Exercice n°1 - Maths Costebelle
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [-9, 1] dont la courbe représentative Cf est
... suivant donne les nombre dérivés de f pour certaines valeurs de la variable.
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au point dabscisse 2.
Exercice n° 3 :
Sur le graphique ci-dessous la courbe Cf représente dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur laxe des abscisses et 0,5 cm sur laxe des ordonnées) une fonction f définie sur un intervalle [-3, 2] ; on précise quaux points dabscisses respectives 1 et 1 la tangente à la courbe C est parallèle à laxe des abscisses.
5°) A laide de la calculatrice et de lexpression de f(x) obtenue au 4°), déterminer une valeur approchée à 10-2 près de la solution de léquation f(x) = 0
Exercice n°4 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
La courbe (C1) tracée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; +([.
On admettra que :
( f (-1) ( 0,26
( La tangente à (C1) au point de coordonnées (0 ; -1) est parallèle à l'axe des abscisses.
EMBED CorelDraw.Graphic.9
1°) En utilisant la courbe (C1) :
a) Déterminer f(0) et f '(0)
b) Dresser le tableau de variation de f sur [-1 ; +([. Correction de lexercice n°1 :
1°) Lordonnée du point de la courbe dabscisse -2 est 4 donc : f(-2) =4 (voir le point C)
2°) f'(-8) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse 8, cest à dire de la droite T
( voir graphique). Par lecture graphique, on obtient : f'(-8)= -9.
f'(-4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point E d'abscisse 4, cest à dire de la droite T. Par lecture graphique, on obtient f'(-4) = 3.
3°) D'après le 1°) -9 est le coefficient directeur de la tangente T
donc l'équation réduite de T est y = -9x + b où b est un réel à déterminer.
A (-8, 4 ) est un point de T donc
4 = 72 + b
b = - 68.
Conclusion : l'équation réduite de T est : y = -9x 68.
La tangente TB est parallèle à laxe des abscisses donc son coefficient directeur est nul.
B(-6,-4) est sur TB
Conclusion : l'équation réduite de TB est y = -4.
4°) a) On cherche les abscisses des points de la courbe ayant une tangente parallèle à l'axe des abscisses :
f '(x) = 0 pour x = -6 ou x = -2
b) On cherche les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante :
f '(x) > 0 pour x appartenant à ]-6, -2 [.
Correction de lexercice n°2 :
1°) f(-1) = 4 donc le coefficient directeur de la tangente TA à la courbe au point dabscisse 1, cest à dire au point A ( -1, -2) est 4 : on trace la droite passant par A et de coefficient directeur 4.
f(1) = 0 donc le coefficient directeur de la tangente TB à la courbe au point dabscisse 1, cest à dire au point B ( 1, -2) est 0 : on trace la droite passant par B (1 , -2 ) et parallèle à laxe des abscisses.
f(2) = -2 donc -2 est le coefficient directeur de la tangente TC à la courbe au point C ( 2, 1).
2°) d'après le 1°)
4 est le coefficient directeur de la tangente TA à la courbe au point dabscisse 1 cest à dire au point A ( -1, -2)
donc l'équation réduite de TA est y = 4x + b où b est un réel à déterminer.
A (-1, -2 ) est un point de TA donc
-2 = -4 + b
b = 2.
Conclusion : l'équation réduite de TA est : y = 4x +2.
3°) d'après le 1°) -2 est le coefficient directeur de la tangente TC à la courbe au point dabscisse 2 cest à dire au point C ( 2, 1)
donc l'équation réduite de TC est y = -2x + b où b est un réel à déterminer.
C (2, 1 ) est sur TC
1= -4 + b
b = 5.
Conclusion : l'équation réduite de TC est : y = -2x +5.
Correction de lexercice n°3 :
1°) a) f(0) =-7, f(1) =-5 et f(-1) = -9
b) f (1 ) = 0 car la tangente est parallèle à laxe des abscisses.
2°)
f (0) est positif car la fonction est strictement croissante sur lintervalle ]-1, 1 [ et 0 appartient à cet intervalle.
Valeurs de x-3 -1 1 2Signe de f(x) - 0 + 0 -Variation de f11 -5
-9 -9
3°) a) sur lintervalle EMBED Equation.DSMT4 la fonction EMBED Equation.DSMT4 est continue EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 donc daprès le théorème des valeurs intermédiaires léquation f(x) = 0 possède au moins une solution sur lintervalle EMBED Equation.DSMT4 .
sur EMBED Equation.DSMT4 les valeur prise par la fonction sont strictement négative donc léquation f(x) = 0 na pas de solution sur cet intervalle.
Sur EMBED Equation.DSMT4 la fonction est strictement décroissante EMBED Equation.DSMT4 donc léquation f(x)=0 possède une solution unique sur cet intervalle .
b) f(x) = -5 pour x= -2 et x = 1
(on a cherché les abscisses des points de la courbe situés sur la droite déquation y = -5).
4°) f(x) = ax3 + cx + d
EMBED Equation.DSMT4
Conclusion : f(x) = -x3 + 3x 7.
5°) f(x) = -x3 + 3x -7
Daprès le graphique la solution de f(x) = 0 est proche de 2,5.
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 (penser à tabuler avec la calculatrice)
Donc la solution de f(x) = 0 est comprise entre 2,43 et 2,42.
Correction de lexercice n°4 :
1 / a) Par lecture graphique, le point de la courbe (C1) dabscisse 0 a pour ordonnée ( 1) donc : f (0) = 1.
Le nombre f (0) est égal par définition au coefficient directeur de la tangente à la courbe (C1) au point dabscisse x = 0.
Daprès les hypothèses de lénoncé, la tangente à la courbe au point dabscisse 0 est parallèle à laxe des abscisses. Donc :
f (0) = 0.
b) Tableau de variation:
x 1 0 + (
f
0,26
1
2 / (On rappelle que f est croissante si f (x) est positive et f décroissante si f (x) négative)
Tableau de signe de f (x)
x 1 0 + (Signe de f (x) 0 +
Déterminons ci-dessous le tableau de signe de chacune des trois fonctions f1 (Fig.1), f2 (Fig.2) et f3 (Fig.3) proposées :
x 1 0 + (x 1 ( 0,3 + (x 1 0 + (f1(x) + 0 f2(x) 0 +f3(x) 0 +
(On rappelle quune fonction est positive sur lintervalle I si sa courbe sur I est « au-dessus » de laxe des abscisses, et négative sur I si sa courbe est « en dessous »).
Conclusion :
La courbe représentative (C2) de la fonction f est celle de la fonction baptisée f3, donc celle de la figure 3.
1°) Lire sur le graphique f(-2).
2°) Lire sur le graphique f '(-8), f '(-4). Justifier votre réponse.
3°) Déterminer l'équation réduite de T la tangente à Cf en A,
puis l'équation réduite de TB la tangente à Cf en B.
4°) Résoudre graphiquement dans [-9, 1 ] :
f '(x) = 0
b) f '(x) > 0.
Justifier votre réponse.
1°)
a) Par lecture graphique, déterminer les valeurs de f(0), f(1) et de f(-1).
b) On suppose que f possède sur lintervalle [-3, 2 ] une fonction dérivée que lon désigne par f.
Déterminer la valeur de f (1) et déterminer le signe de
f (0) ( justifier vos réponses).
2°) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
3°) Déterminer graphiquement (en justifiant).
a) Le nombre de solutions, dans lintervalle [-3, 2 ], de léquation f(x) = 0.
b) Les valeurs des solutions, dans lintervalle [-3 , 2], de léquation
f(x) = -5.
4°) On admet que pour tout x de lintervalle [-3 , 2] on a :
f(x) = ax3 + cx + d où a, c et d sont des nombres réels et
f(x) = 3ax2 + c.
En utilisant les résultats du 1°) déterminer les valeurs a, c et d.
2°) On se propose d'étudier la fonction dérivée f de la fonction f, sur l'intervalle [-1 ; +([.
L'un des tracés ci-dessous est celui de la courbe représentative (C2) de la fonction f. Déterminer lequel, en justifiant la réponse.
EMBED CorelDraw.Graphic.9
