Triangles rectangles et cercles CV
b ) Existe-t-il un point P tel que les triangles ABP, BCP et ACP soient rectangles
en P ? IREM de Montpellier Page 1 05/10/2006. Groupe Intégration des outils ...
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TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES
Sommaire
HYPERLINK "Triangles%20retangles%20et%20cercles%20cv.doc"CV
HYPERLINK "ficheIdent03-04.doc"Fiche didentification
HYPERLINK \l "ficheprof"Fiche professeur
HYPERLINK \l "ficheélève"Fiches élèves
HYPERLINK \l "fichescenario"Scénario(s) d'usage
HYPERLINK \l "ficheproductionélève"Productions délèves
HYPERLINK \l "fichecrdexpérimentation"Compte-rendu(s) d'expérimentation
HYPERLINK \l "fichetechnique"Fiches techniques
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Fiche didentification
Types :( Découverte de propriétés
( Aide à la démonstration
Niveau :Collège : 4ième
(programme consultable dans la fiche professeur)
Mots-clés :Géométrie, triangle rectangle, cercle, diamètre, hypoténuse,
médiane, symétrie centrale
Objectifs pédagogiques
généraux :( Lobjectif principal est dapporter une aide à la démonstration :
dans un 1er temps pour démontrer 2 théorèmes du cours, puis dans un 2ième temps lors dun exercice où lélève doit utiliser un des théorèmes du cours.
( Lautre objectif est la découverte des propriétés relatives au triangle rectangle et cercle.
Modalité :Travail dirigé à faire en rétroprojection en classe entière.
Temps dutilisation : 3 séances de 55 min.
Dispositif technique :Matériel de rétroprojection et logiciel Cabrigéomètre
Liste et description des fichiers :( Un document WORD « Triangles rectangles et cercles » comprenant entre autres le document professeur et 6 fiches élèves.
( 5 documents CABRI comprenant les différentes activités proposées aux élèves.
Description activité :
( Les élèves découvrent les propriétés sur le papier et une correction commune est proposée en vidéoprojection.
( Les élèves démontrent soit les théorèmes du cours (découverts en activité) soit les questions dun exercice avec laide des documents CABRI rétroprojetés.
Auteur :Nicolas MOREAU Collège Jean Jaurès. MÈZE
HYPERLINK "ressource03-04.doc"HYPERLINK "Triangles rectangles et cercles V2.doc" \l "somm"Accès au sommaire de la ressource
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Fiche Professeur
Programmes officiels Compétences exigibles :
Caractériser le triangle rectangle par son inscription dons un demi-cercle,
Caractériser les points d'un cercle de diamètre donné par la propriété de l'angle droit.
Commentaires :
On poursuit le travail sur la caractérisation des figures en veillant à toujours la formuler à l'aide d'énoncés séparés.Objectifs pédagogiques( Découvrir que pour un triangle rectangle, lhypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
( Découvrir que les points situés sur un cercle de diamètre donné forment un triangle rectangle.
( Démontrer les deux propriétés découvertes.
( Utiliser ces propriétés dans des exercices types.Pré requis( Savoir construire la droite perpendiculaire à une droite passant par un point.
( Symétrie centrale
( Propriétés des parallélogrammes et des rectanglesIntérêt( Aide à la démonstration grâce à linteractivité dune figure complexe.Description
des activités instrumentées
( Activité 1 : papier crayon
Cette activité a pour but de faire découvrir aux élèves le théorème dont une formulation peut-être : Le sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle est sur le cercle ayant pour diamètre l'hypoténuse.
Les élèves utilisent pour cela la règle et l'équerre et recommencent la construction autant qu'il faudra ... Ils énoncent ce qu'ils constatent et précisent de quel cercle il s'agit.
Certains élèves rencontrent des difficultés dans la réalisation de la figure. D'autres, n'ayant pas prévu une répartition convenable des points, ne devinent pas le cercle.
C'est là que l'informatique intervient. L'utilisation de la figure « Triangles et cercles Act1.fig » permet une correction de l'activité et une confirmation de la conjecture grâce au grand nombre de points M et à la précision des tracés.
( Les activités papier-crayon des fiches 1,2 et 3 (HYPERLINK \l "ficheélève"Voir la fiche élève) sont réalisés individuellement et permettent de découvrir les propriétés relatives aux triangles rectangles et cercles circonscrits. Lactivité 2 (resp 4) est analysée à laide de la figure « Triangles et cercles Act2.fig » (resp. « Triangles et cercles Act4-5.fig ») à laide de la figure en rétroprojection (Voir HYPERLINK \l "fichetechnique"fiche technique.)
( Les activités 3 et 5 des fiches 2 et 3 (HYPERLINK \l "ficheélève"Voir la fiche élève) sont des aides à la démonstration des propriétés précédemment découvertes et doivent être réalisées simultanément avec la figure en rétroprojection à laide des figure « Triangles et cercles Act3.fig » et « Triangles et cercles Act4-5.fig ». Les différentes étapes de la démonstration doivent être simplifiées par les différentes manipulation de la figure. (Voir HYPERLINK \l "fichetechnique"fiche technique.)
( Les activités 6 et 7 des fiches 4 et 5 (HYPERLINK \l "ficheélève"Voir la fiche élève) sont des exercices simples dapplications des théorèmes vues précédemment. Elles sont extraites des livrets « Matsenligne » créés par Joël Negri.
( Lactivité 8 est une aide à la démonstration pour un exercice plus difficile dapplication. Les élèves réalisent la figure et cherchent à répondre aux questions. Lutilisation de la figure« Triangles et cercles Act8.fig » en rétroprojection doit permettre aux élèves de retrouver le bon théorème à utiliser en extrayant les « figures de base » relatives aux théorèmes de la leçon.
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Scénario d'usage
Scénario :
PhaseActeurDescription de la tâcheSituationOutils et supportsDurée1lélève( émettre une conjecture sur le sommet d'un angle droit dans un triangle rectangle.individuelleFiche élève 1/6
Activité 1 10 mn2le professeur et la classe( analyse de lactivité 1collectivematériel de rétroprojection
et fichier Cabri « Triangles et cercles Act1.fig »5 mn3lélève( construction des cercles circonscrits pour 3 trianglesindividuelleFiche élève 1/6
Activité 2 10 mn4le professeur et la classe( analyse de lactivité 2collectivematériel de rétroprojection
et fichier Cabri « Triangles et cercles Act2.fig »5 mn5lélève( démonstration guidé de la propriété par étapesindividuelleFiche élève 2/6
Activité 3 10 mn6le professeur et la classe( aide à la démonstrationcollectivematériel de rétroprojection
et fichier Cabri« Triangles et cercles Act3.fig »5 mn7le professeur ( leçoncollectivetableau »5 mn8lélève( construction de triangles inscrit dans un cercle dont un des côtés est le diamètre du cercleindividuelleFiche élève 3/6
Activité 410 mn9le professeur et la classe( analyse de lactivité 4collectivematériel de rétroprojection
et fichier Cabri « Triangles et cercles Act4-5.fig »10 mn10lélève( démonstration guidé de la propriété réciproque par étapesindividuelleFiche élève 4/6
Activité 5 10 mn11le professeur et la classe( aide à la démonstrationcollectivematériel de rétroprojection
et fichier Cabri « Triangles et cercles Act4-5.fig »10 mn12le professeur ( leçoncollectivetableau »10 mn13lélève( exercices dapplication faciles :
Utilisation des théorèmesindividuelleFiches élève 4/6 et 5/6
Activités 6 et 720 mn14le professeur et la classe( apprendre à chercher et à utiliser les bons théorèmes dans une figure plus complexecollectiveFiche élève 6/6
Activité 8
matériel de rétroprojection
et fichier Cabri « Triangles et cercles Act8.fig »30 mn15lélève( Rédaction au propre des 2 propriétéstravail à la maisoncahier dexercice HYPERLINK \l "sommaire" Accès au sommaire
Triangles rectangles et cercles Fiche technique (1/2)
Nom des fichiers :Triangles et cercles Act1.fig et Triangles rectangles et cercles.docLogiciel utilisé :Cabri-géomètre IIDescription :La figure représente deux points A et B, une droite passant par A, sa perpendiculaire passant par B et leur point d'intersection M.Mode demploi :On fait varier la direction de la droite passant par A en la saisissant ailleurs qu'en A.
En utilisant l'outil Trace pour le point M, puis en changeant la direction de la droite passant par A, une trace apparaîtra pour chaque position du point M.Figure initialeExemple de figure finaleNom des fichiers :Triangles et cercles Act2.fig et Triangles rectangles et cercles.docLogiciel utilisé :Cabri-géomètre IIDescription :La figure représente un segment.Mode demploi :Sur le curseur, en déplaçant le point M, on fait apparaître, au fur et à mesure, les différents cas avec le centre du cercle à lintérieur, à lextérieur du triangle et sur lhypoténuse.Nom des fichiers :Triangles et cercles Act3.fig et Triangles rectangles et cercles.docLogiciel utilisé :Cabri-géomètre IIDescription :La figure représente un triangle ABC rectangle en A et le point I milieu de [BC].Mode demploi :Sur le curseur, en déplaçant le point M, on fait apparaître les différentes étapes de la démonstrations.
Triangles rectangles et cercles Fiche technique (2/2)Nom des fichiers :Triangles et cercles Act4-5.figLogiciel utilisé :Cabri-géomètre IIDescription :Les activités 3 et 4 sont présentes sur le même fichier.
La figure représente un cercle avec un diamètre et deux curseurs sont présents. dessous, la figure représente également un cercle avec un diamètre et un seul curseur.Mode demploi :Activité 4 :
Sur le curseur « Position du point C », en déplaçant le point C, on fait apparaître deux cas. :
- le point C est sur le cercle, il est libre sur le cercle.
- le point C est à lextérieur du cercle, il est libre et on peut le déplacer partout et même à lintérieur du cercle.
Sur le curseur « Angle de ACB », en déplaçant le point sur le segment épais, on fait apparaître la valeur de langle EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );ACB)que C soit sur le cercle ou à lextérieur.
Activité 5 :
Sur le curseur, en déplaçant le point M, on fait apparaître, au fur et à mesure, les différents étapes de la démonstrations. Les clés de la démonstration apparaissent sur la figureNom des fichiers :Triangles et cercles Act8.figLogiciel utilisé :Cabri-géomètre IIDescription :Un triangle ABC et les milieux I et J des côtés [AB] et [AC].Mode demploi :Aide pour la question 1°)
( Sur le curseur, en déplaçant le point M entre les positions 1 et 2, on fait apparaître le triangle ABH en gras et les codages.
Aide pour la question 2°)
( Points mobiles : le point J(le 2ième)permet de faire sortir le triangle ACH
( Sur le curseur, en déplaçant le point M entre les positions 2 et 3, on fait apparaître le cercle circonscrit au triangle ACH et le rayon JA.
HYPERLINK \l "sommaire" Accès au sommaire
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Fiche élève (1/6)
Objectifs : ( Découvrir la propriété qui caractérise le triangle rectangle par son inscription dans un cercle.
Activité 1. Étant donné deux points A et B, tracer une droite d1 passant par A, puis une droite 1 passant par B et perpendiculaire à d1. Marquer en rouge le point M1 intersection des droites d1 et 1. Recommencer avec d'autres droites d2, d3, ... et 2, 3, ...
On obtient ainsi les points M2, M3, &
Où sont situés tous ces points M1, M2, M3, ...?
Activité 2. Construire le cercle circonscrit à chacun des triangles ci-dessous.
1er triangle 2ième triangle 3ième triangle
Quobservez-vous ?
Formuler une conjecture sur la position du centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle :
« Si
Alors
»
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Fiche élève (2/6)
Objectifs : ( Démontrer que la propriété découverte précédemment.
Activité 3. Démonstration de cette propriété.
Tracer un triangle ABC rectangle en A.
Placer le milieu I du côté [BC].
Construire le point D symétrique de A par rapport à I.
1ère étape : Montrer que ABDC est un parallélogramme.
2ième étape : En déduire que ABDC est un rectangle.
3ième étape : Démontrer que : IA = IB = IC.
4ième étape : En déduire que le point I est le centre du cercle circonscrit à ABC.
Énoncer une propriété concernant la médiane dun triangle rectangle.
« Si
Alors
»
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Fiche élève (3/6)
Objectifs : ( Découvrir la propriété réciproque.
( Démontrer que la propriété découverte.
Activité 4. Construire, sur chaque cercle, le triangle ABC tels que : [AB] soit un diamètre du cercle et C appartient au cercle pour les 3 premiers cercle mais C est à lextérieur du cercle pour le 4ième cercle.
1er cercle 2ième cercle 3ième cercle 4ième cercle
Quobservez-vous ?
Formuler une conjecture sur la nature du triangle ABC :
« Si
Alors
»
Activité 5. Démonstration de cette propriété.
Tracer un segment [MN] et placer son milieu I. Tracer le cercle de diamètre [MN]. Placer un point P sur ce cercle distinct de M et N.
1ère étape : Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle MNP ?
2ième étape : Construire le point Q symétrique du point P par rapport a point I.
Dessin : Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère MPNQ ?
En déduire que MPNQ est un rectangle.
Justifier en citant avec précision la propriété utilisée.
3ième étape : Que peut-on conclure pour le triangle MNP ?
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Fiche élève (4/6)
Extrait du livret « Mathsenligne » de Joël Négri
Activité 6. 1°) Sans tracer les médiatrices de ces 3 triangles, construire leur cercle circonscrit :
2°) Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles suivants sont ils rectangles ?
(O est le centre du cercle).
( Oui ( Non ( Oui ( Non ( Oui ( Non ( Oui ( Non
3°) Parmi les points suivants, entourer ceux qui appartiennent au demi-cercle de diamètre [MN] sans tracer ce demi-cercle, en utilisant uniquement léquerre.
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Fiche élève (5/6)
Extrait du livret « Mathsenligne » de Joël Négri
Activité 7.
1°) Sans utiliser léquerre
a ) Construire un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 3 cm.
b ) Construire un triangle DEF rectangle en E tel que FDE EQ \d \ba13()\s\up5(^)\d \fo4() = 45°.
2°) Sans utiliser léquerre
a ) Construire un point M tel que les triangles ABM et BCM soient rectangles en M.
b ) Construire un point M tel que les triangles ABM et CDM soient rectangles en M.
c ) Construire deux points M et N tels que les triangles ABM, ABN, CDM et CDN soient rectangles.
3°) a ) Existe-t-il un point P tel que les triangles ABP, CDP et EFP soient rectangles en P ?
b ) Existe-t-il un point P tel que les triangles ABP, BCP et ACP soient rectangles en P ?
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Fiche élève (6/6)
Objectifs : ( utilisation des théorèmes
Activité 8
Énoncé :
ABC est un triangle. Les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC].
Le cercle de centre I et de rayon IA coupe la droitE (BC) au point H.
1°) Démontrer que le triangle ABH est rectangle en H.
2°) Démontrer que le point H appartient au cercle de diamètre [AC].
Figure :
1ère étape : Démontrer que le triangle ABH est rectangle en H.
2ième étape : Démontrer que le point H appartient au cercle au cercle de diamètre [AC]..
HYPERLINK \l "sommaire" Accès au sommaire
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Productions d'élèves n°1
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Productions d'élèves n°2
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Productions d'élèves n°3
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES Productions d'élèves n°4
HYPERLINK \l "sommaire" Accès au sommaire
Triangles rectangles et cercles C V
Etapedateréalisations contributeurs1Octobre 2001 Création d'une fiche élève faisant suite à la visualisation d'un fichier accompagnant le logiciel CabriUn formateur de l'équipe I.O.I. de l'IREM2Décembre 2003Compléments sur la fiche élève (rédaction d'une démonstration) et création d'un fichier d'aide à la compréhension de cette démonstrationUn stagiaire du SFoDEM3Janvier 2004Compléments sur la fiche élève (découverte de la propriété réciproque et de la démonstration) et création de deux fichiers Cabri d'aide à la compréhension de cette démonstrationUn stagiaire du SFoDEM4Février 2004Compléments sur la fiche élève (exercices types) et création dun fichier Cabri d'aide à la résolution dun exerciceUn stagiaire du SFoDEM5Mars 2004Création des fiches professeur et techniqueFormateurs et un stagiaire du SFoDEM6Avril 2004Création des fiches d'identification et scénario d'usageFormateurs et deux stagiaires du SFoDEM7Mai 2004Création de la fiche traces de travaux d'élèvesUn stagiaire du SFoDEM8Novembre 2005Création de la fiche CVUn formateur de l'équipe I.O.I. de l'IREM
HYPERLINK \l "sommaire" HYPERLINK "Triangles%20rectangles%20et%20cercles%20V2.doc"Accès au sommaire
Cette durée est donnée à titre indicatif et prévisionnel
IREM de Montpellier Page PAGE 11 DATE 05/10/2006
Groupe Intégration des outils informatiques
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Groupe Intégration des outils informatiques
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