TD5
Nom, Prénom : Exercice 1 : Lors du sondage réalisé sur la classe de S5, à la
question quelle est votre couleur préférée, les réponses ont été : bleu. bleu. bleu.
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TD5 : METHODES DESTIMATION
Exercice 1: On étudie la caractéristique X dune population, que lon sait être de loi normale EMBED Equation.DSMT4 . Afin destimer les paramètres de cette loi, on fait un sondage de taille n. Soit EMBED Equation.DSMT4 léchantillon aléatoire associé.
On veut estimer le paramètre m. Déterminer lestimateur du maximum de vraisemblance EMBED Equation.DSMT4 de m et étudier ses propriétés. Le fait que EMBED Equation.DSMT4 soit ou non connu modifie-t-il le résultat ?
On suppose m connu et on veut estimer EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer lestimateur du maximum de vraisemblance EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 et étudier ses propriétés. Calculer la borne FDCR relative à ce paramètre. Conclusion ?
En déduire un estimateur EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 . Cet estimateur peut-il être sans biais ?
Dans le cas où m est inconnu, donner un estimateur EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 et étudier ses propriétés.
Exercice 2 : Soit EMBED Equation.DSMT4 un échantillon aléatoire issu de la loi X à
Exercice 3 :
Exercice 4 : On étudie la caractéristique X dune population, que lon sait être de loi uniforme sur [0, EMBED Equation.DSMT4 [, EMBED Equation.DSMT4 >0 inconnu. Afin destimer EMBED Equation.DSMT4 , on fait un sondage de taille n. Soit EMBED Equation.DSMT4 léchantillon aléatoire associé.
Calculer lestimateur des moments EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 . Est-il sans biais ? convergent ? calculer sa variance et donner sa loi limite.
Construire lestimateur du maximum de vraisemblance de EMBED Equation.DSMT4 . En déduire un estimateur sans biais EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 . Calculer sa variance et la comparer à la quantité EMBED Equation.DSMT4 . Commenter le résultat. EMBED Equation.DSMT4 est-il convergent ? Donner sa loi limite.
Entre EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , quel estimateur choisiriez-vous pour estimer EMBED Equation.DSMT4 ?
Exercice 5 : Soit EMBED Equation.DSMT4 un échantillon aléatoire issu de la loi X de densité : EMBED Equation.DSMT4
Déterminer A en fonction de EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer lestimateur des moments EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 . Donner le signe de son biais éventuel. Est-il convergent ?
Déterminer lestimateur du maximum de vraisemblance EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 . Est-il sans biais ? convergent ? efficace ?
Etudier sa loi limite.
Exercice 6 : On veut estimer les paramètres EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 dune loi de poisson de paramètre EMBED Equation.DSMT4 à partir dun échantillon EMBED Equation.DSMT4 issu de cette loi.
Estimation de EMBED Equation.DSMT4 :
En utilisant le théorème sur lefficacité, trouver une statistique exhaustive EMBED Equation.DSMT4 et un estimateur efficace EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 . Montrer quil coïncide avec lestimateur des moments et celui du maximum de vraisemblance de EMBED Equation.DSMT4 . Donner la loi limite de EMBED Equation.DSMT4 .
Soit EMBED Equation.DSMT4 . Justifier lutilisation dune telle statistique pour estimer ¸. Cet estimateur est-il-biaisé ?
Sans effectuer aucun calcul supplémentaire, comparer les deux estimateurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Estimation de EMBED Equation.DSMT4 :
Interpréter EMBED Equation.DSMT4 comme la probabilité dun évènement relatif à la variable aléatoire EMBED Equation.DSMT4 .
Soit la variable aléatoire Y valant 1 si EMBED Equation.DSMT4 et 0 sinon. Donner la loi de Y, son espérance et sa variance. Que pensez-vous de Y comme estimateur de EMBED Equation.DSMT4 ?
Améliorez Y en utilisant EMBED Equation.DSMT4 . On appelle EMBED Equation.DSMT4 lestimateur ainsi créé.
En utilisant 1), proposer un estimateur naïf EMBED Equation.DSMT4 &'()|}åêë ïâÒι°¥¥s¥hYN6>hw#OJQJh¦h¦OJQJ h7_5OJQJmHnHtH u hÑlê5OJQJmHnHtH u)jLJhDØ5OJQJUmHnHtH u hDØ5OJQJmHnHtH uh»hÍO OJQJ jÐ"h»h»OJQJUhDØOJQJh»6OJQJh»h»6OJQJ jh»h»6OJQJU$j© h»h»6EHðÿOJQJU&jÎÿM
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