Illustration de cours en TS
Théorème des valeurs intermédiaires. Tangentes. Méthode d'Euler et fonction
exponentielle. Thèmes prévus : Fonction dérivée. Fonction logarithme népérien.
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pédagogiques, seront donnés pour chaque séance, sous forme de mini fiches.
Thèmes proposés à ce jour :
Suite récurrente : construction point à point.
Asymptote oblique.
Théorème des valeurs intermédiaires.
Tangentes.
Méthode dEuler et fonction exponentielle.
Thèmes prévus :
Fonction dérivée.
Fonction logarithme népérien.
Calcul intégral.
Volume dune pyramide.
Suites récurrentes : construction point à point
GéoplanW 2.0.
PLACE DANS LA PROGRESSION
Pendant le cours sur les suites récurrentes
FICHIERS INFORMATIQUES
Suitrecu_0.g2w
Suitrecu_1.g2w
Suitrecu_2.g2w
Suitrecu_3.g2wOBJECTIFS GÉNÉRAUX
Avec le logiciel GéoplanW, il sagit dillustrer la construction géométrique dune suite dont le terme général vérifie : un+1 = f (un) avec u0 réel que lon peut choisir arbitrairement.
Plusieurs fonctions f sont proposées.
EXPÉRIMENTATIONS
Dirigée par : Bernard ERRE Dates : 2003/2004 Classe de : TS (30 élèves)
Technique : le couple vidéo projecteur ordinateur est installé en classe. Aucun matériel spécifique nest demandé aux élèves. Les fichiers utiles ont été chargés au préalable dans lordinateur et la vérification des compatibilités a été faite (paramètres daffichage, lisibilité,
.).
Il est fortement conseillé de projeter sur un support où lon puisse écrire : tableau noir (craie) ou blanc (feutres).
Aucune maîtrise particulière du logiciel nest exigée.
Déroulement :
Projection du fichier suitrecu_0.g2w
f fonction: x|->3/(x+2)
Limage suivante se projettera globalement.
Il est suggéré daller dans le menu « Divers / Historique » et deffectuer des clics successifs sur OK.
La figure se construira point à point. Vous pouvez ajouter à la main sur limage des noms de points, non dessinés pour alléger la figure.
Avec les touches fléchées droite gauche, vous modifiez la valeur de u0 .
Faire observer une convergence. Proposer létude papier crayon de la limite.
Projection du fichier suitrecu_1.g2w
f fonction: x|->rac(x)
Mêmes suggestions que précédemment.
Projection du fichier suitrecu_2.g2w f fonction: x|->x/x+2
ATTENTION : il y a un point de discontinuité donc débat en classe, prévoir du temps !
Mêmes suggestions que précédemment.
Remarque : Avec le texte de la figure, il est très facile de modifier la fonction f définissant la suite. Voici un extrait de ce texte : il suffit de remplacer les points par lécriture dune fonction (en respectant la syntaxe de GéoplanW bien sûr !) et de ne pas oublier de faire exécuter avant de fermer le texte de la figure.
f fonction: x|->
.
Une autre possibilité consiste à utiliser la combinaison de touches Ctrl + M qui ouvre la fenêtre de modification de GéoplanW. Demandez à modifier f.
Projection du fichier suitrecu_3.g2w f fonction: x|->a*x
Il sagit dune autre illustration de cours, celle de la construction des suites géométriques. q est un paramètre modifiable à la souris correspondant à labscisse de M sur le segment [AB]. Nous avons limité q à lintervalle [0 ; 2], lessentiel se situant autour de 1 !
Avec les touches fléchées droite gauche, vous modifiez la valeur de u0 .
Avec la souris vous déplacez le point M et donc modifiez la valeur du coefficient q.
Cela pour aboutir à une discussion (illustrée) de la convergence divergence suivant les valeurs de q, raison de la suite géométrique, indépendamment de la valeur de u0 ( 0.
Mêmes suggestions précédemment sinon.
Devoir maison ou en travaux pratiques : Suites de type Un + 1 = f(Un) :
Représentation graphique dune telle suite :
Description de la méthode :
Traçons, dans un repère orthonormal, la courbe C représentant la fonction f .
Le réel U0 étant donné, nous obtenons U1 = f(U0) comme ordonnée du point de C d'abscisse U0 ; soit A0 ce point. Nous plaçons U1 sur l'axe des abscisses en utilisant la droite ( d'équation y = x ; le point d'intersection de ( et de la droite horizontale d'équation y = U1 a pour abscisse U1 .
Ayant ainsi placé U1 sur l'axe des abscisses, nous pouvons obtenir U2 comme ordonnée du point A1 de C d'abscisse U1.
Nous reportons alors U2 sur l'axe des abscisses, et nous continuons.
Applications : Représentez graphiquement chacune des suites (Un ) définies par :
U0 = 0 et Un + 1 = 2 Un + 1 ;
U0 = 1 et Un + 1 = EMBED Equation.3 + 1 ;
U0 = 1 et Un + 1 = EMBED Equation.3 ;
Utilisez ces représentations graphiques pour conjecturer le sens de variation de chacune de ces suites.
Remarque : On ne peut pas toujours définir une suite (Un ) en se donnant un nombre U0 ,une fonction f, et en posant : Un + 1 = f(Un).
Exemple : On choisit U0 = EMBED Equation.3 et la fonction f : x EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; Peut-on calculer Un + 1 = f(Un) pour tout n ?
Avec cette même fonction f , choisissez une valeur de U0 telle que le calcul de Un + 1 = f(Un) soit toujours possible.
Asymptote oblique
GéoplanW 2.0.
PLACE DANS LA PROGRESSION
Pendant le cours sur les fonctions, étude locale
FICHIERS INFORMATIQUES
as_ob_0.g2w
as_ob_1.g2wOBJECTIFS GÉNÉRAUX
Donner du sens à la notion dasymptote oblique par une projection dynamique.
Trois situations différentes sont proposées sur le fichier as_ob_0.g2w
Le fichier as_ob_1.g2w est un fichier de travail à modifier suivant vos objectifs.
EXPÉRIMENTATIONS
Dirigée par : Bernard ERRE Dates : 2003/2004 Classe de : TS (30 élèves)
Technique : le couple vidéo projecteur ordinateur est installé en classe. Aucun matériel spécifique nest demandé aux élèves. Les fichiers utiles ont été chargés au préalable dans lordinateur et la vérification des compatibilités a été faite (paramètres daffichage, lisibilité,
.).
Il est fortement conseillé de projeter sur un support où lon puisse écrire : tableau noir (craie) ou blanc (feutres).
Aucune maîtrise particulière du logiciel nest exigée.
Déroulement :
Projection du fichier as_ob_0.g2w
Limage suivante (situation 1) se projettera :
Labscisse du point M, noté x, est modifiable par les touches fléchées droite gauche du clavier.
Vous changez de situation par les touches 1 , 2 ou 3.
Léquation de lasymptote oblique, dans les trois situations, est : y = 0,5 x + 1
La fonction f est déquation :
Situation n°1 : y = 0,5 x + 1 + EMBED Equation.DSMT4
Situation n°2 : y = 0,5 x + 1+ EMBED Equation.DSMT4
Situation n°3 : y = 0,5 x + 1 + sin(((x)
Liste des commandes spécifiques :
Touche R : dessin dun nouveau repère où le point D a pour coordonnées (x ; MN).
Touche T : sélectionne la trace du point D.
Touche S : sort de la trace précédente.
Fichier as_ob_1.g2w
Il nest pas destiné à être projeté en classe. Cest un fichier de travail pour lenseignant, à modifier suivant ses objectifs.
Théorème des valeurs intermédiaires
GéoplanW 2.0.
PLACE DANS LA PROGRESSION
Pendant le cours sur les fonctions, préalable à la dérivation.
FICHIERS INFORMATIQUES
TVI.g2w
OBJECTIFS GÉNÉRAUX
Donner du sens à la notion de continuité par une vidéo projection dynamique.
Créer un débat autour du théorème des valeurs intermédiaires. La situation 4 aborde la logique.
EXPÉRIMENTATIONS
Dirigée par : Bernard ERRE Dates : 2003/2004 Classe de : TS (30 élèves)
Technique : le couple vidéo projecteur ordinateur est installé en classe. Aucun matériel spécifique nest demandé aux élèves. Le fichier TVI.g2w a été chargé au préalable dans lordinateur et la vérification des compatibilités a été faite (paramètres daffichage, lisibilité,
.).
Il est fortement conseillé de projeter sur un support où lon puisse écrire : tableau noir (craie) ou blanc (feutres).
Aucune maîtrise particulière du logiciel nest exigée.
Déroulement :
Projection du fichier TVI.g2w
Limage suivante (situation 2) se projettera globalement :
Le point m est pilotable par les touches fléchées droite gauche du clavier.
Vous changez de situation par les touches 1 , 2 , 3 ou 4.
La touche D permet dafficher la solution double dans la situation 2.
Les situations 3 et 4 permettent de faire un peu de logique en classe : la continuité implique lexistence mais la non continuité nimplique pas la non existence, ce que montre la situation 4.
Tangentes
GéoplanW 2.0.
PLACE DANS LA PROGRESSION
Pendant le cours sur les fonctions, chapitre sur la dérivation.
FICHIERS INFORMATIQUES
tangente.g2w
OBJECTIFS GÉNÉRAUX
Revoir la notion de sécante à une courbe.
Revoir la notion de tangente.
Justifier que la tangente à lorigine de la fonction racine carrée est verticale.
EXPÉRIMENTATIONS
Dirigée par : Bernard ERRE Dates : 2003/2004 Classe de : TS (30 élèves)
Technique : le couple vidéo projecteur ordinateur est installé en classe. Aucun matériel spécifique nest demandé aux élèves. Le fichier tangente.g2w a été chargé au préalable dans lordinateur et la vérification des compatibilités a été faite (paramètres daffichage, lisibilité,
.).
Il est fortement conseillé de projeter sur un support où lon puisse écrire : tableau noir (craie) ou blanc (feutres).
Aucune maîtrise particulière du logiciel nest exigée, mais il y a, liées à la figure, un assez grand nombre de commandes. Nous vous conseillons de les avoir sous les yeux pendant la projection (imprimer une petite fiche par exemple). Elles sont résumées ci-dessous.
Déroulement :
Projection du fichier tangente.g2w
Limage suivante (situation 3) se projettera globalement :
Liste des commandes liées au fichier :
Touche 1 : Projette la situation 1 avec sur [0 ; 1] la fonction f1(x) = x2 .
Touche 2 : Projette la situation 2 avec sur [0 ; 1] la fonction f2(x) = x .
Touche 3 : Projette la situation 3 avec sur [0 ; 1] la fonction f2(x) = rac(x).
Touche A : Pilote au clavier (touches fléchées) le point A par son abscisse a.
Touche H : Pilote au clavier (touches fléchées) le point M par son abscisse a +h.
Touche R : Zoom sur le point A, de rapport 2.
Touche E : Zoom sur le point A, de rapport 0.5.
Touche D : Revient à la position de départ (position de Roxy mémorisée).
Touche S : Dessin en bloc de la sécante (cest une bascule).
Touche T : Dessin de la tangente.
Touche W : Affichage de EMBED Equation.DSMT4 sa valeur avec 4 décimales (cest une bascule).
Voici une proposition de séance devant les élèves :
Le problème : comment se comporte la fonction racine carrée à lorigine ?
La projection commence par la situation 3.
Questionnement : que se passe-t-il précisément dans le carré oIBJ ? Comment être sûr que la courbe a cette allure (même avec des zooms très puissants) et non pas celle-là (situation 2) ou encore celle-ci (situation 1) ? Revenir à la situation 3.
Pour tenter dy répondre, nous allons approcher la courbe C représentative de cette fonction par une droite puisque nous connaissons facilement lallure dune droite avec son coefficient directeur.
Soit A un point de la courbe dabscisse a.
h étant un réel de lintervalle [-2 ; 2], soit M un point de la courbe dabscisse a + h.
Calculer le coefficient directeur de la droite (AM).
Touche S.
Calculer la limite de ce coefficient directeur lorsque h tend vers 0 ?
Touche H pour piloter M au clavier avec les touches fléchées droite gauche.
Touche T pour h = 0 et affichage de la tangente.
Que devient alors la droite (AM) quand h tend vers 0 ?
Laisser h = 0 et laffichage de la tangente.
Toujours avec h = 0, calculer la limite de ce coefficient directeur lorsque a tend vers 0.
Quelle est la position de cette droite (AM) quand A tend vers O lorigine du repère ?
Touche A pour piloter le point A vers O avec les touches fléchées droite gauche.
Observation du rapport (f(a+h) f(a)) / h.
Cette observation graphique est-elle en accord avec les calculs ?
Projection de la situation 2 et même question que précédemment.
Projection de la situation 1 et même question que précédemment.
Conclusion : à lorigine, sur son domaine de définition (x ( 0), la fonction racine carrée admet une tangente verticale. Cette fonction nest donc pas dérivable en 0 (à droite).
Méthode dEuler et fonction exponentielle
GéoplanW 2.0.
PLACE DANS LA PROGRESSION
Pendant le cours dintroduction à la fonction.
FICHIERS INFORMATIQUES
Introduction à la fonction exponentielle.doc
Lancers de dés.xls
Euler_1.g2w
Euler_2.g2wOBJECTIFS GÉNÉRAUX
Revoir la méthode dEuler de première S avec une fonction dont on connaît la dérivée.
Construire une représentation graphique de la fonction vérifiant y = y et y(0) = 1.
EXPÉRIMENTATIONS
Dirigée par : Bernard ERRE Dates : 2003/2004 Classe de : TS (30 élèves)
Technique : le couple vidéo projecteur ordinateur est installé en classe. Aucun matériel spécifique nest demandé aux élèves. Les fichiers utiles ont été chargés au préalable dans lordinateur et la vérification des compatibilités a été faite (paramètres daffichage, lisibilité,
.).
Il est fortement conseillé de projeter sur un support où lon puisse écrire : tableau noir (craie) ou blanc (feutres).
Aucune maîtrise particulière du logiciel nest exigée.
Déroulement :
Nous avons fait le choix de létude de la désintégration dun noyau radioactif pour introduire la fonction exponentielle. Après létude du point de vue du physicien, nous avons abordé la partie modélisation par lancers de dés. Ces activités ont été faîtes en classe, en dehors de tout système informatique. Nous vous les proposons dans le fichier Word intitulé « Introduction à la fonction exponentielle.doc ».
Première étape : Les élèves ont les consignes des paragraphes 5.1. et 5.2. de ce document Word.
Ils déterminent les équations des tangentes et les coordonnées des points.
En guise de correction, étape par étape, il est prévu la vidéo projection du fichier : EULER_1.g2w
Projection du fichier : EULER_1.g2w
La fonction utilisée est celle définie par : y = 0,5 ( (x-1)2 + 0,875.
Appuyer 15 fois sur la touche C au fur et à mesure de lavancement des travaux des élèves.
Pour contrôle, nous avons ajouté laffichage des coordonnées des points M1, M2, M3.
Un seizième appui fera apparaître la courbe C représentative de la fonction cherchée.
Un dix-septième appui réinitialise la figure : remise à zéro.
Limage suivante se projettera petit à petit :
Vous pouvez modifier la position du point A : appui sur la touche A et pilotage au clavier, touches fléchées.
Vous pouvez modifier le pas h : appui sur la touche H et pilotage au clavier, touches fléchées.
Liste des commandes de la figure Euler_1.g2w :
Touche A : sélection de a pour pilotage au clavier.
Touche H : sélection de h pour pilotage au clavier
Touche C : dessin par étapes.
Touche Z : position mémorisée de Roxy
Touche G : zoom sur le point A0, rapport 2
Touche R : zoom sur le point A0, rapport 0.5
Deuxième étape : Les élèves ont maintenant la consigne du paragraphe 6. du document Word.
Ils doivent construire, par la méthode dEuler, une représentation graphique de la fonction qui, plus tard, sera nommée fonction exponentielle.
En guise de correction, étape par étape, il est prévu la vidéo projection du fichier : EULER_2.g2w
Projection du fichier : EULER_2.g2w
Appuyer 23 fois sur la touche C au fur et à mesure de lavancement des travaux des élèves.
Pour contrôle, nous avons ajouté laffichage des coordonnées des points M1, M2, M3, M4 et M5.
Un vingt-quatrième appui fera apparaître la courbe C représentative de la fonction cherchée.
Un vingt-cinquième appui réinitialise la figure : remise à zéro.
Limage suivante se projettera petit à petit :
Liste des commandes de la figure Euler_2.g2w :
Touche C : dessin par étapes.
Touche A : zoom sur le point A0, rapport 2
Touche R : zoom sur le point A0, rapport 0.5
Touche Z : position mémorisée de Roxy
Fin de la séance.
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