Solide sur un plan incliné - L'UTES
Methodo math-physique 1er semestre 2009-2010. Corrigé partiel de l'exercice d'
entraînement « Vecteurs ». Document de travail : « Solide sur un plan incliné ».
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Document de travail : « Solide sur un plan incliné ».
Diagramme des forces à léquilibre :
Repositionner sur la construction les droites parallèles et perpendiculaires au plan incliné pour quelles dessinent le diagramme des forces.
Amener le vecteur EMBED Equation.3 bout à bout avec EMBED Equation.3 , perpendiculairement au plan incliné, puis le vecteur EMBED Equation.3 bout à bout avec EMBED Equation.3 , suivant le plan incliné : la figure doit se refermer, ce qui correspond bien à léquilibre du solide. Reporter la solution sur le schéma ci-dessus.
Les forces EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sappliquent au niveau de la surface de contact entre le plan incliné et le solide. Chacune est en fait répartie sur toute la surface de contact, mais on admet pour chacune quelle est équivalente à une force unique appliquée en un point de cette surface.
Equation déquilibre : EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Si le solide est en équilibre, cette équation est vérifiée. Attention : la réciproque nest pas vraie.
Trièdre direct ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) :
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ^ EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 est perpendiculaire au plan formé par EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 ; son sens est donné par la règle du tire-bouchon (ou celle des 3 doigts de la main droite), soit ici vers lavant de la figure ; sa norme est de une unité.
Expression des forces dans le repère orthonormé (O EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) en fonction de leur norme.
Daprès lénoncé les forces sont dans le plan de figure (O EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ), les composantes suivant Oz sont donc nulles.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 = P*ux*cos( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 )=P*cos( EMBED Equation.3 /2 + EMBED Equation.3 ) = - P*sin EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 = P*uy*cos( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 )=P*cos( EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ) = - P*cos EMBED Equation.3
Doù : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = Px * EMBED Equation.3 + Py* EMBED Equation.3 = - M*g*sin EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 - M*g*cos EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 est perpendiculaire au plan incliné, ses composantes suivant EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont donc nulles :
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 = 0 doù : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 =+N* EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 est dirigé suivant le plan incliné, sa composante suivant EMBED Equation.3 est donc nulle :
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 = 0 doù : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 = +f * EMBED Equation.3
Compléter le tableau :
sur Ox
sur Oy sur Oz
Poids EMBED Equation.3 =M* EMBED Equation.3 Vecteur projection Mesure algébrique
de la projection
Action normale
du support EMBED Equation.3 Vecteur projectionMesure algébrique
de la projection
Frottement EMBED Equation.3 Vecteur projectionMesure algébrique
de la projection
Calcul des forces de contact en fonction des données M, g , EMBED Equation.3
Equation déquilibre : EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
doù : - M*g*sin EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 - M*g*cos EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 + N* EMBED Equation.3 + f* EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Projection sur Ox : - M*g*sin EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 + f* EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 doù f = M*g*sin EMBED Equation.3
Projection sur Oy : - M*g*cos EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 + N* EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 doù N = M*g*cos EMBED Equation.3
Géométriquement : le diagramme des forces est un triangle rectangle. Son hypoténuse (P) et ses angles aigus ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 /2 - EMBED Equation.3 ) sont connus. EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 forment les côtés de langle droit. On en déduit les normes puis les vecteurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 :
N = M*g*cos EMBED Equation.3 et f = M*g*sin EMBED Equation.3 doù
EMBED Equation.3 = + M*g* cos EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 = + M*g*sin EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3
Choix du repère.
Cest pour une raison pratique que lon préfère le repère (O EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ). Les forces de contact étant dirigées perpendiculairement et parallèlement au plan incliné, suivant EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , les calculs sont plus rapides dans le repère (O EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ). Cest aussi le cas pour létude du mouvement, puisque laccélération est dirigée suivant le plan incliné.
Methodo math-physique 1er semestre 2009-2010
Corrigé partiel de lexercice dentraînement « Vecteurs »
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EMBED Unknown
