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Plans factoriels complets à deux niveaux

La grande nouveauté de la méthode des plans d'expériences est qu'elle propose une expérimentation factorielle, c'est-à-dire que tous les facteurs varient ...




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Plans factoriels complets à deux niveaux.

1. Introduction
1.1 Généralités
On est très souvent conduit à étudier la réponse Y d’un système à des sollicitations X1, X2,  INCLUDEPICTURE "http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/cours/part1/opqr0a01.gif" \* MERGEFORMATINET  INCLUDEPICTURE "http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/cours/part1/opqr0a01.gif" \* MERGEFORMATINET  INCLUDEPICTURE "http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/cours/part1/opqr0a01.gif" \* MERGEFORMATINET , Xn qui constituent un grand nombre de variables dites facteurs.
La modélisation mathématique d’une telle situation consiste généralement à rechercher une fonction f telle que Y = f (X1, X2,…, Xn): une des méthodes classiques, consiste à mesurer Y pour m valeurs de chaque variable Xi (i: 1…n), tout en laissant fixe la valeur des (n - 1) autres variables; aussi est-on conduit à effectuer mn expériences.

.Ainsi, par exemple, si nous avons 4 variables et si l'on décide de donner 5 valeurs expérimentales à chacune d'elles, nous sommes conduit à effectuer = 625 expériences. Ce nombre élevé dépasse les limites de faisabilité tant en temps qu'en coût. Il faut donc réduire le nombre d'expériences à effectuer sans pour autant perdre sur la qualité des résultats recherchés. L'utilisation d'un . Ainsi par exemple, si dans l'étude d'un process la température doit intervenir, on peut décider de ne travailler qu'avec une température de 20oC puis de 60oC. On dira alors que le niveau bas du facteur température est 20oC et le niveau haut est 60oC ; le domaine expérimental de la température sera 20oC-60oC. Si le facteur est qualitatif, le niveau bas et le niveau haut correspondront à deux modalités du facteur, par exemple deux types de solvant. Dans la pratique, le niveau bas sera codé à l'aide du nombre -1 et le niveau haut à l'aide du nombre +1. Un plan pour lequel chacun des k facteurs ne possède que 2 niveaux est appelé plan 2k.
2.2.2 Matrice d'expériences.
La matrice d'expériences est le tableau qui indique le nombre d'expériences à réaliser avec la façon de faire varier les facteurs et l'ordre dans lequel il faut réaliser les expériences. Ce tableau est donc composé de +1 et de -1. Soit, par exemple, la matrice d'expériences suivante :
Exp
X1
X2

1
-1
-1

2
+1
-1

3
-1
+1

4
+1
+1

On réalisera alors, dans la pratique 4 expériences. La colonne de gauche de la matrice d'expérience indique le numéro de l'expérience (ou de l'essai). La troisième ligne indique que lors de la réalisation du deuxième essai, le facteur X1 sera au niveau haut alors que le facteur X2 sera, lui, au niveau bas. Dans le cas où l'on ajoute à droite de la matrice d'expérience une colonne avec les réponses, on obtient la . On effectue alors plusieurs mesures au centre du domaine (tous les facteurs sont réglés à 0) et on détermine s2 à partir des résultats sur ces >.
5.1.1 Réalisation du test de signification des effets.
Le test utilisé est le test > de Student. Un effet sera dit significatif (c'est-à-dire que la variable ou l'interaction qui lui est associée a une influence sur la réponse), s'il est, pour un risque donné, significativement différent de 0. On testera donc l'hypothèse :
H0 = >
contrer l'hypothèse :
H1 = >
Pour cela, on calcule :
ti =|ai|siOn utilise alors une table de Student à nð = n - p  degrés de liberté (n est le nombre d'expériences réalisées et p le nombre d'effets y compris la constante).On choisit un risque de première espèce að (le plus souvent 5% ou 1%) et on lit dans cette table de Student la valeur tit(að, ðnð), en utilisant la partie de la table relative à un test bilatéral. La règle du test est alors la suivante :
Fð Si ti > tcrit(að,ð ðnð), on rejette H0 au risque accepté.
Fð Si ti .
La conclusion de cette étude est que l'on doit rejeter un modèle linéaire pour expliquer le rendement de cette réaction chimique. Il faudrait refaire une étude avec un modèle polynomial du second degré, ce qui sort du cadre de ce cours.
5.2 Intervalle de confiance des effets du modèle.
5.2.1 Variance expérimentale connue.
On suppose que compte tenu de nombreuses expériences faites antérieurement on connaît l'écart-type expérimental s. Dans ce cas l'intervalle de confiance d'un effet est donné, par :
risque 5% : [ai -1,96si ; ai + 1,96si]
risque 1% : [ai -2,58si ; ai + 2,58si]
où si² est la variance commune des estimateurs des coefficients.
un exemple est donné à l' HYPERLINK "http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/exos/pdexo4.htm" exercice 4.
5.2.2 Variance expérimentale inconnue.
Le cas où la variance expérimentale est inconnue est le plus courant.
Rappelons que si l'on détermine tous les effets, on ne pas calculer la variance commune des résidus ( voir paragraphe 5.1 ). On supposera donc, dans la suite, que l'on a négliger au moins un effet.
On calcule alors s², variance commune des résidus avec nð = n- p degrés de liberté puis on en déduit
si² =s²nvariance commune des effets. On choisit alors un risque að ðet on détermine avec  HYPERLINK "http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/tables/tstudent/tstudent.htm" table de Student le nombre t(að,ð ðnð). L'intervalle de confiance d'un effet ai est alors donné par :
[ai - t(að,ð ðnð)si ; ai + t(að,ð ðnð)si]
Exemple.
Considérons le plan d'expérience 23suivant dans lequel on néglige l'interaction d'ordre 3.
X1X2X3X1X2X1X3X2X3Y-1-1-1+1+1+15,2+1-1-1-1-1-14,7-1+1-1-1+1+15,1+1+1-1+1-1-15,5-1-1+1+1-1-14,9+1-1+1-1+1-14,6-1+1+1-1-1+14,8+1+1+1+1+1+15,3Le calcul des effets se faisant comme il a été dit plus haut, on obtient le modèle :
Y = 5,0125 + 0,0125X1 + 0,1625X2 - 0,1125X3 +0,2125X1X2 + 0,0375X1X3 - 0,0125X2X3
Avant de déterminer les intervalles de confiance des effets, regardons leur significativité. Pour cela, déterminons les résidus et la variance commune de ceux-ci.
Yi observésYi estiméseie²i5,25,1875+ 0,01250,0001564,74,7125- 0,01250,0001565,15,1125- 0,01250,0001565,55,4875+ 0,01250,0001564,94,9125- 0,01250,0001564,64,5875+ 0,01250,0001564,84,7875+ 0,01250,0001565,35,3125- 0,01250,000156La variance commune des résidus est donc :
 
s² =8*0,000156=0,001258-7donc s = 0,035. La variance commune de tous les effets est alors
si² =s²=0,0001568le "t" de Student pour chaque effet se calcul avec
ti =|ai|siPar exemple, pour le coefficient de la variable X1 on obtient
 
t1 =0,1625=130,0125La   HYPERLINK "http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/tables/tstudent/tstudent.htm" table de Student donne pour un risque að ð=ð ð5ð%ð ðet nð = n - p = 8 - 7 =1 , tcrit(0,05 ; 1) = 12,71.
Un effet sera donc significatif au risque de 5% s'il son "ti" et supérieur à 12,71. On obtient le tableau suivant. 
VariableeffettRésultatConstante5,0125t0 = 401>12,71significatifX1a1 = 0,125t1 = 112,71significatifX3a3 = - 0,1125t3 = 912,71significatifX1X3a13 = 0,0375t13 = 3R Ö0ÿÿÿÿÿÿö6ÖÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿÖÿÿÿÿÿ3Ö4ÖaöbÖŠT
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h@0J h@H*U h@ ttable(n0 - 1,  INCLUDEPICTURE "http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/cours/part6/fu9o0a0b.gif" \* MERGEFORMATINET ) × si .
Au risque de 5 %, et avec n0 - 1 = 2 - 1 = 1 degré de liberté, on obtient ttable(1, 5%) = 12, 706. Ainsi, un coefficient sera significatif s'il est tel que  INCLUDEPICTURE "http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/cours/part6/t418x.gif" \* MERGEFORMATINET > 0, 318 Nous constatons donc que,
l'effet de la variable B est hautement significatif.
l'effet de l'aliase (BC, AD) est significatif.
l'effet de D est non significatif de justesse.
les autres effets ne sont pas significatifs.
Étudions l'aliase (BC, AD) en nous demandant laquelle des deux interactions à le plus de chance d'être réelle. Pour cela, examinons séparément l'influence sur la pureté de chacune de ces interactions.
Étude de l'interaction AC
 C = -1 C = +1 A = -1P =(3,1+2,2)/2  = 2, 65P = (4-0,1)/2 = 1, 95 A = +1P = (4,1+1,3)/2 = 2, 70P = (4,1+0,6)/2 = 2, 35L'examen de ce tableau montre que les conditions optimales seront obtenues avec : A au niveau +1 et C au niveau -1.
Étude de l'interaction DB
 D = -1 D = +1 B = -1P =(4,1+4,1)/2  = 4, 1P =(4,1+4,0)/2  = 4, 05   B = +1P =(1,3-0,1)/2  = 0, 6P =(2,2+0,6)/2  = 1, 4 L'examen de ce tableau montre que les conditions optimales seront obtenues avec : B au niveau -1 et D au niveau -1. En conclusion : L'effet principal de la variable B étant négatif, il faut effectivement se placer au niveau -1 pour cette variable. En résumé, nous obtiendrons la plus grande pureté avec :
VariableNiveauRéalité A +1 Base en excès B -1 Vitesse d'addition de la base lenteC -1 Filtration à chaud D -1 Lavage du précipité normal 


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