exp(%i*%pi/6); v2=7*exp(-%i*%pi/6);
v=v1+v2 ;
module=abs(v)
argument=atan(imag(v),real(v))
module = 8.8881944
argument = - 0.2269611
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Une version de Baselecpro est disponible sous forme dun livre aux éditions Ellipses dans la collection Technosup sous le titre
HYPERLINK "http://www.editions-ellipses.fr/les-lois-de-l-electricite-regimes-continu-sinusoidal-triphase-transitoire-cours-et-exercices-corriges-electricite-generale-niveau-a-p-7348.html" ÉlectricitÉ gÉnÉrale Les lois de lélectricité
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Période: 20 ms
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t
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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Période: 20 ms
t
EMBED Equation.3
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Période: 6,28 ms
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