chap6.doc
C'est-à-dire, chaque est continu, dérivable sur et vérifie les conditions aux limites.
Les amplitudes ..... Mécanique des Milieux continus Elasticité Helmut Klöcker.
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e processus de déformation. On considère des chargements quasi-statiques (sans effets dinertie).
I.1. Champ de contraintes statiquement admissibles EMBED Equation.3 et champ de déplacements cinématiquement admissibles EMBED Equation.3
On appelle champ de contraintes statiquement admissibles (S.A.) tout champ de contraintes EMBED Equation.3 (Figure 1) qui satisfait léquation déquilibre interne et la condition déquilibre de surface. On appelle champ de déplacements cinématiquement admissible (C.A.), tout champ de déplacements EMBED Equation.3 (Figure 1) qui satisfait les conditions de bord et qui est dérivable au moins une fois permettant la définition du champ de déformation EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (1)
Figure 1 . Solide Wð chargé par une distribution de forces EMBED Equation.3 sur EMBED Equation.3 et soumis à des conditions aux limites en déplacement EMBED Equation.3 sur EMBED Equation.3 en équilibre
Principe des travaux virtuels
II.1. Equation des travaux virtuels
Le travail de tout champ de contraintes statiquement admissible EMBED Equation.3 sur tout champ de déformations cinématiquement admissibles EMBED Equation.3 est égal aux travail des forces imposées EMBED Equation.3 associées aux déplacements cinématiquement admissibles EMBED Equation.3 et aux forces de volume EMBED Equation.3 . Les contraintes statiquement admissibles EMBED Equation.3 et les déformations cinématiquement admissibles EMBED Equation.3 ne sont pas associées par la loi de Hooke.
EMBED Equation.3 (2)
II.2. Principe des travaux virtuels des déplacements
- a -- b -Figure 2 . Solide Wð chargé par une distribution de forces EMBED Equation.3 sur EMBED Equation.3 et soumis à des conditions aux limites en déplacement EMBED Equation.3 sur EMBED Equation.3 et soumis à une variation cinématiquement admissible EMBED Equation.3 des déplacements (b).
II.2.1. Enoncé du principe
Soient EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 létat courant existant dans un solide soumis à des sollicitations EMBED Equation.3 sur Ssð et EMBED Equation.3 sur SU. Soit EMBED Equation.3 une perturbation cinématiquement admissible de EMBED Equation.3 autour de l état actuel (Figure 2). EMBED Equation.3 est continu et dérivable au moins une fois dans Wð et EMBED Equation.3 sur SU.
EMBED Equation.3 (3)
II.2.2. Application du principe des travaux virtuels des déplacements
On suppose que le champ des déplacements EMBED Equation.3 peut se mettre sous la forme EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 sont des amplitudes inconnues et EMBED Equation.3 sont des champs de déplacements cinématiquement admissibles. Cest-à-dire, chaque EMBED Equation.3 est continu, dérivable sur Wð et vérifie les conditions aux limites. Les amplitudes EMBED Equation.3 peuvent donc varier indépendemment l une de l autre. Le champ des déformations est une superposition linéaire des champs de déformations élémentaires EMBED Equation.3 associés à chaque mode de déplacement EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Les contraintes sobtiennent par la loi de comportement du matériau à partir des déformations. Pour un matériau élastique linéaire isotrope, on a par exemple :
EMBED Equation.DSMT4
Ainsi le premier terme de léquation (3) sécrit
EMBED Equation.DSMT4
Le terme de surface et le terme du aux forces de volume se transforment comme suit
EMBED Equation.3
En effet, le chargement en surface et les forces de volume sont indépendants du champ de déplacements choisi. Léquation (3) conduit, donc au système déquations suivant :
EMBED Equation.DSMT4 (4)
Léquation précédente permet de déterminer les amplitudes ak. Le fait que les amplitudes ak satisfassent le système (4), revient à satisfaire léquation (3) pour un champ de déplacements particulier. Si le développement du champ de vitesse comporte une infinité de termes ( EMBED Equation.3 ) et que lespace des EMBED Equation.3 constitue un espace fonctionnel complet, léquation (4) est équivalente à léquation (3). La satisfaction de léquation (4) est donc équivalente à la satisfaction des équations déquilibre. Or, en pratique, les champs de déplacements approchés ne comportent pas une infinité de termes. Donc léquation (3) sera satisfaite seulement pour des champ EMBED Equation.3 particuliers. Intuitivement, on conçoit que si le nombre de champs EMBED Equation.3 augmente, la qualité de la solution saméliore. Dans le paragraphe III, nous établirons un critère pour comparer des solutions entre elles.
II.2.3. Exemple dapplication
Considérons une barre encastrée soumise à des sollicitations en cisaillement sur deux faces (figure 3). On néglige la gravité et les forces de volume EMBED Equation.3 sont nulles. On se propose de déterminer le champ de déplacement dans la barre.
Figure 3 . barre encastrée soumise à du cisaillement sur deux faces.Nous essayons deux champs de déplacements. Le premier champ de déplacement EMBED Equation.3 sécrit :
EMBED Equation.3 .
Où a est lamplitude inconnue à déterminer. Seule la contrainte EMBED Equation.3 est non nulle. Ainsi le membre de gauche de léquation (3) prend la forme :
EMBED Equation.3
Le terme de surface sécrit :
EMBED Equation.3
Pour le premier champ de déplacement, léquation (3) conduit donc à légalité suivante
EMBED Equation.3 soit EMBED Equation.3
Le champ de déplacement EMBED Equation.3 et la contrainte EMBED Equation.3 correspodnante sécrivent :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Le champ de déplacement EMBED Equation.3 est bien cinématiquement admissible, puisque continu, dérivable et nulle en x=0. La contrainte EMBED Equation.3 correspondante est constante.
Le deuxième champ de déplacement EMBED Equation.3 dépend de 3 paramètres.
EMBED Equation.3
Les champs de déplacements élémentaires EMBED Equation.3 sont donc ici donnés par EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 respectivement. Le calcul des amplitudes est similaire au cas précédent. Le détail est donné dans les exercices résolus. Les amplitudes valent :
EMBED Equation.3
- a -- b -Figure 4. Champs solutions de la barre encastrée : (a) champ de déplacement, (b) champ de contrainte.
Les champs correspondants sécrivent :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Les déplacement EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont représentés sur la figure 4a. Le premier champ est linéaire et le deuxième quadratique en x. Les deux champs sont continus, dérivables et satisfont la condition aux limite EMBED Equation.3 . Les champs de contraintes EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont représentés sur la figure 4b. Le premier champ est constant et le deuxième varie linéairement en fonction de x.
II.3. Principe des travaux virtuels des contraintes
II.3.1. Enoncé du principe
Soient EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 l état courant existant dans un solide soumis à des sollicitations EMBED Equation.3 sur Ssð et EMBED Equation.3 sur SU. Soit EMBED Equation.3 une perturbation statiquement admissible de EMBED Equation.3 autour de l état actuel. EMBED Equation.3 est continu et dérivable au moins une fois dans Wð ð et vérifie les équations d équilibre. Pour un chargement des forces de volume nulles :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 sur SU.
EMBED Equation.3 (5)
II.3.2. Application du principe des travaux virtuels des contraintes
On suppose que le champ des contraintes EMBED Equation.3 peut se mettre sous la forme EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 sont des amplitudes inconnues et EMBED Equation.3 sont des champs de contraintes statiquement admissibles. Cest-à-dire, EMBED Equation.3 sur Wð et EMBED Equation.3 vérifie les conditions aux limites sur Ssð. Les amplitudes EMBED Equation.3 peuvent donc varier indépendemment l une de l autre. Le champ des déformations est une superposition linéaire des champs de déformations élémentaires EMBED Equation.3 associés à chaque mode de contrainte EMBED Equation.3 . La suite est similaire à lapplication du principe des travaux virtuels des déplacements.
II.3.3. Exemple dapplication
Considérons la barre encastrée de la figure 3 soumise à des sollicitations en cisaillement sur deux faces. On néglige la gravité et les forces de volume EMBED Equation.3 sont nulles. On se propose de déterminer le champ de déplacement dans la barre.
Nous essayons un champ de contraintes statiquement admissible. Le champ des contraintes sécrit :
EMBED Equation.3 .
a, b et c sont des amplitudes inconnues à déterminer. Ce champ de contraintes est statiquement admissible. En effet, il vérifie les équations déquilibre en volume et la condition aux limites en contraintes :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Lapplication du principe du travail virtuel des contraintes, permet de déterminer les valeurs optimales pour les amplitudes a, b et c. Seule la valeur optimale de b est non nulle et vaut :
EMBED Equation.3 .
Au paragraphe suivant, nous établirons un critère permettant de comparer les différentes solutions approchées entre elles.
III. PrincipeS VARIATIONNeLs
III.1. Enérgie totale et énergie complémentaire totale
Le principe des travaux virtuels des déplacements (3) nous enseigne que pour tout champ de contrainte EMBED Equation.3 en équilibre léquation suivante est satisfaite :
EMBED Equation.3
pourvu que EMBED Equation.3 soit une variation cinématiquement admissible des déplacements. Or lexpression précédente nest rien dautre que la variation au premier ordre de lénergie totale U :
EMBED Equation.3 (6)
où Wél est lénergie élastique stockée dans le matériau, exprimée en fonction des déformations :
EMBED Equation.3 (7)
et sa variation première sécrit :
EMBED Equation.3
Le principe des travaux virtuels des déplacements affirme donc que la variation première de lénergie totale U est nulle pour tout champ de déplacements cinématiquement admissibles. Lénergie totale est donc extrémale si le champ de contrainte est en équilibre.
Considérons lénergie complémentaire totale :
EMBED Equation.3 (8)
où EMBED Equation.3 est lénergie élastique complémentaire stockée dans le matériau. Lénergie élastique complémentaire est donnée par :
EMBED Equation.3 (9)
De façon tout à fait similaire on montre que le principe des travaux virtuels des contraintes implique que lénergie totale complémentaire soit extrémale pour toute variation statiquement admissible des contraintes.
III.2. Principes de minimum
Nous utilisons le fait que lénergie élastique soit une fonction définie positive des contraintes et des déformations pour établir des principes des minimum. Le fait que lénergie élastique dun corps déformée soit toujours positive, nous à permis daffirmer que les matrices de Hooke EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont forcément défini positives. La variation seconde de lénergie totale par rapport aux déplacements sécrit :
EMBED Equation.3
Cette variation est défini positive comme le tenseur EMBED Equation.3 . Le champ de déplacements exacte minimise lénergie totale. De façon similaire on montre que le champ de contraintes exacte maximise lénergie complémentaire totale.
EMBED Equation.3 (10)
EMBED Equation.3 (11)
III.3. Mesure de lerreur
III.3.1. Energie totale et énergie complémentaire totale
Ecrivons lénergie élastique complémentaire (fonction des contraintes) en fonction de lénergie élastique
EMBED Equation.3
Ainsi, lénergie complémentaire totale sécrit :
EMBED Equation.3
soit en réarrangeant les termes
EMBED Equation.3
Lapplication du théorème de Gausse permet décrire :
EMBED Equation.3
et après simplification des intégrales de surface :
EMBED Equation.3
Lénergie totale complémentaire associée au champ de contraintes exacte est donc lopposé de lénergie totale associée au champ de déplacements exacte.
EMBED Equation.3 (12)
III.3.2. Encadrement de la solution
Le champ des déplacements exactes rend minimale lénergie totale parmis tous les champs cinématiquement admissibles (10). Le champ des contraintes exactes rend maximal lénergie complémentaire totale parmis tous les champs de contraintes statiquement admissibles. Ainsi, la relation (12) permet décrire :
EMBED Equation.3 (13)
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont respectivement un champ de déformations cinématiquement adimissible quelconques et le champ des déformations exactes. EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont respectivement un champ de contraintes statiquement admissibles quelconques et le champ des contraintes exactes.
IV. Exercices resolus
IV.1. Equation des travaux virtuels (équation 2)
IV.1.1 Enoncé
Montrer que le travail de tout champ de contraintes statiquement admissibles EMBED Equation.3 sur tout champ de déformations cinématiquement admissibles EMBED Equation.3 est égal aux travail des forces imposées EMBED Equation.3 associées aux déplacements cinématiquement admissibles EMBED Equation.3 et aux forces de volume EMBED Equation.3 . Les contraintes statiquement admissibles EMBED Equation.3 et les déformations cinématiquement admissibles EMBED Equation.3 ne sont pas associées par la loi de Hooke.
EMBED Equation.3
IV.1.2 Solution
Le fait que EMBED Equation.3 soit cinématiquement admissible, permet décrire le champ des déformations EMBED Equation.3 en fonction du gradient des déplacments :
EMBED Equation.3
Nous transformons lexpression précédente pour faire apparaître un terme unique du tenseur gradient des vitesse.
EMBED Equation.3
Le tenseur des contraintes est en équilibre. Léquilibre en rotation, permet daffirmer que EMBED Equation.3 est symétrique.
EMBED Equation.3
Pour faire apparaître les intégrales de surfaces de (2) par lutilisation du théorème de Gauss (Green Ostrogradsky), nous transformons le produit du tenseur des contraintes par le tenseur gradient des déplacements en une divergence :
EMBED Equation.3
La dernière intégrale peut être transformée par lhypothèse déquilibre des contraintes
EMBED Equation.3
Donc le travail des contraintes EMBED Equation.3 sur le champ cinématiquement admissible EMBED Equation.3 sécrit
EMBED Equation.3
La deuxième intégrale du membre de gauche peut être transformée en une intégrale de surface par lapplication du théorème de Gauss (Green-Ostrogradsky) :
EMBED Equation.3
Les contraintes sont en équilibre, donc par hypothèse le tenseur des contraintes vérifie les conditions aux limites. Sur la surface Ssð, le vecteur contrainte est imposé et EMBED Equation.3 . Ainsi, l intégrale précédente peut s écrire :
EMBED Equation.3
Le membre de gauche de l équation (2) s écrit finalement :
EMBED Equation.3
soit en notation vectorielle :
EMBED Equation.3
Soient EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 l état courant existant dans un solide soumis à des sollicitations EMBED Equation.3 sur Ssð et EMBED Equation.3 sur SU alors :
EMBED Equation.3
(c.q.f.d.)
IV.2. Principe des travaux virtuels (équation 3)
IV.2.1. Enoncé
Soient EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 létat courant existant dans un solide soumis à des sollicitations EMBED Equation.3 sur Ssð et EMBED Equation.3 sur SU. Soit EMBED Equation.3 une perturbation cinématiquement admissible de EMBED Equation.3 autour de l état actuel (Figure 2). EMBED Equation.3 est continu et dérivable au moins une fois dans Wð et EMBED Equation.3 sur SU. Démontrez que
a) Condition nécessaire : si le champ EMBED Equation.3 est en équilibre , alors
EMBED Equation.3
inversement si léquation précédente est satisfaite pour tout champ EMBED Equation.3 cinématiquement admissible, le champ EMBED Equation.3 est en équilibre.
IV.2.2. Solution
a. Condition nécessaire
Montrons dabord que léquation (3) est vérifiée pour tout champ de contraintes EMBED Equation.3 en équilibre et tout champ de déplacements EMBED Equation.3 cinématiquement admissible. Le fait que EMBED Equation.3 soit cinématiquement admissible, permet décrire le champ des déformations EMBED Equation.3 en fonction du gradient des déplacments :
EMBED Equation.3
Nous transformons lexpression précédente pour faire apparaître un terme unique du tenseur gradient des déplacements.
EMBED Equation.3
Le tenseur des contraintes est en équilibre. Léquilibre en rotation, permet daffirmer que EMBED Equation.3 est symétrique.
EMBED Equation.3
Pour faire apparaître les intégrales de surfaces de (3) par lutilisation du théorème de Gauss (Green Ostrogradsky), nous transformons le produit du tenseur des contraintes par le tenseur gradient des déplacements en une divergence :
EMBED Equation.3
La dernière intégrale peut être transformée par lhypothèse déquilibre des contraintes
EMBED Equation.3
Donc le travail des contraintes EMBED Equation.3 sur la perturbation cinématiquement admissible EMBED Equation.3 du champ des déplacmenents sécrit
EMBED Equation.3
La deuxième intégrale du membre de gauche peut être transformée en une intégrale de surface par lapplication du théorème de Gauss (Green-Ostrogradsky) :
EMBED Equation.3
Les contraintes sont en équilibre, donc par hypothèse le tenseur des contraintes vérifie les conditions aux limites. Sur la surface Ssð, le vecteur contrainte est imposé et EMBED Equation.3 . La perturbation EMBED Equation.3 des déplacements est cinématiquement admissible et respecte donc les conditions aux limites en déplacement. Donc sur la surface SU EMBED Equation.3 . Ainsi, lintégrale précédente peut sécrire :
EMBED Equation.3
Le membre de gauche de léquation (3) sécrit finalement :
EMBED Equation.3 (c.q.f.d.)
(c.q.f.d.)
b. Condition suffisante
Si léquation (3) est vérifiée pour tout champ de déplacement EMBED Equation.3 cinématiquement admissible, le champ de contraintes EMBED Equation.3 est en équilibre :
EMBED Equation.3
Comme le champ des déplacements est cinématiquement admissible, lintégrale de volume peut sécrire
EMBED Equation.3
Lintégrale précédente peut être transformée comme suit
EMBED Equation.3
Nous transformons le premier terme du membre de droite de façon à faire apparaître une composante unique pour le champ de déplacement et une dérivée unique par rapport à xj.
EMBED Equation.3
Lapplication du théorème de Gauss permet décrire
EMBED Equation.3
La perturbation cinématiquement admissible du champ des déplacements est nulle sur Su, donc
EMBED Equation.3
Lintégrale de volume de léquation (3) prend maintenant la forme suivante :
EMBED Equation.3
Léquation (3) conduit à légalité
EMBED Equation.3
pour tout champ EMBED Equation.3 cinématiquement admissible. Daprès le lemme du calcul des variations, des intégrales identiquement nulles impliquent la nullité de lintégrand :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Linversion des indices muets i et j permet détablir que :
EMBED Equation.3 et que
EMBED Equation.3
(c.q.f.d.)
IV.3. Barre encastrée soumise à cisaillement sur deux faces
IV.3.1. Enoncé
Considérons une barre encastrée sousmise à des sollicitations en cisaillement sur deux faces (figure ci contre). On néglige la gravité et les forces de volume EMBED Equation.3 sont nulles. On se propose de déterminer le champ de déplacement dans la barre.
On considère un champ de déplacement dépendant de 3 paramètres.
EMBED Equation.3
Calculez les valeur de a1, a2 et a3 par application du principe des travaux virtuels (3).
IV.3.1. Solution
Pour le champ de déplacement EMBED Equation.3 la variation cinématiquement admissible sécrit :
EMBED Equation.3
La seule composante non nulle du champ de déformation est EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Les contraintes correspondantes sobtiennent par la loi de Hooke
EMBED Equation.3
Ainsi lintégrale de volume dans léquation (3) prend la forme
EMBED Equation.3
soit en factorisant les termes multipliant la variation des différentes amplitudes EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Le chargement imposé t est indépendant du choix du champ de déplacement, lintégrale de surface sécrit donc
EMBED Equation.3
soit
EMBED Equation.3
Ainsi le principe des travaux virtuels conduits aux système déquations suivant :
EMBED Equation.3
Ce système doit être satisfait pour toutes valeurs des variations des amplitudes EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . Nous choisissons trois vecteurs particuliers EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 pour les variations des amplitudes. Ceci conduit au système déquations suivant pour les amplitudes ai.
EMBED Equation.3
La solution du système précédent est immédiate et conduit à :
EMBED Equation.3
IV.4. Principe des travaux virtuels de contraintes (équation 4)
IV.4.1. Enoncé
Soient EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 l état courant existant dans un solide soumis à des sollicitations EMBED Equation.3 sur Ssð et EMBED Equation.3 sur SU. EMBED Equation.3 une perturbation statiquement admissible de EMBED Equation.3 autour de l état actuel. EMBED Equation.3 est continu et dérivable au moins une fois dans Wð ð et vérifie les équations d équilibre pour un chargement nul EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 sur SU.
Démontrez que
a) Condition nécessaire :Si le champ u est cinématiquement admissible,
EMBED Equation.3
Si léquation précédente est vérifiée pour tout champ de contrainte statiquement admissible, le champ de déplacement vérifie léquation de compatibilité.
IV.4.2. Solution
Condition nécessaire : tout champ de déplacements cinématiquement admissibles satisfait léquation (4) :
Si le champ de déplacements est cinématiquement admissible, nous pouvons écrire
EMBED Equation.3
Or la perturbation EMBED Equation.3 des contraintes étant statiquement admissible, elle satisfait léquation déquilibre en rotation, donc
EMBED Equation.3
La perturbation EMBED Equation.3 des contraintes étant statiquement admissible, satisfait aussi léquation déquilibre en translation, donc
EMBED Equation.3
Cette expression peut être transformée en intégrale de surface par le théorème de Gauss
EMBED Equation.3
Sur Ssð, la perturbation statiquement admissible des contraintes vérifie la condition aux limites EMBED Equation.3 , ainsi l intégrand est nul sur Ssð et l intégrale précédente se réduit à
EMBED Equation.3
(c.q.f.d.).
Condition suffisante : Si léquation (4) est satisfaite pour tout champ EMBED Equation.3 statiquement admissible le champ de déplacement est cinématiquement admissible
EMBED Equation.3
Comme EMBED Equation.3 est statiquement admissible EMBED Equation.3 sur Ssð. Donc l intégrale précédente peut s écrire :
EMBED Equation.3
Le théorème de Gauss permet de transformer l intégrale précédente en une intégrale de volume
EMBED Equation.3
Or la perturbation EMBED Equation.3 des contraintes étant statiquement admissible, elle satisfait léquation déquilibre en rotation, donc
EMBED Equation.3
La symétrie du tenseur contrainte permet décrire
EMBED Equation.3
Léquation (4) conduit donc à légalité suivante :
EMBED Equation.3
Lintégrale F est identiquement nulle pour tout champ de contrainte statiquement admissible, daprès le lemme du calcul des variations, lintégrand doit être identiquement nul :
EMBED Equation.3
(c.q.f.d.)
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Mécanique des Milieux continus Elasticité Helmut Klöcker
