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EXEMPLE DE PLAN D'EXPERIENCES. Analyse d'une .... Le plan factoriel
complet portera sur l'étude de ces 3 facteurs et de leurs interactions. Les autres ...
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EXEMPLE DE PLAN D'EXPERIENCES
Analyse d'une réaction chimique
La connaissance de la réaction a conduit au choix des 8 facteurs qui semblent pouvoir avoir une influence sur le rendement de la réaction
X1 : Concentration de soude
X2 : Température
X3 : Nature du catalyseur
X4 : Vitesse d'agitation
X5 : Temps de réaction
X6 : Volume de solvant organique
X7 : Volume de soude
X8 : Rapport substrat / soude
Y : Rendement de la réaction (%)
Détermination des facteurs les plus influents pour améliorer le rendement de la réaction.
Le domaine expérimental non donne :
FacteursUnitésNiveau (-1)Niveau (+1)X1%4050X2°C80110X3TBABCétyl-TMAX4Sans agitationAvec agitationX5h, mn1h30mn3h30mnX6cm3100200X7cm33060X8Mol/cm30,5.10-31.10-3
Recherche des facteurs significatifs avec la table d'HADAMARD
k = 8 facteurs
On veut connaître les 9 coefficients b0 à b8 (sachant que b0 représente la moyenne des résultats obtenus)
N e" k+1
N e" 9 et multiple de 4 ( N = 12 expériences
Le modèle mathématique sera donc :
Y = b0 + b1.X1 + b2.X2 + b3.X3 + b4.X4 + b5.X5 + b6.X6 + b7.X7 + b8.X8
Les colonnes X9, X10 et X11 de la matrice initiale donnée par la littérature ont été supprimées car l'étude ne comporte que 8 facteurs.
EXPX0X1X2X3X4X5X6X7X8Y1+++-+++--422+-++-+++-33++-++-+++574+-+-++-++385+--+-++-+376+---+-++-747++---+-++548+++---+-+569++++---+-6410+-+++---+6511++-+++---5912+--------15
L'expérience N°7 a été reproduite une deuxième fois pour obtenir l'erreur expérimentale :
1er résultat : 54 %
( Variance expérimentale (erreur) = 7%
2ème résultat : 61 %
Toute modification du rendement inférieure à 7% n'est donc pas significative
La résolution de la matrice donne les bi, en affectant les valeurs Yi des signes de chaque colonne Xi divisés par 12
b0 = 42+3+57+38+37+74+54+56+64+65+59+15 / 12 = 47
b1 = 42-3+57-38-37-74+54+56+64-65+59-15 / 12 = 8.33
b0 = 47b5 = -8.2b1 = 8.3b6 = -2.2b2 = -2.3b7 = 1.3b3 = 0.5b8 = 4.2b4 = 8.8
La valeur de bi représente la ½ variation du résultat étudié quand le paramètre Xi passe
de la modalité "-1" à "+1"
Etude des coefficients pour détermination des facteurs significatifs :
Facteur X1 2*|8.3| =16.6 >> 7 (X1 est un paramètre significatif
X2 : non significatif
X3 : non significatif
X4 : significatif positif
X5 : significatif négatif
X6 : non significatif
X7 : non significatif
X8 : à la limite du significatif, à étudier plus en détail
Il apparaît que X1, X4 et X5 sont les seuls facteurs significatifs. Le plan factoriel complet portera sur l'étude de ces 3 facteurs et de leurs interactions
Les autres facteurs seront placés aux valeurs les plus significatives pour la réponse Y ou engendrant des coûts moindres.
Le modèle mathématique sera du type
Y = b0 + b1X1 + b4X4 + b5X5 + b14X14 + b15X15 + b45X45 + b145X145
La matrice d'expériences pour 3 facteurs sera donc de 23 expériences.
La matrice est construite selon la méthode vue en cours
NX1X4X51---2+--3-+-4++-5--+6+-+7-++8+++
La matrice se voit affectée la colonne X0 constituée de "+" uniquement
Les colonnes d'interactions sont rajoutées à la suite et leurs signes correspondent au produit des signes des facteurs en interaction
Enfin la colonne des réponses "Y" termine la matrice
NX0X1X4X5X14X15X45X145Y1+---+++-81.52++----++78.53+-+--+-+654+++-+---76.55+--++--+82.56++-+-+--68.57+-++--+-73.58++++++++71.5
L'expérience N° 3 a été répétée et a donné Y = 62%, d'où la variance expérimentale = 3%
La résolution de cette matrice selon la même méthode que pour la matrice d'HADAMARD donne :
b0 = 75b14 = 3.3b1 = -0.9b15 = -3.1b4 = -3b45 = 1.6b5 = -0.8b145 = -0.4
A l'issue de cette étude, seul b4 est un facteur significatif de façon négative sur la réponse. De plus les interactions de X1 sur X4 et de X1 sur X5 sont significatives. L'interaction de X4 sur X5 est à la limite du significatif, elle sera à étudier plus en détail.
De plus, quand une interaction Xij est à prendre en compte, l'étude de l'influence des paramètres Xi et Xj pris indépendamment l'un de l'autre, n'est par conséquent pas abordée
L'étude des interactions donne :
L'analyse de l'interaction entre X1 et X5 donne 2 possibilités :
X5 à "+1" et X1 à "-1"
X5 à "-1" et X1 à "+1"
Le rapprochement avec l'interaction entre X1 et X4 fait ressortir que la deuxième possibilité (X1 à "+1") n'est pas la meilleure.
Le meilleur compromis pour Y correspond donc à :
X1 à "-1" ; X4 à "-1" ; X5 à "+1"
Plans d'expériences PAGE 1/ NUMPAGES 4 E.L. 01/2005
73.5
74
82
69.3
+1
-1
X1
X4
+1
-1
= 76.5 + 71.5 / 2
(Moyenne des "Y" pour les lignes où X1 vaut "+" et X4 vaut "+"
-1
+1
X5
X1
-1
+1
78
73.3
70
77.5
Le rendement (réponse Y) est le plus fort lorsque X1 est à "-1" (40%) et X4 à "-1" aussi (sans agitation)
Il faudra éviter les conditions où X4 est à "+1" et X1 à "-1"
X15
X14
