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Notation indicielle - Mécanique des Milieux Continus

Il est à noter que si l'étudiant cherche bien, il n'est pas impossible qu'il trouve dans ce document son futur sujet de test ou d'examen. Travaillez, prenez de la ...




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Mécanique des Milieux Continus



Recueil d’exercices




Arts et Métiers ParisTech

Centre de Cluny



M.MAYA


 HYPERLINK "mailto:maya@cluny.ensam.fr" maya@cluny.ensam.fr
 HYPERLINK "http://www.mmaya.fr" www.mmaya.fr



Année scolaire 2013-2014






Ce petit recueil d’exercices n’a pas d’autre but que d’aider l’étudiant dans sa compréhension de l’enseignement de la Mécanique des Milieux Continus. Il doit permettre de mieux cerner les champs d’investigation de cette science. Il rassemble de nombreux sujets de tests ou d’examens soit du centre de Cluny, soit d’autres écoles.


Il est à noter que si l’étudiant cherche bien, il n’est pas impossible qu’il trouve dans ce document son futur sujet de test ou d’examen.




Travaillez, prenez de la peine,
C’est le fonds qui manque le moins.

Le laboureur et ses enfants
Jean De LA FONTAINE (1621-Uð1695)


Sommaire

 TOC \o "1-3" \h \z  HYPERLINK \l "_Toc364919730" Notation indicielle  PAGEREF _Toc364919730 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc364919731" Cisaillement en grandes déformations  PAGEREF _Toc364919731 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc364919732" Etat de déformation homogène triaxiale  PAGEREF _Toc364919732 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc364919733" Cisaillement en petites déformations  PAGEREF _Toc364919733 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc364919734" Etude d’un état de déformation  PAGEREF _Toc364919734 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc364919735" Etat de contrainte uniforme  PAGEREF _Toc364919735 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc364919736" Etat de contrainte uniaxial  PAGEREF _Toc364919736 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc364919737" Etat de contraintes dans un cylindre  PAGEREF _Toc364919737 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc364919738" Etat de contrainte  PAGEREF _Toc364919738 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc364919739" Théorie des poutres : état de contrainte  PAGEREF _Toc364919739 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc364919740" Torsion flexion d’une poutre  PAGEREF _Toc364919740 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc364919741" Etude d’un chargement sur une gouttière  PAGEREF _Toc364919741 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc364919742" Flexion pure d’une poutre  PAGEREF _Toc364919742 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc364919743" Flexion d’une plaque triangulaire  PAGEREF _Toc364919743 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc364919744" Mécanique de la rupture en mode I  PAGEREF _Toc364919744 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc364919745" Projectile dans un canon  PAGEREF _Toc364919745 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc364919746" Mesures de déformations  PAGEREF _Toc364919746 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc364919747" Déplacement d’un corps solide  PAGEREF _Toc364919747 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc364919748" Etude d’un massif en compression  PAGEREF _Toc364919748 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc364919749" Etude d’un champ de déplacement  PAGEREF _Toc364919749 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc364919750" Sphère soumise à son champ de gravitation  PAGEREF _Toc364919750 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc364919751" Corps soumis à son propre poids  PAGEREF _Toc364919751 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc364919752" Etude d’une poutre  PAGEREF _Toc364919752 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc364919753" Etude d'un tube  PAGEREF _Toc364919753 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc364919754" Compatibilité de déformations  PAGEREF _Toc364919754 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc364919755" Détermination d’un champ de déplacement  PAGEREF _Toc364919755 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc364919756" Champ de pesanteur sur un cylindre  PAGEREF _Toc364919756 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc364919757" Contraintes dans un domaine  PAGEREF _Toc364919757 \h 25
 HYPERLINK \l "_Toc364919758" Sollicitation dans un cylindre  PAGEREF _Toc364919758 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc364919759" Chargement d’un cylindre de révolution  PAGEREF _Toc364919759 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc364919760" Etude d’une poutre de section triangle équilatéral  PAGEREF _Toc364919760 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc364919761" Poutre demi cylindrique  PAGEREF _Toc364919761 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc364919762" Etude des critères de limite élastique  PAGEREF _Toc364919762 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc364919763" Poutre en flexion  PAGEREF _Toc364919763 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc364919764" Flexion composée d’une poutre demi cylindrique  PAGEREF _Toc364919764 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc364919765" Etude d’un barrage  PAGEREF _Toc364919765 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc364919766" Calcul des dimensions d’un réservoir sphérique  PAGEREF _Toc364919766 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc364919767" Taraudage d’un tube  PAGEREF _Toc364919767 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc364919768" Déplacement radial  PAGEREF _Toc364919768 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc364919769" Etude d’un assemblage fretté  PAGEREF _Toc364919769 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc364919770" Etude de cylindres élastiques en compression radiale  PAGEREF _Toc364919770 \h 35
 HYPERLINK \l "_Toc364919771" Pièces de révolution  PAGEREF _Toc364919771 \h 35
 HYPERLINK \l "_Toc364919772" Etude d'un palier lisse  PAGEREF _Toc364919772 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc364919773" Encastrement d’un pion cylindrique dans une plaque  PAGEREF _Toc364919773 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc364919774" Etude d’un vérin  PAGEREF _Toc364919774 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc364919775" Canalisation hydraulique  PAGEREF _Toc364919775 \h 38
 HYPERLINK \l "_Toc364919776" Déplacement orthoradial  PAGEREF _Toc364919776 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc364919777" Etude d'un assemblage cylindrique  PAGEREF _Toc364919777 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc364919778" Etude de liaisons cylindriques  PAGEREF _Toc364919778 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc364919779" Coefficient de Poisson ( = 0,25  PAGEREF _Toc364919779 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc364919780" Etude du changement eau-glace  PAGEREF _Toc364919780 \h 43
 HYPERLINK \l "_Toc364919781" Cisaillement plan dans une plaque percée  PAGEREF _Toc364919781 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc364919782" Torsion d’une poutre de section triangulaire  PAGEREF _Toc364919782 \h 45
 HYPERLINK \l "_Toc364919783" Torsion d’un solide de révolution  PAGEREF _Toc364919783 \h 46
 HYPERLINK \l "_Toc364919784" Torsion d'un tube elliptique  PAGEREF _Toc364919784 \h 47
 HYPERLINK \l "_Toc364919785" Champ de force radial  PAGEREF _Toc364919785 \h 48
 HYPERLINK \l "_Toc364919786" Chargement d’un barreau rectangulaire  PAGEREF _Toc364919786 \h 49
 HYPERLINK \l "_Toc364919787" Enveloppe cylindrique  PAGEREF _Toc364919787 \h 50
 HYPERLINK \l "_Toc364919788" Sollicitation combinée d’un cylindre  PAGEREF _Toc364919788 \h 52
 HYPERLINK \l "_Toc364919789" Transformation hélicoïdale  PAGEREF _Toc364919789 \h 53
 HYPERLINK \l "_Toc364919790" Etude d’un volant d’inertie  PAGEREF _Toc364919790 \h 54
 HYPERLINK \l "_Toc364919791" Poutre triangulaire  PAGEREF _Toc364919791 \h 55
 HYPERLINK \l "_Toc364919792" Etude d'un appui circulaire à trou circulaire en élastomère  PAGEREF _Toc364919792 \h 56
 HYPERLINK \l "_Toc364919793" Elasticité plane en coordonnées cartésiennes  PAGEREF _Toc364919793 \h 58
 HYPERLINK \l "_Toc364919794" Elasticité plane en coordonnées cylindriques  PAGEREF _Toc364919794 \h 59
 HYPERLINK \l "_Toc364919795" Contrainte en pointe de fissure  PAGEREF _Toc364919795 \h 60
 HYPERLINK \l "_Toc364919796" Poutre courbe  PAGEREF _Toc364919796 \h 61
 HYPERLINK \l "_Toc364919797" Cylindre en pression  PAGEREF _Toc364919797 \h 62
 HYPERLINK \l "_Toc364919798" Etude des contraintes dans un disque pesant  PAGEREF _Toc364919798 \h 63
 HYPERLINK \l "_Toc364919799" Etude d’un oeudomètre  PAGEREF _Toc364919799 \h 64
 HYPERLINK \l "_Toc364919800" Pression de Hertz  PAGEREF _Toc364919800 \h 65
 HYPERLINK \l "_Toc364919801" Pion indéformable dans une plaque  PAGEREF _Toc364919801 \h 66
 HYPERLINK \l "_Toc364919802" Poutre en état plan de contrainte  PAGEREF _Toc364919802 \h 67
 HYPERLINK \l "_Toc364919803" Arbre entaillé  PAGEREF _Toc364919803 \h 68
 HYPERLINK \l "_Toc364919804" Réaction d'un sol élastique sur une conduite flexible  PAGEREF _Toc364919804 \h 69
 HYPERLINK \l "_Toc364919805" Console  PAGEREF _Toc364919805 \h 70
 HYPERLINK \l "_Toc364919806" Plaque en contrainte plane  PAGEREF _Toc364919806 \h 71
 HYPERLINK \l "_Toc364919807" Réalisation d'un tube en matériau composite  PAGEREF _Toc364919807 \h 72
 HYPERLINK \l "_Toc364919808" Déformations plastiques d'un tube en pression  PAGEREF _Toc364919808 \h 74
 HYPERLINK \l "_Toc364919809" Sollicitation élastoplastique d'une sphère  PAGEREF _Toc364919809 \h 75
 HYPERLINK \l "_Toc364919810" Ecrasement d'un lopin cylindrique.  PAGEREF _Toc364919810 \h 76
 HYPERLINK \l "_Toc364919811" Détermination d'un effort de presse  PAGEREF _Toc364919811 \h 78
 HYPERLINK \l "_Toc364919812" Examen LILLE 30 mai 2002  PAGEREF _Toc364919812 \h 79
 HYPERLINK \l "_Toc364919813" Examen METZ 12 janvier 2004  PAGEREF _Toc364919813 \h 81


 HYPERLINK \l "_Toc364919814" COORDONNEES SPHERIQUES  PAGEREF _Toc364919814 \h 84
 Notation indicielle



1- En utilisant le symbole de Lévi Civita  EMBED Equation.3  donner une formule indicielle permettant d’exprimer le vecteur rotationnel d’un vecteur  EMBED Equation.3 .
Utiliser cette relation pour démontrer les deux formules suivantes :
 EMBED Equation.3 


2- Ecrire la trace d’une matrice en utilisant la convention d’Einstein.



3- En adoptant la convention d’Einstein, a-t-on le droite d’écrire les formules suivantes ?

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 


4- Résoudre l’équation  EMBED Equation.3 

Calculer les expressions suivantes :

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Démontrer l’égalité suivante :

 EMBED Equation.3 
Cisaillement en grandes déformations


On considère le champ de déplacement donné par les relations suivantes :
 EMBED Equation.3 

1- Déterminer alors les composantes, dans la base orthonormée directe  EMBED Equation.3 , des tenseurs suivants :
 EMBED Equation.3  Tenseur gradient
 EMBED Equation.3  Tenseur de Cauchy Green Droit
 EMBED Equation.3  Tenseur des déformations de Green Lagrange
 EMBED Equation.3  Tenseur de Cauchy Green Gauche
 EMBED Equation.3  Tenseur des déformations d’Euler Almansi

2- Constater que l’on a bien la relation :
 EMBED Equation.3 

3- On se place au point M0 de coordonnées (1,1,0). Soient  EMBED Equation.3  le vecteur représentant la bissectrice du plan  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  le vecteur représentant la trisectrice du trièdre :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Calculer la dilatation linéaire en M0 dans les directions  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 .
Calculer les distorsions angulaires suivantes :
 EMBED Equation.3 

4- On a  EMBED Equation.3 .
En admettant la linéarisation, définir les composantes du tenseur de déformation et du tenseur antisymétrique :
 EMBED Equation.3 
Déterminer les composantes du vecteur associé au tenseur antisymétrique.

5- Tracer le tricercle de Mohr des déformations en M. Représenter sur ce tricercle les vecteurs déformations pures dans les directions  EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 :
 EMBED Equation.3 


Etat de déformation homogène triaxiale

On considère une déformation homogène triaxiale définie par les relations suivantes :
 EMBED Word.Picture.8 


 EMBED Equation.3 





1- Déterminer alors les composantes, dans la base orthonormée directe  EMBED Equation.3 , des tenseurs suivants :
 EMBED Equation.3  Tenseur gradient
 EMBED Equation.3  Tenseur de Cauchy Green Droit
 EMBED Equation.3  Tenseur des déformations de Green Lagrange
 EMBED Equation.3  Tenseur de Cauchy Green Gauche
 EMBED Equation.3  Tenseur des déformations d’Euler Almansi

2- Constater que l’on a bien la relation :
 EMBED Equation.3 

3- Donner les composantes du tenseur de Green Lagrange dans la base orthonormée  EMBED Equation.3  définie par :  EMBED Equation.3 

Application numérique :
 EMBED Equation.3 
Donner les valeurs numériques des différents tenseurs.

Retrouver, par un raisonnement simple les relations traduisant le changement de base pour le tenseur de Green Lagrange.

Retrouver aussi ces résultats en utilisant les cercles de Mohr.
Cisaillement en petites déformations


On considère le champ de déplacement donné par :
EMBED Equation 

1- Calculer le tenseur de la transformation EMBED Equation , le tenseur symétrique EMBED Equation  et le tenseur antisymétrique EMBED Equation . Définir le vecteur EMBED Equation  associé au tenseur antisymétrique. Donner enfin le tenseur EMBED Equation .
2- On se place au point EMBED Equation  de coordonnés (1,1,0). Soit EMBED Equation  le vecteur représentant la trisectrice du trièdre EMBED Equation 
Calculer la dilatation linéaire en EMBED Equation  dans la direction EMBED Equation , EMBED Equation  et dans la direction EMBED Equation .
Calculer les distorsions angulaires suivantes :
EMBED Equation 

3- On a .
Tracer le tricercle de Mohr des déformations en A.
Représenter sur ce tricercle les vecteurs déformations pures dans les directions EMBED Equation  et EMBED Equation :
EMBED Equation 


On considère l'état de déformation ci-après :
 EMBED Equation.3 

4- Calculer les déformations principales ainsi que les directions principales de déformations.

5- Représenter sur le tricercle de Mohr des déformations les vecteurs déformation pure en M dans les directions EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3.

6- Calculer la dilatation linéaire en M dans la direction EMBED Equation.3 définie par :
EMBED Equation.3

Donner le tenseur déviateur des déformations. Que peut-on dire?

Quel est le lien le tenseur déformation donné et le champ de déplacement du début de l’exercice ?

Etude d’un état de déformation

On considère l'état de déformation ci-après :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

1-1 Calculer le vecteur déformation pure dans la direction  EMBED Equation.3 . Conclusion?

1-2 Calculer les déformations principales et les directions principales de déformations.

1-3 Représenter sur le tricercle de Mohr des déformations les vecteurs déformation pure en M dans les directions EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3.

1-4 Donner le tenseur déviateur des déformations. Que peut-on dire?





Etat de contrainte uniforme

On considère un domaine (D) en équilibre statique, tel qu'en tout point M de ce domaine, l'état de contrainte soit de la forme suivante :
EMBED Word.Picture.8
EMBED Unknown

2-1 La force de volume est due uniquement à l'attraction gravitationnelle. L'axe EMBED Unknown est vertical ascendant. Que peut-on dire de la fonction EMBED Unknown?

2-2 On exerce une pression uniforme sur la base circulaire inférieure d'un cône de demi angle au sommet EMBED Unknown, de hauteur H, de rayon R à la base inférieure et d'axe EMBED Unknown. Quelles sont les conditions aux limites pour la face supérieure et la face latérale si on veut que le tenseur des contraintes soit sphérique en tout point, le solide étant soumis à la pesanteur EMBED Unknown?

2-3 Calculer le tenseur des contraintes dans la base cylindro polaire EMBED Unknown.

_____________________________________________________________________________________

Etat de contrainte uniaxial

On considère un domaine (D) en équilibre statique, tel qu'en tout point M de ce domaine, l'état de contrainte soit de la forme suivante :
EMBED Word.Picture.8
EMBED Unknown

2-1 Calculer les composantes de la force de volume par unité de masse. A quelles conditions cette force de volume peut-elle être celle du champ de pesanteur? En déduire la fonction EMBED Unknown.

2-2 Le domaine (D) est un tronc de cône de demi-angle au sommet EMBED Unknown, d'axe vertical, placé dans le champ de pesanteur EMBED Unknown. On exerce une pression EMBED Unknown sur la grande base EMBED Unknown du tronc de cône.

En déduire la fonction EMBED Unknown et les conditions aux limites (chargement) sur la petite base EMBED Unknown et la surface latérale EMBED Unknown. On indiquera clairement sur un schéma les répartitions de charges sur les frontières du domaine.
EMBED Draw \s \* MERGEFORMAT
Etat de contraintes dans un cylindre

L’état de contraintes dans le cylindre ci-contre est de la forme:
EMBED Equation 
avec : EMBED Equation 
EMBED Equation 
EMBED Equation 

Dans ces expressions, P représente une constante positive connue et  sont deux constantes à déterminer.
Le cylindre est en équilibre statique, sa surface latérale n’est soumise à aucune force extérieure et les forces de volume sont négligeables.


1- A partir des conditions aux limites et des équations d’équilibre, déterminer les valeurs de .
2- Donner l’expression du tenseur des contraintes dans la base principale pour EMBED Equation  et EMBED Equation . Déterminer les directions principales. Tracer le tricercle de Mohr en .
3- En tout point EMBED Equation , donner le vecteur contrainte dans la direction EMBED Equation . Déterminer les éléments de réduction en  du torseur équivalent à l’action des contraintes sur la face .



Etat de contrainte

Dans un milieu continu, le tenseur des contraintes est défini par la matrice :
EMBED Equation  avec C constante
1- A quelle condition les équations d’équilibre seront-elles satisfaites si le milieu est en équilibre statique?
2- Déterminer les contraintes principales et le repère principal. Calculer la contrainte tangentielle maximale.
3- Tracer le tricercle de Mohr de l’état de contrainte au point P (4, -4, 7). Représenter sur ce tricercle le vecteur contrainte en P dans la direction .
Théorie des poutres : état de contrainte

On considère une poutre droite de section droite constante.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Le domaine est donc un cylindre droit à base quelconque d’axe EMBED Equation .
Les axes EMBED Equation  et EMBED Equation  sont les axes principaux quadratiques de la section droite du cylindre.
L’axe EMBED Equation  représente la ligne des barycentres des sections droites.


1- La poutre est sollicitée en traction simple. Donner le tenseur des contraintes en un point quelconque en admettant les résultats de la théorie des poutres. Vérifier ensuite les équations d’équilibre.


2- On considère cette fois une sollicitation de flexion pure (sans effort tranchant). Le moment de flexion est dirigé selon le vecteur  EMBED Equation.3 .Donner à nouveau le tenseur des contraintes et vérifier les équations d’équilibre.


3- On admet que dans le cas d’une sollicitation avec effort tranchant (flexion simple), la contrainte tangentielle est donnée par la formule :
EMBED Equation 
A quelle(s) condition(s) les équations d’équilibre seront-elles vérifiées dans le cas d’une flexion simple?
Peut-on vérifier les équations d’équilibre avec une poutre de section rectangulaire? Avec une poutre de section circulaire?

4- Les équations d’équilibre peuvent-elles être satisfaites dans le cas de la torsion d’une poutre de section droite circulaire?

Donner l’expression du tenseur des contraintes dans le référentiel cylindro-polaire.
La sollicitation étant une sollicitation combinée de flexion pure - torsion, donner les expressions des contraintes normales maxi et contraintes tangentielles maxi.

5- Pouvons-nous, dans le cas de la flexion pure par exemple, proposer d’autres répartitions de contrainte que celle donnée par la théorie des poutres?
Torsion flexion d’une poutre

On considère une poutre droite de section constante. L’axe EMBED Unknown est la ligne des barycentres des sections droites. Les axes EMBED Unknown et EMBED Unknown sont les axes principaux quadratiques de la section droite. La poutre est sollicitée en flexion pure combinée avec de la torsion. L’axe de flexion est EMBED Unknown. La section droite est une section circulaire de rayon R.

En admettant les résultats de la théorie des poutres, donner le tenseur des contraintes en un point de la circonférence dans la base de votre convenance en fonction du moment de flexion Mf3 , du moment de torsion Mt et du rayon R.

Par la méthode de votre choix, donner les valeurs des contraintes principales et les directions principales des contraintes. Ces dernières seront données par leurs composantes dans la base cylindro-polaire EMBED Unknown.

Donner les expressions de la contrainte normale maxi et de la contrainte tangentielle maxi.

Donner l’expression de la contrainte équivalente selon le critère de Von Misès.

Etude d’un chargement sur une gouttière


Un massif occupe, dans le repère  EMBED Equation.3  l’espace délimité par  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 . Il est entaillé d’un gouttière semi cylindrique dont la section droite est le demi-cercle de centre O et de rayon R. L’axe  EMBED Equation.3  est vertical descendant. On suppose qu’en tout point M du massif le tenseur des contraintes est de la forme suivante :
 EMBED Equation.3 
K et  EMBED Equation.3  sont deux constantes positives et  EMBED Equation.3 

Les équations d’équilibre peuvent-elles être satisfaites ?

Déterminer les contraintes principales et les directions principales de contrainte en tout point du massif.


Rechercher les efforts extérieurs appliqués sur la face  EMBED Equation.3 , sur la gouttière de rayon R et sur les faces  EMBED Equation.3 . Comment peut on réaliser la répartition des efforts extérieurs sur la gouttière ?
Flexion pure d’une poutre

Flexion pure d’une poutre

On considère une poutre droite de section droite constante.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT

Le domaine est donc un cylindre droit à base quelconque d’axe EMBED Equation  dont la longueur L est grande devant les dimensions transversales.
Les axes EMBED Equation  et EMBED Equation  sont les axes principaux quadratiques de la section droite du cylindre.
L’axe EMBED Equation  représente la ligne des barycentres des sections droites.

La surface extérieure du cylindre est décomposée en :
 QUOTE  So: section droite origine (x1 = 0).
 QUOTE  Se: section droite extrémité (x1 = L).
 QUOTE  SL: surface latérale.

Les conditions aux limites sont les suivantes :
La face  QUOTE   So  est encastrée.
la face  QUOTE   SL est libre
la face Se est soumise à une répartition d’efforts équivalente à un moment de flexion :
EMBED Equation 

Cherchons une solution correspondant à une répartition linéaire indépendante de x1 des contraintes axiales EMBED Equation  dans une section droite sous la forme :

 EMBED Equation.3 

Déterminer le champ de déplacement EMBED Equation  associé à ce champ de contraintes.

Flexion d’une plaque triangulaire

(Selon examen CERENSAM BORDEAUX janvier 1998)



On considère une poutre triangulaire constituée d’une plaque d’épaisseur constante b et de hauteur variable h(x). Cette poutre est encastrée à une extrémité et chargée à l’autre extrémité (point A de coordonnées L,0,0) par une charge ponctuelle EMBED Unknown.

Cet effort est le seul pris en compte (on néglige la pesanteur).

L’épaisseur étant très faible et le chargement étant dans le plan du triangle médian, on peut admettre que l’on a un état plan de contrainte, c’est à dire que le tenseur des contraintes en un point M est de la forme :
EMBED Unknown avec EMBED Unknown et EMBED Unknown
Dans cette étude on ne s’intéresse qu’aux points du plan médian (z = 0).

1- Montrer que l’on a :
EMBED Unknown et EMBED Unknown

2- Ecrire les conditions aux limites en un point M de coordonnées (x, h(x)/2, 0). En déduire que f(x) et g(x) sont des constantes que l’on déterminera. Donner alors l’expression du tenseur des contraintes en tout point de la poutre. Que pensez-vous du tenseur des contraintes proposé pour le point A ?

3- Déterminer les contraintes principales et les directions principales de contraintes en un point M(x,y). Montrer que pour l’ensemble des points constituant la droite AB, cette droite est une direction principale de contrainte.

4- Donner alors l’expression du tenseur des contraintes dans la base cylindro-polaire ayant le point A comme origine.


Mécanique de la rupture en mode I

Une éprouvette compacte de mécanique de la rupture est soumise à une ouverture normale en mode I. L’effort appliqué est N. L’éprouvette est en état plan de contrainte. L’extrémité de l’entaille (pointe de la fissure) est l’origine du repère cartésien et du repère cylindrique  EMBED Equation.3 .

La distribution des contraintes en un point M quelconque au voisinage de la pointe de fissure est donnée par les relations suivantes :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 Déterminer les composantes du tenseur des contraintes pour un point M situé sur l’axe  EMBED Equation.3 . Tracer le tricercle de Mohr des contraintes. En déduire les contraintes principales et les directions principales.
Pour les angles  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 , déterminer les contraintes principales. Pour quel angle  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  se situe le vecteur contrainte de norme maximale ?
Quelle est l’expression du tenseur contrainte dans la base cylindrique ?


Projectile dans un canon
(Selon examen CERENSAM BORDEAUX janvier 1998)
 Nous nous proposons d’étudier, de façon très simplifiée, l état de contrainte dans un projectile pendant sa phase d accélération dans un canon. Le projectile est considéré comme cylindrique de révolution de diamètre D = 1cm, de longueur L = 2cm et de masse volumique Á = 7500 kg/m3. Le matériau constituant ce projectile est supposé homogène, isotrope, à loi de comportement élastique linéaire. Pendant sa phase d’accélération, c’est à dire tant que le projectile reste dans le canon, il est soumis à une pression P = 750 bar supposée constante. Cette pression génère une accélération  EMBED Equation.3  portée par l’axe  EMBED Equation.3  et supposée aussi constante. Nous négligerons toutes les actions de frottement et les actions gravitationnelles. D’autre part nous supposerons que l’état de contrainte est uniaxial.

En isolant le projectile et en appliquant le principe fondamental de la mécanique, établir la relation liant l’accélération en fonction des différents paramètres. Donner sa valeur numérique.
Ecrire l’équation d’équilibre local. Pour cela on supposera que seule varie la contrainte  EMBED Equation.3  selon la variable x.
Ecrire les conditions aux limites qui permettent de calculer  EMBED Equation.3  en fonction de x. Tracer la loi d’évolution de  EMBED Equation.3  et calculer sa valeur absolue maximale.
Mesures de déformations

Une poutre droite cylindrique de section droite circulaire est soumise simultanément à un effort de traction EMBED Equation.3 et un moment de torsion EMBED Equation.3.


Le rayon du cylindre est :
EMBED Equation.3
En un point M de la surface extérieure, on a collé une rosette à 45°, la jauge centrale ayant sa direction confondue avec l'axe du cylindre.

Sous ces efforts, la rosette permet d'enregistrer les résultats suivants :
EMBED Equation.3


1- En admettant que  EMBED Equation.3  représente une direction principale, déterminer, par la méthode de votre choix, les directions principales et les déformations principales dans le plan tangent EMBED Equation.3. On tracera précisément les directions principales par rapport aux trois directions EMBED Equation.3 de la rosette.

2- Les mesures d'effort donnent : EMBED Equation.3
Calculer, littéralement puis numériquement (U.S.I.), dans le repère EMBED Equation.3, les composantes du tenseur des contraintes en M.
3- Déduire de l'expérience la valeur du module d'Young E et du module d'élasticité transversal G.
4- Tracer les tricercles de Mohr pour les contraintes et les déformations.


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Déplacement d’un corps solide

On donne le champ de déplacement suivant pour un corps solide :
EMBED Equation.3

La déformation associée est élastique. Le domaine est en équilibre statique.

1- En utilisant les coefficients de Lamé, calculer le tenseur des contraintes. En déduire le tenseur déviateur des contraintes et le tenseur sphérique des contraintes.
2- Déterminer les déformations principales et les contraintes principales. On donnera aussi les directions principales.
Quelle(s) condition(s) avons-nous pour la force de volume par unité de volume EMBED Equation.3?
Calculer la dilatation linéaire dans la direction EMBED Equation.3

Etude d’un massif en compression

Les hypothèses formulées sont les suivantes :
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
* Le massif est un parallélépipède rectangle de grande longueur. Le champ de déplacement est caractérisé par un déplacement longitudinal nul .
* Le matériau a un comportement élastique linéaire déterminé par le module d’Young E et le coefficient de Poisson SYMBOL 117 \f "Symbol".
* La face supérieure du massif est soumise à une pression uniforme P.
* La face inférieure repose sur un appui plan indéformable, le contact étant sans frottement.
* Les forces de volume sont négligeables.
* Le champ de déplacement est donné par :
EMBED Equation 

1- Calculer le tenseur des déformations . Que signifie physiquement le fait que  soit nul?
2- Calculer le tenseur des contraintes. Déterminer les constantes A, B et C.
3- On a :
EMBED Equation 
Tracer la déformée de la face EMBED Equation .

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Etude d’un champ de déplacement
Soit un corps cylindrique repéré dans un trièdre orthonormé direct EMBED Equation . Pour un point M de coordonnées EMBED Equation , le vecteur déplacement est :
EMBED Equation  (a est un nombre infiniment petit)

1- Déterminer le tenseur symétrique  et le tenseur anti-symétrique  de la transformation.
2- Déterminer les valeurs des déformations principales, ainsi que la base principale des déformations au point EMBED Equation .
3- Ecrire les équations d’équilibre? Quelle est la valeur du coefficient de Poisson qui permet de les satisfaire en l’absence de force de volume?
4- Avec les conditions précédentes, déterminer le tenseur des contraintes en M dans la base EMBED Equation  et dans la base principale.
5- Quelle est la valeur limite de la constante a si on ne veut pas que la contrainte équivalente de Von Misés dépasse la valeur de 24 daN/mm²? On prendra E = 210 GPa.

Sphère soumise à son champ de gravitation


On considère une sphère pleine de rayon R constituée d’un matériau homogène de masse volumique Á. Le comportement est élastique, linéaire et isotrope de modules de Lamé » et ¼. On suppose qu elle est soumise à son champ de gravitation propre ce qui revient à admettre la présence de forces volumiques radiales qui, par unité de masse, s’expriment par :
 EMBED Equation.3  g représentant l’intensité du champ de pesanteur à la surface de la sphère
On admet qu’il n’y a aucun chargement sur la surface extérieure et que le déplacement du centre de la sphère est nul.
On se propose de calculer les déformations et les contraintes en partant d’un champ déplacement de la forme :
 EMBED Equation.3  h est une fonction de  EMBED Equation.3 


1- Justifier la forme donnée au champ de déplacement.
2- Calculer le tenseur déformation  EMBED Equation.3  et le tenseur antisymétrique  EMBED Equation.3 .
3- En utilisant les équations d’équilibre, déterminer l’équation différentielle permettant de calculer la fonction h. Montrer qu’une solution peut être de la forme :
 EMBED Equation.3 
4- Calculer la constante B.
5- Expliciter le champ de déformation et le champ de contrainte. Analyser, en fonction de r, l’évolution de la contrainte radiale normale  EMBED Equation.3 . Donner la valeur de la trace du tenseur des contraintes lorsque r = 0.

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Corps soumis à son propre poids

On considère un corps cylindrique de rayon R et de hauteur H. Ce corps repose sur un plan horizontal EMBED Equation . On s’intéresse aux déformations élastiques de ce corps dues à son propre poids. Pour cela on fait l’hypothèse suivante sur le déplacement d’un point :
EMBED Equation 

1- En utilisant l’annexe, déterminer le tenseur déformation en fonction de ur, uz, r et z.
2- Déterminer le tenseur de contraintes en fonction des coefficients de Lamé et de ur, uz, r et z.
3- Ecrire les équations d’équilibre et les intégrer.
Conclusion(s)? Flexion d’une poutre

On donne le champ de déplacement suivant pour un corps solide :
EMBED Equation 
Avec : 

1- Déterminer le tenseur déformation pure EMBED Equation  de la transformation.

2- Déterminer le tenseur contrainte pour un matériau ayant une loi de comportement élastique linéaire définie par un module d’Young  et un coefficient de Poisson .

3- Le solide étant en équilibre, quelle(s) condition(s) avons-nous pour la force de volume par unité de masse ?


4- Le domaine est un cylindre droit à base quelconque d’axe EMBED Equation . Les axes EMBED Equation  et EMBED Equation  sont les axes principaux quadratiques de la section droite du cylindre. L’axe EMBED Equation  représente la ligne des barycentres des sections droites.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT

4-1 Reconnaître la sollicitation s’exerçant sur ce domaine en considérant le chargement sur la surface délimitant le domaine.


4-2 Trouver l’équation de la déformée de la ligne moyenne . Quelle est la valeur de la flèche maxi?

4-3 La section droite de la poutre est un rectangle de hauteur h et de largeur b. On se place dans le plan défini par . Que peut-on dire des déformées des droites  et ? En déduire la déformée de la section rectangulaire.
Etude d’une poutre

On considère une poutre droite, de longueur L, de section circulaire (rayon R) et d’axe EMBED Equation . La matrice des contraintes en un point P, de coordonnées , est de la forme :
EMBED Equation 
Dans ces expressions F est une constante et  le coefficient de Poisson du matériau qui est supposé homogène, isotrope, et à comportement élastique linéaire.
A quelle(s) condition(s) les équations d’équilibre sont-elles vérifiées?

Les équations de compatibilités sont-elles réalisées?

Quel est le chargement appliqué sur la poutre?

Comparer la solution donnée avec la solution classique de la théorie des poutres.

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Etude d'un tube

On se propose de vérifier la section droite d'une canalisation d'un circuit hydraulique de commande d'un laminoir.

On a donc un tube de forte épaisseur EMBED Equation.3 sollicitée par une pression intérieure EMBED Equation.3. De plus, vu la grande longueur de la canalisation, on peut aussi considérer que l'on a à traiter un problème de poutre. Les caractéristiques mécaniques du matériau sont :
E = 210 GPa ;nð = 0,3 ; sðe= 240 MPa

Les conditions aux limites (liaisons, chargement ... ) nous amènent à étudier plus précisément une section particulière pour laquelle le torseur des forces de gauche est le suivant :
EMBED Equation.3

1- Donner en un point quelconque de la section droite (coordonnées y et z) les tenseurs contraintes associés aux sollicitations élémentaires (pression, traction, cisaillement, torsion, flexion pure). Le résultat sera présenté sous forme numérique (en U.S.I.). Pour chaque cas on précisera le repère utilisé.

2- En utilisant le critère de Tresca, et en considérant que le point le plus sollicité est situé sur le rayon extérieur, calculer le minimum de la limite d'élasticité du matériau.
Compatibilité de déformations

A la suite de différentes hypothèses, on arrive à la conclusion que la forme d’un tenseur déformation dans une base cartésienne pourrait être la suivante :
 EMBED Equation.3 

1- Quelles sont les conditions sur les constantes a, b et c pour que ce tenseur représente effectivement un état de déformation ?
2- Les conditions précédentes étant vérifiées, déterminer alors les champs de déplacement qui peuvent créer cet état de déformation.
3- Montrer que le champ de déplacement suivant peut être solution du problème :
 EMBED Equation.3 

Par la suite, on retiendra ce champ de déplacement. Le domaine d’étude est un cylindre de longueur totale L et de section droite circulaire définie par le rayon R. L’axe  EMBED Equation.3  représente la ligne des barycentres des sections droites.

4- Déterminer les composantes du tenseur contrainte dans la base cartésienne puis dans la base cylindrique définie par le changement de variable suivant :
 EMBED Equation.3 
Quelle est la condition sur la force de volume pour satisfaire aux équations d’équilibre ?
6- Quel est le chargement sur la surface latérale (r = R) et sur la section droite extrémité  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  ? Que peut-on dire de la sollicitation ?


Détermination d’un champ de déplacement
On considère un domaine pour lequel on suppose avoir l’état de déformation donné par le tenseur déformation suivant :
EMBED Unknown
1- Déterminer la forme des champs de déplacement pouvant donner cet état de déformation.



2- En admettant que le matériau a une loi de comportement élastique linéaire définie par son module d’Young E et son coefficient de Poisson EMBED Unknown, calculer le tenseur contrainte associé.

3- Le domaine est une poutre droite d’axe EMBED Unknown et de section constante. Déterminer le chargement sur chacune des faces de ce domaine.
Champ de pesanteur sur un cylindre


EMBED Word.Picture.8

Un cylindre de révolution homogène a pour rayon R, pour hauteur h et EMBED Unknownpour axe vertical ascendant. Il est placé dans le champ de pesanteur. La surface latérale du cylindre n'est pas chargée. Il en est de même pour la section droite inférieure (z = 0). Dans la section droite supérieure (z = h), le domaine est suspendu au point A (x = y = 0). On utilise les coordonnées cylindriques.

Le champ de déplacement, en tout point du cylindre, est donné par :
EMBED Unknown
A¸ B, C et D sont des constantes physiques.


1- Déterminer, en coordonnées cylindriques, le tenseur des déformations et celui des contraintes.

2- Déterminer les constantes physiques A¸ B, C et D en fonction de la masse volumique du matériau (, du module d'Young E, du coefficient de Poisson (, de l'accélération de la pesanteur g et de la hauteur h du cylindre.

3- Montrer que EMBED Unknown s'exprime d'une manière simple.

4- Déterminer au point EMBED Unknown la dilatation linéaire dans la direction EMBED Unknown.

5- Donner le tricercle de Mohr des contraintes en P. Représenter sur ce tricercle les vecteurs contraintes EMBED Unknownet EMBED Unknown.







Contraintes dans un domaine

Dans un repère orthonormé EMBED Unknown on considère un milieu défini par :
EMBED Unknown

La section définie par EMBED Unknown est encastrée dans un milieu galiléen indéformable. En l'absence de force de volume, l'état de contrainte en tout point M(x,y,z) est défini, dans la base EMBED Unknown par la matrice suivante :
EMBED Unknown avec EMBED Unknown P et F sont des constantes

Le matériau est supposé homogène, isotrope, à comportement élastique linéaire, de module d'Young E et de coefficient de Poisson (.










1- Les équations d'équilibres sont-elles vérifiées?
2- Quel est le chargement s'exerçant sur les faces ABB’A’ EMBED Unknownet CDD’C’EMBED Unknown?
3- Quel est le chargement sur la face ADD’A’ EMBED Unknown? Préciser en particulier la résultante et le moment résultant en O de ces actions et commenter le résultat obtenu.
4- Les conditions de compatibilité des déformations sont-elles vérifiées?
5- On admet que le déplacement d'un point P quelconque peut s'écrire :
EMBED Unknown
Déterminer les fonctions u et v.
6- Application numérique:
L = 120 mm h = 20 mm e = 5 mm F = 100 N P = 500 N
E = 200 Gpa ( = 0,29
Au point d'abscisse x = 80 mm, sur la face AB, on colle une rosette à 45°, telle que une jauge soit dans la direction EMBED Unknown et une autre dans la direction EMBED Unknown. Que vont donner les mesures de déformation?



Sollicitation dans un cylindre
EMBED Word.Picture.8


Un cylindre de révolution homogène a pour rayon R, pour hauteur h et pour axe EMBED Unknown.
En coordonnées cartésiennes le champ des contraintes est donné par :
EMBED Unknown

Le matériau, isotrope, a une loi de comportement élastique linéaire définie par le module d’Young E et le coefficient de Poisson EMBED Unknown.

Le cylindre est en équilibre et les forces de volume sont négligeables.

1- Déterminer les constantes A, B et C en fonction de la constante K.

2- Calculer les composantes du tenseur des déformations.

3- Définir les champs de déplacement associés à l’état de contrainte.

4- On se place maintenant en coordonnées cylindriques EMBED Unknown. Déterminer les composantes du tenseur des contraintes dans cette nouvelle base.

5- Déterminer le chargement de la surface latérale définie par r = R.
Déterminer le chargement des sections droites d'extrémité définies par z = 0 et z = h. Donner les éléments de réduction du torseur équivalent.

6- Déterminer les contraintes principales et les directions principales au point z = r = R et EMBED Unknown.



Chargement d’un cylindre de révolution
(Selon examen CERENSAM Lille janvier 1999)

Le milieu continu étudié est un cylindre plein de révolution, d’axe de symétrie de révolution  EMBED Equation.3 , de rayon extérieur R et de longueur 2h. Un point quelconque de ce milieu est repéré par ses coordonnées cylindriques r,  EMBED Equation.3  et z, avec :
 EMBED Equation.3 
Le milieu est en équilibre par rapport à un repère galiléen et ne supporte pas d’actions à distance (ou de force de volume). Le matériau est supposé homogène, isotrope à comportement élastique linéaire, de module de Young E et de coefficient de Poisson  EMBED Equation.3 . L’état de contrainte en un point quelconque de ce milieu est défini, dans la base cylindro-polaire par :
 EMBED Equation.3  dans ces expressions p est une constante positive

1- Les équations d’équilibres sont-elles vérifiées ?

2- Donner le chargement sur les bases et la surface latérale du cylindre . Vérifier l’équilibre global du milieu.

Application numérique :
 EMBED Equation.3 

3- Au point de coordonnées r = R/2 et z = 0, déterminer numériquement le cisaillement maximal, la contrainte équivalente de Von Misès et l’énergie de déformation volumique.

4- Sur la face z = -h, en un point de rayon r = R/2, on installe une rosette de trois jauges à 60° selon le schéma ci-dessous. Déterminer la valeur numérique donnée par chacune des trois jauges.









Etude d’une poutre de section triangle équilatéral

Toutes les questions sont indépendantes

Le milieu continu étudié est une poutre droite de section droite constante, de ligne moyenne EMBED Unknown, de longueur L. La section droite a la forme d’un triangle équilatéral déterminé par les points extrémités de la base : EMBED Unknown

Le tenseur contrainte en un point M quelconque de cette poutre est définie dans la base cartésienne par :
EMBED Unknown avec EMBED Unknown

La poutre est en équilibre par rapport à un repère galiléen. Le matériau est supposé à loi de comportement élastique linéaire.

A quelle(s) condition(s) les équations d’équilibre sont-elles vérifiées ?

Quel est le chargement de la surface latérale de la poutre ?

Définissez le chargement de la base EMBED Unknown ; précisez en particulier la résultante et le moment résultant en EMBED Unknown barycentre de cette section, sachant que le tenseur des inerties d’une section triangulaire équilatérale est sphérique.

Les conditions de compatibilité sont-elles vérifiées ?

Déterminer la forme des composantes du champ de déplacement d’un point quelconque de la poutre.



Poutre demi cylindrique

 Une poutre droite, d'axe parallèle à EMBED Unknown a une section droite en forme de demi cylindre de rayon R. Sa surface latérale n'est pas chargée et les forces de volume sont négligeables. Le matériau est supposé homogène, isotrope, à loi de comportement élastique linéaire de module d'Young E et de coefficient de Poisson EMBED Unknown. La longueur de la poutre est l.
Dans la base cartésienne EMBED Unknown la matrice représentant l'état de contrainte est donnée par :
EMBED Unknown
A, B, C, D et P sont des constantes

1- Déterminer A, B, C, D en fonction de P, R et EMBED Unknown en utilisant les équations d'équilibre, les équations de Beltrami et les conditions aux limites.

2- Calculer les composantes du champ de déplacement associé.

2- Déterminer les composantes de la résultante du torseur équivalent dans une section droite de cote z.






Etude des critères de limite élastique

Définir le lieu représentant la surface limite du critère de Von Misès dans l’espace des contraintes principales.

On considère une poutre droite sollicitée en flexion - torsion.
1- En admettant les résultats de la théorie des poutres, donner l’état de contrainte en un point courant de la poutre.

2- Représenter, dans le plan des contraintes normales et tangentielles, les courbes limites des critères de Von Misés et de Tresca.

3- Donner les courbes limites dans le plan moment de flexion - moment de torsion.





Poutre en flexion

On considère un parallélépipède rectangle de longueur totale 2L suivant l’axe  EMBED Equation.3 , de hauteur 2h suivant l’axe  EMBED Equation.3  et d’épaisseur e suivant l’axe  EMBED Equation.3 . Le barreau est en appui simple à ses deux extrémités sur la face de normale  EMBED Equation.3 . Sur la face antagoniste, de normale  EMBED Equation.3 , on applique une pression uniforme d’intensité p. Le domaine est en équilibre et les forces de volume sont négligeables.











On cherche à définir l’état de contrainte. Pour cela on suppose que l’état est plan et que le tenseur contrainte est de la forme :
 EMBED Equation.3 

Donner les expressions des contraintes principales. Quelle est la forme de la contrainte équivalente de Von Misès ?

De plus en s’inspirant de la théorie des poutres on suppose que l’on a :  EMBED Equation.3 

En utilisant les conditions aux limites pour les faces de normales  EMBED Equation.3 , déterminer la constante c.

En utilisant les équations d’équilibre et les conditions aux limites pour les faces de normales  EMBED Equation.3 , déterminer la forme de la fonction  EMBED Equation.3  en fonction de a, h,  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 .

En utilisant les équations d’équilibre et les conditions aux limites pour les faces de normales  EMBED Equation.3 , déterminer la forme de la fonction  EMBED Equation.3  en fonction de p, h et  EMBED Equation.3 .

On se place en une section droite d’abscisse  EMBED Equation.3 . Déterminer les éléments de réduction du torseur équivalent à la distribution de contraintes sur la section de normale  EMBED Equation.3 . Contrôler ce résultat avec la théorie des poutres.

Pouvons nous satisfaire aux équations de compatibilité ?
Flexion composée d’une poutre demi cylindrique


(Selon examen CERENSAM Lille janvier 2003)

On considère un demi milieu cylindrique continu défini dans un repère orthonormé  EMBED Equation.3  par :
 EMBED Equation.3 
Le matériau constituant ce milieu est supposé homogène, isotrope, à comportement élastique linéaire, de module d’Young E et de coefficient de Poisson (. Le milieu est en équilibre statique. En tout point l’état de contrainte est défini dans la base cartésienne par :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
P étant une constante.

A quelles conditions les équations d’équilibre sont-elles vérifiées ?
Analyser le chargement sur la surface latérale (x = 0 et x² + y² = R²) du corps étudié.
Analyser le chargement de la base z = L du corps étudié. Préciser en particulier la résultante des actions qui s’exercent sur cette surface et le moment résultant au point A (0,0, L) des actions qui s’exercent sur cette surface.
Montrer qu’il existe un ensemble de points (que l’on précisera) par rapport auxquels le moment résultant des actions exercées est nul. Conclure.
Les équations de compatibilité des déformations sont-elles vérifiées ?
Au point B (0,0,L/2) on installe une rosette de trois jauges extensométriques à 45° dans le plan  EMBED Equation.3 , la jauge centrale étant placée selon la direction  EMBED Equation.3 . Déterminer les valeurs données par ces trois jauges. Donner en ce point le tricercle de Mohr des contraintes et des déformations.
Déterminer la valeur de l’énergie de déformation du milieu étudié.
Etude d’un barrage
(Selon examen CERENSAM Angers février 1999)

Un barrage est constitué par un mur vertical à loi de comportement élastique linéaire, de largeur 2h et de hauteur L. Il est défini dans le repère  EMBED Equation.3  selon la figure ci-contre. L’axe  EMBED Equation.3  est vertical descendant. La face supérieure est notée Ss, la face inférieure en appui sur la sol Si et les deux parois verticales Sh et S-h. Sur toute la hauteur de la paroi Sh s’exerce la poussée d’un fluide de poids volumique  EMBED Equation.3  selon l’axe  EMBED Equation.3 . Les forces de volume dans le corps seront négligées. On considérera un état plan de déformation selon l’axe  EMBED Equation.3  c’est à dire un état déterminé par  EMBED Equation.3 .


Le tenseur des contraintes dans le barrage peut être représenté par les fonctions :
 EMBED Equation.3 

1- Démontrer que ce tenseur vérifie les équations d’équilibre.

2- Vérifier que les conditions aux limites sur les deux parois verticales Sh et S-h sont bien respectées.

3- Si la face supérieure Ss est libre, montrer que ce tenseur ne rend pas exactement compte des conditions aux limites sur la face mais que l’effort tranchant résultant des contraintes de cisaillement est nul.

Le liquide est de l’eau de poids volumique  EMBED Equation.3 . Les dimensions du barrage sont h = 0,5 m et L = 5 m. Le coefficient de Poisson du matériau est  EMBED Equation.3 .

4- Tracer le tricercle de Mohr de l’état de contrainte pour les points M1(L,0) et M2(L,h).

5- En quel point est situé la contrainte de cisaillement maximale et quelle est sa valeur ?





Calcul des dimensions d’un réservoir sphérique


Un réservoir sphérique de rayon interne EMBED Equation.3 est soumis à une pression interne EMBED Equation.3 très grande devant la pression externe. L’acier utilisé est à comportement élastique linéaire caractérisé par son module d’Young EMBED Equation.3 et son coefficient de Poisson EMBED Equation.3. Les forces de volume sont négligeables.

1- Sachant que la contrainte maximale admissible pour l’acier utilisé est EMBED Equation.3, calculer l’épaisseur minimale du réservoir. Tracer les tricercles de Mohr de l’état de contrainte, à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère.

2- Donner les composantes du champ de déplacement en un point quelconque de la sphère.

3- Calculer la variation de volume du réservoir entre l’état naturel et l’état de déformation dû à la pression d’utilisation maximale.


Taraudage d’un tube

Un tube de rayon intérieur EMBED Equation.3, de rayon extérieur EMBED Equation.3, de longueur L, et d’axe EMBED Equation.3 est maintenu dans les mors d’un tour par la surface extérieure. On réalise un taraudage intérieur. On suppose que cela est équivalent à une répartition uniforme des contraintes purement tangentielles et orthogonales à l’axe EMBED Equation.3, de valeur EMBED Equation.3 sur la surface intérieure uniquement.
On suppose en outre que les forces volumiques et d’inertie sont négligeables et que le matériau suit la loi de Hooke.
On considère que l’on travaille dans un repère lié aux mors.
Le champ de déplacement est de la forme:
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3

1- Calculer la dilatation volumique.

2- A partir des équations d’équilibre, déterminer l’équation différentielle que doit vérifier Uqð(r).

Donner la solution générale de l équation différentielle.

4- Calculer alors le tenseur des déformations et le tenseur des contraintes.

5- Calculer les constantes d intégration en fonction des conditions aux limites.

6- Quelles sont les valeurs des contraintes principales et les directions principales?

7- Quelle est la valeur de la contrainte tangentielle maximale?
Déplacement radial

Dans un milieu continu le champ de déplacement en coordonnées polaires est donné par : EMBED Unknown la fonction EMBED Unknown ne dépendant que de la variable r

1- Démontrer la relation entre la déformation linéaire circonférentielle EMBED Unknown et le déplacement radial EMBED Unknown.

2- En l’absence de forces de volume, démontrer la relation traduisant l’équation d’équilibre d’un domaine infinitésimal, équation en projection sur l’axe EMBED Unknown.



Etude d’un assemblage fretté

On considère un cylindre circulaire creux de longueur infinie, de rayon intérieur  et de rayon extérieur . Ce cylindre est soumis à une pression intérieure  sur sa face intérieure. Les efforts exercés sur la face extérieure sont négligeables. On négligera les effets de la pesanteur.
1- Représenter sur un diagramme l’évolution de la contrainte radiale  et de la contrainte circonférentielle  en fonction de r.
AN: 
2- On veut réaliser la même fonction que précédemment mais en utilisant deux cylindres.
Cylindre Rayon
intérieur Rayon
extérieur Pression
intérieure Pression
extérieure Module
d’Young Coefficient
de Poisson     ? E     ? 0 E 
Le cylindre  est emmanché à force dans le cylindre  puis on applique la pression intérieure .
2-1- On étudie le montage de  dans  lorsque la pression intérieure  est nulle. Représenter sur un diagramme l’évolution de la contrainte circonférentielle  pour  et . On prendra les valeurs numériques précédentes,  = 250 mm, E = 200 GPa et nð = 0,3. Les calculs seront faits avec les valeurs suivantes de  :
0,025 mm 0,05 mm 0,1 mm

2-2- Mêmes questions que précédemment en prenant  = 400 bar. Que peut-on déduire de cette étude?

2-3- La pression intérieure  est nulle. Le matériau a une limite d’élasticité . En utilisant le critère de Von Misés, calculer la valeur limite du serrage .



Etude de cylindres élastiques en compression radiale

On considère un cylindre plein à section circulaire, de rayon R et de très grande longueur. Le milieu est supposé homogène, isotrope, à comportement élastique linéaire. Il est mis en compression sur la face cylindrique externe par l’application d’une pression uniforme p.
On suppose que le champ de déplacement est de la forme :
 EMBED Equation.3  où ( et mð représentent les deux coefficients de Lamé.
1- Déterminer les composantes des tenseurs des déformations et des contraintes. Les équations d équilibre sont-elles vérifiées ?

A présent le cylindre de rayon R est creux, centré sur un noyau central indéformable de rayon  EMBED Equation.3 . Sur la face extérieure, la pression p est toujours exercée.
2- Démontrer que le champ de déplacement radial a alors pour expression :
 EMBED Equation.3 

3- Exprimer les composantes des tenseurs des déformations et des contraintes. Montrer qu’à la limite, les solutions sont compatibles avec celles du premier cas.

Le matériau du cylindre est un polymère de type PC (polycarbonate). En première approximation, on suppose son comportement élastique linéaire. Le module d’Young est  EMBED Equation.3 et le coefficient de Poisson est ( = 0,38. La limite élastique est  EMBED Equation.3 . La pression appliquée est de 80 bars et les rayons sont  EMBED Equation.3  = 0,05 m et R = 0,2m.

4- Tracer les tricercles de Mohr de l’état de contrainte en un point quelconque du tube.

5- Calculer la contrainte équivalente de Von Misès. Le critère de limite élastique est-il respecté ?

Pièces de révolution

Il s’agit d’étudier un certain nombre de pièces verticales, faites de matériaux à loi de comportement élastique linéaire et de masse volumique  EMBED Equation.3 . Ces pièces sont toutes de grande longueur suivant la verticale ascendante EMBED Equation.3  et cylindriques de révolution autour de cet axe. Les efforts imposés sont distribués uniformément autour de cet axe de révolution et indépendants de la variable  EMBED Equation.3 . Les seules forces volumiques sont dues à la pesanteur. Compte tenu de ces hypothèses, on suppose que le champ de déplacement est indépendant des variables  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .

A partir des équations d’équilibre, donner la forme des composantes du champ de déplacement.
Déterminer la forme des tenseurs déformations et contraintes.


Etude d'un palier lisse


On veut réaliser un palier lisse en frettant une bague sur un arbre. L'arbre, de grande longueur, de section cylindrique, a un rayon extérieur R. Il est réalisé dans un matériau à loi de comportement élastique linéaire caractérisée par un module d'Young EMBED Equation.3 et un coefficient de Poisson EMBED Equation.3.
La bague est caractérisée par un rayon intérieur EMBED Equation.3 et un rayon extérieur EMBED Equation.3. Le matériau, toujours à loi de comportement élastique linéaire, est défini par le module d'Young EMBED Equation.3 et le coefficient de Poisson EMBED Equation.3. On note EMBED Equation.3 la différence entre le rayon extérieur de l'arbre et le rayon intérieur de la bague :
EMBED Equation.3

1- Pour réaliser l'assemblage, on se propose d'exercer un effort de traction sur la bague de telle sorte que l'assemblage puisse être glissant juste. Quel est la valeur de l'effort de traction à appliquer?

2- L'assemblage étant fait, quel est alors l'état de contrainte dans l'arbre et la bague? On précisera les contraintes dans le référentiel choisi en fonction de R, EMBED Equation.3.

3- Application numérique:
L'arbre est en acier : EMBED Equation.3
La bague est en bronze : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Quelle est alors la valeur de la plus grande contrainte équivalente au sens de Von Misès dans la bague?


Encastrement d’un pion cylindrique dans une plaque


Un axe de diamètre 2R est emmanché à force dans l’alésage d’une plaque plane dont les dimensions (mise à part l’épaisseur) sont assez grandes pour qu’on puisse les considérer comme infinies.
On note : R le rayon nominal de l’assemblage  le rayon de l’axe avant le montage
 le rayon de l’alésage avant le montage
 les caractéristiques élastiques du matériau de l’axe
 les caractéristiques élastiques du matériau de la plaque.

1- Calculer la pression de serrage en fonction de R, ,  et du serrage 
2- L’assemblage est :

On a donc des écarts en microns sur la cote nominale qui sont :
(0 ; +21) pour l’alésage
(+22 ; +35) pour l’axe
Calculer les pressions de serrages extrêmes dans le cas où :

Etude d’un vérin
On se propose d'étudier une chemise de vérin hydraulique. Les dimensions du vérin sont les suivantes:
EMBED Equation.3 Rayon extérieur
EMBED Equation.3 Rayon intérieur
EMBED Equation.3 Longueur utile
EMBED Equation.3 Pression d'utilisation
Le matériau constituant la chemise a une loi de comportement élastique linéaire définie par son module d'Young E = 200 GPa et son coefficient de Poisson ( = 0,3.


1- Un essai en pression amène le piston en butée dans la chemise.



1-1 Calculer l'effort de traction exercé par le fond sur la surface latérale du cylindre.

1-2 Déterminer l'état de contrainte en un point M situé à mi-longueur sur la paroi intérieure. En déduire l'état de déformation associé. Donner les valeurs numériques de ces deux tenseurs.

1-3 Quelle est la variation du rayon intérieur? Quelle est variation relative de longueur de la chemise?

2- En fonctionnement, la course du piston est de 180 mm. Avec les conditions de liaison du vérin avec l’extérieur, on peut considérer que la chemise est libre de s'allonger.





2-1 Calculer numériquement les valeurs du tenseur des déformations.

2-2 Quelle est la variation du rayon intérieur de la chemise? Quelle est la variation relative de longueur de la chemise?


3- La course étant toujours de 180 mm, le montage empêche la dilatation axiale de la chemise.





3-1 Donner les valeurs numériques du tenseur des contraintes.

Quelle est la variation du rayon intérieur de la chemise? Quelle est la variation relative de longueur de la chemise?
Canalisation hydraulique


On se propose de vérifier la section droite d'une canalisation d'un circuit hydraulique de commande d'un laminoir. Les constantes élastiques du matériau employé sont le module d Young (E = 200 GPa) et le coefficient de Poisson (nð = 0,3).
EMBED MSDraw

On a donc un tube de forte épaisseur EMBED Equation.3 sollicitée par une pression intérieure EMBED Equation.3. De plus, vu la grande longueur de la canalisation, on peut aussi considérer que l'on a à traiter un problème de poutre.


Les conditions aux limites (liaisons, chargement ... ) nous amènent à étudier plus précisément une section particulière pour laquelle le torseur des forces de gauche est le suivant :
EMBED Equation.3

1- Donner en un point quelconque de la section droite (coordonnées y et z) les tenseurs contraintes associés aux sollicitations élémentaires (pression, traction, cisaillement, torsion, flexion pure). Le résultat sera présenté sous forme numérique (en U.S.I.). Pour chaque cas on précisera le repère utilisé.

 2- En utilisant le critère de Tresca, et en considérant que le point le plus sollicité est situé sur le rayon intérieur, calculer le minimum de la limite d'élasticité du matériau.
EMBED MSDraw

En un point M de la surface extérieure, on a collé une rosette à 45°, la jauge centrale ayant sa direction confondue avec l'axe du cylindre. Sous ces efforts, la rosette permet d'enregistrer les résultats suivants :
EMBED Equation.3

3- Déterminer, par la méthode de votre choix, les directions principales et les déformations principales dans le plan tangent EMBED Equation.3. On tracera précisément les directions principales par rapport aux trois directions EMBED Equation.3 de la rosette.

 4- Tracer les tricercles de Mohr de l'état de contrainte et de l'état de déformation.




Déplacement orthoradial

On considère un domaine constitué d’un matériau à loi de comportement élastique linéaire caractérisée par un module d’Young E et un coefficient de Poisson (. Dans un système de coordonnée cylindrique, le champ de déplacement est orthoradial et il n’est fonction que des variables r et z :  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 

Donner les composantes du tenseur des déformations et du tenseur des contraintes dans la base cylindro-polaire  EMBED Equation.3 .

En l’absence de forces de volume, donner les équations différentielles qui permettent de définir la fonction  EMBED Equation.3 . En supposant que cette fonction dépend linéairement de z, résoudre ces équations et en déduire la forme du champ de déplacement, de l’état de déformation et de l’état de contrainte.


Le domaine est en fait un tube de rayon intérieur  EMBED Equation.3 , de rayon extérieur  EMBED Equation.3  et de grande longueur. On impose simplement un moment de torsion  EMBED Equation.3  aux sections extrémités du tube. Donner alors l’état mécanique en tout point du tube (déplacement, déformation, contrainte) en fonction des coordonnées du point  EMBED Equation.3 , des cotes dimensionnelles  EMBED Equation.3 , du moment de torsion  EMBED Equation.3  et des caractéristiques mécaniques du matériau (E, ().

4- Le tube précédent est sollicité par une pression intérieure  EMBED Equation.3  et un moment de torsion  EMBED Equation.3 . Une rosette à 45° est collée sur la paroi extérieure du tube de telle sorte que la jauge a soit axiale et la jauge c circonférentielle. On enregistre alors les déformations suivantes :
 EMBED Equation.3 
Donner la valeur de la déformation linéaire d’une jauge d qui serait dans le plan de la rosette et orthogonale à la jauge b.
Que pouvons déduire des résultats de mesure de la rosette ?







Etude d'un assemblage cylindrique


On considère un tube cylindrique circulaire de rayon intérieur EMBED Equation.3 et de rayon extérieur EMBED Equation.3. Le matériau le constituant a une loi de comportement élastique linéaire caractérisée par le module d'Young E et le coefficient de Poisson EMBED Equation.3.
On a placé une jauge de déformation sur la surface cylindrique extérieure, suffisamment éloignée des extrémités du tube, et destiné à mesurer la dilatation linéaire dans la direction orthoradiale EMBED Equation.3.
On emmanche à force dans ce tube un autre tube de rayon extérieur EMBED Equation.3 et de rayon intérieur EMBED Equation.3. Le second tube est réalisé dans le même matériau que le premier. Le serrage est tel que l'assemblage reste dans le domaine élastique linéaire. Aucune charge extérieure n'est appliquée sur l'ensemble monté.

Les résultats seront toujours donnés sous forme numérique et en U.S.I.

EMBED MSDraw
On prendra comme valeurs numériques :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

1- Calculer la pression de contact p qui règne entre les deux tubes en fonction des données dimensionnelles et des caractéristiques mécaniques du matériau.
2- Donner la valeur du serrage EMBED Equation.3 en fonction de EMBED Equation.3.

3- Donner la valeur la plus élevée de la contrainte équivalente de Von Misès.


On effectue un alésage circulaire de rayon EMBED Equation.3 (EMBED Equation.3) dans le cylindre intérieur. L'axe de l'alésage coïncide avec l'axe de l'assemblage. Une pression intérieure EMBED Equation.3 (EMBED Equation.3) est exercée sur la paroi intérieure (rayon R).

4- Calculer la nouvelle pression entre le tube et le cylindre alésé.

5- Donner la nouvelle valeur fournie par la jauge.


Etude de liaisons cylindriques

(Le sujet est issu du site web de l’université de Rennes)


Il s’agit d’étudier un certain nombre de pièces verticales, faites de matériaux élastiques, de coefficients de Lamé ( et (, de masse volumique (. Ces pièces sont toutes de grande longueur suivant la direction verticale  EMBED Equation.3  et cylindriques de révolution autour de  EMBED Equation.3 . Dans chaque cas considéré, les efforts imposés sont distribués uniformément autour de  EMBED Equation.3  et indépendants de z ; les seules forces volumiques sont dues à la pesanteur  EMBED Equation.3 . On se limitera aux cas où la composante  EMBED Equation.3  du vecteur déplacement est indépendante de z.


1-Etude préliminaire

Compte tenu des différentes hypothèses, le champ de déplacement est choisi de la forme suivante :
 EMBED Equation.3 
Montrer que le champ de déplacement a des composantes de la forme :
 EMBED Equation.3 
où A,B,C,D,G,H sont des constantes et  EMBED Equation.3 
Déterminer le tenseur des déformations et celui des contraintes en fonction des constantes ci-dessus.


2-Détermination des constantes

On se propose d’utiliser les résultats établis précédemment à diverses applications pratiques en considérant ici que les forces volumiques dues à l’attraction gravitationnelle ne peuvent pas être négligées.

Manchon cylindrique indéformable

On étudie le cas d’un matériau élastique placé dans un manchon cylindrique indéformable de rayon R et soumis à son seul poids.
Ecrire toutes les conditions aux limites associées à l’étude du domaine élastique.
Déterminer complètement les composantes du vecteur déplacement et du tenseur des contraintes. En déduire la valeur de la résultante des efforts exercés sur le manchon par unité de hauteur.



Entrefer de deux tubes indéformables

On étudie cette fois le cas d’un matériau élastique placé dans l’entrefer de deux tubes indéformables de rayons respectifs  EMBED Equation.3  pour le tube extérieur et  EMBED Equation.3  pour le tube intérieur.
Ecrire toutes les conditions aux limites associées à l’étude du domaine élastique.
Déterminer complètement les composantes du vecteur déplacement et du tenseur des contraintes. En déduire la valeur de la résultante des efforts exercés sur le manchon par unité de hauteur.
Que donnent les résultats dans le cas limite où le rayon intérieur tend vers zéro ?


Deux matériaux élastiques

On imagine que l’on utilise dans le cas précédent un matériau élastique pour remplacer le tube intérieur. On a ainsi deux matériaux solidaires au niveau de leur contact au rayon  EMBED Equation.3 . L’un, de caractéristiques mécaniques  EMBED Equation.3 , de rayon  EMBED Equation.3 , est disposé à l’intérieur de l’autre, de caractéristiques mécaniques  EMBED Equation.3 . L’ensemble de ces deux pièces est placé à l’intérieur d’un manchon cylindrique indéformable de même axe, dont le rayon  EMBED Equation.3  est le même que le rayon extérieur du deuxième corps.
Ecrire toutes les conditions aux limites associées à l’étude du domaine élastique.
Montrer que seules les constantes  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  ne sont pas nulles et les calculer.
On admet que les masses volumiques des matériaux sont identiques  EMBED Equation.3 . Quelle remarque peut-on faire ? Comparer les formes des tenseurs contraintes dans les deux matériaux.
On suppose en plus que les modules de Coulomb des matériaux sont identiques. Comparer les résultats avec ceux du premier cas et conclure.


3-Exploitation de résultats

En un point de la surface supérieure du cylindre une rosette à 45° est collée, l’une des jauges est radiale  EMBED Equation.3 , la troisième étant circonférentielle  EMBED Equation.3 . Les résultats de mesure de déformations sont les suivants :
 EMBED Equation.3 
Quelles sont les valeurs des déformations principales et les directions principales de déformations.
Sachant que la surface supérieure n’est pas chargée, déterminer les composantes du tenseur des contraintes. On prendra comme valeur numérique :
Module d’Young E = 200 Gpa
Coefficient de Poisson ( = 0,25
Etude du changement eau-glace

(les questions 1-1, 1-2 et 1-3 sont indépendantes)
EMBED Word.Picture.8

On se propose d'étudier les effets mécaniques du changement d'état eau-glace. Pour cela on utilise un tube métallique de diamètre extérieur D = 88,9 mm, d'épaisseur e = 3,2 mm et de longueur L = 300 mm. Les extrémités de ce tube sont fermées par des plaques métalliques de fortes épaisseurs soudées. Par un trou percé sur une des plaques, on introduit de l'eau dans le récipient étanche, puis on ferme hermétiquement le trou par un bouchon fileté. Une rosette à 45° est disposée sur la paroi extérieure de l'enceinte, à mi-hauteur. Une jauge (a) est axiale, une autre (c) est située dans le plan de section droite, la troisième jauge (b) étant dans la direction bissectrice. L'équilibrage des jauges est fait à la température ambiante. L'ensemble est placé dans une enceinte thermique à -5°C.


Les résultats de mesure en fonction du temps sont les suivants :

temps (mn)0306090120150180210240Déformation a * 1060-30-381575147190172197Déformation b * 1060-24-40114294490675637672Déformation c * 1060-23-43217526851117511301175

Ce qui nous donne le diagramme suivant :
EMBED Unknown \s
1- Interpréter les résultats de mesure en particulier pour t < 60 mn

2- On se place à l'instant t = 180 mn. Les résultats de mesure sont alors les suivants :
EMBED Equation.3

2-1 Calculer les valeurs des déformations principales dans le plan tangent EMBED Equation.3 et donner les directions principales. Aurait-on pu prévoir ce dernier résultat?

2-2 Le matériau a une loi de comportement élastique linéaire définie par un module d'Young E= 210 GPa et un coefficient de Poisson EMBED Equation.3. Déterminer complètement le tenseur contrainte au point M de collage de la jauge. On donnera les composantes du tenseur contrainte dans la base EMBED Equation.3.

2-3 Quelle est variation relative de diamètre de l'enveloppe?


3- On envisage d'utiliser les résultats précédents pour calculer l'état de contrainte dans une conduite d'eau gelée. On considère que le changement d'état de l'eau se traduit par un chargement de type pression uniforme sur la paroi intérieure de la conduite.
Pour une conduite de diamètre extérieur D = 273 mm et d'épaisseur e = 6,3 mm la pression p est évaluée à 20 MPa.

3-1 Donner les composantes du tenseur contrainte en un point M de la paroi extérieure dans la base EMBED Equation.3 en considérant que la conduite est libre de se dilater axialement.

3-2 Du fait de la grande longueur de la conduite, on suppose que la dilatation linéaire axiale est nulle. Donner alors les composantes du tenseur contrainte en un point M de la paroi extérieure dans la base EMBED Equation.3.

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Cisaillement plan dans une plaque percée

On considère une plaque de faible épaisseur sollicitée en cisaillement simple c’est à dire de tel sorte qu’en tout point l’état de contrainte soit de la forme :
 EMBED Equation.2 

1- Calculer les directions principales et les contraintes principales.

2- Cette plaque est trouée. Le rayon du trou est suffisamment faible pour que l’on puisse considérer que la présence du trou ne perturbe pas l’état de contrainte des points périphérie de la plaque.
En vous aidant largement des résultats du cours, donner une méthode permettant de définir l’état de contrainte au voisinage du trou et de calculer le coefficient de concentration de contrainte.
Quel est alors le coefficient de concentration de contrainte?

Torsion d’une poutre de section triangulaire

EMBED Draw \s \* MERGEFORMAT


On étudie la torsion d’une poutre dont la section droite représentée ci-contre est un triangle équilatéral.

Suite à l’étude théorique de St Venant, on envisage comme solution éventuelle la fonction :
EMBED Equation 




Montrer que la condition aux limites,  est satisfaite sur le contour de la section.

Calculer les contraintes  et  et vérifier l’équation de compatibilité.

Etudier la répartition des contraintes  sur la section droite pour , puis pour . Indiquer la contrainte tangentielle maximale.

Etablir la relation entre le couple de torsion et le coefficient m.

Calculer la fonction de déplacement. Si on considère la solution particulière telle que le point O de coordonnées (0,0,0) ne subit ni déplacement, ni rotation, calculer l’angle unitaire de rotation de la poutre. Déterminer les points dont le déplacement longitudinal est nul, ainsi que le déplacement longitudinal maximal sur le bord BC de la section. Représenter sur une vue en perspective l’image de la transformée du bord de la section droite.




Torsion d’un solide de révolution


On considère un arbre ayant la forme d’un solide de révolution d’axe EMBED Equation . La loi d’évolution de la génératrice en fonction de la variable z est donné par la fonction R(z).
EMBED Draw \s \* MERGEFORMAT











Dans le repère local EMBED Equation  associé à chaque point M, le champ de déplacement est exprimé par :
EMBED Equation 
Ce domaine matériel est soumis à une sollicitation de torsion par l’intermédiaire de torseurs-couple appliqués aux sections extrémités du domaine (z=0 et z=h). Les forces de volumes sont négligeables. Le matériau constituant le domaine a une loi de comportement élastique linéaire.

1- Donner la forme du tenseur des contraintes associé au champ de déplacement suggéré. Exprimer les différentes composantes de ce tenseur en fonction de , de ses dérivées par rapport aux variables  et , du module d’Young du matériau E et du coefficient de Poisson SYMBOL 110 \f "Symbol".

2- A partir des équations d’équilibre, montrer qu’il existe une fonction EMBED Equation  telle que :



3- Montrer que la fonction EMBED Equation  satisfait à l’équation :


4- Montrer que l’on a :

EMBED Equation  avec C: Couple de torsion


Torsion d'un tube elliptique



Dans un repère orthonormé EMBED Equation.3 un tube elliptique a pour frontières :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
La densité volumique de forces est nulle. D'autre part, il existe sur les surfaces extrémités  EMBED Equation.2 EMBED Equation.3 une densité surfacique de forces dont les éléments de réduction en O des torseurs associés sont respectivement :
EMBED MSDraw
EMBED Equation.3
Enfin la densité surfacique de forces sur les surfaces EMBED Equation.3 est nulle.

Pour traiter ce problème, on suppose que le déplacement d'un point courant M de coordonnées EMBED Equation.3 est de la forme :
EMBED Equation.3


1- Donner un schéma de résolution possible pour une cette étude. On justifiera les différentes étapes.

2- Montrer qu'il existe une fonction EMBED Equation.3 à partir de laquelle on peut déduire les contraintes par les relations :
EMBED Equation.3

3- A partir des conditions d'équilibre, donner la valeur du laplacien de la fonction EMBED Equation.3.

4- Montrer que les conditions aux limites exigent d'avoir EMBED Equation.3 sur la surface EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sur la surface EMBED Equation.3. Pour la suite on prendra EMBED Equation.3.

5- Montrer que l’équation de la surface EMBED Equation.3 peut aider à déterminer la fonction EMBED Equation.3 du problème posé. En déduire les contraintes en fonction de EMBED Equation.3.

6- Donner la relation existant entre EMBED Equation.3 et le couple de torsion M. Quel est l'interprétation physique de la constante EMBED Equation.3?
Champ de force radial

Le système à étudier est un tube cylindrique de rayon moyen R et d'épaisseur 2e. Le matériau a une loi de comportement élastique linéaire caractérisée par un module d'Young E et un coefficient de Poisson (. On désigne par O le centre géométrique du cylindre. Le solide est en équilibre par rapport au repère EMBED Equation.3 galiléen. D'autre part on considérera la base cylindro-polaire EMBED Equation.3 en un point M courant.

La surface cylindrique frontière du solide n'est soumise à aucune charge. La densité volumique des forces de volume est définie par :
EMBED Equation.3 avec K constante positive

Pour trouver la solution du problème, on propose d'essayer un champ de déplacement déterminé par :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3

1- Donner les tenseurs déformations et contraintes dans la base EMBED Equation.3.

2- En utilisant les équations d'équilibre, donner la forme de la fonction EMBED Equation.3.

3- En utilisant la condition aux limites sur la surface latérale cylindrique, calculer les constantes d'intégration. En déduire la valeur de la contrainte normale pour une section droite EMBED Equation.3. Donner la contrainte équivalente maximale au sens de Von Misès.

4- En fait, le cylindre est entraîné en rotation uniforme autour de son axe à la fréquence (. En considérant que l'épaisseur du tube est petite vis-à-vis du rayon, donner la valeur limite de cette fréquence de rotation pour un matériau de limite élastique EMBED Equation.3.

5- Les conditions de liaison du cylindre empêchent la variation de longueur de l'axe. En utilisant le principe de superposition, calculer l'effort de traction qu'il faut exercer sur la section droite pour respecter cette condition.



Chargement d’un barreau rectangulaire
(Selon examen CERENSAM Lille janvier 1996)

Les cinq questions peuvent se traiter dans n’importe quel ordre.

Dans un repère orthonormé direct EMBED Equation.3 le milieu continu étudié est défini par :
EMBED Equation.3

La section définie par x = L est encastrée dans un milieu galiléen indéformable. En l’absence de forces de volume, l’état de contrainte en tout point M(x,y,z) est défini par :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Dans ces expressions P et F représentent des constantes.
Le matériau est supposé homogène, isotrope, à comportement élastique linéaire, de module d’YOUNG E et de coefficient de POISSON (.







1- Les équations d’équilibre sont-elles vérifiées ?
2- Quel est le chargement sur les faces ABB’A’ EMBED Equation.3 et CDD’C’ EMBED Equation.3 ?
3- Quel est le chargement s’exerçant sur la face ADD’A’ EMBED Equation.3 ? Préciser en particulier la résultante et le moment résultant en O (0,0,0). Commentaire.

4- On a : L = 120 mm ; h = 20 mm ; e = 5 mm ; F = 100 N ; P = 500 N
E = 200 Gpa ; ( = 0,29
Au point Q (80,10,0) situé sur la face AB, on colle une rosette de trois jauges à 45° selon le schéma ci-dessous. Quelles doivent être les valeurs données par ces trois jauges?









5- Les équations de compatibilités sont-elles satisfaites ?
Enveloppe cylindrique
Dans le problème, les quatre cas de charge sont dissociés et les quatre parties peuvent être traitées indépendamment.

 On se propose d'étudier le comportement d'une enveloppe cylindrique sous l'action de différents chargements. Le matériau constituant cette enveloppe a une loi de comportement élastique linéaire définie par un module d'Young E et un coefficient de Poisson (. La masse volumique du matériau supposé homogène est (.
Cette enveloppe est déterminée par une section droite annulaire de rayon intérieur EMBED Equation.3 et de rayon extérieur EMBED Equation.3. La longueur L de l'enveloppe est supposée être très grande. On ne s'intéresse qu'à la section située à mi-hauteur et on peut donc considéré que les effets de bord dû aux extrémités sont négligeables. On associe un référentiel cylindro polaire au domaine, l'axe de l'enveloppe étant définie par la direction EMBED Equation.3. L'une des extrémités (z = L) est ouverte à l'air libre, l'autre (z = 0) est fermée par un disque homogène d'épaisseur h (cote comprise entre 0 et –h). L'extrémité ouverte est solidaire d'un bâti fixe. Un piston coulissant permet de mettre éventuellement le fluide en pression.
Une rosette à 45° est collée sur la surface externe de l'enveloppe à mi-hauteur (z = L/2). L'une des jauges est colinéaire à la direction circonférentielle EMBED Equation.3, une autre est colinéaire à la direction axiale EMBED Equation.3, la dernière EMBED Equation.3 étant collée selon la direction bissectrice des deux précédentes.
Pour les applications numériques on prendra les valeurs suivantes :
E = 210 Gpa ( = 0,3 EMBED Equation.3 = 7800 Kg/m3
EMBED Equation.3= 100 mm EMBED Equation.3 = 120 mm L = 1 m h = 50 mm


1- Actions gravitationnelles
L'axe EMBED Equation.3 représente la direction verticale ascendante EMBED Equation.3. On suppose que le tenseur des contraintes en un point courant est de la forme :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3

1-1 En utilisant les équations d'équilibre du domaine et les conditions aux limites sur les forces, déterminer EMBED Equation.3 en fonction de EMBED Equation.3 et g.

1-2 Donner les composantes du tenseur des déformations en fonction de EMBED Equation.3 et des constantes élastiques E et (.

1-3 Donner l'expression de la variation de diamètre en fonction de EMBED Equation.3 et des constantes élastiques E et (.

1-4 Calculer numériquement les valeurs des dilatations linéaires données par les trois jauges de la rosette. Calculer numériquement la variation de longueur du cylindre (g = 9,81 m/s²).


2- Pression
Un piston permet de mettre en pression le fluide contenu à l'intérieur de l'enveloppe.

2-1 Donner les composantes du tenseur des contraintes en fonction de la pression intérieure P et des rayons EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 et r. On négligera la pression extérieure.

2-2 Donner les composantes du tenseur des déformations en fonction de EMBED Equation.3 et des constantes élastiques E et (.

2-3 Calculer numériquement les valeurs des dilatations linéaires données par les trois jauges de la rosette. Calculer numériquement la variation relative d'épaisseur du cylindre.


3- Rotation
L'ensemble est mis en rotation uniforme autour de l'axe EMBED Equation.3 à la vitesse angulaire (.

3-1 Donner l'expression de la force de volume par unité de volume EMBED Equation.3.

3-2 On suppose que le champ de déplacement est de la forme :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
3-2-1 En utilisant les équations d'équilibre, donner deux équations différentielles permettant de définir les composantes du vecteur déplacement.
3-2-2 Intégrer ces équations et déterminer les constantes d'intégration en utilisant les conditions aux limites.


4- Traction et torsion
Le chargement imposé au tube est une sollicitation de traction – torsion dans une section droite. Les valeurs des dilatations linéaires données par les jauges de la rosette sont :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

4-1 Calculer numériquement les valeurs des déformations principales dans le plan de la rosette. Donner les directions principales dans le plan EMBED Equation.3.

4-2 Calculer numériquement toutes les composantes du tenseur des contraintes.


Sollicitation combinée d’un cylindre

Le milieu continu étudié est un cylindre plein de révolution, d’axe de symétrie de révolution  EMBED Equation.3 , de rayon extérieur R et de longueur 2h. Un point quelconque de ce milieu est repéré par ses coordonnées cylindriques r,  EMBED Equation.3  et z, avec :
 EMBED Equation.3 

Le milieu est en équilibre par rapport à un repère galiléen et ne supporte pas d’actions à distance (ou de force de volume). Le matériau est supposé homogène, isotrope à comportement élastique linéaire, de module de Young E et de coefficient de Poisson  EMBED Equation.3 .

L’état de contrainte en un point quelconque de ce milieu est défini, dans la base cylindro-polaire par :
 EMBED Equation.3  dans ces expressions p est une constante positive

1- Les équations d’équilibres sont-elles vérifiées ?

2- Donner le chargement sur les bases et la surface latérale du cylindre . Vérifier l’équilibre global du milieu.

Application numérique :
 EMBED Equation.3 

3- Au point de coordonnées r = R/2 et z = 0, déterminer numériquement le cisaillement maximal, la contrainte équivalente de Von Misès et l’énergie de déformation volumique.
Transformation hélicoïdale


Dans un repère orthonormé EMBED Equation.3, supposé galiléen, le milieu continu étudié est défini par : EMBED Equation.3
Le matériau est supposé homogène, isotrope, à comportement élastique linéaire, de module de YOUNG E et de coefficient de Poisson (. Le milieu étudié est en équilibre par rapport au repère défini ci-dessus et les actions à distance sont nulles. Sous l’effet du chargement, le champ des déplacements se présente sous la forme suivante :
EMBED Equation.3 avec v = - k xz et w = k xy EMBED Equation.3

1- Montrer que les équations d’équilibre sont satisfaites.

2- Analyser le plus précisément possible le chargement qui s’exerce sur le milieu étudié.

3- Déterminer, en un point P quelconque, la matrice associée à l’état de contrainte dans la base naturelle en coordonnées cylindriques.


Application numérique :
L = 1 m  ; a = 0,04 m  ; b = 0,05 m  ; E = 200 Gpa  ; ( = 0,29  ; k = 0,02 m-1

4- Calculer la contrainte normale maximale et la contrainte de cisaillement maximale dans ce milieu.

5- Au point particulier M (x = L/2 , y = b , z = 0), on place trois jauges d’extensométrie selon le schéma ci-contre. Que va-t-on mesurer ?












Etude d’un volant d’inertie



Un volant d’inertie à la forme d’un cylindre de révolution, homogène, de rayon R, de hauteur 2h et de masse volumique (. Il est animé d’un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire ( autour de son axe. On se propose de calculer les contraintes internes provenant de la rotation. On néglige l’action de la pesanteur.

Par hypothèse, nous admettrons que le tenseur des contraintes a l’expression suivante dans une base cylindro-polaire :
EMBED Equation.3 (EMBED Equation.3 sont des fonctions de r et de z).

On désigne par : S0 la surface latérale définie par r = R
S1 la section droite définie par z = h
S’1 la section droite définie par z = -h

1- Donner les formes générales des fonctions EMBED Equation.3 qui satisfont aux conditions d’équilibre et de Beltrami.

2- Préciser les fonctions EMBED Equation.3 permettant de satisfaire aux conditions aux limites.

3- Donner le champ de déplacement. On admettra que la plan z = 0 est un plan de symétrie.

4- Quelle est la déformée de la section droite S1 . Quelle est la déformée d’un segment parallèle aux génératrices défini par r et ( constants. En déduire la forme de la pièce après déformation et la valeur de son épaisseur au centre.










EMBED Word.Picture.8
Poutre triangulaire
Le milieu continu étudié est une poutre droite de section droite constante, de ligne moyenne EMBED Equation.3, de longueur L. La section droite a la forme d'un triangle équilatéral. Dans une section droite EMBED Equation.3, les coordonnées des sommets du triangle sont :

EMBED Equation.3


La matrice associée au tenseur des contraintes en un point quelconque M (de coordonnées EMBED Equation.3) de cette poutre est définie, dans la base orthonormée EMBED Equation.3 par :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3 (K est une constante positive)

La poutre est en équilibre par rapport à un repère galiléen de référence. Le matériau est supposé homogène, isotrope, à loi de comportement élastique linéaire définie par son module d'Young E et son coefficient de Poisson (


1- A quelle(s) condition(s) les équations d'équilibre sont - elles vérifiées ?

2- Quel est le chargement de la surface latérale de cette poutre ?

3- Analyser le chargement de la base EMBED Equation.3; Préciser en particulier la résultante et le moment résultant en EMBED Equation.3, barycentre de cette base, des actions qui s'exercent sur cette base; Conclusion ?

4- Les conditions de compatibilité des déformations sont - elles vérifiées ?

5- Déterminer les composantes de déplacement d'un point quelconque de la poutre en admettant que la section d'abscisse EMBED Equation.3 est bloquée.

6- Application Numérique :
a = 30 mm K = 0,01 daN/mm4 E = 20000 daN/mm² ( = 0.29

6-1- Déterminer la valeur du cisaillement maximal dans cette poutre.
6-2- Sur la face AC, au point N (EMBED Equation.3), on place une rosette de 3 jauges extensométriques à 45° dont la face centrale est parallèle à EMBED Equation.3. Que va - t - on mesurer sur chacune de ces trois jauges ?
Etude d'un appui circulaire à trou circulaire en élastomère

Nous nous proposons de développer une théorie linéaire de l'appui en élastomère de forme circulaire, comportant un trou central circulaire, cet appui étant soumis à une charge verticale (réf. Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux publics, série "théories et méthodes de calcul" N° 191 de Janvier 1976).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT

Les données sont les suivantes :
EMBED Equation  axe vertical ascendant
 rayon extérieur
 rayon intérieur
 épaisseur de l'élastomère
 Module d'Young de l'élastomère
 Coefficient de Poisson de l'élastomère

L'élastomère est compris entre deux plaques annulaires en acier supposées indéformables.

EMBED Equation  représente le vecteur position d'un point courant
EMBED Equation  est le vecteur déplacement.

Les hypothèses faites sont les suivantes :

a- L'élastomère est incompressible, donc sans variation de volume.

b- La déformée d'une fibre verticale (SYMBOL 97 \f "Symbol" = cte et r = cte) est une parabole :
EMBED Equation  où A est une fonction de r à déterminer.

c- Les déformations sont assez petites pour qu'on puisse utiliser la théorie de l'élasticité linéaire.

d- Sous l'application de la charge F, les plaques en acier restent parallèles et se rapprochent de la quantité EMBED Equation .

e- Par raison de symétrie, la variable angulaire SYMBOL 97 \f "Symbol" n'intervient pas et le déplacement circonférentiel est nul.


On demande alors de répondre aux questions suivantes :

1- En utilisant la première hypothèse, montrer que le coefficient de Poisson de l'élastomère est de 0,5.

2- Exprimer les composantes du tenseur des déformations en fonction du module d'Young et des composantes du tenseur des contraintes.

3- Exprimer les composantes du tenseur déformation en fonction de EMBED Equation .

4- En utilisant l'incompressibilité du matériau EMBED Equation , donner une équation différentielle reliant les fonctions EMBED Equation . Intégrer cette équation et donner l'expression de EMBED Equation  en fonction de EMBED Equation .

5- Déduire du calcul précédent une seconde équation différentielle du premier ordre pour la fonction A. Montrer que la solution générale de cette équation différentielle est :
EMBED Equation  K: constante d'intégration.

6- Calculer les composantes du tenseur des déformations en fonction de EMBED Equation .

7- Calculer EMBED Equation  en fonction des composantes du tenseur des déformations, du module d'Young et de EMBED Equation , puis en fonction de EMBED Equation .

8- En utilisant les équations d'équilibre calculer EMBED Equation . Conclusion?

Elasticité plane en coordonnées cartésiennes


1er Exercice
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT

On étudie une poutre droite, de section rectangulaire étroite, en état plan de contraintes.

On note E le module d'Young et SYMBOL 110 \f "Symbol" le coefficient de Poisson du matériau (comportement élastique linéaire).

En l'absence de forces de volume, la fonction d'Airy est de la forme :
EMBED Equation 

1- Montrer que c'est bien une fonction d'Airy.

2- Déterminer l'état de contrainte associé.

3- Quel est le chargement sur les face déterminées par ?

4- Définir le chargement sur les faces déterminées par . Préciser en particulier les éléments de réduction au centre géométrique de chaque face.

5- Comparer l'état de contrainte obtenu avec celui fourni par la théorie des poutres.

6- Déterminer les composantes du vecteur déplacement d'un point de la poutre. On précisera les conditions aux limites utilisées.

2ème Exercice

La poutre précédente, encastrée dans la section définie par  est sollicitée en cisaillement. L'état de contrainte en un point quelconque est alors de la forme :
EMBED Equation 
1- En l'absence de toute force volumique, quelle est la forme des fonctions d'Airy possible?

2- En prenant , donner le champ de déplacement dans la poutre.
Elasticité plane en coordonnées cylindriques

Un solide élastique est en équilibre vis à vis d'un référentiel galiléen. L'état de contrainte est plan, la normale au plan directeur étant l'axe . Cet état est caractérisé par la matrice suivante dans la base cylindro-polaire :

EMBED Equation 

avecEMBED Equation  A, B, C désignent des constantes


1- Calculer la densité des forces de volume.

2- Montrer que l'équation de compatibilité en contrainte (Beltrami) est satisfaite.

3- Montrer que l'état de contrainte pouvait être obtenu par une fonction d'Airy de la forme :
 g étant une fonction de r que l'on précisera.

4- Le solide élastique considéré est la plaque demi-circulaire représentée ci-dessous.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
On note E le module d'Young et SYMBOL 110 \f "Symbol" le coefficient de Poisson du matériau. On note respectivement Se, Si, Sh et Sb les parties de surfaces frontières cylindriques circulaires extérieure et intérieure et des surfaces planes ainsi précisées sur la figure.

Les conditions suivantes sont réalisées:
* les surfaces frontières Se et Si ne sont pas chargées
* le torseur des actions extérieures exercées sur la surface frontière Sh est un torseur-vecteur de résultante  et de moment nul en O.


4-1- Calculer les constantes A, B et C. On calculera le torseur des actions extérieures exercées sur la surface frontière Sb.

4-2- Trouver les coordonnées radiale et orthoradiale du vecteur déplacement. On déterminera les constantes d'intégration par les conditions suivantes :
EMBED Equation 

4-3- Calculer le déplacement radial pour .

4-4- On prend . En faisant l'hypothèse que SYMBOL 114 \f "Symbol" est très petit devant R, montrer que la quantité EMBED Equation  est équivalente à EMBED Equation .

4-5- Exprimer la quantité approchée précédente en fonction F, E, R et I (moment quadratique central relatif à la direction  d'une section normale).



Contrainte en pointe de fissure

On considère, en coordonnées polaires, le champ de contraintes planes donné en point d’une fissure et défini par :
EMBED Equation  
EMBED Equation  
EMBED Equation  

K représente une constante. Les forces de volume sont négligeables et le domaine est en équilibre.

1-1 Déterminer la fonction . Vérifier les équations de compatibilité.

1-2 En utilisant le critère de Von Misès, déterminer la courbe limite du domaine élastique sous la forme paramétrée : 

1-3 On se place à . Tracer le cercle de Mohr des contraintes.
Déterminer les contraintes principales et les directions principales. Quelle est la valeur de la cission maximale?
Calculer les déformations principales sachant que le module d'Young du matériau est E et que son coefficient de Poisson est .

Poutre courbe
(Selon examen CERENSAM Bordeaux janvier 1996)

Une poutre courbe possède une section rectangulaire constante, d’épaisseur e et un plan de symétrie  EMBED Equation.2 . La poutre est limitée par deux portions de cylindres de révolution d’axe  EMBED Equation.2 , de rayons respectifs R et 2R. En coordonnées cylindriques, on a pour un point M de la poutre :
 EMBED Equation.2 
L’état de contrainte est plan. On néglige les forces de volume. La surface latérale de la poutre n’est pas chargée. Les sections droites d’extrémité, de centre de surface  EMBED Equation.2  et  EMBED Equation.2 , sont soumises à des forces extérieures non représentées. On se place dans les hypothèses de l’élasticité linéaire.
On donne le champ des contraintes :
 EMBED Equation.2  A, B, C, D : constantes Ln Logarithme népérien

1- Ecrire les équations d’équilibre, les équations de compatibilité et les conditions aux limites. Calculer les constantes A et B en fonction de C, D et R.

2- On donne :
 EMBED Equation.2 
Déterminer les éléments de réduction du torseur des forces de gauche dans une section droite de la poutre. En déduire une interprétation physique de M.

Cylindre en pression

EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
On considère un corps cylindrique infiniment mince de section circulaire creuse. Ce corps est chargé radialement sur son pourtour extérieur  par une pression uniforme . Le contour intérieur  est en contact avec un noyau que l'on suppose infiniment rigide. Le problème est à symétrie axiale et les forces de volumes sont négligeables.

1- A-t-on un problème de contraintes planes ou de déformations planes? Justifiez votre réponse.

2- Donner l'équation différentielle permettant de calculer la fonction d'Airy .

3- Eventuellement en utilisant un changement de variable du type , résoudre cette équation différentielle et donner la forme générale de la solution.

4- Calculer les contraintes en fonction du rayon r et des constantes d'intégration.

5- En utilisant les conditions aux limites, déterminer les valeurs des constantes d'intégration. En déduire les expressions du tenseur des contraintes, du tenseur des déformations et du vecteur déplacement.

6- Application numérique:
On a : 
Quelle est la valeur de la pression limite pour ne pas dépasser la limite d'élasticité selon le critère de Tresca?




Etude des contraintes dans un disque pesant


 EMBED Word.Picture.6 

Un disque circulaire pesant de rayon R , d’épaisseur unité, est défini dans le repère R  EMBED Equation.2 .
L’axe  EMBED Equation.2  est vertical ascendant.
Le disque repose, suivant une génératrice, sur un plan horizontal, la force au point d’appui est  EMBED Equation.2  avec  EMBED Equation.2  la masse volumique du matériau.
Ailleurs qu’au point de contact le disque est libre de toute sollicitation.
Nous proposons d’étudier la répartition des contraintes dans ce disque soumis à son propre poids.
Nous formulons l’hypothèse d’état plan de contrainte.

1- Si nous considérons la solution type de Mitchell, la répartition des contraintes, en coordonnées polaires aurait pour expression :
 EMBED Equation.2 
Exprimer les contraintes sur la surface latérale libre du disque  EMBED Equation.2  induite par cette répartition. Donner leur expression dans le repère R  EMBED Equation.2 .

2- Pour éliminer ces contraintes, nous proposons un nouveau système de contraintes qui se détermine à partir de la fonction d’Airy :
 EMBED Equation.2 
2-1- Montrer que  EMBED Equation.2  est bien une fonction d’Airy.
2-2- Exprimer ces nouvelles contraintes.

3- Par superposition des deux systèmes de contraintes, exprimer le tenseur des contraintes dans le disque. Vérifier à nouveau la condition aux limites.

Etude d’un oeudomètre
(selon sujet d’examen du CERENSAM Bordeaux du 19 juin 2002)

Un oeudomètre est un appareil utilisé en génie civil pour mesurer la compressibilité oeudométrique (cf question N°6) du sol. Cet appareil se compose d’un cylindre très rigide dans lequel on place l’échantillon de sol à tester (du sable par exemple) et d’un piston qui va comprimer l’échantillon de sol.

Nous nous proposons d’étudier l’état de déformations et de contraintes de l’échantillon de sol en cours de test. Pour cela nous supposerons que le cylindre est indéformable et que l’étanchéité entre le piston et le cylindre est suffisamment bonne pour qu’aucune particule de l’échantillon testé ne remonte entre le cylindre et le piston. D’autre part le piston sera supposé indéformable et la pression p exercée par ce piston sur l’échantillon de sol sera supposée uniformément répartie sur la face du piston en contact avec l’échantillon. La hauteur initiale de l’échantillon non comprimée est h0.

L’échantillon de sol testé sera supposé homogène et isotrope à comportement élastique linéaire (dans le domaine de déformations et de contraintes où il est sollicité) de module d’Young E et de coefficient de Poisson nð ð(coefficients de Lamé lð et mð) . On négligera les effets de la pesanteur devant ceux engendrés par la pression d huile dans le vérin qui commande le piston.

Compte tenu des hypothèses faites précédemment, expliquez précisément pourquoi on peut raisonnablement supposer qu’en tout point M de l’échantillon de sol le champ des déplacements est de la forme :  EMBED Equation.3 
En déduire l’allure du tenseur des déformations et celle du tenseur des contraintes dans la base cylindro polaire en tout point M de l’échantillon.
Donner les équations différentielles qui régissent le système.
Résoudre ces équations pour calculer Uz(z) sans chercher à déterminer la (ou les) constante(s) qui apparaîtront.
Ecrire la (ou les) condition(s) aux limites permettant d’identifier ces constantes. Donner l’expression analytique de chacune de ces constantes en fonction des paramètres nécessaires.
Déterminer l’expression analytique de la compression oeudométrique, c'est-à-dire du rapport  EMBED Equation.3 . Préciser son unité.
Donner en fonction du module F de la force exercée sur le piston la valeur de la dilatation linéaire eðzz et celle du déplacement du piston.
Déterminer les expressions analytiques des termes non nuls du tenseur des contraintes.
Montrer qu en tout point de la surface intérieure du cylindre en contact avec l échantillon de sol, il existe une pression q ( à définir) exercée par l’échantillon de sol sur les parois du cylindre.
On suppose maintenant que le cylindre n’est plus indéformable. Le matériau le constituant à une loi de comportement élastique linéaire définie par un module d’Young E’ et un coefficient de Poisson nð (constantes de Lamé lð et ðmð ). On souhaite instrumenter la surface extérieure de ce cylindre avec des jauges de déformation afin de déterminer expérimentalement la pression exercée par l échantillon de sol sur les parois du cylindre. En supposant que la hauteur h0 est suffisamment grande par rapport au diamètre (ce qui est très discutable), déterminer l’état de contrainte et de déformation en un point de la surface extérieure du cylindre, le paramètre de charge étant le module F de la force exercée sur le piston. Proposer alors une instrumentation du cylindre en la justifiant.
Le cylindre est à nouveau considéré comme indéformable, mais on souhaite prendre en compte le poids propre de l’échantillon (masse volumique rð). Donner alors la nouvelle distribution des pressions exercées par l échantillon sur la paroi latérale du cylindre.


Pression de Hertz

On considère un massif semi infini en état plan de déformation. On lui associe un repère cylindrique.

1- En l'absence de force de volume, montrer que la fonction suivante peut être une fonction d'Airy :
 EMBED Equation.2 

2- Donner l'expression du tenseur des contraintes en un point M quelconque dans la base cylindrique.

3- Quel est le tenseur des déformations associé ?

 EMBED Word.Picture.6 
4- Le domaine est un demi anneau d'épaisseur unité, de rayon intérieur  EMBED Equation.2 , de rayon extérieur  EMBED Equation.2  et d'angle au sommet (.

4-1 Déterminer le chargement sur chacune des faces de cet anneau. Quelle remarque pouvons faire dans le cas d'un rayon  EMBED Equation.2  infiniment petit ?

4-2 En utilisant le critère de Von Misès, montrer que les lignes d'iso contraintes sont des cercles dont on précisera les centres.

5- Donner l'expression du champ de déplacement.
Pion indéformable dans une plaque
(Selon le sujet d’examen du CERENSAM Cluny du 3 juin 2008)

Un pion métallique (cylindre de diamètre D+dð, de longueur l) est complètement emmanché à force dans un trou de diamètre D fait dans une plaque en polycarbonate de hauteur h = l et dont les autres dimensions sont très grandes devant le diamètre du pion. Contenu des matériaux en présence, on suppose que le pion est indéformable et que le polycarbonate a un comportement élastique linéaire caractérisé par un module d Young E, un coefficient de Poisson nð ðet une limite élastique sðe.

Déterminer l état de contrainte dans la plaque. Quelle est la valeur limite admissible dðmax pour le serrage dð?ð

Le serrage est en fait égal à dðmax/2. On tourne le pion d un angle að autour de son axe. Il n y a aucun glissement au niveau du contact pion  plaque.

Quel est alors le nouvel état de contrainte dans la plaque. Quel est l angle limite aðmax de rotation pour ne pas dépasser la limite élastique du polycarbonate ?

Quel est la valeur du couple à appliquer au pion pour obtenir cette rotation ?

Au niveau de l interface entre les deux pièces, nous avons un coefficient de frottement f.

Quel est alors le couple limite que l’on peut appliquer ?

Poutre en état plan de contrainte

EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Une poutre de forme parallélépipèdique a pour longueur l, pour hauteur h et pour largeur b. Elle est soumise à des efforts extérieurs mais les forces de volume sont négligeables. On désigne par EMBED Equation  la ligne des barycentres des sections droites.
L'état de contrainte est plan. Il est défini par la fonction d'Airy suivante :
EMBED Equation  (a, b et c représentent des constantes).

1- Vérifier que l'on a bien une fonction d'Airy et déterminer la matrice des contraintes en un point de la poutre de coordonnées x, y, z.

2- Déterminer le chargement sur chacune des faces de la poutre.
Calculer les constantes  et  sachant que les forces extérieures exercées dans la section droite  se réduisent, au barycentre de la section, en un torseur dont la résultante est . Calculer le moment de ce torseur en O. Quel doit être alors le chargement sur les autres faces?

3- Déterminer le tenseur des déformations en admettant pour le matériau une loi de comportement élastique linéaire caractérisée par le module d'Young E et le coefficient de Poisson .

4- On a : l =1 m h =0,10 m b = 0,02 m
  P = 6000 N
On considère le point M EMBED Equation . Tracer en ce point le tricercle de Mohr des contraintes. Déterminer les directions principales et les contraintes principales. Quelles sont les valeurs des déformations principales?

Arbre entaillé


 EMBED Word.Picture.6 
La section droite d'un arbre est représentée ci-contre. Elle est limitée par un arc de cercle (C1) de centre C (x=R, y=0), de rayon R et un arc de cercle (C2) de centre O et de rayon a (a < R ).

Le champ des contraintes est donné en coordonnées cylindriques par :
 EMBED Equation.2 


H est une constante physique positive. On néglige les forces de volume

1- Vérifier les équations d'équilibre.

2- Déterminer le chargement sur la surface latérale de l'arbre.

3- Déterminer, dans une section droite, pour les points de l'axe  EMBED Equation.2 , la valeur maximale de la norme du vecteur contrainte. Comparer sa valeur limite (quand a tend vers 0) avec celle d'un arbre plein. Conclusion?



Réaction d'un sol élastique sur une conduite flexible

Nous considérons une conduite flexible d'axe  EMBED Equation.2  placée dans un milieu élastique de module d'élasticité longitudinal E et de coefficient de Poisson  EMBED Equation.2 . On se propose de calculer les pressions normales exercées par le sol sur la conduite en se plaçant dans le cas de l'élasticité linéaire en déformations planes (cylindre infini). On travaillera essentiellement en coordonnées cylindro-polaires et on étudiera le sol.

1- Nous supposons que le champ de déplacement d'un point est donné par :
 EMBED Equation.2 .

1-1- Calculer les composantes du tenseur des déformations.

1-2- Donner les composantes du tenseur des contraintes en fonction des composantes du tenseur des déformations  EMBED Equation.2  et des caractéristiques élastiques du matériau ( EMBED Equation.2 ). Que deviennent-elles en fonction des composantes du champ de déplacement  EMBED Equation.2  et des caractéristiques élastiques du matériau?

1-3- Le problème étant un problème d'élasticité plane, on envisage l'emploi d'une fonction d'Airy  EMBED Equation.2 . Quelles relations avons-nous entre les composantes du tenseur des contraintes et la fonction d'Airy?


2- Nous supposons que la conduite impose au sol une déformée donnée par le champ de
déplacement  EMBED Equation.2  pour r=R (rayon extérieur de la conduite). On recherche alors une solution pour la fonction d'Airy en prenant :
 EMBED Equation.2 

2-1- Quelles sont alors les expressions des contraintes?

2-2- Quelle est l'équation différentielle qui doit être satisfaite par la fonction f(r) ?

2-3- Intégrer cette équation différentielle sachant que l'on a :
 EMBED Equation.2 

2-4- Quelles sont alors les expressions générales de la fonction d'Airy et des composantes du tenseur des contraintes?

2-5- On suppose que pour r très grand les contraintes sont nulles alors que pour r=R le vecteur contrainte ne peut qu'être normal à la conduite. Déterminer alors les constantes d'intégration et donner le tenseur des contraintes ainsi que le champ de déplacement.
Console


On veut déterminer la distribution de contraintes dans une poutre console de longueur l et de hauteur 2h. La charge appliquée à l'extrémité libre est une force linéïque caractérisée par une densité q.

Comme les dimensions selon la direction  sont grandes, le problème est traité en déformation plane. On néglige les forces de volume.


1- Donner les conditions aux limites de ce problème.

2- On imagine la fonction d'Airy suivante :
EMBED Equation 
A quelle(s) condition(s) sur les constantes  la fonction précédente représente-t-elle effectivement une fonction d'Airy?

3- Calculer le tenseur des contraintes obtenu à partir de cette fonction.

4- Pouvons-nous satisfaire toutes les conditions aux limites?

5- Déterminer les composantes du tenseur des contraintes et du vecteur déplacement.

Plaque en contrainte plane

Pour l'étude d'une plaque plane de faible épaisseur, en état plan de contrainte et en l'absence de forces de volume, on adopte une fonction d'Airy de la forme suivante :
EMBED Equation 

1- Montrer que la fonction EMBED Equation  est nécessairement de la forme :
EMBED Equation   constantes

2- La plaque, un rectangle de longueur l et de largeur 2b, est définie ci-dessous.



2-1 Les faces AB et CD sont soumises à des charges purement normales, de résultantes  sur AB,  sur CD et de moments nuls aux centres des faces (F représente l'effort normal par unité d'épaisseur de plaque.


Montrer que ce chargement implique que les constantes  et  soient nulles.

Exprimer les deux autres constantes  et  en fonction de F, , l et b.


2-2 Déterminer le chargement des faces AC et BD lorsqu'on choisit .

3- Application numérique :
   daN/mm²
Tracer les évolutions de ,  et  en fonction de x/b pour des valeurs de y/l égales à 0, 0,25 et 0,5. Que peut-on conclure?


Réalisation d'un tube en matériau composite

EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
On se propose de réaliser des tubes en matériau composite de type "fibre de verre longues/résine époxy".

Le tissu fibre de verre est constitué de plusieurs nappes superposées. Chaque nappe est réalisée par des fils identiques tous alignés dans la même direction.
Les nappes superposées sont orientées alternativement dans deux directions perpendiculaires  (fils A) et  (fils B). Pour assurer la cohésion, l'ensemble des nappes est noyé dans une résine époxy R.

Première partie

Dans un premier temps, on veut déterminer les caractéristiques mécaniques du matériau équivalent E.
On rappelle que pour un matériau quelconque à comportement élastique linéaire on a :
EMBED Equation  

1-1 La résine a un comportement isotrope. Ce dernier est défini par le module d'élasticité longitudinal ER et le coefficient de Poisson SYMBOL 117 \f "Symbol"R.
Exprimer la matrice de raideur en fonction des constantes élastiques. On précisera la base utilisée.

1-2 Chaque fibre de verre est caractérisée par sa rigidité k. Pour la déterminer, on soumet un fil d'orientation  à une contrainte . On mesure la dilatation linéaire  et on en déduit .


On désigne par n le nombre de fils par unité de largeur dans chaque nappe et par 2r le nombre total de nappes par unité d'épaisseur (r nappes de fils A et r nappes de fils B).
On considère que la fibre n'offre aucune résistance aux cisaillements et aux déplacements non parallèles à son sens longitudinal. On en déduit que le comportement des fils A est caractérisé par :
 sauf  dans la base EMBED Equation .

1-3 Donner la valeur de K en fonction de k, n et r. Que peut-on dire pour caractériser le comportement des fils B?

1-4 On se place dans l'hypothèse des petits déplacements. Ceci nous amènera à considérer que les déplacements sont les mêmes pour la matrice, pour les fils et pour le matériau homogène équivalent. Le calcul de la matrice de raideur du matériau équivalent sera fait suivant le principe d'égalité des énergies de déformation :

On rappelle que la densité d'énergie, qui est un invariant, se calcule suivant le formule :

On désigne par  (resp. ) la densité volumique de fibres A (resp. fibres B).

1-5 A partir du résultat précédent, donner l'expression de la matrice de raideur du matériau équivalent dans la base EMBED Equation .

1-6 En fait l'enroulement des fibres est réalisé autour d'un cylindre de tel sorte que l'on ait :
EMBED Equation 
Donner alors l'expression de la matrice de raideur du matériau équivalent dans la base cylindro-polaire EMBED Equation .


Deuxième partie

Dans la réalité les fibres A (resp B) forment un angle de 55° (resp -55°) avec la direction axiale du cylindre . En tenant compte de l'application numérique, les calculs ont conduit à la valeur suivante de la matrice de raideur du matériau équivalent E dans la base cylindro-polaire EMBED Equation :
EMBED Equation  (en MPa)
Les tubes ont un rayon extérieur Re = 90 mm et un rayon intérieur Ri = 80 mm. Un fluide circule à l'intérieur de ces tubes à la pression de 7 bar. La pression extérieure est de 1 bar. Les conditions sont telles que l'on suppose avoir un état plan de déformations des tubes. Le poids propre de la structure et du fluide sont négligeables devant les efforts mis en jeu.

2-1 Ecrire les équations locales d'équilibre du cylindre en fonction des composantes du tenseur des contraintes.
2-2 Quelles hypothèses pouvons-nous faire sur le champ de déplacement? En déduire l'expression du tenseur des déformations dans la base cylindro-polaire EMBED Equation .
2-3 Réécrire les équations d'équilibre en fonction des composantes du champ de déplacement.
2-4 Intégrer les équations précédentes et déterminer les constantes d'intégrations. On recherchera des solutions de la forme .
2-5 Calculer alors la valeur de la contrainte de compression du tube .

Déformations plastiques d'un tube en pression



On considère un tube épais sollicité par une pression intérieure. Les données numériques sont les suivantes :
Rayon intérieur :  Rayon extérieur : 
Module d'Young :  Coefficient de Poisson : 
Pression extérieure :  Pression intérieure : 
Limite élastique : 

1- On suppose que le tube travaille en contrainte plane.

1-1 En utilisant le critère de Tresca, calculer la valeur de la pression élastique  associée à un début de plastification du tube.

1-2 On suppose que le matériau a une loi de comportement élastique parfaitement plastique. La contrainte d'écoulement  est donc constante et égale à la limite élastique du matériau .
1-2-1 En utilisant le critère de Tresca et les équations d'équilibre, calculer l'état de contrainte associé à une valeur de pression supérieure à la pression élastique .
1-2-2 Montrer que pour une valeur de pression seuil  le tube est dans un état complètement plastique.

2- Vu la grande longueur du cylindre, on formule l'hypothèse d'un état plan de déformation.

2-1 En utilisant le critère de Von Misés, calculer la valeur de la pression élastique  associée à un début de plastification du tube.

2-2 On suppose que le matériau a une loi de comportement élastique parfaitement plastique. La contrainte d'écoulement  est donc constante et égale à la limite élastique du matériau .
2-2-1 En utilisant le critère de Von Misés et les équations d'équilibre, calculer l'état de contrainte associé à une valeur de pression supérieure à la pression élastique .
2-2-2 Montrer que pour une valeur de pression seuil  le tube est dans un état complètement plastique.

2-3 La pression intérieure est la demi somme de la pression élastique et de la pression seuil :

2-3-1 Déterminer la zone ayant dépassée la limite élastique.
2-3-2 A partir de l'état précédent, on relâche la pression intérieure jusqu'à atteindre la valeur nulle. Déterminer alors l'état de contrainte dans le tube.

Sollicitation élastoplastique d'une sphère


On considère une sphère épaisse sollicitée par une pression intérieure. Les données numériques sont les suivantes :
Rayon intérieur : \EMBED Equation 
Rayon extérieur : \EMBED Equation 
Module d'Young : \EMBED Equation 
Limite élastique : \EMBED Equation 
Coefficient de Poisson : \EMBED Equation 
Pression intérieure : \EMBED Equation 


1- En utilisant le critère de Von Misés, calculer la valeur de la pression élastique \EMBED Equation  associée à un début de plastification.


2- On suppose que le matériau a une loi de comportement élastique parfaitement plastique. La contrainte d'écoulement est notée \EMBED Equation .

2-1 En utilisant les conditions de symétrie sphérique, le critère de Von Misés et les équations d'équilibre (données en annexe), calculer l'état de contrainte associé à une valeur de pression supérieure à la pression élastique \EMBED Equation .

2-2 Montrer que pour une valeur de pression seuil \EMBED Equation , la sphère est dans un état complètement plastique.


2-3 La pression intérieure est la demi-somme de la pression élastique et de la pression seuil :

2-3-1 Déterminer la zone ayant dépassée la limite élastique.

2-3-2 A partir de l'état précédent, on relâche la pression intérieure jusqu'à atteindre la valeur nulle. Déterminer alors l'état de contrainte dans la sphère.

Ecrasement d'un lopin cylindrique.

EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
On considère un cylindre droit à base circulaire placé entre les deux tas d'une presse. On effectue alors l'écrasement de ce lopin. On désire définir la valeur de l'effort presseur nécessaire pour déformer plastiquement la pièce. Les données sont les suivantes :
Rayon intérieur R
Hauteur H
Matériau à comportement rigide parfaitement plastique caractérisé par une contrainte d'écoulement .

L'interface entre la pièce et les plateaux de la presse peut être modélisée par un frottement de type couche limite avec un coefficient m.


1- Détermination de l'effort presseur par la méthode de la borne supérieure.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT

1-1 Le champ de déplacement de type blocs rigides retenu est représenté par la figure ci-contre. Le déplacement du plateau supérieur de la presse est donné par la valeur .

1-1-1 Donner le diagramme des déplacements.

1-1-2 Calculer l'énergie dissipée.

1-1-3 En déduire une borne supérieure de la valeur de l'effort presseur. Quelle remarque pouvons-nous faire?


1-2 Afin d'améliorer le résultat précédent, on envisage un champ de déplacement continu conçu à partir des remarques suivantes :
La composante axiale est une fonction linéaire de la variable z 
La composante radiale n'est fonction que de la variable r 

1-2-1 En utilisant l'incompressibilité du matériau, démontrer que la déformation linéaire radiale actuelle est égale à la déformation linéaire circonférentielle actuelle. En déduire la valeur de la déformation actuelle équivalente.

1-2-2 Calculer l'énergie dissipée par déformation.

1-2-3 Calculer l'énergie dissipée par frottement.

1-2-3 Donner alors une nouvelle valeur de la borne supérieure de l'effort presseur. Vérifier la compatibilité du résultat avec le précédent.

2- Détermination de l'effort presseur par la méthode des tranches.

Dans ce cas la tranche retenue est un tube de hauteur H, de rayon moyen r et d'épaisseur dr.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT

2-1 Ecrire les équations d'équilibre d'un secteur angulaire d'angle .

2-2 En se servant de la relation d'incompressibilité, calculer le déplacement  en fonction de la déformation linéaire axiale actuelle EMBED Equation .

2-3 Déterminer alors les composantes du tenseur des contraintes.

2-4 En déduire l'effort de forgeage ainsi que la pression moyenne correspondante.



Détermination d'un effort de presse

On considère un prisme droit à base trapézoïdale placé entre les deux tas d'une presse. La longueur du prisme est très grande devant les dimensions de la base. On effectue alors l'écrasement de ce lopin. On désire définir la valeur de l'effort presseur nécessaire pour déformer plastiquement la pièce. Les données sont les suivantes :
Grande largeur de la base : L
Petite largeur de la base : l
Hauteur de la base : H
Matériau à comportement rigide parfaitement plastique caractérisé par une contrainte d'écoulement .
\EMBED MSDraw 


L'interface entre la pièce et les plateaux de la presse peut être modélisée par un frottement de type couche limite avec un coefficient m.

On se propose de déterminer l'effort presseur par la méthode de la borne supérieure en utilisant des blocs rigides.

Le champ de déplacement de type blocs rigides retenu est représenté par la figure ci-contre. Le déplacement du plateau supérieur de la presse est donné par la valeur .

1- Donner le diagramme des déplacements.

2- Calculer l'énergie dissipée.

3- En déduire une borne supérieure de la valeur de l'effort presseur. Quelle remarque pouvons-nous faire?

Examen LILLE 30 mai 2002

durée : 2 heures
notes de cours, d'exercices et de travaux pratiques autorisées
Seuls les résultats clairement démontrés seront pris en compte. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation
L'épreuve comporte un exercice et un problème qui peuvent être traités dans n'importe quel ordre.
EXERCICE (5 points) :
Pour mesurer les propriétés élastiques d'un matériau, on effectue deux types d'essais sur le même type d'éprouvette (cylindre plein de révolution de hauteur h et de diamètre d). Pour le dépouillement des essais, on admet que le matériau est homogène, isotrope, à comportement élastique linéaire.
Lors du premier essai, l'éprouvette est soumise, sur toute sa surface extérieure, à la même pression : pour une pression de 75 Mpa, on mesure une variation relative de volume égale à
-0,012
Lors du second essai, l'éprouvette n'est pas chargée sur sa surface latérale ( r = d/2) et supporte sur ses deux bases une pression uniformément répartie : pour une pression égale à 30 Mpa, on mesure une variation relative de longueur de l'éprouvette égale à
-0,003
Déterminer les valeurs du module de YOUNG et du coefficient de POISSON du matériau étudié.
PROBLÈME (15 points) : les trois questions peuvent se traiter dans n'importe quel ordre
Le milieu continu étudié est un cylindre plein de révolution, d'axe de symétrie de révolution  EMBED Equation.3 , de rayon extérieur R et de longueur 2h. Un point quelconque de ce milieu est repéré par ses coordonnées cylindriques r, qð et z, avec :
0 d" r d" R ; 0 d" qð d" 2pð ; -h d" z d" +h
Ce milieu est en équilibre par rapport à un repère galiléen et ne supporte pas d'actions à distance.
Le matériau constituant ce milieu est supposé homogène, isotrope, à comportement élastique linéaire de module de YOUNG E et de coefficient de POISSON nð.
En un point quelconque du milieu, l'état de contraintes est défini, dans la base naturelle en coordonnées cylindriques,  EMBED Equation.3  par :
 EMBED Equation.3 

Avec :
 EMBED Equation.3  Dans ces expressions, p est une constante positive.
1/ Les équations d'équilibre sont-elles vérifiées ?

2/ Analyser le chargement qui s'exerce sur chacune des parties de la surface extérieure de ce milieu ; vérifier l'équilibre global de la pièce étudiée.

3/ Application numérique :
R = 50 cm ; E = 21OOOdaN/mm2 ; p = 4daN/mm2 ; h = 5 cm ; %';NXvwŸ ¡´µ¶·ØÙÚæçèêëí  O
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