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BTS 1 ? Groupe 1 ? Corrigé 01 - muizon

Corrigé de l'épreuve de mathématiques BTS industriels Groupement C ? Juin 2007. Exercice 1 (10 ... Donc, par identification des coefficinets : Donc : .... b) Équation de la droite de régression de Z en x par la méthode des moindres carrés.




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Corrigé de l'épreuve de mathématiques BTS industriels Groupement C – Juin 2007

Exercice 1 (10 points)

Le tableau ci-dessous montre une étude statistique portant sur l’offre (z) et la demande (y) en fonction du prix unitaire (x) d’un nouveau produit mis sur le marché :

x
en euros0,511,522,533,54y
en milliers7,86,14,73,732,52,22z
en milliers0,91,41,71,92,12,32,42,6
Partie A. Étude de la demande

On considère l’équation différentielle (E) : y2 +0,4y=0,4x"1

1. Résoudre sur (, l équation différentielle : y2 +0,4y=0.
On sait qu une équation différentielle de la forme ay2 +by=0 a pour solution générale : y= EQ Ce\s\up 6(- EQ \s\do0( \F(b;a) )x) où C est une constante réelle quelconque.
Dans notre cas, la solution générale est donc : EQ \x(EQ \l(y= EQ Ce\s\up 3(-0,4x))). (C;&()
2. a) Déterminons les réels a et b pour que la fonction g, définie par g(x)=ax+b soit une solution particulière de (E)
On a : g2 (x)=a
Donc, si g est solution de (E) alors, pour tout réel x : g2 (x)+0,4g(x)=0,4x"1
Donc : a+0,4(ax+b)=0,4x"1
Donc : 0,4ax+(a+0,4b)=0,4x"1
Donc, par identification des coefficinets :  EQ \b\lc\{(\a\al(0,4a=0,4;a+0,4b=-1))
Donc :  EQ \b\lc\{(\a\al(a=1;b=- EQ \s\do0( \F(2;0,4) )=-5))
La fonction g définie sur ( par : EQ \x(EQ \l(g(x)=x"5)) est donc une solution particulière de (E).
Résolution de (E)
On sait que la solution générale de l équation (E) s obtient en ajoutant :
la solution générale de l équation homogène (question 1) : y= EQ Ce\s\up 3(-0,4x)
une solution particulière de l équation complète (E) (question 2a) : g(x)=x"5
Donc la solution générale de l équation (E) est : EQ \x(EQ \l(y= EQ Ce\s\up 3(-0,4x)+x"5)).
Déterminer la fonction f, solution de (E), telle que f(0)=10.
On a : f(x)= EQ Ce\s\up 3(-0,4x)+x"5
Donc : f(0)=C"5
On doit donc avoir : C"5=10
Donc : C=15.
La fonction f qui remplit la condition initiale f(0)=10 est donc définie par : EQ \x(EQ \l(f(x)= EQ 15e\s\up 3(-0,4x)+x"5)).
On pose, pour x;& EQ \l([0,5;4]), y=d(x) avec d(x)= EQ 15e\s\up 3(-0,4x)+x"5.
a) Calcul de d2 (x) et étude des variations de d sur l intervalle  EQ \l([0,5;4])
On a, d après les règles de calcul des dérivées : d2 (x)=15× EQ (-0,4)e\s\up 3( 0,4x)+1
Donc : EQ \x(EQ \l(d2 (x)=- EQ 6e\s\up 3(-0,4x)+1)).
On en déduit : d2 (x)Ã0 ñ - EQ 6e\s\up 3(-0,4x)Ã-1
ñ  EQ e\s\up 3(-0,4x)Â EQ \s\do0( \F(1;6) )
ñ -0,4xÂln EQ \b\bc\(( EQ \s\do0( \F(1;6) ))
ñ -0,4xÂ-ln6
ñ xà EQ \s\do0( \F(ln6;0,4) ) avec  EQ \s\do0( \F(ln6;0,4) )ó4,48
Donc, pour tout x;& EQ \l([0,5;4]), d2 (x)0.
EQ \x(EQ \l(La fonction h est donc strictement croissante sur l intervalle  EQ \l([0,5;4]))).

Construction de la courbe  EQ C\s\do 2(h) dans le même repère que la courbe  EQ C\s\do 2(d).



Déterminer graphiquement une valeur approchée du prix de vente pour lequel la demande est égale à l’offre.


Les courbes  EQ C\s\do 2(d) et  EQ C\s\do 2(h) se coupent au point A d’abscisse 3,22 environ.

Donc, à 10 centimes près, le prix de vente pour lequel la demande est égale à l’offre est :

EQ \x(EQ \l(xó3,20 ¬ )).
Exercice 2 (10 points)

Partie A. Dans cette partie on s intéresse aux stylos du modèle  EQ M\s\do 2(1)

1. Quelle est la probabilité de prélever au hasard un style provenant de la chaîne  EQ C\s\do 2(1) et non-conforme ?
Notons  EQ C\s\do 2(1) l’événement : "le stylo prélevé provient de la chaîne  EQ C\s\do 2(1)"
Notons C l’événement : "le stylo est conforme". (par conséquent  EQ \o(\s\up1(Ò);C) désigne l’événement "le style est non-conforme")
D’après l’énoncé, la chaîne de production  EQ C\s\do 2(1) produit 40 % du stock. Donc p EQ \b\bc\(( EQ C\s\do 2(1))=0,4.
On sait également que la chaîne  EQ C\s\do 2(1) produit 6 % de stylos non-conformes. Donc p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C) EQ \l(/)C\s\do 2(1))=0,06.
On en déduit :  EQ \s\do0( \F(p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C))"C\s\do 2(1));p EQ \b\bc\(( EQ C\s\do 2(1))) )=0,06, ou encore : p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C))"C\s\do 2(1))=0,06×0,4=0,024.
La probabilité de prélever un style provenant de la chaîne  EQ C\s\do 2(1) et non-conforme est donc égale à EQ \x(EQ \l(0,024)).
2. Déterminer le pourcentage t de stylos non-conformes produits par la chaîne  EQ C\s\do 2(2) .
Notons  EQ C\s\do 2(2) l’événement : "le stylo prélevé provient de la chaîne  EQ C\s\do 2(2)".
Autrement dit, on cherche t=p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C) EQ \l(/)C\s\do 2(2)).
On a : p EQ \b\bc\(( EQ \o(\s\up1(Ò);C))=p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C))"C\s\do 2(1))+p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C))"C\s\do 2(2))
Or d après l énoncé, la probabilité que le stylo prélevé soit non-conforme est égale à 0,09.
Donc : p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C))"C\s\do 2(1))+p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C))"C\s\do 2(2))=0,09.
Donc : 0,024+p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C))"C\s\do 2(2))=0,09.
Donc : p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C))"C\s\do 2(2))=0,066
Donc : p EQ \b\bc\(( EQ  EQ \o(\s\up1(Ò);C) EQ \l(/)C\s\do 2(2))×p EQ \b\bc\(( EQ C\s\do 2(2))=0,066
Donc : t×0,6=0,066
Finalement : t= EQ \s\do0( \F(0,066;0,6) )=0,11. EQ \x(EQ \l(La chaîne  EQ C\s\do 2(2) produit donc 11 % de stylos non-conformes)).

Remarque : toute cette partie A pouvait se faire à l’aide d’un tableau de répartition :
Stylos produits par la chaîne  EQ C\s\do 2(1)Stylos produits par la chaîne  EQ C\s\do 2(2)Total
Stylos conformes
40 %"2,4 %=37,6 %60 %"6,6 %=53,3 %100 %"9 %=91 %
Stylos non-conformes
6 %×40 %=2,4 %9 %"2,4 %=6,6 %9 %
Total
40 %60 %100 %
On déduit de ce tableau que, parmi les stylos produits par la chaîne  EQ C\s\do 2(2), le pourcentage de styles non-conformes est :
t= EQ \s\do0( \F(6,6;60) )=0,11=11 %.

Partie B. Dans cette partie, on s’intéresse aux stylos du modèle  EQ M\s\do 2(2)

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable X.
L’expérience consiste à prélever 50 stylos du modèle  EQ M\s\do 2(2).
On peut dire que les tirages sont indépendants car assimilés à des tirages avec remise.
Pour chaque tirage, il y a 2 issues :
le style est non-conforme avec une probabilité de 0,03;
le style est conforme avec une probabilité de 0,97.
La variable .NPZghi©ª°±²³ÂÃÄÅãäåæèé     5 6 B C ` a m n   ˜ ® ¾ ¿ × Ø Ù Ú Ý


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