Td corrigé Exercice 1 pdf

Exercice 1

TD de DYNAMIQUE DU SOLIDE EN ROTATION. M5 .... de rayon r = 10 cm et d' axe Z. Une corde enroulée sur le treuil soutient un solide S de masse m = 10 kg.




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Exercice 1

Le moment d’inertie du rotor d’un moteur de machine électrique s’oppose à sa variation de vitesse angulaire. Plus il sera grand, plus il sera difficile de changer de fréquence de rotation. On assimile le rotor d’un moteur à un cylindre homogène de diamètre 250 mm et de hauteur 100 mm et de masse volumique rð = 7 100 kg/m3.

1) Calculer son moment d inertie

Formule : I = ½. M.R2 = ½. rð . V . R2 = ½. rð . S . H . R2 = ½. rð . pðR2 . H . R2 = ½. rð . pðR4 . H
Application : I = ½ x 7100 x pð ð x 0,1254 x 0,1 = 0,2723 Kg.m2

2) Calculer le moment d inertie d un rotor assimilable à un cylindre de même masse, mais ayant un diamètre de 100 mm.

Formule : I = ½. (rð . pðR2 . H) . R2
Application : I = ½ x (7100 x pð ð x 0,1252 x 0,1) x 0,12 = 0,1743 Kg.m2

3) Citer pour chaque moteur une application où son emploi est souhaitable.
Faible moment d’inertie pour un arrêt rapide et précis
Fort moment d’inertie pour diminuer les vibrations et emmagasiner de l’énergie

Exercice 2

Une machine est entraînée par un moteur électrique de fréquence nominale 1 500 tr/min. Celui-ci exerce au démarrage un couple moteur constant de 40 N.m. Le moment d’inertie de l’ensemble de la chaîne cinématique rapporté à l’axe du rotor est de 12,5 kg.m². Le couple résistant dû aux frottements est supposé constant et égal à 4 N.m.

1) Calculer l’accélération du moteur pendant le démarrage.

Formule : PFD : Cm - Cr = I . w’ ( w’ = (Cm – Cr) / I
Application : ( w’ = (40 – 4) / 12,5 = 2,88 rd/s2

2) Calculer le temps mis pour atteindre la fréquence nominale.

Formule : t = (w – w0) / w’
Application : t = (2pðx1500/60) / 2,88 = 54,54 s

Exercice 3

Une meule pleine cylindrique de masse volumique 4 000 kg/m3 a un diamètre D = 600 mm et une épaisseur e = 50 mm. Elle tourne à la fréquence N de 900 tr/min d un mouvement uniforme quand elle est entraînée par le moteur électrique. On débraye le moteur. La meule n est plus soumise qu au couple de frottement Cf de son arbre sur les paliers. Cf = 5 N.m.

1) Calculer wð '

Formule : PFD : Cm - Cr = I . w ( w = (Cm  Cr) / I = - Cf / ( ½ . rð.V. R2)
Application : w = ( 5) / ( ½ x 4000 x pð x 0,32 x 0,05 x 0,32) = - 1,965 rd/s2

2) Calculer le temps d immobilisation :

Formule : t = (w  w0) / w
Application : t = (- 900x2pð/60) / - 1,965 = 47,97 s

3) Calculer le nombre de tours faits pendant ce temps :

Formule : qð = (w2  w02) / 2w n = qð / 2pð
Application : qð =  (900x2pð/60)2 / (2x-1,965) = 2260 rd n = 2260 / 2pð = 360 tours

Exercice 4

Une meule de moment d'inertie J = 40 kg.m2 tourne à la vitesse de 1 200 tr/min. Après le freinage, elle s'arrête après avoir fait 450 tours.
Calculer la valeur du couple de freinage.

Formule : PFD : Cm - Cr = I . w ( Cr = I . w02 / 2qð
Application : Cr = 40 x (1200x2pð/60)2 / (2x450x2pð) = 111,7 N.m



Exercice 5

Le rotor d'un moteur est assimilé à un cylindre dont on donne les caractéristiques ; rð désigne la masse volumique.

1) Calculer le moment d'inertie du cylindre.

Formule : I = ½. M . R2 = ½. rð . V . R2
I = ½. rð . pðR4 . H
Application : I = ½ x 7000 x pð ð x 0,124 x 0,14
I = 0,3192 Kg.m2



2) Le rotor tourne à la fréquence de 600 tr/min d'un mouvement uniforme.
Calculer sa vitesse angulaire.

Formule : w = 2pð x N /60
Application : w = 2pð x 600 /60 = 20pð ð= 62,83 rd/s

3) On coupe l'alimentation du rotor qui n'est donc soumis qu'au couple de frottement d'une valeur de 4 N.m.
a) Calculer en appliquant le principe fondamental de la dynamique l'accélération angulaire.

Formule : PFD : Cm - Cr = I . w’ ( w’ = (Cm – Cr) / I = - Cf / I
Application : w’ = (– 4) / 0,3192 = - 12,53 rd/s2

b) Calculer le temps mis par le rotor pour être à l'arrêt.

Formule : t = (w – w0) / w’
Application : t = (- 600x2 
  




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Exercice 6

On considère un cylindre de masse M = 500 g muni d'une gorge périphérique sur laquelle on enroule un fil.
On accroche à l'extrémité une masse m et le système se met en rotation.
Le graphe obtenu représente la somme algébrique des moments des forces et des couples appliquées au cylindre en fonction de l accélération angulaire w .

1) Indiquer ce que représente le coefficient directeur de la droite obtenue.

La courbe représente le PFD : Cm - Cr = I . w
Donc le coef directeur de la droite est le moment d inertie I = (Cm  Cr) / w = 4 / 30 = 0,133 Kg.m2

2) En déduire le rayon du cylindre.

Formule : I = ½ x m x R2
R = (2I/m)1/2

Application : R = (2x0,133/0,5)1/2
R = 0,73m


Exercice 7
Un treuil est constitué d un cylindre homogène de masse M = 20 kg, de rayon r = 10 cm et d axe Z. Une corde enroulée sur le treuil soutient un solide S de masse m = 10 kg. Les masses de la corde et de la manivelle ainsi que toutes les résistances passives (frottements et résistance de l air) sont négligeables.
1) Calculer la tension T de la corde en situation d équilibre ou de rotation uniforme
Formule : PFD : SðF = m a
T  mg = 0
T = mg
Application : T = 10 x 9,81 = 98,1 N
2) Calculer l accélération angulaire w du treuil si on lâche la manivelle
Formule : PFD : Cm - Cr = I . w
w = Cm / I = r T / ½ m R2
Application : w = 0,1 x 98,1 / (½ x 20 x 0,12) = 98,1 rd/s2
3) Calculer l accélération linéaire a du solide S dans sa chute lorsqu on lâche la manivelle.
Formule : a = Rw
Application : a = 0,1 x 98,1 = 9,81 m/s2

Exercice 8

Un petit gyroscope cylindrique de masse m = 100 g et de 5 cm de rayon tourne autour de son axe à raison de 3600 tours par minute. Sachant qu il s arrête en 3 minutes sous l action de résistances passives équivalentes à un couple que vous supposerez constant :

1) Calculer l accélération angulaire w du gyroscope
Formule : w = (w-w0)/t
Application : w = (-3600x2pð/60)/(3x60) = -2pð/3 = - 2,1 rd/s2

2) Calculer le moment M du couple résistant
Formule : PFD : Cm - Cr = I . w ( Cr = - ½ mR2 . w
Application : Cr = - ½ x 0,1 x 0,052 x -2,1 = 2,6e-4 N.m

3) Calculer le nombre de tours n effectués entre le début du ralentissement et l arrêt.
Formule : qð = (w2  w02) / 2w n = qð / 2pð
Application : qð =  (3600x2pð/60)2 / (2x-2,1) = 33839rd n = 33839 / 2pð = 5385 tours









STITD de DYNAMIQUE DU SOLIDE EN ROTATIONM5

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