Td corrigé Exercices sur les suites numériques pdf

Exercices sur les suites numériques

Les suites numériques. Objectifs : 1- Maîtriser la notion de convergence; cas particuliers de la convergence monotone;. 2- Maîtriser les suites récurrentes un+ 1 ...




part of the document



Les suites numériques



Objectifs :
1- Maîtriser la notion de convergence; cas particuliers de la convergence monotone;
2- Maîtriser les suites récurrentes un+1 = f(un) avec f monotone; cas particulier des suites géométriques;
3- Voir quelques exemples de suites récurrentes un+1 = f (un) avec f non monotone.

Exercice AUTONUMLGL  On considère la suite  EMBED Equation.DSMT4  définie, pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, par un =  EMBED Equation.DSMT4 .
1- Montrer que la suite  EMBED Equation.DSMT4  est croissante et majorée.
2- Démontrer, en utilisant la définition de la limite d'une suite, que  EMBED Equation.DSMT4 .

Exercice AUTONUMLGL  Calculer, quand elles existent, les limites des suites suivantes :
an= EMBED Equation.DSMT4  bn= EMBED Equation.DSMT4  cn=n²-ncos(n)+(-1)n
dn= EMBED Equation.DSMT4  en= EMBED Equation.DSMT4  fn= EMBED Equation.DSMT4 

Exercice AUTONUMLGL  Soit  EMBED Equation.DSMT4  une suite numérique telle que les suites extraites  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  soient convergentes. Montrer que la suite  EMBED Equation.DSMT4  est convergente.

Exercice AUTONUMLGL 
1- Montrer que les suites définies, pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (*, par un= EMBED Equation.DSMT4  et vn =  EMBED Equation.DSMT4  sont adjacentes.
2- En déduire que la suite de terme général wn= EMBED Equation.DSMT4  est convergente.

Exercice AUTONUMLGL  On considère la suite numérique  EMBED Equation.DSMT4  de terme général donné par un= EMBED Equation.DSMT4 .
1- Montrer que la suite  EMBED Equation.DSMT4  est croissante.
2- Montrer que pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (*, u2n - un  EMBED Equation.DSMT4 .
3- En déduire que la suite  EMBED Equation.DSMT4  est divergente. Quelle est sa limite ?
4- Montrer que pour tout k EMBED Equation.DSMT4 (*,  EMBED Equation.DSMT4  ln(k + 1) - ln k. En déduire que pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (*, un  EMBED Equation.DSMT4 ln(n) et retrouver le résultat de la question 3-.
5- On introduit les suites  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  définies, pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (*, par
vn=un-ln(n) et wn = un+1- ln(n). Montrer que les suites  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont adjacentes.

Exercice AUTONUMLGL  On considère les deux suites numériques  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  dont les termes généraux sont donnés par :
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
1- Montrer que les suites  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont adjacentes, donc convergentes de même limite notée l.
2- A l'aide de l'encadrement valable pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (*, un < l < un +  EMBED Equation.DSMT4 , prouver que la limite l est un nombre irrationnel.
3- On considère à présent la suite  EMBED Equation.DSMT4  définie par w0 = l - 1 et la relation de récurrence  EMBED Equation.DSMT4 n EMBED Equation.DSMT4 (*, wn = nwn-1 - 1.
a- En introduisant la suite  EMBED Equation.DSMT4  définie par  EMBED Equation.DSMT4 n EMBED Equation.DSMT4 (*,  EMBED Equation.DSMT4 , obtenir l'écriture explicite de zn puis celle de wn en fonction de n.
b- A l'aide de la relation de récurrence satisfaite par la suite  EMBED Equation.DSMT4  et de l'encadrement valable pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (*, un+1 < l < vn, prouver que l'on a  EMBED Equation.DSMT4 n EMBED Equation.DSMT4 (*,  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la convergence de la suite  EMBED Equation.DSMT4 .

Remarque : on montrera plus tard que l = e à l'aide de la formule de Taylor-Lagrange.

Exercice AUTONUMLGL  On définit pour tout n  EMBED Equation.DSMT4 ( \ {0,1} et tout x  EMBED Equation.DSMT4  [0, 1], Pn(x) = xn - nx + 1.
1- A l'aide d'un tableau de variations, montrer que Pn admet une unique racine dans [0,1] que l'on notera un. Trouver des relations d'inégalité entre un,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
2- Trouver la limite de la suite  EMBED Equation.DSMT4  puis celle de la suite  EMBED Equation.DSMT4  lorsque n EMBED Equation.DSMT4 .

Exercice AUTONUMLGL  Soit f :( EMBED Equation.DSMT4 ( la fonction définie par f(x) =  EMBED Equation.DSMT4 . On considère la suite numérique  EMBED Equation.DSMT4  définie par la donnée de son premier terme u0  EMBED Equation.DSMT4  ( et par la relation de récurrence  EMBED Equation.DSMT4 n EMBED Equation.DSMT4 (, un+1 = f(un).
1- Etudier les variations de la fonction f sur (, puis tracer son graphe.
2- Déterminer les points fixes de f .
3- En comparant u0 et u1 (on résoudra l'inéquation f (x)  EMBED Equation.DSMT4  x), étudier le sens de variation de la suite  EMBED Equation.DSMT4 .
4- Etudier la convergence de la suite  EMBED Equation.DSMT4  selon la valeur de u0.

Exercice AUTONUMLGL  Soit  EMBED Equation.DSMT4  la suite définie par u1 =  EMBED Equation.DSMT4 , u2= EMBED Equation.DSMT4 , …, un= EMBED Equation.DSMT4 .
1- Déterminer une application f telle que pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, un+1 = f(un).
2- Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  est majorée par 2.
3- Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  est convergente et déterminer sa limite.

Exercice AUTONUMLGL  Soit  EMBED Equation.DSMT4  la suite définie par u0 = 1 et pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, un+1 = f(un) où f est la fonction définie par : f(x) =  EMBED Equation.DSMT4 .
1- Montrer que pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, un est bien défini et un  EMBED Equation.DSMT4  [0,1]. La suite  EMBED Equation.DSMT4  est-elle monotone ?
2- On pose pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, vn = u2n et wn = u2n+1. Etudier les sens de variation des suites  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
3- Résoudre l'équation (f  EMBED Equation.DSMT4  f) (x) = x.
4- Etudier la convergence des suites  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , puis celle de  EMBED Equation.DSMT4 .

Exercice AUTONUMLGL  On considère la suite  EMBED Equation.DSMT4  définie par uo = 1 et, pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (,  EMBED Equation.DSMT4 . On se propose de montrer n la convergence de  EMBED Equation.DSMT4  et de déterminer sa limite par trois méthodes différentes.
Montrer que la limite éventuelle de  EMBED Equation.DSMT4  ne peut être que  EMBED Equation.DSMT4  (nombre d'or).
1- a- Montrer que, pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (,  EMBED Equation.2 (.
b- En déduire que  EMBED Equation.DSMT4  converge vers að.
2-a- Etudier le signe de un+1-að en fonction de celui de un-að et le signe de un+1- un en fonction de celui de un- un-1.
b- Montrer par récurrence que, pour tout p EMBED Equation.DSMT4 (,  EMBED Equation.2 .
c- Montrer que les suites  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 sont adjacentes. Quelle est leur limite commune ?
d- En déduire que  EMBED Equation.DSMT4  converge vers að.
3- Soit bð= EMBED Equation.DSMT4 . On introduit la suite  EMBED Equation.DSMT4  définie, pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, par  EMBED Equation.2 .
a- La suite  EMBED Equation.DSMT4  est-elle correctement définie ?
b- Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  est une suite géométrique. On pourra remarquer que að et sont les racines de l équation r²=r+1. Quelle est sa limite ?
c- En déduire que la suite  EMBED Equation.DSMT4  converge vers að.

Exercice AUTONUMLGL  Soit að EMBED Equation.DSMT4 ]0, 1[ et f la fonction définie sur [0, 1] par f(x) = x(1 - x). On considère la suite numérique  EMBED Equation.DSMT4  définie par u0 = a et pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, un+1 = f(un).
1- Etudier les variations de f sur [0, 1].
2- Montrer que pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, un EMBED Equation.DSMT4 ]0, 1[, puis que  EMBED Equation.DSMT4 =0.
3- Montrer par récurrence que pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, un <  EMBED Equation.DSMT4 .
4- On introduit la suite  EMBED Equation.DSMT4  définie, pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (, par vn = nun.
a- Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  est croissante et converge vers un réel v tel que 0 < v  EMBED Equation.DSMT4  1.
b- Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 =v(1-v).
c- On suppose que v < 1. En écrivant v2n - vn = EMBED Equation.DSMT4  et en remarquant que  EMBED Equation.DSMT4 , en déduire que la suite  EMBED Equation.DSMT4  serait divergente. Conclure.

Exercice AUTONUMLGL  Soient a et b deux réels tel que 0 < a < b. On considère les suites  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  définies par u0 = a, v0=b et par les relations de récurrence : EMBED Equation.DSMT4 (, un+1= EMBED Equation.DSMT4 , vn+1= EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que ces deux suites sont adjacentes, donc convergentes vers une même limite (appelée moyenne arithmetico-géométrique des nombres a et b).


N.B. Les deux exercices ci-dessous nécessitent le théorème des accroissements finis. Ils devront donc être traités ultérieurement en fonction de l'état d'avancement du cours.

Exercice AUTONUMLGL  Soit að ð> 1. On considère la suite numérique  EMBED Equation.DSMT4  de terme général donné par un= EMBED Equation.DSMT4 .
1- Montrer que la suite  EMBED Equation.DSMT4  est croissante.
2- Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis,"$%)y}ž¡¥§¨äè8 B C N O P R f g ~  €  – — ® ¯ ° ± ² ¹ õçãß×Ò×ßãßãßÍßãÅãßã¾³¾³¾ã߫ߘ‹«ß«ßxk«dã jÍðhQUŽjfhQUŽhQUŽEHüÿU%jœ’¿N
hQUŽCJUVaJnH tH jhQUŽhQUŽEHòÿU%j’¿N
hQUŽCJUVaJnH tH jhQUŽUjhQUŽ5U\ hQUŽ5\hQUŽhU}lH* hQUŽH* hQUŽ6hQUŽhU}l6hQUŽhU}lhQUŽhU}l56CJaJhQUŽ56CJaJ'%yä7 8 Ú )

Ž
é
< › œ · ¸ Ð w
Ó
Ô
c§÷p#¥òp#¬òp#¬òp#¬òp#¬ép#¬ép#¬ép#¬òp#¬òp#äép#0àép#äòp#¬òp#¬òp#TÈòp#TÈòp#¬òp#0àòp#¬òp#¬òÿp#át ép#TÈòp#¬òp#¸–ép#0àép#ä„Ä`„ÄgdQUŽgdU}l$a$gdQUŽ•‘þ¹ º ½ ¾ Õ Ö × Ø Ú ò ó




)
+
Y
p
q
ˆ
‰
Š
‹
Œ
Ž
˜
™
¤
¥
¦
æ
è
é
ê
ë
ì
í
 ÷óëóØËëÇóëó´§ëÇóÇóëó”‡ëóǀu€u€ÇóÇópóëó hQUŽH*jhQUŽ5U\ hQUŽ5\jš hQUŽhQUŽEHèÿU%jߒ¿N
hQUŽCJUVaJnH tH j4 hQUŽhQUŽEHòÿU%jĒ¿N
hQUŽCJUVaJnH tH hU}ljhQUŽhQUŽEHèÿU%j®’¿N
hQUŽCJUVaJnH tH jhQUŽUhQUŽhQUŽhU}lH*&   

$ % & ' ) * : ; < = > ? @ W X Y Z ] ^ _ ` w x y z } ~  € — ìß×ÓÎÓ×Ó»®×ÓÎÓ©¥ÓÎÓ×Ӓ…×ÓÎÓ×Óre×ÓÎÓ×Ój'hQUŽhQUŽEHèÿU%jГ¿N
hQUŽCJUVaJnH tH jßhQUŽhQUŽEHèÿU%jœ“¿N
hQUŽCJUVaJnH tH hU}l hQUŽH*jrhQUŽhQUŽEHôÿU%jc“¿N
hQUŽCJUVaJnH tH  hQUŽH*hQUŽjhQUŽUjhQUŽhQUŽEHäÿU%j?@Ohi€‚ƒ„…†«¬Ýçèóôõ òêæêæÓÆê¿æê欟ê›æêæˆ{ê›w›æ›l›eZeZeæjhQUŽ5U\ hQUŽ5\hº}åhU}lOJQJhŽCÔjÒ­hQUŽhº}åEHòÿU%jG–¿N
hº}åCJUVaJnH tH hU}ljzªhº}åhº}åEHèÿU%jdôÁN
hº}åCJUVaJnH tH  jÍðhº}åjקhº}åhº}åEHüÿU%jóÁN
hº}åCJUVaJnH tH hº}åjhº}åUj+¥hº}åhº}åEHüÿU# 
$%&'(;)@)D)€)‚)°)²)´)¶)Ô)Ö)Ú)Ü)ð)ò)*
* ****H*J*L*N*R*T*Z*œ*®*Ü*++>+øôíæôÞô˾Þæ³æ¯¨¨¨™‘‰™vi‰™¯™¯™¯™‰™j.ehƒ\thƒ\tEHüÿU%jžüÁN
hƒ\tCJUVaJnH tH jhƒ\tUhƒ\tOJQJhƒ\tjhQUŽ5U\ hQUŽ5\hU}lh7 hý?&OJQJjÈahQUŽhpSµEHòÿU%j³÷ÁN
hpSµCJUVaJnH tH jhpSµU h7 hý?& hpSµhý?&hpSµhpSµOJQJ#>+@+B+D+`+b+ˆ+Š+¸+º+¼+¾+À+Æ+Î+Ô+Ø+Ú+à+æ+,,,5,6,M,N,O,P,Q,T,U,V,m,n,ìß×ÓÎÊ×Ê·ª×£Ó›ÊӛÓÊÓÊÓÊ×ʈ{×£wo×Ê\%jýÁN
hƒ\tCJUVaJnH tH hƒ\thÉ>)H*hÉ>)jãmhƒ\thƒ\tEHüÿU%j
ýÁN
hƒ\tCJUVaJnH tH hƒ\thU}lH* jÍðhƒ\tj;khƒ\thƒ\tEHüÿU%jÒüÁN
hƒ\tCJUVaJnH tH hƒ\t hƒ\tH*hU}ljhƒ\tUjÕghQUŽhƒ\tEHòÿU%j³÷ÁN
hƒ\tCJUVaJnH tH "à+, , -~-.3.//:0Ì0Í0Î0}1~1ü2„3bŒšŒFHNŽOŽöp#¬íp#hCíp#äíp#0àíp#0àíp#uèp#¸–èp#¬èÿp#àó
èp#¬èp#¬Ûÿp#÷öèp#¬èp#¬èÿp#èv
Òp#0àÒp#¬Êp#ðùÒp#0àÅp#¬èÿp#5Ûèp#¬gd¦z$a$gd¦z„Ä`„Ägd¦z
&dPÆÿgd¦zgdÉ>)„Ä`„Ägdƒ\t„Ä^„Ägdƒ\tn,o,p,s,,‚,™,š,›,œ,Ÿ, ,¢,­,É,Ê,á,â,ã,ä,å,è,é,ì,í,---- -"-#-:-;-òêæâêâÏÂêâæâæâê⯢ê›æ“âêâ€sêæâêâ`%j‹ýÁN
hƒ\tCJUVaJnH tH j÷xhƒ\thƒ\tEHèÿU%joýÁN
hƒ\tCJUVaJnH tH hƒ\thÉ>)H* jÍðhƒ\tjQvhƒ\thƒ\tEHüÿU%j
ýÁN
hƒ\tCJUVaJnH tH j3shƒ\thƒ\tEHìÿU%j9ýÁN
hƒ\tCJUVaJnH tH hƒ\thÉ>)jhƒ\tUj‰phƒ\thƒ\tEHüÿU!;-
 :