EXERCICE III L'atome d'hydrogène (4 points)
rn = a0 n². avec a0 une grandeur appelée « rayon de Bohr », valeur du ... de l'
énergie de l'atome ainsi que le rayon de l'orbite de l'électron en fonction de n.
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Bac S ( Antilles Guyane septembre 2010 http://labolycee.org
EXERCICE III. LATOME DHYDROGÈNE (4 points)
On se propose dans cet exercice d'étudier le modèle de l'atome d'hydrogène proposé par Niels Bohr en 1913. Ce modèle est une continuité du modèle planétaire proposé par Ernest Rutherford, avec cette différence essentielle que Niels Bohr introduisit un nouveau concept, à savoir la quantification des niveaux d'énergie dans latome.
1. Mouvement de lélectron dans l'atome
Pour commencer cette étude, on suppose que lélectron est animé d'un mouvement circulaire et uniforme de rayon R autour du proton. Les caractéristiques du mouvement de l'électron sont exprimées dans la base mobile de vecteurs unitaires EMBED Equation.3et EMBED Equation.3 comme indiqué sur le schéma qui suit :
L'électron est soumis à une force d'interaction électrostatique EMBED Equation.3 centripète :
EMBED Equation.3
où R est le rayon de l'atome, e la valeur de la charge électrique élémentaire et k une constante.
1.1. Représenter sur le schéma en annexe à rendre avec la copie cette force d'interaction.
1.2. On rappelle que la charge élémentaire e s'exprime en Coulomb (C). Déterminer alors l'unité de la constante k.
1.3. Dans le cas d'un mouvement circulaire et uniforme, écrire l'expression du vecteur accélération EMBED Equation.3 dans la base mobile (EMBED Equation.3,EMBED Equation.3), ceci en fonction de la valeur de la vitesse EMBED Equation.3 de l'électron et du rayon R de la trajectoire circulaire.
1.4. En appliquant une loi dont on donnera le nom, montrer que la valeur de la vitesse EMBED Equation.3est donnée par l'expression suivante :
EMBED Equation.3
1.5. Calculer la valeur de cette vitesse. On donne :
m = 9,109.10-31 kg e = 1,602.10-19 C R = 5,3.10-11 m et k = 9,0×109 SI
1.6. Connaissant l'expression littérale de la vitesse V, déterminer l'expression littérale de son énergie cinétique EC.
1.7. Calculer la valeur de cette énergie cinétique, puis convertir celle-ci en électron-volt (eV).
On donne : 1 eV = 1,602.10(19 J.
2. La quantification de Bohr
Dans le modèle de Bohr, l'énergie de l'atome est quantifiée.
2.1. Expliquer succinctement ce que signifie l'adjectif «quantifié». On pourra, pour illustrer le propos, faire une comparaison avec lénergie déterminée dans le cadre de la mécanique de Newton.
L'énergie de l'atome d'hydrogène se met sous la forme :
EMBED Equation.3
où n est un nombre entier strictement positif appelé nombre quantique principal.
À chacune de ces énergies est associée une orbite circulaire de l'électron dont le rayon rn vérifie :
rn = a0 n²
avec a0 une grandeur appelée « rayon de Bohr », valeur du rayon de l'atome pour la plus petite valeur de n à savoir n = 1.
2.2. Compléter le tableau joint dans l'annexe à rendre avec la copie en indiquant la valeur de lénergie de l'atome ainsi que le rayon de l'orbite de l'électron en fonction de n. Le rayon sera exprimé en multiple de a0.
n12345En (eV)(13,6(3,40(1,51rna04a09a0
2.3. Vers quelle valeur évolue lénergie En de l'atome lorsque la valeur du nombre quantique principal n devient très grande ? Même question concernant la valeur du rayon rn.
Limage que l'on peut donner à l'électron en interaction avec le proton dans l'atome dhydrogène est celle d'un puits dans lequel l'électron serait «piégé». Le document fourni en annexe, donne une représentation graphique de ce puits.
2.4. Quelle énergie minimale faut-il fournir à l'atome pour «libérer» l'électron de ce puits ?
2.5. Quelle modification subit l'atome d'hydrogène si l'électron est «libéré» de ce puits ?
2.6. On apporte à l'atome, dans son état de plus basse énergie E1, une énergie (E = 10,2 eV (on ne cherchera pas à savoir comment). Dans quel état énergétique se retrouve alors l'atome après avoir reçu cette énergie ?
2.7. Dans ce nouvel état, latome est instable et va chercher à retrouver son état de plus basse énergie. Ce phénomène s'accompagne de l'émission d'un photon.
Déterminer sa fréquence puis sa longueur d'onde dans le vide.
On donne h = 6,62.10(34 J.s et c = 3,00.108 m.s(1
2.8. À quel domaine spectral appartient la radiation émise ?
Annexe de lexercice III. à rendre avec la copie
Question 1.1.
n12345En (eV)-13,6-3,40-1,51rna04a09a0Question 2.2.
Question 2.3.
R
électron
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Ne sont représentés sur ce diagramme que les trois premiers niveaux dénergie, à savoir E1 (le niveau fondamental ou fond du « puits ») E2 et E3
En (eV)
0
E3
E2
E1 = -13,6 eV
Fond du « puits »
proton
proton
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
électron
R
