LP 41 Effet de peau Réflexion des ondes électromagnétiques ...
En combinant ces équations, il réussit à montrer qu'un champ électrique ...
Maxwell en conclut que la lumière est une onde électromagnétique, et qu'il n'y a
.... Qu'est-ce que Planck et Einstein ont découvert au sujet de le comportement
de la ...
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ion.3
On peut en tirer également la conductivité complexe du matériau considéré. En effet, si on exprime le courant volumique de charges:
EMBED Equation.3 , soit en notation complexe : EMBED Equation.3 par analogie avec la loi d'Ohm.
On a alors EMBED Equation.3 .
Pour un matériau quelconque, l'expression de la conductivité s'écrit:
EMBED Equation.3
2) Cas des conducteurs : susceptibilité complexe
Dans le cas d'un conducteur, les charges sont libres et ne sont donc pas soumises à la force de rappel. On a donc EMBED Equation.3 et l'expression de la conductivité complexe devient:
EMBED Equation.3 , avec EMBED Equation.3 , conductivité en régime stationnaire.
Par conséquent, les parties réelles et imaginaires de la conductivité vont s'écrire:
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
On peut alors caractériser le comportement isolant ou conducteur du matériau. En effet, la loi d'Ohm s'écrit:
EMBED Equation.3 , où EMBED Equation.3 est la partie réelle de la susceptibilité complexe du matériau.
En notation réelle, ceci revient à EMBED Equation.3 , et l'équation de Maxwell Ampère s'écrit:
EMBED Equation.3 , somme des courants de conduction et de déplacement. C'est alors leur rapport qui caractérise le caractère conducteur ou isolant du matériau:
EMBED Equation.3 .
si EMBED Equation.3 prédomine, c'est-à-dire si EMBED Equation.3 alors le matériau est conducteur
si EMBED Equation.3 prédomine, c'est-à-dire si EMBED Equation.3 , alors le matériau se comporte comme un isolant.
On voit par exemple que le cuivre est un bon conducteur pour des basses fréquences, mais qu'il devient un bon diélectrique dans le visible.
3) Effet de peau
Avant de poursuivre, examinons en détail une propriété des conducteurs dans l'ARQS.
Considérons un conducteur linéaire, homogène, isotrope, non magnétique et immobile dans le référentiel où l'on travaille, dont les caractéristiques sont:
neutralité électrique volumique EMBED Equation.3
loi d'Ohm EMBED Equation.3
terme de déplacement négligeable EMBED Equation.3
La première propriété se justifie. En effet, considérons l'équation de conservation de la charge et l'équation de Maxwell-Gauss pour un tel milieu:
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . En y ajoutant la loi d'Ohm, on a EMBED Equation.3 soit:
EMBED Equation.3 soit EMBED Equation.3 . Si il apparaît à un endroit du conducteur un excédent de charge, celui-ci disparaît en un temps caractéristique EMBED Equation.3 pour le cuivre. Ceci étant nettement inférieur au temps caractéristiques où l'on travaille EMBED Equation.3 , on peut considérer que le milieu est neutre globalement.
On a donc dans le conducteur:
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , ainsi que EMBED Equation.3 et l'équation de propagation de EMBED Equation.3 s'écrit:
EMBED Equation.3 , et donc pour EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 .
Considérons alors un conducteur infini selon x de telle sorte que l'on ait EMBED Equation.3
Le système étant localement invariant par translation, toutes les grandeur ne dépendent que de z et de t . L'équation à laquelle satisfait EMBED Equation.3 s'écrit alors:
EMBED Equation.3
Plaçons nous alors dans le cas important d'un régime sinusoïdal, c'est à dire que EMBED Equation.3 , ce qui s'écrit, en notation complexe, EMBED Equation.3 , où EMBED Equation.3 est l'amplitude complexe du courant volumique.
On obtient donc alors:
EMBED Equation.3
Cherchons alors une solution sous la forme EMBED Equation.3 , ce qui nous donne:
EMBED Equation.3 , soit EMBED Equation.3 . Comme EMBED Equation.3 , on a:
EMBED Equation.3
On a donc EMBED Equation.3 , avec EMBED Equation.3 épaisseur de peau.
Finalement, le courant volumique réel s'écrit:
EMBED Equation.3
On voit donc que le courant EMBED Equation.3 devient nul vers l'intérieur du conducteur sur une épaisseur de quelques EMBED Equation.3 . Cet effet s'appelle effet de peau ou effet Kelvin, du nom du physicien qui l'a pour la première fois mis en évidence.
Pour le cuivre EMBED Equation.3 , on a EMBED Equation.3 pour une fréquence de 50Hz, ce qui est supérieur au diamètre des fils. Le courant remplit donc tout le conducteur.
Par contre, pour une fréquence plus grande, par exemple 1MHz, l'épaisseur de peau ne vaut plus que EMBED Equation.3 . Le courant est donc principalement localisé à la périphérie des fils. On voit donc alors que la section efficace du fil diminue et donc que la résistance et par conséquent la puissance dissipée par effet Joule augmente.
B) Réflexion et réfraction d'un OPPM sur un conducteur:
On considère présent une OPPM tombant normalement sur un conducteur, toujours linéaire, homogène, isotrope, non magnétique.
Les champs associés aux diverses ondes s'écrivent alors:
EMBED Equation.3 pour l'onde incidente
EMBED Equation.3 pour l'onde réfléchie
EMBED Equation.3 pour l'onde transmise
1) Coefficients de Fresnel
Ecrivons alors les relation de passage à l'interface.
On a: EMBED Equation.3 ainsi que, en l'absence de courant surfacique, EMBED Equation.3 , avec EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
On a donc, en introduisant les coefficients EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , ce qui nous donne l'expression des coefficients de Fresnel pour la réflexion et la transmission:
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Comme l'indice EMBED Equation.3 est en général complexe, la réflexion et la transmission s'accompagnent d'un déphasage. Exprimons alors EMBED Equation.3 , on trouve les facteurs de réflexion et de transmission en énergie:
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Dans le cas d'une interface vide conducteur, on a EMBED Equation.3 et l'indice complexe du milieu est donné par EMBED Equation.3 , avec EMBED Equation.3
2) Divers cas en fréquence
a) EMBED Equation.3 .
On a alors EMBED Equation.3 .
Le vecteur d'onde de l'onde transmise s'écrit alors:
EMBED Equation.3 . Or EMBED Equation.3 , donc EMBED Equation.3 , où l'on retrouve l'épaisseur de peau de l'effet Kelvin que nous avons vu précedemment. Ceci est assez normal étant donné que la condition EMBED Equation.3 nous place dans l'approximation des régimes quasi stationnaires.
Le champ transmis a donc pour expression:
EMBED Equation.3 . On voit alors qu'au delà d'une distance de quelques EMBED Equation.3 , le signal est quasiment nul.
Ce cas est valable tant que le terme de déplacement est négligeable devant le terme de conduction, soit tant que EMBED Equation.3 , car EMBED Equation.3 réel et EMBED Equation.3 car la susceptibilité est imaginaire pure. On voit que cette condition implique que EMBED Equation.3 . Le coefficient de réflexion en amplitude vaut alors:
EMBED Equation.3 et le coefficient en énergie vaut quasiment 1. L'expression du coefficient de transmission en énergie vaut alors:
EMBED Equation.3 .
Par exemple pour le cuivre à 1GHz, on a EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
b) Cas où EMBED Equation.3
Dans ce cas, on a EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , où EMBED Equation.3 est la pulsation plasma.
On peut alors envisager deux cas extrêmes autour de cette pulsation
i) EMBED Equation.3
L'indice est alors imaginaire pur, puisque la permittivité est négative, et vaut:
EMBED Equation.3 . On voit donc que si la pulsation est bien inférieure à la pulsation plasma, EMBED Equation.3 et donc EMBED Equation.3 , soit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Dans le cas des métaux, EMBED Equation.3 , et les ondes lumineuses sont donc totalement réfléchies par l'interface, ce qui explique leur éclat métallique et leur utilisation dans les miroirs.
ii) Cas où EMBED Equation.3
Dans ce cas l'indice est réel et vaut EMBED Equation.3 . On a alors EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , soit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . On voit alors que pour EMBED Equation.3 , la transmission est totale.
Ceci permet d'expliquer pourquoi les métaux sont transparents aux rayons X et aux UV forts.
Les deux paragraphes illustrent également la nécessité d'utiliser des hautes fréquences pour des communications Terre satellites pour que la pulsation soit supérieure à la pulsation plasma de l'ionosphère EMBED Equation.3 .
3) Cas limite du conducteur parfait
Dans le cas où EMBED Equation.3 , le réflexion par un milieu conducteur peut donc être considérée comme totale. Cette approximation revient à dire que le milieu est parfaitement conducteur, c'est-à-dire que EMBED Equation.3 et que le champ électromagnétique à l'intérieur est nul. On est alors conduit à introduire une charge surfacique et un courant surfacique donnés par les conditions de passage:
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
En incidence normale, on a alors EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , soit et EMBED Equation.3 .
Le courant surfacique vaut donc:
EMBED Equation.3 . Le courant surfacique est donc colinéaire à EMBED Equation.3 .
C) Application:
1) Pression de radiation
Considérons une onde électromagnétique plane progressive tombant normalement sur un conducteur.
La mise en mouvement des porteurs de charge induit un courant volumique de charge, qui est en interaction avec le champ électromagnétique local selon la force de Laplace dont l'expression volumique vaut:
EMBED Equation.3
Evaluons alors la force moyenne exercée à l'interface sur un tronçon de surface S:
EMBED Equation.3
A l'aide du coefficient de transmission en énergie EMBED Equation.3 , on a
EMBED Equation.3 . Une onde électromagnétique exerce donc sur un conducteur une pression de radiation EMBED Equation.3 .
2) Polariseur
Si on envoie une onde électromagnétique sur une grille de pas inférieur à la longueur d'onde, les résultats sur le conducteur parfait montrent que:
la polarisation perpendiculaire aux barreaux va être transmise, puisque aucun courant macroscopique ne peut circuler dans cette direction
la polarisation parallèle aux barreaux va être totalement réfléchie.
On a donc constitué un polariseur électromagnétique.
z
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
conducteur
