Equations différentielles linéaires ( E
Les solutions de l'équation différentielle linéaire homogène sont les fonctions
définies sur I par où C est une constante arbitraire et où G est une primitive sur I ...
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Chapitre 6
Equations différentielles linéaires (EDL)
Exercices 1, 2, 3, 4 et 5p126.
I Equation Différentielle Linéaire du 1er ordre (EDL):
a, b et c sont des fonctions continues sur un intervalle I où a ne s'annule pas.
Les solutions sont les fonctions y, dérivables sur I, telles que, pour tout x de I,
a(t)y + b(t)y = c(t).
A] Cas particulier : EDLH
( Equation différentielle linéaire homogène, ou sans second membre ).
Théorème :
Les solutions de l'équation différentielle linéaire homogène sont les fonctions définies sur I par où C est une constante arbitraire et où G est une primitive sur I de la fonction x EQ \s\up1( SYMBOL 189\f"Symbol"\h\s3 SYMBOL 190\f"Symbol"\h\s5 SYMBOL 190\f"Symbol"\h\s5 SYMBOL 174\f"Symbol"\h\s5) eq \s\do1(\f(a;b))(x).
Exemple :
Résoudre sur IR léquation différentielle y + eq \s\do1(\f(1;x3)) y = 0.
Avec le théorème on cherche tout dabord une primitive de eq \s\do1(\f(1;x3)). On sait alors que G(x) = eq \s\do1(\f(1;2)) eq \s\do1(\f(1;x2)).
Donc y(x) = C exp( eq \s\do1(\f(1;2)) eq \s\do1(\f(1;x2))).
Exercices 6 et 7p126.
Exercices 9 et 10p127.
B] Cas général
1) Théorème
Théorème :
Les solutions de l'équation différentielle linéaire s'obtiennent en ajoutant à la solution générale de l'équation homogène une solution particulière de l'équation avec second membre.
2) Méthode de variation des constantes ou de Lagrange
Méthode:
La solution générale de l'équation homogène est .
On cherche une fonction x EQ \s\up1( SYMBOL 189\f"Symbol"\h\s3 SYMBOL 190\f"Symbol"\h\s5 SYMBOL 190\f"Symbol"\h\s5 SYMBOL 174\f"Symbol"\h\s5) z(x) telle que soit solution de l'équation . Le but est alors de trouver une telle fonction z.
Exemple :
Résoudre léquation différentielle ty 2y = t3 et sur IR+*.
Résolvons tout dabord léquation ty 2y = 0 à laide du théorème précédent.
On a donc y = C exp eq \b(G(t)) où G(t) est une primitive de eq \s\do1(\f(2;t)) sur IR+*. Donc G(t) = 2ln t.
Ainsi y = C exp eq \b(2ln t ) = Ct2.
Utilisons la méthode de variation de la constante.
Calculons tout dabord y = C(t) exp eq \b(2ln t ) + C(t) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(2;t)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h exp eq \b(2ln t ).
Doù ty 2y = t SYMBOL 180 \f "Symbol"\h eq \b(C(t) exp eq \b(2ln t ) + C(t) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(2;t)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h exp eq \b(2ln t )) 2 C(t) exp eq \b(2ln t )
= t C(t) exp eq \b(2ln t) = t C(t) t2 = t3 et.
Ainsi C(t) = et.
Cest pourquoi C(t) = et + k où k SYMBOL 206 \f "Symbol"\h IR.
Donc y = C(t) exp eq \b(2ln t ) = eq \b(et + k) t2 où k SYMBOL 206 \f "Symbol"\h IR.
3) Solutions particulières usuelles de l'équation différentielle linéaire ( a ( IR )
Théorème :
La solution générale de ay + by = c sobtient en ajoutant la solution de lEDLH et une solution particulière de EDL avec second membre.
Exercice 11p127.
cas où EMBED Unknown est un polynôme de degré n
Propriété :
si alors une solution particulière est un polynôme de degré n+1.
Si alors une solution particulière est un polynôme de degré n.
Démonstration :
ADMIS
Exemple :
Résoudre léquation différentielle y y = 2t 1.
On résout tout dabord EDLH, on obtient alors y = Cet où C SYMBOL 206 \f "Symbol"\h IR.
Comme a SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0, le polynôme est de degré 1. On pose P(t) = at + b.
Ainsi P (t) = a. On réinjecte dans EDL.
Doù a at b = 2t 1.
Ainsi par identification
eq \b\lc\{( \s(a = 2 ; a b = 1)) SSI eq \b\lc\{( \s(a = 2 ; b = 1)).
Donc une solution particulière de cette équation est y = 2t 1.
Cest pourquoi la solution générale est y = Cet + eq \b(2t 1).
b) Cas où f(x) = A cos nx + B sin nx
On cherche une solution particulière de la forme y = ( cos nx + ( sin nx.
Exemple :
Résoudre léquation différentiel y y = 2 cos x.
On sait déjà que la solution à lEDLH est y = Cet, où C SYMBOL 206 \f "Symbol"\h IR, avec ce qui précède.
Cherchons une solution particulière.
Posons y = ( cos x + ( sin x.
Ainsi y = ( sin x + ( cos x.
Donc y y = eq \b( ( sin x + ( cos x) eq \b(( cos x + ( sin x) = 2 cos x.
On a donc par identification :
eq \b\lc\{( \s( ( ( = 0 ; ( ( = 2)) SSI eq \b\lc\{( \s(( = ( ; 2 ( = 2)) SSI eq \b\lc\{( \s(( = 1 ; ( = 1))
Ainsi y = cos x + sin x.
Donc la solution générale est donc y = cos x + sin x + Cet, où C SYMBOL 206 \f "Symbol"\h IR.
Exercice 12p127.
Exercices 14 et 16p128.
Exercices 28 et 31p131.
II Equation Différentielle du 2nd ordre ay + by + cy = f
Nous n'étudierons que les équations à coefficients constants où a, b et c sont réels.
A] EDLH Forme générale
Remarque :
Si (1 et (2 sont deux solutions de (EDLH) alors, pour tout couple de réels ( k1 ; k2 ) , la fonction est aussi une solution de (EDLH).
Remarque :
Si l'on trouve deux solutions (1 et (2 ( non colinéaires ) alors toute solution de (H) sera de la forme .
1) Equation caractéristique
Définition :
L'équation s'appelle l'équation caractéristique de l'équation différentielle .
Exemple :
Léquation caractéristique de y 4y + 3y = 0 est r2 4r + 3 = 0.
2) Résolution de l' EDLH :
Théorème :
Si , alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles r1 et r2.
Les solutions de l'équation différentielles sont les fonctions où k1 et k2 sont deux réels.
Si , l'équation caractéristique admet une racine réelle double r.
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions où k1 et k2 sont deux réels.
Si , alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées que lon peut écrire sous la forme :
et .
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions , où k1 et k2 sont deux réels.
Démonstration :
ADMIS.
Exemple :
Résoudre léquation différentielle y 4y + 3y = 0.
Résolvons tout dabord léquation caractéristique.
On a r2 4r + 3 = 0.
On calcule ( = 16 4 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 3 = 16 12 = 4.
Ainsi on a deux racines réelles distinctes :
r1 = eq \s\do1(\f(4 2 ; 2)) = 1 et r2 = eq \s\do1(\f(4 + 2 ; 2 ))= 3.
Donc daprès le théorème la solution de lEDLH est y = k1 ex + k2 e3x.
Exercices 17, 18 et 19p128.
B] Cas général
1) Théorème
Théorème :
Les solutions de l'équation différentielle linéaire s'obtiennent en ajoutant à la solution générale de l'équation homogène une solution particulière de l'équation avec second membre.
Démonstration :
ADMIS
Exercices 23 et 24p129.
2) Si est un polynôme de degré n
Propriété :
Si est un polynôme de degré n alors il existe une solution particulière sous la forme d'un polynôme .
Si alors le polynôme p est de degré n.
Si alors le polynôme p est de degré n ( 1.
Si alors le polynôme p est de degré n ( 2.
Démonstration :
ADMIS
Exemple :
Résoudre léquation différentielle linéaire y 4y + 3y = 2x + 3.
Avec la propriété On pose P(x) = ax + b.
Ainsi P(x) = a et P (x) = 0.
Donc 4a + 3 eq \b(ax + b) = 2x + 3.
Cest pourquoi par identification on a :
eq \b\lc\{( \s(3a = 2 ; 4a + 3b = 3)) SSI eq \b\lc\{( \s(a = eq \s\do1(\f(2;3)) ; 3b = 3 + 4a = 3 + eq \s\do1(\f(8;3)) = eq \s\do1(\f(17;3)))) SSI eq \b\lc\{( \s(a = eq \s\do1(\f(2;3)) ; b = eq \s\do1(\f(17;9)))).
Donc P(x) = eq \s\do1(\f(2;3))x + eq \s\do1(\f(17;9)).
La solution générale est donc y = P(x) + eq \b(k1 ex + k2 e3x).
Exercice 20p129.
3) Si est de la forme
Propriété :
Si est de la forme alors il existe une solution particulière sous la forme où A et B sont deux constantes à déterminer.
Démonstration :
ADMIS
Exercice 22p129.
4) Si est de la forme où p est un polynôme et m SYMBOL 206 \f "Symbol"\h IR
Méthode :
On procède par identification avec un polynôme de même de degré que p.
Exercice 21p129.
Exercice 29p131.
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