1. Système discret
Le Produit de convolution : , où est la réponse impul-sionnelle, on note que c'est
... Exercice avec solution: Trouver la réponse indicielle du processus discret ...
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on de transfert INCORPORER Equation.3 Si e et h sont causaux INCORPORER Equation.2 . Exercice avec solution: Trouver la réponse indicielle du processus discret dont la réponse impulsionnelle est une rampe unité ( INCORPORER Equation.3 ) Réponse : INCORPORER Equation.3 (on utilise *)
Introduction dun retard dans la boucle :
On distingue deux cas extrêmes pour le délai de traitement introduit par lexécution du programme : (1) soit le calcul des sorties occupe un temps négligeable devant T (lordinateur fait beaucoup dautres choses), (2) soit le calcul des sorties est la raison dun délai INCORPORER Equation.3 dû au traitement (lordinateur ne fait que ce calcul ).
B. Equation aux différences (équivalent discret de léquation différentielle)
Exemple d EaD récursive :
INCORPORER Equation.2 est lintégrateur discret. Sa réponse impulsionnelle est un échelon discret et dure un temps infini (on parle de filtre Réponse Impulsionnelle Infinie, en anglais IIR).
Exemple d EaD non récursive :
le dérivateur discret INCORPORER Equation.2 est à réponse impulsionnelle finie (durée INCORPORER Equation.3 , RIF en anglais FIR).
Résolution dune Equation aux Différences :
Comme pour la résolution dune équation différentielle, on somme de la solution générale de léquation sans second membre (équation homogène) et une solution particulière de léquation avec second membre. Pour la première, on écrit une équation caractéristique dont on utilise les racines.
Exercice avec solution :
Calculer ainsi la réponse indicielle du processus discret dEaD INCORPORER Equation.2 . Représenter lallure obtenue. Quel processus continu développe une réponse semblable ?
Solution : INCORPORER Equation.2 pour INCORPORER Equation.2 ( premier ordre type, constante de temps INCORPORER Equation.3 ).
C. Fonction de transfert en z (ou FT en z)
On tire de la FT en z des informations comme en temps continu, avec des différences à noter (on vérifie par exemple sur le processus discret : INCORPORER Equation.2 ):
Ordre : degré en z du dénominateur D(z) de la fonction de transfert F(z)
Causalité : INCORPORER Equation.2 . Sinon, dans léquation aux différences, la sortie y(n) dépend de x(n+k), k>0 (cest à dire une valeur future de lentrée ? ! @ #). Exemple : lissage non causal : INCORPORER Equation.3
VIRI et VFRI : INCORPORER Equation.2 et INCORPORER Equation.2 = gain statique (car INCORPORER Equation.3 )
Réponse impulsionnelle : INCORPORER Equation.2 INCORPORER Equation.2 , INCORPORER Equation.2
Réponse indicielle : INCORPORER Equation.2 donc INCORPORER Equation.2
Réponse harmonique : INCORPORER Equation.2 se traduit par INCORPORER Equation.2 , doù la réponse harmonique ou fréquencielle, Gain = INCORPORER Equation.2 et Phase = INCORPORER Equation.2 . On remarque que INCORPORER Equation.2 est périodique en INCORPORER Equation.2 , et de période INCORPORER Equation.2 , cest donc le cas également pour lexpression INCORPORER Equation.2 . En conséquence,
la réponse harmonique dun processus discret est périodique en INCORPORER Equation.3 , de période INCORPORER Equation.2
Stabilité EBSB ( entrée bornée, sortie bornée ) : La condition de stabilité EBSB des systèmes en temps continus INCORPORER Equation.2 devient: INCORPORER Equation.2 pour les systèmes en temps discret. En effet,
INCORPORER Equation.2
Un processus discret dont tous les pôles sont dans le cercle unité du plan complexe, strictement, répond à une entrée bornée par une sortie bornée. Egalement, sa réponse impulsionnelle est sommable en valeur absolue.
Relation entre un pôle réel continu INCORPORER Equation.3 et un pôle discret INCORPORER Equation.3 « équivalent » INCORPORER Equation.3 Application : comment reproduire en discret un régime exponentiel stable avec temps de réponse à 5% valant 0.3 seconde, soit un econstante de temps de INCORPORER Equation.3 ? Très simplement, créer un filtre discret muni dun pôle INCORPORER Equation.3 , on vérifiera aisément avec Matlab, INCORPORER Equation.3 si INCORPORER Equation.3
Relation entre une paire de pôles complexes conjugués INCORPORER Equation.3 et les pôles INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 dun processus discret équivalent : le calcul est un peu plus long, mais le principe est identique, Si lon cherche par exemple à reproduire le comportement des pôles continus INCORPORER Equation.3 , quels sont les pôles en z à installer, quel est le dénominateur de la fonction de transfert en z correspondante ? Solution : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3
Exercices 6 :
calculer les fonctions de transfert de INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 étudier les informations contenues dans ces fonctions de transfert
Inversement, quelle est léquation aux différences à programmer pour réaliser le filtre PID discret INCORPORER Equation.3 . Est ce un filtre causal ?
Calculer par les résidus la réponse impulsionnelle de INCORPORER Equation.3 ; est ce un processus stable ? V.I.R.I. ? V.F.R.I. ?
Discrétisation dun processus continu commandé à travers un bloqueur dordre zéro
Un ordinateur qui pilote un processus continu applique un signal de commande bloqué (constant par morceaux) sur lentrée INCORPORER Equation.2 et ne connaît la sortie INCORPORER Equation.2 quaux instants déchantillonnage. Compte tenu de quoi, il est possible de calculer à partir de léquation différentielle du processus la relation entre les u(nT) et les s(nT) sous la forme dune équation aux différences : cette opération porte le nom de discrétisation, et remplace le processus continu de fonction de transfert C(p) par un processus discret D(z) équivalent aux instants déchantillonnage.
Pour établir la formule de discrétisation qui calcule D(z) à partir de C(p) et de T, on introduit la fonction bloqueur idéal qui engendre le signal bloqué INCORPORER Equation.3 à partir du signal échantillonné INCORPORER Equation.3 dans la chaîne INCORPORER Equation.2 :
La réponse impulsionnelle du bloqueur idéal est donc limpulsion de largeur T et de hauteur un ci-dessous :
Doù la fonction de transfert du bloqueur idéal : INCORPORER Equation.2
On sait donc maintenant calculer la transformée de Laplace de la sortie INCORPORER Equation.3 comme suit :
INCORPORER Equation.2 INCORPORER Equation.3 est la fonction de transfert du processus bloqué (processus plus bloqueur). Il vient alors pour INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.2 car INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.2
doù la formule de discrétisation suivante :
Pour un processus C(p) commandé à travers un bloqueur dordre zéro, et échantillonné avec la période T, D(z) est équivalent à C(p) aux instants nT
C(p) INCORPORER Equation.2
Remarques :
* dans MATLAB la formule de discrétisation est résolue par la fonction c2d
** une table qui contient à la fois les transformées de Laplace et les transformées en Z permet de calculer INCORPORER Equation.2 sur le papier par lecture directe.
Exercices :
Discrétiser le processus intégrateur INCORPORER Equation.2 commandé à travers un BOZ à la fréquence déchantillonnage 100Hz. Comparer les réponses indicielles de INCORPORER Equation.3 et de INCORPORER Equation.3 .
Discrétiser Cobaye dans les mêmes conditions
Signaux et Systèmes Discrets avec Matlab
Matlab prend en compte les systèmes discrets. Lors de la définition de la fonction de transfert, il suffit dajouter la période déchantillonnage en troisième argument :
Définir N instants déchantillonnage espacés de INCORPORER Equation.3 : >> t= [0 :N-1]*Tsampling ;
Pour le processus de fonction de transfert INCORPORER Equation.3 et la fréquence déchantillonnage INCORPORER Equation.3 faire :
>> procdiscret = tf(0.1,[1 1],0.01)
On peut utiliser également la représentation détat , représentation matricielle de lEaD: >> proc = ss([0 1;-1 1],[0;1],[1 0],0,.001) ; >> step(proc)
On définit lopérateur retard par la fonction de transfert >> retard=tf(1,[1 0],0.01) % soit 1/z
Pour discrétiser un processus continu commandé à travers un BOZ (en anglais zéro order hold ZOH): >> proccontinu = tf(10,[1 0]) >> procdiscret=c2d(proccontinu,0.01)
Addition dun retard de traitement de INCORPORER Equation.3 : >> procretard = procdiscret*retard ;
Système bouclé : comme dans le cas continu: >> ftbf = feedback(procretard,1), ou >> ftbf = procretard/(1+procretard)
Réponses diverses , comme dans le cas continu : >>step(retard) >>impulse(procretard) >>bode(procdiscret) >>lsim(procdiscret,0 :10,[],0) %réponse rampe
Calcul des pôles et zéros, du lieu des pôles : les fonctions de Matlab utilisées déjà en temps continu sont encore disponibles pour les systèmes en temps discret, comme par exemple damp, pzmap, eig, zeros, poles, rlocus, rlocfind, ... zgrid au lieu de sgrid
La fenêtre ltiview fonctionne aussi pour les systèmes discrets.
Simulink fonctionne également : léditeur de schémas - blocs de Matlab simule les systèmes continus, discrets, ou hybrides; il existe un bloc zoh et une bibliothèque discrete de fonctions de transfert en z .
Etude dun système bouclé discret
On procède sur lexemple suivant où un calculateur asservit un processus intégrateur déquation différentielle INCORPORER Equation.3 à travers un bloqueur dordre zéro avec la fréquence déchantillonnage de 100 Hz. La loi de commande programmée est : INCORPORER Equation.3
k est un facteur multiplicatif, ou gain de la chaîne daction, à programmer ; c(n) un signal de consigne discret engendré par le programme du calculateur ; s(nT) la nième valeur mesurée pour la sortie du processus intégrateur, à linstant nT, e(nT) la nième commande appliquée par le calculateur à lentrée du BOZ et maintenue à lentrée e(t) du processus entre les dates nT et (n+1)T.
Le calcul de e(nT) à partir de c(n) et s(nT) est supposé instantané ( 0
Etablir le lieu des pôles, on portera les points correspondant à k nul, k = 2.5 et k = 10, à comparer avec le cas précédent (sans retard de traitement) :
Ecole Supérieure des Sciences Informatiques - Automatique et TS
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© Jean-Paul Stromboni, ESSI, Avril 2000 Page - PAGE 8 -
ESSI, Automatique et Traitement du Signal : Introduction aux Signaux et Systèmes de lAutomatique, JPS, 2000 - PAGE 1 -
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INCORPORER Equation.2
Cest la différence entre deux échelons, soit :
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.2
bloqueur
idéal
BOZ
Processus
continu C(p)
INCORPORER Equation.2
mesure
INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
Loi de commande :
on fait
puis
et INCORPORER Equation.3
Echantil-lonneur.
BOZ
Ordinateur
Processus Cobaye
INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.2
Processus
discrétisé D(z)
t
T
0
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
+
-
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
Imag(pôles)
Re(pôles)
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