Séries statistiques à deux variables
Pré-requis : Les nombres a et b étant donnés, on appelle fonction affine, la
fonction f qui au ... On dit que l'on a une « série statistiques à deux variables ».
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Séries statistiques à deux variables
Objectif : Définir les notions de « nuages de points » et de « point moyen ».
Pré-requis : Les nombres a et b étant donnés, on appelle fonction affine, la fonction f qui au nombre réel x fait correspondre le nombre a x +b.
La représentation graphique est une droite déquation y = a x +b.
« a » est le coefficient directeur ( et peut se calculer a = EQ \s\do1(\f(y2-y1;x2-x1)))et « b » est lordonnée à lorigine.
I Approche :
Une parfumerie consacre une certaine somme à des opérations publicitaires au début de chaque mois (en milliers d euros).
moisjanvierfévriermarsavrilmaijuinjuilletaoûtFrais de publicité
( m¬ ) xi491061316212Ventes (m¬ ) yi140200250200290300100260
(Remarque : Ce tableau présente une série de points (xi ; yi). On dit que lon a une « série statistiques à deux variables ».
(Sur un graphique, porter en abscisse les frais de publicité x et en ordonnée le montant des ventes y.
(Remarque : On obtient
.
(Que constate-t-on ?
.
.
.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
II 1ère méthode : Ajustement graphique :
1° - Méthode :
(Calculer les nombres :
xG = EMBED Equation.3 = EQ \s\do1(\f(1;8)) " xi =& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & soit xG =
yG = EMBED Equation.3 = EQ \s\do1(\f(1;8)) "yi =& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & soit yG =
(Placer G ( & & & .. ; & & & ..& ) dans le graphique précédent. Ce point G est appelé & & & & & & & & & & & & &
& & & & & & & & & & & & & & & & & & &
..
( Déterminer léquation de la droite D1 passant par le point moyen G et de coefficient directeur 14,5.
.
.
.
.
Léquation de la droite D1 est :
Tracer la droite D1 dans le repère précédent.
2° Ce quil faut retenir :
Soit une série statistique à deux variables de p couples (xi ; yi). On appelle « nuages de points » associé à cette série l ensemble des points Mi (xi ; yi).
Le point moyen du nuages de points est le point G de coordonnées :
xG = EMBED Equation.3 = EQ \s\do1(\f(1;n)) " xi yG = EMBED Equation.3 = EQ \s\do1(\f(1;n)) "yi
III 2ème méthode : Ajustement par la méthode de Mayer
1° - Méthode :
(Après avoir ordonné les valeurs de x , on partage l ensemble des points en deux groupes d égale importance. On obtient :
1er groupe : ( & &
. ;
..
. ) - (
. ;
..
. ) - (
. ;
..
. ) - (
. ;
..
. )
2ème groupe : (
. ;
..
. ) - (
. ;
..
. ) - (
. ;
..
. ) - (
. ;
..
. )
( Calculer les coordonnées des points moyens de chaque groupe ;
1er groupe :
2ème groupe :
( Tracer la droite D2 passant par les deux points moyens
G1 (
..
;
) et G2 (
..
;
.
.)
( Déterminer léquation de la droite dajustement D2 :
( Détermination du coefficient directeur : a =
( En déduire b :
(Léquation cherchée est :
2° - Conclusion :
.
.
.
.
.
IV 3ème méthode : Ajustement par la méthode des moindres carrés
1° - Méthode :
( Le point moyen G a pour
- abscisse : xG = EMBED Equation.3 =
. - pour ordonnée yG = EMBED Equation.3 =
( Compléter le tableau suivant :
xiyiXi = xi - EMBED Equation.3 Yi = yi - EMBED Equation.3 Xi xYiXi ²414092001025062001329016300210012260
( Déterminer léquation de la droite dajustement D3 passant par le point moyen G (
. ;
..)
( Détermination du coefficient directeur : a =
( En déduire b :
(Léquation cherchée est :
2° - Conclusion :
.
.
.
V Exercices
( Exercice 1 : Le tableau donne le nombre dadhérents fréquentant une salle de sport en 2001 :
Mois xi123456789101112Nombre dadhérents
yi110011601220137016201550160015001790194020601980
1° - Représenter le nuage de points Mi (xi ; yi ) dans un repère orthogonal.
( abscisse : 1 cm pour 1 mois ; ordonnée : 1 cm pour 200 adhérents )
2° - On partage lensemble des points du nuage en deux sous-ensemble correspondant chacun au 1er et au 2ème semestre.
a Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 de chacun de ces sous-ensembles ( abscisses arrondies au dixième, ordonnées arrondies à lunité) .
b Placer les points G1 et G2 dans le repère orthogonal.
3° - Déterminer une équation de la droite dajustement passant par les points G1 et G2 . (On écrira léquation sous la forme y = a x +b et on arrondira a et b au centième).
4° - En déduire le nombre prévisible dadhérents en :
Janvier 2002
Juin 2002
( Exercice 2 : Le Centre Textile de Conjoncture et dObservation Economique ( CTCOE ) a étudié lévolution des ventes de vêtements féminins entre 1991 et 2000. Pour des tee-shirts, on obtient les résultats suivants en milliers de pièces.
Années xi1991199219931994199519961997199819992000Ventes
yi1001021241471972262503053343301° - Représenter le nuage de points Mi (xi ; yi ) dans un repère orthogonal.
2° - On partage lensemble des points du nuage en deux sous-ensembles.
a Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 de chacun de ces sous-ensembles.
b Placer les points G1 et G2 dans le repère précédent.
3° - Déterminer une équation de la droite dajustement passant par les points G1 et G2 .
4° - On suppose que les ventes évoluent de la même façon en 2001. Déterminer graphiquement le nombre, en milliers, de tee-shirts susceptibles dêtre vendus en 2001. (Faire apparaître les traits permettant la lecture du résultat).
( Exercice 3 : La société « Sothys » indique le nombre de crèmes vendues chaque mois pendant une année :
Mois xi123456789101112Nombre de crèmes
yi90105105117119128120130140135140155
1° - Construire le nuage de points Mi (xi ; yi ) associé à cette série dans un repère orthogonal.
2° - On partage lensemble des points du nuage en deux sous-ensembles.
a Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 de chacun de ces sous-ensembles.
b Placer les points G1 et G2 dans le repère précédent.
3° - Déterminer une équation de la droite dajustement passant par les points G1 et G2.
4° - On suppose que la tendance observée se prolonge pendant quelques mois.
a A laide du graphique, donner une estimation du nombre de crèmes qui devraient être vendues au mois de février de lannée suivante.
b Retrouver le résultat par le calcul en admettant que la droite (G1 G2) a pour équation :
y = 4,7 x +93
( Exercice 4 : Ce document précise le nombre détablissements de soins corps souvrant de 1999 à 2005.
Années1999200020012002200320042005Nombre détablissements « soin corps »170190207200180250225
1° - Représenter par un nuage de points les établissements « soins corps ».
( abscisse : 2 cm pour 1 an ; ordonnée : 1 cm pour 25 établissements)
2° - Déterminer les coordonnées du point moyen G.
3° - Déterminer léquation de la droite de tendance passant par le point Moyen G et de coefficient directeur 7.
4° - Tracer la droite de tendance passant par le point moyen G et par le point P ( 2005 ;225 ).
5° - Déterminer graphiquement et par le calcul la prévision du nombre détablissements de soins corps souvrant pour 2006.
Exercice 1 : dans le tableau ci-dessous, on donne la pluviométrie moyenne mensuelle sur le département de la Meuse au cours des 30 dernières années.
MoisJanvFevMarAvrMaiJuinJuilAoûSeptOctNovDecPluviométrie
(mm)10282856975828168809797124
Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal en prenant comme unités :
en abscisse : 1 cm pour un mois (numéroter les mois de 1 à 12).
en ordonnée : 1 cm pour 10 mm de pluie.
On se propose de tracer la droite d'ajustement de ce nuage de points.
Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 correspondant respectivement au premier et au second semestres.
Tracer la droite d'ajustement passant par les points G1 et G2.
Déterminer l'équation de la droite d'ajustement.
Exercice 2 : dans le tableau ci-dessous, on donn%/tÊËßàþ = > B D £ ¤ Ë Ï Ù Û ë |
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& FdhgdÐ
& FdhgdÐ e la taille moyenne (en cm) des nouveaux nés en fonction du nombre de l'âge gestationnel (en semaines). Données 1990
Âge gestationnel
(semaines)30313233343536373839404142434445Taille
(cm)47,548,54949,75050,550,851,251,551,852,252,552,85353,553,7
Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal en prenant comme unités :
en abscisse : 1 cm pour 1 semaine (commencer la graduation à 20 semaines)
en ordonnée : 2 cm par unité (commencer la graduation à 45 cm)
On se propose de tracer la droite d'ajustement de ce nuage de points.
Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2
Tracer la droite d'ajustement passant par les points G1 et G2.
Déterminer l'équation de la droite d'ajustement.
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Ventes ( m¬ )
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250
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300
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& FgdÐ gdÐ FfA $$Ifa$gdg
ÛFfu= $Ifgdg
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