Chapitre II: Algèbre linéaire, généralités
1°)Le vecteur v est-il combinaison linéaire des vecteurs u1, u2, u3 ? cette
combinaison linéaire est-elle unique ? .... 2°) Déterminer la matrice de fof par les
deux méthodes suivantes : ..... 2°) Montrer que est une application linéaire.
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Chapitre II: Algèbre linéaire, généralités
Familles libres, génératrices, bases, sous-espaces vectoriels
Dans R3, on considère les vecteurs :
u1 = (2, 1 , 3) u2 = (3, 5, -ð2) u3 = (-ð 5, -ð13, 12) ;
v = (-ð6, -ð17, 17) w = (1, 1, 1) 0 = (0, 0, 0).
1°)Le vecteur v est-il combinaison linéaire des vecteurs u1, u2, u3 ? cette combinaison linéaire est-elle unique ?
2°) Le vecteur w est-il combinaison linéaire des vecteurs u1, u2, u3 ?
3°) Déterminer l'ensemble des triplets (x, y, z) de nombres réels tels que :
x.u1 + y.u2 + z.u3 = 0 .
En déduire une expression de u3 en fonction de u1 et u2.
4°) Soit U = (a, b, c) un vecteur quelconque de R3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que U soit combinaison linéaire de u1, u2,u3.
Pour chacune des familles de vecteurs de R2 suivantes, dire si elle est libre, liée, génératrice, si elle est une base de R2 :
( (1, 2) , (1, -ð1) ) ;
( (1, 4) ) ;
( (0, 0) ) ;
( (1, -ð2) , (2, 3) , (1, 0) ) .
Mêmes questions pour les familles de vecteurs de R3 :
( (1, 2, 1) , (1, 0, -ð1) ) ;
( (7, 6, 9) , (1, 4, 6) , (3, 6, 2) ) ;
( (3, 6, 2) , (6, 12, -ð4) ) ;
( (2, 4, -ð6) , (-ð3, -ð6, 9) ) ;
( ( 3, 6, 2) , (1, 0, 3), (a, b, c) ) .
Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 . Soit
u = (1, 1, 1) , v = (1, -ð1, 0) , w = (-ð1, 1, -ð1) .
1°) Montrer que B' = (u,v,w) est une base de R3 .
2°) Trouver les coordonnées de e1, e2, e3 dans la base B'.
Soit E l'espace vectoriel des fonctions de R dans R. Parmi les sous-ensembles de E suivants, dire quels sont les sous-espaces vectoriels de E :
les fonctions bornées ;
les fonctions dérivables ;
les fonctions continues ;
les fonctions paires ;
les fonctions monotones ;
les foncions positives .
Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces vectoriels de R3 suivants :
F1 = { (x, y, z) ; 2x + y z = 0}
F2 = { (x, y, z) ; 2x = 0 ; 3y z = 0 }
F3 = { (x, y, z) ; x z = 0 ; 3y z = 0 }
F4 = { (x, y, z) ; -ðx y + z = 0 ; 2x + y 5z = 0}
F5 = { (x, y, z) ; 2x 3z = 4y 5x }
F6 = { (x, y, z) ; -ðx +2y = y +6z = 3z 2x } .
Soit E l'espace vectoriel des suites numériques. Montrer que
F = { (un) ; (n ( N un+2 = 3un+1 + 4un } est un sous espace vectoriel de E.
Résoudre le système linéaire :
EMBED Equation.3
On discutera suivant la valeur de EMBED Equation.3 . On montrera qu'il existe deux valeurs de EMBED Equation.3 pour lesquelles l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel non réduit au vecteur nul. On explicitera une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels.
Applications linéaires, matrices, images, noyau
Soit f l'endomorphisme de R3 défini par :
f( (x, y, z) ) = (z + y x, x + z y, x + y z)
1°) Ecrire la matrice A de f dans la base canonique B de R3.
2°) Déterminer la matrice de fof par les deux méthodes suivantes :
a) en calculant les images par fof des vecteurs de la base canonique ;
b) en calculant le produit AxA.
3°) En déduire fof(x, y, z) pour tout (x, y, z) dans R3.
Dans l'espace vectoriel R2, on considère les vecteurs suivants :
u = (1, 1) ; v = (1, -ð1) .
1°) Montrer que B' = (u, v) est une base de R2.
2°) Soit f un endomorphisme de R2 vérifiant f(u ) = (2, 3) et f(v) = (4,5) . Expliquer pourquoi f est bien défini.
3°) Soit (x, y) un vecteur de R2. Déterminer en fonction de x et y les réels a et b tels que (x, y) = a.u + b.v . En déduire la matrice A' de f dans la base B'. Calculer f(2u+3v).
4°) Soit B = (e1, e2) la base canonique de R2. Montrer que e1 = EMBED Equation.3 (u+v) , e2 = EMBED Equation.3 (uv).En déduire f(e1) et f(e2), puis la matrice A de f dans la base canonique B. Calculer f(x,y) pour (x,y) quelconque dans R2.
Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique (e1, e2, e3) de R3 est :
EMBED Equation.3 .
1°) Déterminer une base et la dimension de Ker(f) et de Im(f).
2°) On pose
v1 = e1 e2 v2 = e1 + e3 v3 = e2 e3 .
Montrer que (v1, v2, v3) est une base de R3. Déterminer la matrice de f dans cette nouvelle base.
Soit l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est :
M = EMBED Equation.3
Déterminer une base et la dimension de Ker(f) et de Im(f).
Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est :
M = EMBED Equation.3
Déterminer Ker(f). En déduire que f est un isomorphisme de R3.
Déterminer Im(f). Trouver la matrice de f -ð1 dans la base canonique de R3.
Dans l'espace vectoriel R3 muni de sa base canonique B = (e1, e2, e3), on considère les trois vecteurs :
f1 = (1, 1, 1) f2 = (1, 1, -ð1) f3 = (1, -ð1, 1).
1°) Montrer que C = (f1, f2, f3) est une base de R3.
2°) On considère u l'endomorphisme de R3 défini par les relations :
u(e1) = f1 u(e2) = f2 u(e3) = f3.
a) Expliciter la matrice M de u dans la base canonique B.
b) Montrer que u est bijective.
3°) Déterminer la matrice de u2 = uou dans la base B. Montrer que cette matrice est combinaison linéaire de M et I. En déduire une relation entre u, u2 et id. Déterminer la matrice de u-ð1, bijection réciproque de u.
15. On considère l'espace vectoriel R3 muni de sa base canonique B = (e1, e2, e3). Soit
C = (u1, u2, u3), avec :
u1 = (1, -ð2, 2) u2 = (0, 3, -ð2) u3 = (0, 4, -ð3) .
1°) Montrer que C est une base de R3.
2°) Soit f l'endomorphisme de R3 défini par :
f(e1 ) = u1 f(e2 ) = u2 f(e3 ) = u3 .
Expliciter la matrice A de f dans la bas canonique B. Montrer que f est bijective.
3°) Déterminer la matrice de f 2 dans la base B. En déduire la matrice A-ð1.
4°) Résoudre le système linéaire :
EMBED Equation.3
On discutera suivant la valeur de EMBED Equation.3 . On montrera qu'il existe deux valeurs de EMBED Equation.3 pour lesquelles l'ensemble de solutions est un sous-espace vectoriel non réduit au vecteur nul. On explicitera une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels.
5°) Soit D = (v1, v2, v3), avec :
v1 = (0, 1, -ð1) ; v2 = (1, -ð1, 1) ; v3 = (1, 1, 0) .
Montrer que D est une base de R3. Déterminer la matrice de f dans la base D.
Inverse d'une matrice, puissance n-ième d'une matrice
Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est inversible ou non. Dans le cas où la matrice est inversible, calculer son inverse :
A = EMBED Equation.3 ; B = EMBED Equation.3 ; C = EMBED Equation.3 ; D = EMBED Equation.3 ;
D = EMBED Equation.3 ; E = EMBED Equation.3
Du résultat concernant la matrice E, déduire la solution du système linéaire suivant :
EMBED Equation.3
Pour chacune des questions ci-dessous, A est une matrice vérifiant la relation donnée. Dire dans chaque cas si A est inversible ou non. Si A est inversible, exprimer A-1 en fonction de A et I. (On supposera au besoin que A est une matrice non scalaire, c'est à dire qu'elle n'est pas égale à k.I, où k est un nombre réel.)
1°) A2 5A + 6I = 0 2°) A3 + 2A = I 3°) A2 = -ðA
4°) (A I).(A +2I) = 0 5°) (A I).(A +2I) = -ð2I; 6°) A3 = 0; 7°) A3 = I.
Soit A et B les matrices :
A = EMBED Equation.3 B = EMBED Equation.3 .
1°) Calculer B2, puis Bn, pour tout entier n supérieur ou égal à 2.
2°) Exprimer A comme combinaison linéaire de B et de I, et en déduire l'expression deAn pour tout n supérieur ou égal à 1 (attention à la justification).
On considère la matrice : M = EMBED Equation.3 .
1°) Calculer A = EMBED Equation.3 .(M I), puis A2.
2°) Montrer qu'il existe une suite de nombres (un) telle que :
(n ( N Mn = I + un.A
3°) Calculer un, puis Mn, pour tout n dans N.
On donne les matrices : I = EMBED Equation.3 , J = EMBED Equation.3 .
1°) Calculer J2 et J3. En déduire Jk, k entier supérieur ou égal à 3.
2°) On pose T = 2I + J. Donner pour tout n dans N l'expression de Tn.
On considère les suites (un) et (vn) définies par leurs premiers termes u0, v0 et par les relations de récurrence : (n ( N)
EMBED Equation.3
1°) Montrer qu'il existe une matrice A telle que pour tout n dans N :
EMBED Equation.3 .
2°) En déduire que, pour tout n dans N :
EMBED Equation.3 .
3°) Calculer An en écrivant A = 5I + J, où J est une matrice à déterminer, puis en calculant J2.
4°) Pour tout n dans N, exprimer un et vn en fonction de n, u0, v0.
On considère la suite (un) définie par ses deux premiers termes u0, v0 et pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : (1) un = un-ð1 + 2un-ð2 .
1°) Montrer que la suite (xn) définie par : xn = un + un-ð1 est géométrique. En déduire l'expression de xn en fonction de u0, u1, n.
2°) Montrer que la suite (yn) définie par : yn = un -ð 2un-ð1 est géométrique. En déduire l'expression de yn en fonction de u0, u1, n.
3°) Soit la matrice : A = EMBED Equation.3 . Montrer que pour tout n dans N:
An = EMBED Equation.3 , pour des suites (an) et (bn) qui vérifient (1).
4°) En déduire les valeurs de an, bn, puis l'expression de An.
Soit la matrice M = EMBED Equation.3 .
1°) Vérifier : (M I).(M +3I) = 0. En déduire que M est inversible et calculer son inverse.
2°) Exprimer M2 en fonction de M et I. Montrer par récurrence que pour tout M dans N : Mn = un.M + vn.I, où (un) et (vn) sont deux suites vérifiant : u0 = 0, v0 = 1, et , pour tout n dans N :
EMBED Equation.3
3°) Soit sn = un + vn. Montrer que (sn) est une suite constante. En déduire que (un) est une suite arithméticogéométrique. Calculer un en fonction de n.
4°) Exprimer vn, puis Mn, en fonction de n.
Soit A = EMBED Equation.3 et M = EMBED Equation.3 .
1°) Calculer A2 ; montrer que A est inversible et calculer son inverse.
2°) Montrer que M est combinaison linéaire de A et I.
3°) Montrer qu'il existe deux suites (un) et (vn) telles que l'on ait , pour tout n dans N :
Mn = un.I + vn.A .
Que valent u0, u1, v0, v1 ? Trouver les relations de récurrence vérifiées par (un), (vn).
4°) Montrer que (xn) et (yn) définies par :
EMBED Equation.3
sont deux suites géométriques dont on précisera le premier terme et la raison.
5°) En déduire les expressions de xn, yn, puis de un, vn en fonction de n.
6°) Ecrire la matrice Mn en fonction de n.
7°) Utiliser ce qui précède pour trouver en fonction de n l'expression des suites (an),
(bn), (cn) définies par les relations : EMBED Equation.3 et, (n ( N : EMBED Equation.3 .
On considère les matrices M = EMBED Equation.3 et I = EMBED Equation.3 .
1°) Calculer la matrice M2.
2°) Montrer qu'il existe trois nombres réels non tous nuls a, b, c tels que la matrice
a.M2 + b.M + cI soit la matrice nulle.
3°) Plus généralement, montrer qu'il existe trois nombres réels non tous nuls et indépendants de l'entier n tels que, pour certaines valeurs de n que l'on précisera, la matrice a.Mn + b.Mn-ð1 + c.Mn-ð2 soit la matrice nulle.
4°) Soit Mn = EMBED Equation.3 . Montrer que les quatre suites (an), (bn), (cn), (dn) sont solutions d'une même équation linéaire du type : un = x.un-ð1 + y.un-ð2.
5°) Résoudre cette équation ; On explicitera un en fonction de u0, u1.
6°) Calculer les coefficients de la matrice Mn. Quelles sont les limites de ces coefficients lorsque n tend vers +( ?
(edhec 96, exercice 2, partie 1 ; voir chapitre VIII) On considère les matrices :
I = EMBED Equation.3 , J = EMBED Equation.3 et M = EMBED Equation.3 .
1°) Exprimer J2, puis pour tout entier n supérieur ou égal à 2,Jn en fonction de J.
2°) En déduire que, pour tout entier naturel n : Mn = EMBED Equation.3
(extrait de ecricome 2001 ; voir chapitre VIII) Calcul des puissances successives de la matrice :
M(a) = EMBED Equation.3 où a représente un nombre réel.
Montrer que pour tous réels a, b, on a : M(a).M(b) = M(a + b -ð 3ab).
En déduire les valeurs de a pour lesquelles la matrice M(a) est inversible et exprimer son inverse.
Déterminer le réel a0 non nul tel que [M(a0)]2 = M(a0).
On considère les matrices : P = M(a0) et Q = I P, où I désigne la matrice carrée unité dordre 3. a) Montrer quil existe un réel (, que lon exprimera en fonction de a, tel que : M(a) = P + ( Q. b) Calculer P2, PQ, QP, Q2. c) Pour tout entier naturel n non nul, montrer que [M(a)]n sécrit comme combinaison linéaire de P et de Q. d) Expliciter alors la matrice [M(a)]n.
(extrait de escl 2002 ; voir chapitre V) On considère les deux matrices carrées réelles d'ordre quatre suivantes :
EMBED Equation.3
1°) a) Calculer K2.
b) En déduire que la matrice K est inversible et déterminer K(1.
2°) Soient a et b deux nombres réels. On note M la matrice définie par M = aI + bK.
Montrer : M2 = ((a2 + b2)I + 2aM.
b) En déduire que, si (a, b) ( (0, 0), alors la matrice M est inversible, et exprimer son inverse comme combinaison linéaire de I et M.
c) Application : donner l'inverse de la matrice
EMBED Equation.3
(extrait de eml 2003 ; voir chapitre V) On note M3(R) lensemble des matrices réelles dordre 3 et on considère les matrices suivantes de M3(R) :
EMBED Equation.3
Calculer A² et A3, puis vérifier : A3 = A² + 2A.
Montrer que la famille (A, A²) est libre dans M3(R) .
Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un couple unique (an,bn) de nombres réels tel que : An= anA+bnA², et exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.
Ecrire un programme, en Pascal, qui calcule et affiche an et bn pour un entier n donné supérieur ou égal à 1.
a. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
an+2 = an+1 + 2an.
b. En déduire an et bn en fonction de n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
c. Donner lexpression de An en fonction de A, A², n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
D'autres espaces vectoriels
Soit E = {(un)n(N ; (n ( N un+2 = 2un+1 + 3un} et ( : E ( R2
(un) ( (u0,u1)
1°) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de RN, espace vectoriel des suites numériques.
2°) Montrer que ( est une application linéaire. Déterminer ker(().
Montrer que Im(() = R2. Montrer que ( est un isomorphisme.
3°) Déterminer r1, r2 ( R tels que les suites (r1n), (r2n) constituent une famille libre de E. En déduire l'expression générale de un en fonction de n, pour (un) ( E.
Soit R2[x] l'ensemble des polynômes sur R, de degré inférieur ou égal à 2.
1°) Montrer que R2[x] est un espace vectoriel sur R.
2°) Soit P ( R2[x] . Montrer que P + P' ( R2[x] (P' désigne le polynôme dérivé de P).
3°) Soit ( : R2[x] ( R2[x] P ( P + P'.
a) Montrer que ( est un endomorphisme de R2[x].
b) Déterminer ker((). En déduire que ( est un automorphisme de R2[x].
c) Déterminer la matrice M de ( dans la base canoique de R2[x]. Calculer M-ð1. En déduire la solution polynômiale de l'équation P + P' = X2 + X + 1.
Rn[x] désigne l'espace vectoriel de polynômes de degré n à coefficients réels.
1°) Soit Q0 le polynôme définie par Q0(x) = x+1. Montrer que si P est un polynôme deRn[x] , alors P o Q0 est un élément de Rn[x].
Expliciter P o Q0 si P(x) = x2, si P(x) = 2x +3.
2°) Montrer que ( : Rn[x] ( Rn[x
P ( Q tel que Q = P o Q0
est un endomorphisme de Rn[x] . Calculer ((2x + 3), ((x2).
3°) Déterminer les images par ( des vecteurs 1, x, x2, ... , xn de la base canonique de Rn[x] .
4°) Soit ( : Rn[x] ( Rn[x]
P ( P o Q1 avec Q1(x) = x -ð 1.
Montrer que ( est bien un endomorphisme de Rn[x].
Calculer ( o ( , ( o (.
5°) En déduire que le tableau de Pascal d'ordre n est une matrice inversible et déterminer son inverse ! Expliciter avec n = 5.
(escl 92 og) On considère les deux matrices à coefficients réels
A = EMBED Equation.3 B = EMBED Equation.3 .
Pour a, b réels, on pose Ma,b = a A + b B. On note E l'ensemble des matrices Ma,b, c'est-à-dire : E = {Ma,b ; (a,b) ( R2}.
1°) Montrer que E est un espace vectoriel sur R. Quelle est sa dimension ?
2°) Exprimer en fonction de A et B les matrices suivntes : A2, AB, BA, B2.
3°) Est-ce que le produit de deux matrice de E appartient à E ?
Ce produit est-il commutatif ?
(escl 94 og) R[X] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. On note E le sous -espace vectoriel de R[X] formé des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. On note B la base canonique de E : E = (1, X, X2, X3). On définit les polynômes suivants :
P0(X) = EMBED Equation.3 (X -ð 1)(X -ð 2)(X -ð 3)
P1(X) = EMBED Equation.3 X(X -ð 2)(X -ð 3)
P2(X) = EMBED Equation.3 X(X -ð 1)(X -ð 3)
P3(X) = EMBED Equation.3 X(X -ð 1)(X -ð 2)
Pour tous entiers i et j compris entre 0 et 3, calculer Pi(j).
Démontrer que la famille C = (P0(X), P1(X), P2(X), P3(X)) est une base de E.
Donner la matrice de passage de B à C. On note M cette matrice.
Calculer M-ð1 par la méthode du pivot de Gauss. Le détail des calculs devra figurer sur la copie.
(esc 97 os)
On considère l'ensemble E = EMBED Equation.3 .
Montrer que E est un espace vectoriel réel ; en donner une base et la dimension.
Expliquer pourquoi tout élément de E est diagonalisable.
(essec 98 math 3) On désigne par Pn l'espace vectoriel des fonctions-polynômes de degré inférieur ou égal à n. Celui-ci est rapporté à sa base canonique (e0, e1, ... , en), définie par
e0(x) = 1 , e1(x) = x, ... , en(x) = xn.
1°) Etude d'un endomorphisme de l'espace vectoriel Pn. On désigne par a un nombre entier fixé, et on définit, pour toute fonction-polynôme appartenant à Pn, la fonction Ta P définie par :
Ta P(x) = P(x + a).
a) Prouver que Ta P est élément de Pn, et prouver la linéarité de l'application Ta associant à toute fonction P appartenant à Pn la fonction Ta P appartenant à Pn.
b) Déteminer la matrice Ma de l'endomorphisme Ta dans la base canonique de Pn, et prouver l'inversibilité de Ma et de Ta.
c) Déteminer, pour a ( 0, la (ou les) valeurs(s) propre(s) ( de Ta et les fonctions-polynômes P associées (qui vérifient donc Ta P (x) = (VZÖæèê* , L N b d n r x z ¨ ª ° ²
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