Exercices TS - Exercices corriges

Prérequis : on rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme où est un nombre complexe non nul et est un nombre complexe.

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Terminale C

Exercices spécialité géométrie

TOC \o "1-5" \h \z HYPERLINK \l "_Toc302308436" 1. Démonstrations PAGEREF _Toc302308436 \h 1
HYPERLINK \l "_Toc302308437" 1-a : Toute similitude de rapport k (>0) est la composée dune homothétie de rapport k et dune isométrie PAGEREF _Toc302308437 \h 1
HYPERLINK \l "_Toc302308438" 1-b : Les isométries du plan sont les transformations EMBED Equation.DSMT4 ou EMBED Equation.DSMT4 PAGEREF _Toc302308438 \h 2
HYPERLINK \l "_Toc302308439" 1-c : Caractérisation complexe dune similitude PAGEREF _Toc302308439 \h 2
HYPERLINK \l "_Toc302308440" 1-d : Propriétés des similitudes PAGEREF _Toc302308440 \h 2
HYPERLINK \l "_Toc302308441" 1-e : Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit lidentité, soit une symétrie axiale PAGEREF _Toc302308441 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc302308442" 1-f : Forme réduite dune similitude directe PAGEREF _Toc302308442 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc302308443" 1-g : Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A, B tels que A EMBED Equation.DSMT4 B et A EMBED Equation.DSMT4 B, il existe une unique similitude directe transformant A en A et B en B ». PAGEREF _Toc302308443 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc302308444" 1. 1. Exercice PAGEREF _Toc302308444 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc302308445" 1. 2. Exercice PAGEREF _Toc302308445 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc302308446" 2. Exercices PAGEREF _Toc302308446 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc302308447" 2. 3. Similitude + ROC, La Réunion 2010 PAGEREF _Toc302308447 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc302308448" 2. 4. Translation et rotation, France 2010 PAGEREF _Toc302308448 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc302308449" 2. 5. Similitudes, Centres étrangers 2010 PAGEREF _Toc302308449 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc302308450" 2. 6. Similitude, Asie 2010 PAGEREF _Toc302308450 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc302308451" 2. 7. Similitude + ROC, Antilles 2010 PAGEREF _Toc302308451 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc302308452" 2. 8. Similitude, Amérique du Sud 2009 PAGEREF _Toc302308452 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc302308453" 2. 9. Similitude+Suite, Pondicherry 2009 PAGEREF _Toc302308453 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc302308454" 2. 10. ROC + Similitude, Polynésie 2009 PAGEREF _Toc302308454 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc302308455" 2. 11. Similitudes, N. Calédonie nov 2008 PAGEREF _Toc302308455 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc302308456" 2. 12. Spirale+arith, Antilles sept 2008 PAGEREF _Toc302308456 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc302308457" 2. 13. Spirale+arith, France et La Réunion sept 2008 PAGEREF _Toc302308457 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc302308458" 2. 14. Similitude indirecte, La Réunion, juin 2008 PAGEREF _Toc302308458 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc302308459" 2. 15. Similitude & suite, France, juin 2008 (c) PAGEREF _Toc302308459 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc302308460" 2. 16. Similitude, Centres étrangers, juin 2008 PAGEREF _Toc302308460 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc302308461" 2. 17. Similitude+ROC, Pondicherry, avril 2008 (c) PAGEREF _Toc302308461 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc302308462" 2. 18. Similitude, Polynésie, sept 2007 PAGEREF _Toc302308462 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc302308463" 2. 19. Similitude, Antilles, sept 2007 PAGEREF _Toc302308463 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc302308464" 2. 20. Similitude, Am. du Sud, sept 2007 PAGEREF _Toc302308464 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc302308465" 2. 21. Similitude directe et indirecte, France, juin 2007 PAGEREF _Toc302308465 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc302308466" 2. 22. Similitudes directe et indirecte, La Réunion, juin 2007 PAGEREF _Toc302308466 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc302308467" 2. 23. Similitudes directe et indirecte, C. étrangers, juin 2007 PAGEREF _Toc302308467 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc302308468" 2. 24. Similitudes, Asie, juin 2007 PAGEREF _Toc302308468 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc302308469" 2. 25. Similitudes, Antilles, juin 2007 PAGEREF _Toc302308469 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc302308470" 2. 26. Similitude+Bézout, Am. du Nord, juin 2007 (c) PAGEREF _Toc302308470 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc302308471" 2. 27. Similitude indirecte, Pondicherry, avril 2007 PAGEREF _Toc302308471 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc302308472" 2. 28. Nouvelle Calédonie, nov 2006 PAGEREF _Toc302308472 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc302308473" 2. 29. Amérique du Nord, juin 2006 (c) PAGEREF _Toc302308473 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc302308474" 2. 30. Antilles, juin 2006 PAGEREF _Toc302308474 \h 25
HYPERLINK \l "_Toc302308475" 2. 31. La Réunion, juin 2006 PAGEREF _Toc302308475 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc302308476" 2. 32. Sim. indirecte+lieu, Liban, juin 2006 (c) PAGEREF _Toc302308476 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc302308477" 2. 33. Spirale, Pondicherry, avril 2006 PAGEREF _Toc302308477 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc302308478" 2. 34. Sim. indirecte, Nouvelle Calédonie, nov 2005 (c) PAGEREF _Toc302308478 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc302308479" 2. 35. Similitude+suite, Am. Sud, nov 2005 PAGEREF _Toc302308479 \h 29
HYPERLINK \l "_Toc302308480" 2. 36. QCM arith+géom, National, sept 2005 PAGEREF _Toc302308480 \h 30
HYPERLINK \l "_Toc302308481" 2. 37. Réflexion+Bézout, Pondicherry, avril 2005 (c) PAGEREF _Toc302308481 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc302308482" 2. 38. Divine proportion, Amérique du Nord, juin 2005 (c) PAGEREF _Toc302308482 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc302308483" 2. 39. Image dune figure, Asie, juin 2005 PAGEREF _Toc302308483 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc302308484" 2. 40. Tr. rectangles isocèles, National, juin 2005 PAGEREF _Toc302308484 \h 34
HYPERLINK \l "_Toc302308485" 2. 41. S. indirecte+bézout, Polynésie, nov 2004 (c) PAGEREF _Toc302308485 \h 35
HYPERLINK \l "_Toc302308486" 2. 42. Tr. équilatéral+lieu de points, National, sept 2004 (c) PAGEREF _Toc302308486 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc302308487" 2. 43. QCM géo+arith, Antilles, sept 2004 PAGEREF _Toc302308487 \h 39
HYPERLINK \l "_Toc302308488" 2. 44. Spirale, Am. du Sud, nov 2004 (c) PAGEREF _Toc302308488 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc302308489" 2. 45. Similitude indirecte, Am. du Nord, mai 2004 PAGEREF _Toc302308489 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc302308490" 2. 46. Rotation, Antilles 2004 PAGEREF _Toc302308490 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc302308491" 2. 47. Rotation+carré, Liban, mai 2004 (c) PAGEREF _Toc302308491 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc302308492" 2. 48. Suite géométrique, Polynésie, juin 2004 PAGEREF _Toc302308492 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc302308493" 2. 49. Rotations, homothéties, Am. du Sud, nov 2003 (c) PAGEREF _Toc302308493 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc302308494" 2. 50. Similitudes, Pondichéry, mai 2003 (c) PAGEREF _Toc302308494 \h 45
HYPERLINK \l "_Toc302308495" 2. 51. Longueur de spirale, Am. du Nord, mai 2003 PAGEREF _Toc302308495 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc302308496" 2. 52. Similitude, suites, Pondicherry 2009 PAGEREF _Toc302308496 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc302308497" 2. 53. Similitude, suites, Bézout, La Réunion, juin 2003 (c) PAGEREF _Toc302308497 \h 48
HYPERLINK \l "_Toc302308498" 2. 54. Similitude, Polynésie, juin 2003 PAGEREF _Toc302308498 \h 49
HYPERLINK \l "_Toc302308499" 2. 55. Carré et rotation, Antilles sept 2002 PAGEREF _Toc302308499 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc302308500" 2. 56. Similitude, La Réunion, juin 2002 PAGEREF _Toc302308500 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc302308501" 2. 57. Similitude & barycentre, Polynésie, sept 2001 PAGEREF _Toc302308501 \h 51
HYPERLINK \l "_Toc302308502" 2. 58. Symétries axiales, Liban, juin 2001 PAGEREF _Toc302308502 \h 51
HYPERLINK \l "_Toc302308503" 2. 59. Rotations, symétries, translations, Asie juin 2001 PAGEREF _Toc302308503 \h 52
HYPERLINK \l "_Toc302308504" 2. 60. Homothéties, Polynésie, sept 2000 PAGEREF _Toc302308504 \h 52
HYPERLINK \l "_Toc302308505" 2. 61. Rotation et similitude PAGEREF _Toc302308505 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc302308506" 2. 62. Rotation PAGEREF _Toc302308506 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc302308507" 2. 63. Théorème de Ptolémée PAGEREF _Toc302308507 \h 54
HYPERLINK \l "_Toc302308508" 2. 64. Le théorème de Napoléon 3 PAGEREF _Toc302308508 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc302308509" 2. 65. Triangles équilatéraux PAGEREF _Toc302308509 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc302308510" 2. 66. Similitude PAGEREF _Toc302308510 \h 56
HYPERLINK \l "_Toc302308511" 2. 67. Similitude PAGEREF _Toc302308511 \h 56
HYPERLINK \l "_Toc302308512" 2. 68. Similitude et barycentre PAGEREF _Toc302308512 \h 56
HYPERLINK \l "_Toc302308513" 2. 69. Réflexion - Rotation PAGEREF _Toc302308513 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc302308514" 2. 70. Barycentres+similitude PAGEREF _Toc302308514 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc302308515" 2. 71. Ligne de niveau+similitude PAGEREF _Toc302308515 \h 58
HYPERLINK \l "_Toc302308516" 2. 72. Similitude et Bézout PAGEREF _Toc302308516 \h 58
HYPERLINK \l "_Toc302308517" 2. 73. Spirale PAGEREF _Toc302308517 \h 58
HYPERLINK \l "_Toc302308518" 2. 74. Rotation et similitude PAGEREF _Toc302308518 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc302308519" 2. 75. Cercle et similitude PAGEREF _Toc302308519 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc302308520" 2. 76. Similitude indirecte (c) PAGEREF _Toc302308520 \h 60

Démonstrations
Toute similitude de rapport k (>0) est la composée dune homothétie de rapport k et dune isométrie
Soit s une similitude de rapport k positif et h une homothétie de rapport EMBED Equation.DSMT4 . La composée EMBED Equation.DSMT4 est alors une similitude de rapport EMBED Equation.DSMT4 , cest donc une isométrie f.
On a donc EMBED Equation.DSMT4 où lhomothétie EMBED Equation.DSMT4 a pour rapport k.
Les isométries du plan sont les transformations EMBED Equation.DSMT4 ou EMBED Equation.DSMT4
Il est immédiat de montrer que ces deux types de transformations sont des isométries ; par exemple pour EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , soit EMBED Equation.DSMT4 .
Il est plus délicat de montrer que toute isométrie est de cette forme : soit f une isométrie du plan muni dun repère orthonormal (O, I, J) ; on note (O, I, J) le repère image par f : ce repère est également orthonormal daprès les propriétés des isométries (conservation des longueurs et des angles, les isométries positives conservant le sens des angles, les iso. négatives les renversant).
Prenons M(x ; y), on a EMBED Equation.DSMT4 , M(x ; y) son image par f : EMBED Equation.DSMT4 .
Calculons les produits scalaires :
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , de même EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
Mais comme les distances et les angles sont conservés, on a
EMBED Equation.DSMT4
ainsi que EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Passons maintenant en complexes : prenons dans le repère (O, I, J) les affixes : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
* EMBED Equation.DSMT4 est normé donc EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 réel quelconque.
* EMBED Equation.DSMT4 est normé et orthogonal à EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 ou EMBED Equation.DSMT4 .
* EMBED Equation.DSMT4 doù les deux possibilités :
EMBED Equation.DSMT4 .
Caractérisation complexe dune similitude
Les deux résultats précédents donnent immédiatement que si s est une similitude de rapport k > 0, elle est de la forme EMBED Equation.DSMT4
ou de la forme EMBED Equation.DSMT4 .
En fait EMBED Equation.DSMT4 est un complexe a quelconque de même que c, ce qui donne EMBED Equation.DSMT4 ou EMBED Equation.DSMT4 .
Propriétés des similitudes
* Les similitudes de la forme EMBED Equation.DSMT4 sont associées aux isométries positives, elles conservent le sens des angles : prenons trois points M, N, P et leurs images M, N, P ;
on a alors EMBED Equation.DSMT4 .
* Les similitudes de la forme EMBED Equation.DSMT4 sont associées aux isométries négatives, elles renversent le sens des angles : prenons trois points M, N, P et leurs images M, N, P ;
EMBED Equation.DSMT4 .
* Conservation du barycentre : soit G le barycentre de EMBED Equation.DSMT4 , M et N les images de M et N, alors EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ; montrons que G est le barycentre de EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 .
En fait cette propriété est suffisante puisque lassociativité du barycentre fait que ceci sera valable pour un nombre quelconque de points.
Par ailleurs ceci permet de montrer dautres propriétés simples comme la conservation du parallélisme.
Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit lidentité, soit une symétrie axiale
Si notre similitude sécrit EMBED Equation.DSMT4 , elle a soit un seul point fixe EMBED Equation.DSMT4 , soit une infinité lorsque a = 1 et b = 0 ; cest donc lidentité si elle en a plus que un.
Si elle sécrit EMBED Equation.DSMT4 et quelle a comme points fixes u et v, on a :
EMBED Equation.DSMT4 .
Cette dernière écriture est celle dune réflexion daxe (uv), ce que le lecteur vérifiera aisément
Forme réduite dune similitude directe
Une similitude directe s (avec a différent de 1, qui nest donc pas une translation) a un point fixe : EMBED Equation.DSMT4 , seul point tel que EMBED Equation.DSMT4 .
On a alors EMBED Equation.DSMT4 .
s est donc la composée dune homothétie de rapport k et dune rotation dangle EMBED Equation.DSMT4 , les deux de centre EMBED Equation.DSMT4 .
Remarquez que si vous tombez dans vos calculs sur un rapport négatif, il suffit de rajouter EMBED Equation.DSMT4 à EMBED Equation.DSMT4 pour revenir à un rapport positif : EMBED Equation.DSMT4 .
Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A, B tels que A EMBED Equation.DSMT4 B et A EMBED Equation.DSMT4 B, il existe une unique similitude directe transformant A en A et B en B ».
Avec tous les résultats précédents cest un jeu denfant :
on a les affixes a, a, b et b. Si on a une similitude directe, celle-ci sécrit EMBED Equation.DSMT4 ; il suffit donc de trouver EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 en fonction de a, a, b et b.
EMBED Equation.DSMT4 ;
cest tout.
Exercice
On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la distance A0B0 soit égale à EMBED Equation.DSMT4 . On précise de plus que langle EMBED Equation.DSMT4 est un angle droit direct.
On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la façon suivante :
An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;
Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).
1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2, B2, A3, B3.
2. a. Démonstration de cours. Démontrer quil existe une similitude directe et une seule qui transforme A0 en A1 et B0 en B1.
b. Soit s cette similitude : préciser son angle et son rapport, puis vérifier que son centre est O. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.
3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus modulo 4.
b. On désigne par EMBED Equation.DSMT4 le point dintersection des droites (A0B4) et (B0A4). Démontrer que le triangle A0B0 est isocèle en EMBED Equation.DSMT4 .
c. Calculer la distance A0B4.
d. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
e. En déduire laire du triangle EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice
On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la distance A0B0 soit égale à EMBED Equation.DSMT4 . On précise de plus que langle EMBED Equation.DSMT4 est un angle droit direct.
On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la façon suivante :
An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;
Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).
1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2, B2, A3, B3.
2. Soit s la similitude directe de centre O qui transforme A0 en A1.
a. Déterminer langle et le rapport de la similitude s, puis montrer que la similitude s transforme B0 en B1.
b. Démontrer que pour tout entier n, la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.
3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus modulo 4.
b. On désigne par EMBED Equation.DSMT4 le point dintersection des droites (A0B4) et (B0A4). Déterminer la valeur exacte de laire du triangle EMBED Equation.DSMT4 (tout élément de réponse, par exemple lexposé dune méthode ou la détermination dune valeur approchée, sera pris en compte).
Correction

EMBED Chamois.Document
2. a. Evident : angle = EMBED Equation.DSMT4 , rapport = EMBED Equation.DSMT4 . Comme EMBED Equation.DSMT4 , la symétrie par rapport à EMBED Equation.DSMT4 donne EMBED Equation.DSMT4 ; comme EMBED Equation.DSMT4 , le rapport est encore EMBED Equation.DSMT4 .
b. Comme on répète la même séquence dopérations à chaque fois, la transformation qui envoie EMBED Equation.DSMT4 sur A1 enverra An sur An+1, et pareil pour Bn et Bn+1. Si on ne se suffit pas de cet argument, on peut reprendre tout, mais cest une perte de temps
3. a. Si on prend le repère EMBED Equation.DSMT4 , le point A0 a pour affixe 4, A1 a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 , etc. doù An : EMBED Equation.DSMT4 ; les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si
EMBED Equation.DSMT4 ,
soit lorsque les entiers n et p sont congrus modulo 4.
b. Le plus simple (lorsquon na pas dindication, sinon reprendre la méthode proposée dans lexercice précédent) semble encore de déterminer les coordonnées de EMBED Equation.DSMT4 en cherchant léquation de (A0B4) puis en coupant par (y = x) ; EMBED Equation.DSMT4 est sur cette droite pour des raisons de symétrie évidentes.
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 a pour ordonnée labscisse de A4, soit EMBED Equation.DSMT4 ; la droite a pour équation EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 a pour coordonnées EMBED Equation.DSMT4 ; on calcule la distance EMBED Equation.DSMT4 , laire du triangle est donc
EMBED Equation.DSMT4 .
Exercices
Similitude + ROC, La Réunion 2010
Partie I : Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est rapporté à un repère EMBED Equation.DSMT4 .
Prérequis : on rappelle que lécriture complexe dune similitude directe du plan est de la forme EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 est un nombre complexe non nul et EMBED Equation.DSMT4 est un nombre complexe.
Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose dune part que les points A et C sont distincts et dautre part que les points B et D sont distincts.
Démontrer quil existe une unique similitude directe s telle que s(A) = B et s(C) = D.
Partie II
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On considère le point C tel que ABCD est un carré.
Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de lexercice.
b. Préciser les nombres complexes a, b, c, d, e, f , g , affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G.
c. Montrer quil existe une unique similitude directe s du plan telle que s(D) = F et s(B) = D.
2. On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe s.
a. Déterminer son rapport k et son angle EMBED Equation.DSMT4 .
b. Donner lécriture complexe de cette similitude.
c. Déterminer le centre EMBED Equation.DSMT4 de la similitude directe s.
Translation et rotation, France 2010
Dans tout lexercice, EMBED Equation.DSMT4 est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm).
On désigne par A le point daffixe zA = 1.
1. On considère la transformation T du plan qui, à tout point M daffixe z, associe le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer les images respectives par la transformation T du point A et du point EMBED Equation.DSMT4 daffixe EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation T.
c. Déterminer limage par la transformation T du cercle C de centre O et de rayon 1.
2. C désigne le cercle de centre O daffixe 2 et de rayon 1.
a. Construire le point A appartenant au cercle C tel que : EMBED Equation.DSMT4 .
b. À tout point M du cercle C daffixe z, on associe le point M du cercle C daffixe z tel que : EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer le module et un argument de EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que EMBED Equation.DSMT4 .
c. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r qui à tout point M du plan daffixe z associe le point M daffixe z telle que EMBED Equation.DSMT4 .
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou dinitiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.
À tout point M du plan, on associe le point M1 milieu du segment [MM]. Quel est le lieu géométrique du point M1 lorsque M décrit le cercle C ?
Similitudes, Centres étrangers 2010
Le plan complexe est muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 1 cm, on considère les points A, B, C, M, N et P daffixes respectives : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Placer les points A, B, C, M, N et P dans le repère.
b. Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et NMP.
c. En déduire que ces deux triangles sont semblables.
Dans la suite de lexercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle MNP.
2. Une similitude directe
Soit s la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P.
a. Montrer quune écriture complexe de la similitude s est : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer le rapport, la valeur de langle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude s.
c. Vérifier que la similitude s transforme le point C en M.
3. Une similitude indirecte
Soit s la similitude dont l écriture complexe est : EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier que : s (A) = N, s (B) = M, s (C) = P.
b. Démontrer que s admet un unique point invariant K d affixe k = 1 " i.
c. Soit h l homothétie de centre K et de rapport EMBED Equation.DSMT4 et J le point daffixe 2. On pose : EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer les images des points K et J par la transformation f. En déduire la nature précise de la transformation f.
d. Démontrer que la similitude s est la composée dune homothétie et dune réflexion.
Similitude, Asie 2010
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . Lunité graphique est 1 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et dargument EMBED Equation.DSMT4 . On considère les points B, C et H daffixes respectives : b = 5i, c = 10 et h = 2 + 4i.
Construire une figure que lon complétera au fur et à mesure des questions.
1. Étude de la position du point H
a. Démontrer que le point H appartient à la droite (BC).
b. Calculer EMBED Equation.DSMT4 , et en déduire que EMBED Equation.DSMT4 .
2. Étude dune première similitude
a. Calculer les rapports : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer quil existe une similitude directe S1 qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB.
c. Déterminer lécriture complexe de cette similitude S1 ainsi que ses éléments caractéristiques.
3. Étude dune seconde similitude
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou dinitiative, même infructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.
On note S2 la similitude qui à tout point M daffixe z associe le point M daffixe z telle que : EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que S2 est composée dune symétrie orthogonale daxe ( EMBED Equation.DSMT4 ), et dune similitude directe dont le centre EMBED Equation.DSMT4 appartient à ( EMBED Equation.DSMT4 ). Préciser ( EMBED Equation.DSMT4 ).
4. Étude dune composée
a. Calculer le rapport de la similitude composée EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC.
Similitude + ROC, Antilles 2010
Le plan est muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 dunité 1 cm.
1. Restitution organisée de connaissances
On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes :
Propriété 1 : Toute similitude indirecte qui transforme un point M daffixe z en un point M daffixe z admet une expression complexe de la forme z = az + b où EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Propriété 2 : Soit C un point daffixe c. Pour tout point D, distinct de C, daffixe d et pour tout point E, distinct de C, daffixe e, on a : EMBED Equation.DSMT4 .
Question : Montrer quune similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.
2. Soient les points C et D daffixes respectives c = 3 et EMBED Equation.DSMT4 , et S1 la similitude qui à tout point M du plan associe le point M1 symétrique de M par rapport à laxe EMBED Equation.DSMT4 des réels.
a. Placer les points C et D puis leurs images respectives C1 et D1 par S1. On complètera le figure au fur et à mesure de lexercice.
b. Donner lexpression complexe de S1.
3. Soit S2 la similitude directe définie par :
le point C1 et son image C daffixe EMBED Equation.DSMT4 ;
le point D1 et son image D daffixe EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que lexpression complexe de S2 est : EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.
4. Soit S la similitude définie par EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer lexpression complexe de S.
5. On pourra admettre désormais que S est la similitude indirecte dexpression complexe : EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quelle est limage de C par S ? Quelle est limage de D par S ?
b. Soit H le point daffixe h tel que : EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que le triangle CDH est équilatéral direct.
c. Soit H limage de H par S. Préciser la nature du triangle CDH et construire le point H (on ne demande pas de calculer laffixe h du point H).
Similitude, Amérique du Sud 2009
On considère un carré direct ABCD (cest à dire un carré ABCD tel que EMBED Equation.DSMT4 de centre I).
Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA].
EMBED Equation.DSMT4 désigne le cercle de diamètre [AI] et EMBED Equation.DSMT4 désigne le cercle de diamètre [BK].
Partie A
1. Déterminer le rapport et langle de la similitude directe s telle que s(A) = I et s(B) = K.
2. Montrer que les cercles EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 se coupent en deux points distincts : le point J et le centre EMBED Equation.DSMT4 de la similitude directe s.
3. a. Déterminer les images par s des droites (AC) et (BC). En déduire limage du point C par s.
b. Soit E limage par s du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID].
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou dinitiative, sera prise en compte dans lévaluation.
Démontrer que les points A, EMBED Equation.DSMT4 et E sont alignés. (On pourra considérer la transformation EMBED Equation.DSMT4 ).
Partie B
Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct EMBED Equation.DSMT4 .
1. Donner les affixes des points A, B, C et D.
2. Démontrer que la similitude directe s a pour écriture complexe EMBED Equation.DSMT4 .
3. Calculer laffixe EMBED Equation.DSMT4 du centre EMBED Equation.DSMT4 de s.
4. Calculer laffixe zE du point E et retrouver lalignement des points A, EMBED Equation.DSMT4 et E.
5. Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) sont concourantes au point EMBED Equation.DSMT4 .
Similitude+Suite, Pondicherry 2009
Le plan complexe est muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A et B les points daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. Justifier quil existe une unique similitude directe S telle que : S(O) = A et S(A) = B.
2. Montrer que lécriture complexe de S est : EMBED Equation.DSMT4 .
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera EMBED Equation.DSMT4 le centre de S).
On considère la suite de points (An) telle que :
A0 est lorigine du repère et,
pour tout entier naturel n, An+1 = S(An).
On note zn, laffixe de An. (On a donc A0 = O, A1 = A et A2 = B).
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de langle EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An. Construire les points A3 et A4.
4. Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite EMBED Equation.DSMT4 ?
ROC + Similitude, Polynésie 2009
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est muni dun repère orthononnal direct. On supposera connu le résultat suivant :
Une application f du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z = az + b où EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que si A, B, A et B sont quatre points teIs que A est distinct de B et A est distinct de B, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A et B en B.
Partie B
Le plan complexe est muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 2 cm. On note A, B, C, D et E les points daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , zB = 2, zC = 4 + 6i, zD = 1 + i et zE = 3 + 3i.
1. Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et àmesure des questions.
2. Déterminer la nature du triangle ABC.
3. Soit f la similitude plane directe telle que f(A) = D et f(B) = A.
a. Donner lécriture complexe de f.
b. Déterminer langle, le rapport et le centre EMBED Equation.DSMT4 de cette similitude.
c. Montrer que le triangle DAE est limage du triangle ABC par la similitude f.
d. En déduire la nature du triangle DAE.
4. On désigne par (C1) le cercIe de diamètre [AB] et par (C2) le cercle de diamètre [AD].
On note M le second point dintersection du cercle (C1) et de la droite (BC), et N le second point dintersection du cercle (C2) et de la droite (AB).
a. Déterminer limage de M par la similitude f.
b. En déduire la nature du triangle EMBED Equation.DSMT4 MN.
c. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
Similitudes, N. Calédonie nov 2008
Le plan complexe est muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On considère les points A et B daffixes respectives zA = 2 et EMBED Equation.DSMT4 .
On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

On note s1 la similitude directe de centre A qui transforme M en B.
On note s2 la similitude directe de centre O qui transforme B en N.
On considère la transformation EMBED Equation.DSMT4 r.
Le but de lexercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
1. À laide des transformations.
a. Donner langle et le rapport de s1 et de s2.
b. Déterminer limage du point M puis celle du point I par la transformation r.
c. Justifier que r est une rotation dangle EMBED Equation.DSMT4 dont on précisera le centre.
d. Quelle est limage du point O par r ?
e. En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
2. En utilisant les nombres complexes.
a. Donner les écritures complexes de s1 et s2. On utilisera les résultats de la question 1. a.
b. En déduire les affixes zM et zN des points M et N.
c. Donner, sans justification, laffixe zP du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
Spirale+arith, Antilles sept 2008
Partie A
On considère le système de congruences : EMBED Equation.DSMT4 , où n désigne un entier relatif.
1. Montrer que 11 est solution de (S).
2. Montrer que si n est solution de (S) alors n " 11 est divisible par 3.
3. Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11+15k, où k désigne un entier relatif.
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
On considère l application f du plan qui à tout point M daffixe z associe le point daffixe z et g celle qui à tout point M daffixe z associe le point daffixe z définies par :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g .
2. On considère les points A0 et B0 daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Soient (An) et (Bn) les suites de points définies par les relations de récurrences :
An+1 = f(An) et Bn+1 = g(Bn).
On note an et bn les affixes respectives de An et Bn.
a. Quelle est la nature de chacun des triangles OAnAn+1 ?
b. En déduire la nature du polygone A0A1A2A3A4A5.
3. a. Montrer que les points Bn sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
b. Indiquer une mesure de langle EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire la nature du polygone B0B2B4B6B8.
4. a. Exprimer an et bn en fonction de n.
b. Montrer que les entiers n pour lesquels les points An et Bn sont simultanément sur laxe des réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.
Spirale+arith, France et La Réunion sept 2008
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On réalisera une figure en prenant 4 cm comme unité graphique sur chaque axe.
On considère le point A d'affixe EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A
k est un réel strictement positif ; f est la similitude directe de centre O de rapport k et d'angle EMBED Equation.DSMT4 . On note EMBED Equation.DSMT4 et pour tout entier naturel n, EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Étant donné un point M d'affixe z, déterminer en fonction de z l'affïxe z du point M image de M par f.
b. Construire les points EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 dans le cas particulier où k est égal à EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l'affixe zn du point An est égale à EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point An appartient à la demi droite EMBED Equation.DSMT4 et, dans ce cas, déterminer en fonction de k et de n l'abscisse de An.
Partie B
Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Désormais, k désigne un entier naturel non nul.
1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.
2. Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel k pour laquelle k6 est un multiple de 2008.
3. Pour quelles valeurs des entiers n et k le point An appartient-il à la demi droite EMBED Equation.DSMT4 avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?
Similitude indirecte, La Réunion, juin 2008
5 points
1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . Soient A, B et C les points d'affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . s1 désigne la symétrie d'axe (AB).
a. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 transforme tout point M d'affixe z en un point M d'afîixe z telle que
EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire l'affixe de C, symétrique de C par rapport à (AB).
c. Démontrer que l'ensemble des points M tels que z' est imaginaire pur est la droite (d) d'équation EMBED Equation.DSMT4 .
d. Vérifier que le point C appartient à (d).
2. a. Démontrer que les droites (d) et (AB) sont sécantes en un point EMBED Equation.DSMT4 dont on précisera l'affixe EMBED Equation.DSMT4 .
b. On désigne par EMBED Equation.DSMT4 la symétrie d'axe (d) et par f la transformation définie par EMBED Equation.DSMT4 . Justifier que f est une similitude directe et préciser son rapport.
c. Déterminer les images des points C et EMBED Equation.DSMT4 par la transformation f.
d. Justifier que f est une rotation dont on donnera le centre.
3. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n 'aboutit pas.
a. Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer les points de (d) à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à 9.
Similitude & suite, France, juin 2008 (c)
5 points
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 (unité graphique : 1 cm).
Soient A et B les points daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. On considère la droite (d) déquation EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que lensemble des points de (d) dont les coordonnées sont entières est lensemble des points EMBED Equation.DSMT4 lorsque k décrit lensemble des entiers relatifs.
2. Déterminer langle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit s la transformation du plan qui à tout point M daffixe z associe le point Mdaffixe
EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer limage de A par s, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de s.
4. On note B1 limage de B par s et pour tout entier naturel n non nul, EMBED Equation.DSMT4 limage de EMBED Equation.DSMT4 par s.
a. Déterminer la longueur EMBED Equation.DSMT4 en fonction de EMBED Equation.DSMT4 .
b. À partir de quel entier n le point EMBED Equation.DSMT4 appartient t-il au disque de centre A et de rayon 10"2 ?
c. Déterminer l ensemble des entiers n pour lesquels A, B1 et Bn sont alignés.
Correction
Soient A et B les points d affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. On a la solution particulière évidente EMBED Equation.DSMT4 doù
EMBED Equation.DSMT4 .
2. Un peu de calcul
EMBED Equation.DSMT4
Soit le rapport EMBED Equation.DSMT4 et langle EMBED Equation.DSMT4 . On pouvait aussi calculer EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
3. Comme cest la même chose que ce quon a trouvé, EMBED Equation.DSMT4 , etc
4. a. EMBED Equation.DSMT4 de toute évidence
b. Suite géométrique de premier terme EMBED Equation.DSMT4 , de raison EMBED Equation.DSMT4 ,
EMBED Equation.DSMT4 doù la première valeur de n est 17.
c. EMBED Equation.DSMT4 . Comme on fait un quart de tour à chaque fois, tous les n impairs (3, 5, 7) feront revenir Bn sur la droite AB1.
Similitude, Centres étrangers, juin 2008
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 ; l'unité graphique est 2 cm.
On considère les points A, B, C, D et E daffixes respectives :
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
2. On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles.
Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu'ils sont semblables.
3. Étude d'une similitude directe transformant OABC en ABDE
a. Déterminer lécriture complexe de la similitude directe s qui transforme O en A et A en B.
b. Démontrer que la similitude s transforme OABC en ABDE.
c. Quel est l'angle de la similitude s ?
d. Soit EMBED Equation.DSMT4 le centre de cette similitude. En utilisant la composée EMBED Equation.DSMT4 , démontrer que le point EMBED Equation.DSMT4 appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la position du point EMBED Equation.DSMT4 .
4. Étude d'une similitude indirecte transformant OABC en BAED
a. Montrer que récriture complexe de la similitude indirecte s qui transforme O en B et qui laisse A invariant est : EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 désigne le conjugué du nombre complexe z.
b. Montrer que s transforme OABC en BAED.
c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.
Démontrer que s est la composée de la réflexion d'axe (OA) suivie d'une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.
Similitude+ROC, Pondicherry, avril 2008 (c)
5 points
Partie A
On suppose connu le résultat suivant :
Une application f du plan muni dun repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme EMBED Equation.DSMT4 , où EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Démonstration de cours : on se place dans le plan complexe.
Démontrer que si A,B, A et B sont quatre points tels que A est distinct de B et A est distinct de B, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A et B en B.
Partie B
Dans le plan complexe muni dun repère orthonomal direct EMBED Equation.DSMT4 on considère les points A, B, C, D daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes zA, zB , zC et zD.
b. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).
c. Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
2. On considère la similitude directe g dont lécriture complexe est EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer les éléments caractéristiques de g.
b. Construire à la règle et au compas les images respectives E, F et J par g des points A, C et O.
c. Que constate-t-on concernant ces points E, F et J ? Le démontrer.
Correction
Partie A
Démonstration de cours : On a les affixes a, a, b et b. Si on a une similitude directe, celle-ci sécrit EMBED Equation.DSMT4 ; il suffit donc de trouver EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 en fonction de a, a, b et b.
EMBED Equation.DSMT4 ; valable si EMBED Equation.DSMT4 , soit A et B distincts.
Partie B
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 ;
EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 .
b. Les points sont sur le cercle de centre O, de rayon 2 (cercle de diamètre [PQ]) ; B est un sommet de triangle équilatéral, D est diamétralement opposé à B, A est sur la bissectrice de EMBED Equation.DSMT4 et A est tel que larc EMBED Equation.DSMT4 ; C est diamétralement opposé à A (traits pointillés noirs sur la figure).
EMBED Chamois.Document
c. EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , le milieu est O. EMBED Equation.DSMT4 donc (OA) et (OB) sont orthogonales de même que (AC) et (BD). ABCD est un carré : diagonales se coupant à angle droit en leur milieu et de même longueur.
2. On considère la similitude directe g dont lécriture complexe est EMBED Equation.DSMT4 .
a. EMBED Equation.DSMT4 : g est la rotation de centre B, dangle EMBED Equation.DSMT4 .
b. J est déjà construit puisquil sagit de P. Par ailleurs il sagit de triangles équilatéraux : on construit les deux cercles de rayon AB, de centre A et de centre B ; une des deux intersections est E ; même chose avec les cercles de rayon BC, de centres B et C (en rouge et vert sur la figure).
c. E, J et F sont alignés : EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 : J est le milieu de [EF].
On aurait pu utiliser le fait que O est le milieu de A et C, soit en faisant la rotation on garde lalignement et le milieu.
Similitude, Polynésie, sept 2007
5 points
Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies ci-dessous.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On considère un triangle OAB et une similitude directe EMBED Equation.DSMT4 de centre O, de rapport EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Chamois.Document
Soit :
- les points A et B images respectives des points A et B par la similitude EMBED Equation.DSMT4 ;
- les points I, milieu du segment [AB] et J, milieu du segment [AB] ;
- le point M milieu du segment [AA] ;
- le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB) et le point H image du point H par EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A : Etude dun exemple
Dans cette partie, le point A a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 , le point B a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 , et le point H a donc pour affixe EMBED Equation.DSMT4 .
La similitude EMBED Equation.DSMT4 est la similitude directe de centre O, de rapport EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer les affixes des points A, B et H.
2. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH).
Partie B : Etude du cas général
1. a. Montrer que H est le projeté orthogonal du point O sur la droite (AB).
b. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 . On admet que EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire que EMBED Equation.DSMT4 et que EMBED Equation.DSMT4 .
2. On appelle s la similitude directe qui transforme M en O et I en H. On note K limage du point J par la similitude s.
a. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 , puis que EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que le point H est limage du point J par la similitude s.
3. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH).
EMBED Chamois.Document
Similitude, Antilles, sept 2007
5 points
ABC est un triangle équilatéral du plan tel que EMBED Equation.DSMT4 .
Soit t un nombre réel fixé et soient les points M, N et P, deux à deux distincts, définis par :
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
Le but de lexercice est de démontrer lexistence dune unique similitude directe EMBED Equation.DSMT4 qui transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P, et den préciser les éléments caractéristiques.
On munit le plan dun repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 direct. On note a, b, c, m, n et p les abscisses respectives des points A, B, C, M, N et P.
1. On rappelle que toute similitude conserve le barycentre.
a. Exprimer m, n et p en fonction de a, b, c et t.
b. En déduire que les deux triangles ABC et MNP ont même centre de gravité. On notera G ce centre de gravité.
c. On suppose que EMBED Equation.DSMT4 existe. Déterminer limage de G par EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère la rotation r de centre G et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier que M est le barycentre du système de points EMBED Equation.DSMT4 et en déduire que EMBED Equation.DSMT4 .
On admet de même que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
b. Soit EMBED Equation.DSMT4 la similitude directe de centre G, de rapport EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 . Montrer quelle transforme les points A, B et C respectivement en M, N et P.
c. Conclure sur lexistence et lunicité de EMBED Equation.DSMT4 .
Similitude, Am. du Sud, sept 2007
5 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
On fera une figure que lon complétera avec les différents éléments intervenant dans lexercice.
1. On considère les points A daffixe 1 et B daffixe i. On appelle S la réflexion (symétrie axiale) daxe (AB).
Montrer que limage M par S dun point M daffixe z a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 .
2. On note H lhomothétie de centre A et de rapport "2. Donner l écriture complexe de H.
3. On note f la composée EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que f est une similitude.
b. Déterminer l écriture complexe de f.
4. On appelle M l image d un point M par f.
a. Démontrer que l ensemble des points M du plan tels que EMBED Equation.DSMT4 est la droite (AB).
b. Démontrer que lensemble des points M du plan tels que EMBED Equation.DSMT4 est la perpendiculaire en A à la droite (AB).
Similitude directe et indirecte, France, juin 2007
5 points
La figure sera complétée tout au long de lexercice.
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points A, B et C, d affixes respectives "5 + 6i, "7 " 2i et 3 " 2i. On admet que le point F, d affixe "2 + i est le centre du cercle EMBED Equation.DSMT4 circonscrit au triangle ABC.
1. Soit H le point d affixe "5. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en le point H.
2. a. Étant donné des nombres complexes z et z, on note M le point daffixe z et M le point daffixe z. Soient a et b des nombres complexes.
Soit s la transformation décriture complexe EMBED Equation.DSMT4 qui, au point M, associe le point M. Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s. Quelle est alors la nature de s ?
b. En déduire laffixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC).
c. Vérifier que le point E est un point du cercle EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit I le milieu du segment [AC]. Déterminer laffixe du point G, image du point I par lhomothétie de centre B et de rapport EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que les points H, G et F sont alignés.
EMBED Excel.Chart.8 \s
Similitudes directe et indirecte, La Réunion, juin 2007
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct EMBED Equation.DSMT4 . A, B, C désignent les points daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Écrire b sous forme exponentielle.
b. Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les tracés de construction apparents).
c. Déterminer une mesure en radians de langle EMBED Equation.DSMT4 et de langle EMBED Equation.DSMT4 .
2. Les points E et F ont pour affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Démontrer que les points A, E et C, dune part, et les points A, F et B, dautre part, sont alignés.
b. Démontrer que le quotient EMBED Equation.DSMT4 peut sécrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
Interpréter géométriquement ce résultat. On admet que, de façon analogue, EMBED Equation.DSMT4 peut sécrire ki où k est un nombre réel non nul que lon ne demande pas de déterminer.
c. Placer les points E et F sur la figure.
3. On désigne par S la similitude indirecte dont lécriture complexe est EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer les images par S des trois points A, B et C.
4. Soit H le point dintersection des droites (BE) et (CF). Placer le point S(H) sur la figure.
EMBED Chamois.Document
Similitudes directe et indirecte, C. étrangers, juin 2007
5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . Lunité graphique est 2 cm.
Le but de cet exercice est détudier la similitude plane indirecte f décriture complexe :
EMBED Equation.DSMT4 ,
et den donner deux décompositions.
I. Restitution organisée de connaissances
On rappelle que lécriture complexe dune similitude plane directe autre quune translation est de la forme z = az + b, où a et b sont des nombres complexes avec EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer en fonction de a et de b laffixe du centre dune telle similitude plane directe.
II. Première décomposition de f
Soit g la similitude plane directe décriture complexe : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Préciser les éléments caractéristiques de g . (centre, rapport, angle).
2. Déterminer une réflexion s telle que EMBED Equation.DSMT4 .
III.Deuxième décomposition de f
1. Montrer que f admet un unique point invariant noté EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer laffixe EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit D la droite déquation : y = x + 2.
Montrer que pour tout point N appartenant à D, le point f(N) appartient aussi à D.
3. Soit EMBED Equation.DSMT4 la réflexion daxe D et k la transformation définie par : EMBED Equation.DSMT4 .
a. Donner lécriture complexe de EMBED Equation.DSMT4 .
Indication : on pourra poser EMBED Equation.DSMT4 et utiliser deux points invariants par EMBED Equation.DSMT4 pour déterminer les nombres complexes a et b.
b. En déduire que lécriture complexe de k est : EMBED Equation.DSMT4 .
c. Donner la nature de la transformation k et préciser ses éléments caractéristiques.
4. Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte f comme composée dune réflexion et dune homothétie.
Similitudes, Asie, juin 2007
5 points
Le but de cet exercice est détudier une même configuration géométrique à laide de deux méthodes différentes.
I À laide des nombres complexes, sur un cas particulier
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . Lunité graphique est 1 cm.
1. On considère les points A et B daffixes respectives 10 et 5i.
a. Déterminer lécriture complexe de la similitude directe s qui transforme O en A et B en O.
b. Déterminer les éléments caractéristiques de s. On note EMBED Equation.DSMT4 son centre.
c. Déterminer le point EMBED Equation.DSMT4 ; en déduire la position du point EMBED Equation.DSMT4 par rapport aux sommets du triangle ABO.
2. On note D la droite déquation EMBED Equation.DSMT4 , puis A et B les points daffixes respectives 8 + 4i et 2 + i.
a. Démontrer que les points A et B sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de B sur la droite D.
b. Vérifier que s(B) = A.
c. En déduire que le point EMBED Equation.DSMT4 appartient au cercle de diamètre [AB].
II À laide des propriétés géométriques des similitudes
OAB est un triangle rectangle en O tel que EMBED Equation.DSMT4 .
1. On note encore s la similitude directe telle que s(O) = A et s(B) = O. Soit EMBED Equation.DSMT4 son centre.
a. Justifier le fait que langle de s est égal à EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même que EMBED Equation.DSMT4 appartient au cercle de diamètre [OB].)
En déduire que EMBED Equation.DSMT4 est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.
2. On désigne par D une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB).
On note A et B les projetés othogonaux respectifs des points A et B sur la droite D.
a. Déterminer les images des droites (BB) et D par la similitude s.
b. Déterminer le point s(B).
c. En déduire que le point EMBED Equation.DSMT4 appartient au cercle de diamètre [AB].
Similitudes, Antilles, juin 2007
5 points
EMBED Equation.DSMT4 est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1 cm). On considère le point A daffixe EMBED Equation.DSMT4 . On note S1 la symétrie orthogonale par rapport à laxe EMBED Equation.DSMT4 et h lhomothétie de centre O et de rapport 3. On pose EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A
1. Placer le point A et compléter la figure au fur et àmesure.
2. Quelle est la nature de la transformation s ? Justifier.
3. Déterminer lécriture complexe de la transformation s.
4. a. Déterminer laffixe zB du point B image de A par s.
b. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer une mesure de langle EMBED Equation.DSMT4 .
5. Soient M le milieu de [AB] et P limage de M par s. Montrer que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (AB).
Partie B
1. On pose C = s(B).Montrer que P est le milieu de [BC].
2. a. Déterminer lécriture complexe de EMBED Equation.DSMT4 et en déduire sa nature.
b. Montrer que limage de la droite (OP) par s est la droite (OM).
c. Que représente le point M pour le triangle OBP ? Justifier.
Similitude+Bézout, Am. du Nord, juin 2007 (c)
5 points
Le plan complexe est muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 (unité graphique 1 cm).
On fera une figure que lon complétera tout au long de lexercice.
Soient A, B et C les points daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M daffixe z, associe le point M daffixe z définie par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
2. a. Déterminer laffixe du point B, image du point B par f.
b. Montrer que les droites (CB) et (CA) sont orthogonales.
3. Soit M le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 où on suppose que x et y sont des entiers relatifs. Soit M limage de M par f.
Montrer que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont orthogonaux si et seulement si EMBED Equation.DSMT4 .
4. On considère léquation (E) : EMBED Equation.DSMT4 où x et y sont des entiers relatifs.
a. Vérifier que le couple EMBED Equation.DSMT4 est une solution de (E).
b. Résoudre léquation (E).
c. En déduire lensemble des points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à lintervalle EMBED Equation.DSMT4 et tels que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 soient orthogonaux. Placer ces points sur la figure.
Correction
1. EMBED Equation.DSMT4 : similitude directe EMBED Equation.DSMT4 donc rapport EMBED Equation.DSMT4 , angle EMBED Equation.DSMT4 . Le centre est tel que EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. EMBED Equation.DSMT4 .
b. EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 .
3. EMBED Equation.DSMT4 .
Par ailleurs EMBED Equation.DSMT4 .
On remplace et on annule : EMBED Equation.DSMT4 .
4. a. EMBED Equation.DSMT4 est une solution de (E) : EMBED Equation.DSMT4 .
b. EMBED Equation.DSMT4 .
c. EMBED Equation.DSMT4 doù les quatre points :
EMBED Equation.DSMT4 .
Similitude indirecte, Pondicherry, avril 2007
5 points
1. Dans cette question il est demandé au candidat dexposer des connaissances.
On suppose connus les résultats suivants :
- la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ;
- la transformation réciproque dune similitude plane est une similitude plane ;
- une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est lidentité du plan.
Soient A, B, C trois points non alignés du plan et s et s deux similitudes du plan telles que :
EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A daffixe 2, E daffixe EMBED Equation.DSMT4 , F daffixe EMBED Equation.DSMT4 et G daffixe EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables.
b. Montrer que OEF est limage de OAG par une similitude indirecte S, en déterminant lécriture complexe de S.
c. Soit h lhomothétie de centre O et de rapport EMBED Equation.DSMT4 . On pose EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , et on appelle I le milieu de [EA]. On note EMBED Equation.DSMT4 la symétrie orthogonale daxe EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
Nouvelle Calédonie, nov 2006
5 points
Le plan est muni dun repère orthonormé direct EMBED Equation.DSMT4 (unité 1 cm).
On construira une figure que lon complétera au fur et mesure.
1. Soit A le point daffixe 3, et r la rotation de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 . On note B, C, D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation r. Montrer que B a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 .
2. Associer à chacun des points C, D, E et F lune des affixes de lensemble suivant :
EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. Déterminer r(F).
b. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?
4. Soit s la similitude directe de centre A, de rapport EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 . Soit s la similitude directe de centre E transformant F en C.
a. Déterminer langle et le rapport de s. En déduire langle et le rapport de EMBED Equation.DSMT4 .
b. Quelle est limage du point D par EMBED Equation.DSMT4 ?
c. Déterminer lécriture complexe de s.
5. Soit A le symétrique de A par rapport à C.
a. Sans utiliser les nombres complexes, déterminer s(A) puis limage de A par EMBED Equation.DSMT4 .
b. Calculer laffixe du point A. Retrouver alors le résultat du a. en utilisant lécriture complexe de EMBED Equation.DSMT4 .
Amérique du Nord, juin 2006 (c)
5 points
Le plan muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 4 cm. Soit EMBED Equation.DSMT4 le point daffixe 2.
On appelle r la rotation de centre EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 , et h lhomothétie de centre EMBED Equation.DSMT4 et de rapport EMBED Equation.DSMT4 .
1. On pose EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quelle est la nature de la transformation EMBED Equation.DSMT4 ? Préciser ses éléments caractéristiques.
b. Montrer que lécriture complexe de EMBED Equation.DSMT4 est : EMBED Equation.DSMT4 .
c. Soit M un point quelconque du plan, daffixe z. On désigne par M son image par EMBED Equation.DSMT4 et on note z laffixe de M. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Question de cours :
Prérequis : définitions géométriques du module dun nombre complexe et dun argument dun nombre complexe non nul.Propriétés algébriques des modules et des arguments.
Démonter que : si A est un point donné daffixe a, alors limage du point P daffixe p par la rotation de centre A et dangle EMBED Equation.DSMT4 est le point Q daffixe q telle que EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle EMBED Equation.DSMT4 , pour M distinct de EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit A0 le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 . On considère la suite EMBED Equation.DSMT4 de points du plan définis par : pour tout entier naturel n, EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, laffixe EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 est donnée par : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer laffixe de A3 .
4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que lon ait : pour EMBED Equation.DSMT4 , le point An est dans le disque de centre EMBED Equation.DSMT4 et de rayon 0,01.
Correction
1. a. EMBED Equation.DSMT4 est évidemment une similitude directe de centre EMBED Equation.DSMT4 , de rapport EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
b. EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 doù en développant : EMBED Equation.DSMT4 .
c. EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , cest pareil.
2. a. Question de cours :
Si A est un point donné daffixe a, alors limage du point P daffixe p par la rotation de centre A et dangle EMBED Equation.DSMT4 est le point Q daffixe q telle que
EMBED Equation.DSMT4 , et donc EMBED Equation.DSMT4 .
b. Comme on a EMBED Equation.DSMT4 , ceci se traduit par : M est limage de EMBED Equation.DSMT4 par la rotation de centre M, dangle EMBED Equation.DSMT4 , soit EMBED Equation.DSMT4 est rectangle isocèle en M.
3. a. Par récurrence : EMBED Equation.DSMT4 ; avec la relation donnée : EMBED Equation.DSMT4 ; ça marche au rang 0. On suppose que ça roule au rang n ; au rang n+1 on a alors avec la formule :
EMBED Equation.DSMT4
et dun autre côté par le calcul :
EMBED Equation.DSMT4
Ok !
b. EMBED Equation.DSMT4 .
4. Il faut trouver EMBED Equation.DSMT4 tel que
EMBED Equation.DSMT4
donc EMBED Equation.DSMT4 .
Antilles, juin 2006
5 points
Sur la figure donnée en annexe, on considère les carrés OABC et OCDE tels que :
EMBED Equation.DSMT4 .
On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC] et par H le point dintersection des segments [AD] et [IE].
1. Justifier lexistence dune similitude directe s transformant A en I et D en E.
2. Déterminer le rapport de cette similitude s.
On admet que langle de la similitude s est égal à EMBED Equation.DSMT4 .
3. Donner, sans justifier, limage de B par s.
4. Déterminer et placer limage de C par s.
5. Soit EMBED Equation.DSMT4 le centre de la similitude s.
a. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 appartient au cercle de diamètre [AI] et à celui de diamètre [DE].
b. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 ne peut être le point H.
c. Construire EMBED Equation.DSMT4 .
6. On considère le repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer lécriture complexe de la similitude s.
b. En déduire laffixe du centre EMBED Equation.DSMT4 de s.
EMBED Chamois.Document

La Réunion, juin 2006
5 points
On complètera la figure donnée en annexe 2 au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.
ABCD est un carré tel que EMBED Equation.DSMT4 . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment [CD].
On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.
Le but de lexercice est détudier certaines propriétés de la similitude s. Dans la partie A on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie B on utilisera les nombres complexes.
Partie A
1. Déterminer le rapport et langle de la similitude s.
2. On désigne par EMBED Equation.DSMT4 le centre de cette similitude. EMBED Equation.DSMT4 est le cercle de diamètre [AI], EMBED Equation.DSMT4 est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 est lun des points dintersection de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Placer EMBED Equation.DSMT4 sur la figure.
3. Donner limage par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I.
4. On pose EMBED Equation.DSMT4 (composée de s avec elle même).
a. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).
b. Trouver limage du point A par h. En déduire que les points A, EMBED Equation.DSMT4 et K sont alignés.
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2, 2 + 2i et 2i.
1. Démontrer que lécriture complexe de la similitudes est EMBED Equation.DSMT4 .
2. Calculer laffixe du point EMBED Equation.DSMT4 .
3. Calculer laffixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure.
Sim. indirecte+lieu, Liban, juin 2006 (c)
5 points
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points A daffixe 3i et B daffixe 6 ; unité graphique : 1 cm.
Partie A
1. Montrer quil existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.
2. Montrer quil existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.
Partie B
1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M daffixe z, associe le point M daffixe EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 désigne le conjugué de z.
Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.
2. Soit h lhomothétie de centre K et de rapport EMBED Equation.DSMT4 . On pose EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.
b. On désigne par M limage du point M daffixe z par la transformation g. Montrer que lécriture complexe de g est EMBED Equation.DSMT4 où z est laffixe de M.
c. Montrer quil existe sur laxe EMBED Equation.DSMT4 un unique point invariant par g ; on le note L. Reconnaître alors la transformation g.
d. En déduire que la transformation f est la composée dune homothétie h suivie de la réflexion daxe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h.
3. Déterminer les droites EMBED Equation.DSMT4 telles que f ( EMBED Equation.DSMT4 ) et EMBED Equation.DSMT4 soient parallèles.
Correction
A daffixe 3i et B daffixe 6.
Partie A
1. EMBED Equation.DSMT4 .
Angle : EMBED Equation.DSMT4 , rapport : 2, point invariant : EMBED Equation.DSMT4 .
2. EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
1. EMBED Equation.DSMT4 .
On cherche le point invariant : EMBED Equation.DSMT4 ; K a pour affixe "2 + 4i.
2. a. et b. EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 . Il sagit bien dune isométrie car le module du coefficient de EMBED Equation.DSMT4 est 1 ; limage de K est EMBED Equation.DSMT4 , on retrouve bien K.
c. EMBED Equation.DSMT4 ; si L est invariant il est tel que EMBED Equation.DSMT4 ; sil est sur EMBED Equation.DSMT4 , son abscisse est nulle, soit x = 0, ce qui donne le point 2i.
g. est donc la réflexion daxe (KL), déquation EMBED Equation.DSMT4 .
d. On a EMBED Equation.DSMT4 donc h est lhomothétie de centre K, de rapport 2.
3. Comme EMBED Equation.DSMT4 transforme une droite en une droite parallèle, il suffit que EMBED Equation.DSMT4 soit parallèle à (KL) pour que son image le soit également.
Spirale, Pondicherry, avril 2006
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . On prendar pour unité graphique 5 cm.
Soit f la transformation qui, à tout point M daffixe z, associe le point M daffixe z définie par :
EMBED Equation.DSMT4 .
1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre EMBED Equation.DSMT4 (daffixe EMBED Equation.DSMT4 ), le rapport k et langle EMBED Equation.DSMT4 .
2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points.
b. Pour tout entier naturel n, on pose EMBED Equation.DSMT4 . Justifier que EMBED Equation.DSMT4 est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, EMBED Equation.DSMT4 .
c. A partir de quel rang EMBED Equation.DSMT4 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
3. a. Quelle est la nature du triangle EMBED Equation.DSMT4 ? En déduire la nature du triangle EMBED Equation.DSMT4 .
b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2An"1An .On a ainsi EMBED Equation.DSMT4 . Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite EMBED Equation.DSMT4 ?
Sim. indirecte, Nouvelle Calédonie, nov 2005 (c)
Le plan est rapporté au repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . Unité graphique : 4 cm
Partie I
1. Placer les points I, J, H, A, B, C, D d affixes respectives : zI = 1, zJ = i, zH = 1+i, zA = 2, EMBED Equation.DSMT4 , zC = 2i et zD = "1.
2. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F.
Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 .
3. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.
Partie II
On considère la transformation f du plan, décriture complexe : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer les images des points O, A, B par f.
2. a. Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie ?
b. Déterminer lensemble des points invariants par f.
c. La transformation f est-elle une symétrie axiale ?
3. Soit t la translation de vecteur EMBED Equation.DSMT4 . Donner l écriture complexe de t et celle de sa réciproque t"1.
4. On pose s = f o t"1.
a. Montrer que l écriture complexe de s est : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s.
c. En déduire que f est la composée dune translation et dune symétrie axiale à préciser.
Correction
Partie I
1. Voir figure.
2. EMBED Equation.DSMT4 (zE +zB ) = zH doù zE = EMBED Equation.DSMT4 + i
EMBED Equation.DSMT4 ; cest un vecteur normal à (CF) donc, léquation de (CF) est EMBED Equation.DSMT4 et puisquelle passe par C, c = "2. De plus, F est le point de (CF) d abscisse 1, son ordonnée est EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 .3. OA = OC = 2, EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , les triangles OAB et OCF ont des côtés deux à deux égaux : ils sont isométriques.
Partie II
1. Limage de O a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 , f(O) = C ; limage de A a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 , f(A) = O ; limage de B a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 , f(B) = F.
2. a. Lécriture complexe de f est celle dune similitude indirecte. Le triangle OAB et son image COF sont isométriques : f est donc une isométrie.
b. z est invariant par f si et seulement si EMBED Equation.DSMT4 ce qui est impossible.
c. Les points de laxe dune symétrie axiale sont invariants donc f nest pas une symétrie axiale.

3. EMBED Equation.DSMT4 a pour affixe 1 + i : lécriture complexe de t est donc EMBED Equation.DSMT4 et celle de EMBED Equation.DSMT4 est EMBED Equation.DSMT4 .
4. EMBED Equation.DSMT4 .
a. EMBED Equation.DSMT4 : lécriture complexe de s est donc EMBED Equation.DSMT4 .
b. s(I) a pour affixe i + 1 + i = 1, s(I) = I. s(J) a pour affixe (i)(i) + 1 + i = i, s(J) = J.
I et J sont invariants par s : une similitude distincte de lidentité qui a deux point invariants distincts est une symétrie axiale : s est donc la symétrie axiale daxe (IJ).
c. Pour tout point M, EMBED Equation.DSMT4 , f est la composée de la translation de vecteur EMBED Equation.DSMT4 et de la réflexion daxe (IJ).
Similitude+suite, Am. Sud, nov 2005
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D daffixes respectives a, b, c et d telles que :
a = i, b = 1 + 2i, EMBED Equation.DSMT4 et d = 3 + 2i.
On considère la similitude directe s qui transforme A en B et C en D. Soit M un point daffixe z et M, daffixe z, son image par s.
1. Exprimer z en fonction de z. Déterminer les éléments caractéristiques de s.
Soit (Un) la suite numérique définie par : EMBED Equation.DSMT4 pour tout n EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 etUn sont premiers entre eux.
3. Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude s, les termes dela suite (Un).
4. Montrer que pour tout entier naturel n, EMBED Equation.DSMT4 .
5. Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
La notation pgcd(a ; b) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels a et b. Montrer pour EMBED Equation.DSMT4 légalité
EMBED Equation.DSMT4 .
6. Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que : EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer le nombre : pgcd(U2005 , U15).
QCM arith+géom, National, sept 2005
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidatindiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification nest demandée.
1. On considère dans lensemble des entiers relatifs léquation : EMBED Equation.DSMT4 .
A : toutes les solutions sont des entiers pairs.
B : il ny a aucune solution.
C : les solutions vérifient EMBED Equation.DSMT4 .
D : les solutions vérifient EMBED Equation.DSMT4 ou EMBED Equation.DSMT4 .
2. On se propose de résoudre léquation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.
A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k"7 ; 5"24k), EMBED Equation.DSMT4 .
B : L équation (E) n a aucune solution.
C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k"7 ; 5"12k), EMBED Equation.DSMT4 .
D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = ("7k ; 5k), EMBED Equation.DSMT4 .
3. On considère les deux nombres n = 1 789 et p = 17 892 005. On a alors :
A : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . C : EMBED Equation.DSMT4 .
B : p est un nombre premier. D : EMBED Equation.DSMT4 .
4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B daffixes respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct dhypoténuse [AB] si et seulement si le point M daffixe z est tel que :
A : EMBED Equation.DSMT4 . C: a " z = i(b " z).
B : EMBED Equation.DSMT4 . D : EMBED Equation.DSMT4 .
5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d angle EMBED Equation.DSMT4 ; soit g la similitude directe de centre A, de rapport EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 ; soit h la symétrie centrale de centre I.
A : EMBED Equation.DSMT4 transforme A en B et cest une rotation.
B : EMBED Equation.DSMT4 est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].
C : EMBED Equation.DSMT4 nest pas une similitude.
D : EMBED Equation.DSMT4 est la translation de vecteur EMBED Equation.DSMT4 .
Réflexion+Bézout, Pondicherry, avril 2005 (c)
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . On considère lapplication f qui au point M daffixe z fait correspondre le point M daffixe z tel que EMBED Equation.DSMT4 .
1. On note x et x, y et y les parties réelles et imaginaires de z et z. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Déterminer lensemble des points invariants par f.
b. Quelle est la nature de lapplication f ?
3. Déterminer lensemble D des points M daffixe z tels que z soit réel.
4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.
a. Donner une solution particulière EMBED Equation.DSMT4 appartenant à EMBED Equation.DSMT4 de léquation EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer lensemble des solutions appartenant à EMBED Equation.DSMT4 de léquation EMBED Equation.DSMT4 .
5. On considère les points M daffixe EMBED Equation.DSMT4 tels que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Le point EMBED Equation.DSMT4 a pour affixe z. Déterminer les entiers y tels que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).
Correction
1. EMBED Equation.DSMT4
doù par identification : EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Avec EMBED Equation.DSMT4 , on a les points invariants avec le système suivant :
EMBED Equation.DSMT4 .
Les points invariants forment donc la droite EMBED Equation.DSMT4 déquation EMBED Equation.DSMT4 .
b. f est donc une réflexion par rapport à laxe EMBED Equation.DSMT4 .
3. z est réel si EMBED Equation.DSMT4 ; encore une droite.
4. a. Une solution particulière EMBED Equation.DSMT4 dans EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 est (2 ; 2) de manière évidente.
b. On a donc EMBED Equation.DSMT4 .
5. M : EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 ;
EMBED Equation.DSMT4 .
Vérifions : si EMBED Equation.DSMT4 , alors EMBED Equation.DSMT4 , ok !
Divine proportion, Amérique du Nord, juin 2005 (c)
La figure jointe en annexe sera complétée au cours de lexercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction.
Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB =2, EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Démonstration de cours : démontrer quil existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.
b. Déterminer le rapport et une mesure de langle de S.
2. On appelle EMBED Equation.DSMT4 le centre de S. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point EMBED Equation.DSMT4 .
3. On note D limage du point C par la similitude S.
a. Démontrer lalignement des points A, EMBED Equation.DSMT4 et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.
b. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
a. Expliquer la construction de limage F du point E par S et placer F sur la figure.
b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?
EMBED Chamois.Document
Correction
1. a. Prendre un repère de centre A, B a alors pour affixe 2 et C EMBED Equation.DSMT4 .
La similitude S qui envoie B en A et A en C sécrit EMBED Equation.DSMT4 .
b. Le rapport de S est EMBED Equation.DSMT4 et son angle est EMBED Equation.DSMT4 .
2. Comme on a EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 appartient au cercle de diamètre [AB] ; par ailleurs en effectuant deux fois S, on a EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 appartient à la droite (BC).
3. a. Reprenons ce que lon vient de faire : EMBED Equation.DSMT4 donc A, EMBED Equation.DSMT4 et D sont alignés ; de plus EMBED Equation.DSMT4 donc les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
EMBED Chamois.Document
b. Ona EMBED Equation.DSMT4 .
4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
a. La droite (BE) se transforme en une droite perpendiculaire à (BE) passant par limage de B, soit A, cest (AB). La droite (CE) se transforme en une droite perpendiculaire à (CE) passant par limage de C, soit D, cest (DF).
b. Le quadrilatère BFDE semble être un carré
On a EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 ; de plus on a des angles droits partout, cest bon.
En fait le rectangle AFDC est un « rectangle dor », soit tel que EMBED Equation.DSMT4 , cest la « divine proportion ».
Image dune figure, Asie, juin 2005
Le but de cet exercice est détudier les similitudes directes qui transforment lensemble S1 des sommets dun carré C1 donné en lensemble S2 des sommets dun carré C2 donné.
Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct R= EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
C1 est le carré de sommets A, B, C, D et de centre O1, C2 est le carré de sommet E, F, G, H de centre O2. S1 est donc lensemble {A, B, C, D} et S2 lensemble {E, F, G, H}.
1. Placer tous les points dans le repère R, construire les carrés C1 et C2.
2. Soit h lhomothétie de centre EMBED Equation.DSMT4 daffixe "1 et de rapport 2. Donner l écriture complexe de h et prouver que h transforme S1 en S2.
3. Soit s une similitude directe qui transforme S1 en S2 et soit g la transformation EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quel est le rapport de la similitude s ?
b. Prouver que g est une isométrie qui laisse S1 globalement invariant.
c. Démontrer que g(O1) =O1.
d. En déduire que g est lune des transformations suivantes : lidentité, la rotation r1 de centre O1 et dangle EMBED Equation.DSMT4 , la rotation r2 de centre O1 et dangle EMBED Equation.DSMT4 , la rotation r3 de centre O1 et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
e. En déduire les quatre similitudes directes qui transforment S1 en S2.
4. Étude des centres de ces similitudes.
a. Déterminer les écritures complexes de EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire les centres EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 de ces similitudes et les placer sur le dessin.
Tr. rectangles isocèles, National, juin 2005
Le but de lexercice est détudier quelques propriétés de la figure ci-contre.
On munit le plan dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits étant respective-ment les points R, S, T et U).
Partie A
On désigne par m, n, p et q, les affixes respectives des points M, N, P et Q.
1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R.
a. Déterminer le rapport et langle de la similitude f .
b. On désigne par r laffixe du point R. EMBED Chamois.Document Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 où i désigne le nombre complexe de module 1 et dargument EMBED Equation.DSMT4 (on pourra éventuellement utiliser lécriture complexe de la similitude f ).
On admettra que lon a également les résultats EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , où s, t et u désignent les affixes respectives des points S, T et U.
2. Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même isobarycentre.
3. a. Démontrer légalité u " s = i(t " r).
b. Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d une part, et pour les droites (RT) et (SU), d autre part ?
Partie B
Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.
1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, quil existe une unique rotation g qui transforme R en S et T en U.
2. Décrire comment construire géométriquement le point EMBED Equation.DSMT4 , centre de la rotation g. Réaliser cette construction sur la figure de lannexe.
S. indirecte+bézout, Polynésie, nov 2004 (c)
Le plan est muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On prendra sur la figure 1 cm pour unité graphique.
On désigne par A, B et C les points daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à tout point M daffixe z associe le point M = f(M) daffixe z définie par :
EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer les affixes des points A = f(A) et C= f(C).
b. En déduire la nature de f et caractériser cette transformation.
c. Placer les points A, B et C puis construire le point B = f(B).
2. a. Donner lécriture complexe de lhomothétie h de centre A et de rapport EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que la composée EMBED Equation.DSMT4 a pour écriture complexe EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. Soit M0 le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer laffixe du point EMBED Equation.DSMT4 puis vérifier que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont orthogonaux.
b. On considère un point M daffixe z. On suppose que la partie réelle x et la partie imaginaire y de z sont des entiers. Démontrer que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont orthogonaux si, et seulement si, EMBED Equation.DSMT4 .
c. Résoudre dans EMBED Equation.DSMT4 léquation EMBED Equation.DSMT4 .
d. En déduire les points M, dont les coordonnées sont des entiers appartenant à lintervalle EMBED Equation.DSMT4 , tels que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure.
Correction
On désigne par A, B et C les points daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
b. On a EMBED Equation.DSMT4 donc f est une isométrie. Par ailleurs les deux points A et C sont invariants donc f est une réflexion daxe (AC).
c.
EMBED Chamois.Document
2. a. EMBED Equation.DSMT4
b. EMBED Equation.DSMT4 , soit
EMBED Equation.DSMT4 ;
il reste à simplifier :
EMBED Equation.DSMT4 ,
soit finalement EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 ; avec le produit scalaire on a : EMBED Equation.DSMT4 , les vecteurs sont orthogonaux.
b. EMBED Equation.DSMT4 ;
le produit scalaire donne EMBED Equation.DSMT4 et est nul lorsque EMBED Equation.DSMT4 .
c. On a une solution évidente : x = 2, y = "4 ; soustrayons :
EMBED Equation.DSMT4 .
d. EMBED Equation.DSMT4 .
Il y a trois points seulement : m (2 ; "4), A ("1 ; 1) et n ("4 ; 6).
EMBED Chamois.Document
Tr. équilatéral+lieu de points, National, sept 2004 (c)
A et C sont deux points distincts du plan ; on note EMBED Equation.DSMT4 le cercle de diamètre [AC] et O le centre de EMBED Equation.DSMT4 . B est un point du cercle EMBED Equation.DSMT4 distinct des points A et C.
Le point D est construit tel que le triangle BCD soit équilatéral direct ; on a donc EMBED Equation.DSMT4 .
Le point G est le centre de gravité du triangle BCD. Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M.
Partie A
1. Placer les points D, G et M sur la figure de la feuille annexe.
2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point G est le milieu du segment [CM].
3. Déterminer langle et le rapport de la similitude directe s de centre C transformant B en C. EMBED Chamois.Document Partie B
Dans cette question le plan est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives "1 et +1.
Soit E le point construit pour que le triangle ACE soit équilatéral directe ; on a donc EMBED Equation.DSMT4 .
1. Calculer l affixe du point E et construire le point E sur la feuille annexe.
2. Soit EMBED Equation.DSMT4 la similitude directe dexpression complexe EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer les éléments carctéristiques de EMBED Equation.DSMT4 et en déduire que EMBED Equation.DSMT4 est la similitude réciproquie de s.
3. Montrer que limage E de E par EMBED Equation.DSMT4 a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 et montrer que le point E appartient au cercle EMBED Equation.DSMT4 .
4. On note EMBED Equation.DSMT4 le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle EMBED Equation.DSMT4 privé des points A et C. Montrer que le point E appartient à EMBED Equation.DSMT4 .
Soit O limage du point O par la similitude s. Démontrer que le point O est le centre de gravité du triangle ACE. En déduire une construction de EMBED Equation.DSMT4 .
Correction
2. [BC] est une corde du cercle EMBED Equation.DSMT4 donc OB = OC ; par ailleurs dans un triangle équilatéral le centre de gravité et le troisième sommet sont sur la médiatrice, ici sur celle de [BC]. (GC) est la médiatrice de [BD] ; par ailleurs on a EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 , moralité M est le symétrique de G par rapport à [BD] et GM = CG.
EMBED Chamois.Document 3. On regarde les images par EMBED Equation.DSMT4
Partie B
1.
EMBED Chamois.Document
2. EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 donc rapport EMBED Equation.DSMT4 et angle EMBED Equation.DSMT4 . On cherche le centre : EMBED Equation.DSMT4 , cest donc C. La réciproque dune similitude a même centre, un rapport inverse et un angle opposé : cest bien le cas ici.
3. E est sur laxe imaginaire, son affixe est EMBED Equation.DSMT4 (hauteur dun triangle équilatéral de côté 2). Son image a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 qui a évidemment pour module 1 et est donc sur EMBED Equation.DSMT4 .
4. Comme EMBED Equation.DSMT4 , on a EMBED Equation.DSMT4 puisque s est la réciproque de EMBED Equation.DSMT4 ; comme E est sur EMBED Equation.DSMT4 , E est sur EMBED Equation.DSMT4 .
Lorsque B parcourt EMBED Equation.DSMT4 , M parcourt le cercle de centre s(O)=O et de rayon EMBED Equation.DSMT4 .
On obtient laffixe de O « facilement » en écrivant que
EMBED Equation.DSMT4 .
Celle du centre de gravité de ACE est EMBED Equation.DSMT4 .
E est un point de EMBED Equation.DSMT4 et O son centre, la construction est faite.
EMBED Chamois.Document
QCM géo+arith, Antilles, sept 2004
Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué.
1. Le PGCD de 2 004 et 4 002 est 6.
2. Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2pq "1 est divisible par 2p "1 et par 2q "1.
3. Pour tout n de EMBED Equation.DSMT4 *, 2n "1 n est jamais divisible par 9.
4. L ensemble des couples d entiers solutions de l équation : 24x +35y = 9 est l ensemble des couples :
("144+70k ; 99"24k) où EMBED Equation.DSMT4 .
5. Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f lhomothétie de centre A et de rapport 3 et g lhomothétie de centre B et de rapport EMBED Equation.DSMT4 alors EMBED Equation.DSMT4 est la translation de vecteur EMBED Equation.DSMT4 .
6. Soit s la similitude décriture complexe EMBED Equation.DSMT4 , lensemble des points invariants de s est une droite.
Spirale, Am. du Sud, nov 2004 (c)
Soit A0 et B0 deux points du plan orienté tels que A0B0 = 8. On prendra le centimètre pour unité.
Soit S la similitude de centre A0, de rapport EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 . On définit une suite de points (Bn) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, Bn+1 = S(Bn).
1. Construire B1, B2, B3 et B4.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, les triangles A0BnBn+1 et A0Bn+1Bn+2 sont semblables.
3. On définit la suite (ln) par : pour tout entier naturel n, ln = BnBn+1.
a. Montrer que la suite (ln) est une suite géométrique et préciser sa raison.
b. Exprimer ln en fonction de n et de l0.
c. On pose Ln = l0 +l1+···+ln. Déterminer la limite de Ln lorsque n tend vers EMBED Equation.DSMT4 .
4. a. Résoudre l équation 3x "4y = 2 où x et y sont deux entiers relatifs.
b. Soit EMBED Equation.DSMT4 la droite perpendiculaire en A0 à la droite (A0B0). Pour quelles valeurs de lentier naturel n, Bn appartient-il à EMBED Equation.DSMT4 ?
Correction
1. Rien ninterdit de prendre A0 à lorigine et B0 en z = 8. On a alors EMBED Equation.DSMT4 , doù en notant EMBED Equation.DSMT4 laffixe de Bn : EMBED Equation.DSMT4 , soit EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Chamois.Document
Enfin, bref, à chaque fois on tourne de EMBED Equation.DSMT4 et on divise la distance par 2.
2. Par S on a EMBED Equation.DSMT4 donc les triangles EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont semblables.
3. a. EMBED Equation.DSMT4 puisque les triangles sont semblables et que le rapport de similitude est 1/2.
b. EMBED Equation.DSMT4 .
c. EMBED Equation.DSMT4 .
4. a. EMBED Equation.DSMT4 a comme solution évidente x = 2, y = 1 : 3.2 " 4.1 = 2. Soustrayons :
EMBED Equation.DSMT4
d où les solutions EMBED Equation.DSMT4 , k entier relatif.
b. On voit sur la figure que B2 est sur EMBED Equation.DSMT4 ; en faisant EMBED Equation.DSMT4 à chaque fois il faudra 4 coups pour revenir sur EMBED Equation.DSMT4 , les valeurs de n correspondantes sont donc EMBED Equation.DSMT4 .
Sinon on peut repartir sur EMBED Equation.DSMT4 qui est imaginaire pur lorsque EMBED Equation.DSMT4 , soit les solutions précédentes.
Similitude indirecte, Am. du Nord, mai 2004
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 .
Soient les points A, A, B et B daffixes respectives : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Placer les points A, A, B et B dans le plan complexe. Monter que ABBA est un rectangle.
b. Soit s la réflexion telle que s(A) = A et s(B) = B. On note ( EMBED Equation.DSMT4 ) son axe.
Donner une équation de la droite ( EMBED Equation.DSMT4 ) et la tracer dans le plan complexe.
c. On note z laffixe du point M image par s du point M daffixe z. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit g lapplication du plan dans luimême qui à tout point M daffixe z associe le point P daffixe z définie par : EMBED Equation.DSMT4 .
a. On note C et D les images respectives de A et B par g ; déterminer les affixes de C et D et placer ces points dans le plan complexe.
b. Soit EMBED Equation.DSMT4 le point daffixe 1 + i etsoit h lhomothétie de centre EMBED Equation.DSMT4 et de rapport "2. Montrer que C et D sont les images respectives de A et B par h.
c. Soit M1 d affixe z1 l image par h de M, d affixe z. Donner les éléments caractéristiques de h"1 et exprimer z en fonction de z1.
3. On pose EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer lexpression complexe de f.
b. Reconnaître f. En déduire une construction du point P, imagepar g dun point M quelconque donné du plan.
Rotation, Antilles 2004
Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q lintersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaire EMBED Equation.DSMT4 à (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.
1. Faire une figure.
2. Soit r la rotation de centre A et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
a. Précisez, en justifiant votre réponse, limage de la droite (BC) par la rotation r.
b. Déterminez les images de R et de P par r.
c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS ?
3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. Soit s la similitude de centre A, dangle EMBED Equation.DSMT4 et de rapport EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminez les images respectives de R et de P par s.
b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ?
c. Démontrez que les points M, B, N et D sont alignés.
Rotation+carré, Liban, mai 2004 (c)
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B, C et D daffixes respectives zA = 2 + i, zB = 1 + 2i, zC = 6 + 3i, zD ="1 + 6i.
1. Représenter les points A, B, C et D.
2. Montrer qu il existe une similitude directe f telle que f (A) = B et f (C) = D.
Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments caractéristiques.
3. Soit J le point d affixe 3 + 5i. Montrer que la rotation R de centre J et dangle EMBED Equation.DSMT4 transforme A en D et C en B.
4. On appelle I le point daffixe 1 + i, M et N les milieux respectifs des segments [AC] et [BD].
Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN.
5. On considère les points P et Q tels que les quadrilatères IAPB et ICQD sont des carrés directs.
a. Calculer les affixes zP et zQ des points P et Q.
b. Déterminer EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ainsi quune mesure des angles EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe g telle que g(A) = P et g(C)= Q.
c. En déduire que J est limage de M par g. Que peut-on en déduire pour J ?
Correction
EMBED Chamois.Document
2. EMBED Equation.DSMT4 .
Comme EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , on a bien une rotation dangle EMBED Equation.DSMT4 .
Le point invariant est : EMBED Equation.DSMT4 .
3. R de centre J dangle EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 .
Limage de A est EMBED Equation.DSMT4 , celle de C : EMBED Equation.DSMT4 . Ok.
4. Il semble que IMJN est un carré : comme A a pour image B et C pour image D dans la rotation de centre I dangle EMBED Equation.DSMT4 , le milieu M de [AC] a pour image le milieu N de [BD] donc MIN est un triangle rectangle isocèle. Même chose pour MJN.
5. a. Pour P on fait la rotation de centre B dangle EMBED Equation.DSMT4 , ce qui donne EMBED Equation.DSMT4 ; pour Q on fait la rotation de centre D, ce qui donne EMBED Equation.DSMT4 .
b. EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 : rapport entre la diagonale et le côté du carré.
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 : angle entre le côté et la diagonale du carré.
Comme I est invariant, g est la similitude de centre I, dangle EMBED Equation.DSMT4 et de rapport EMBED Equation.DSMT4 .
c. Comme IMJN est un carré, J est limage de M par g. Je ne vois pas ce quon peut en déduire pour J.
Suite géométrique, Polynésie, juin 2004
Le plan P est rapporté a un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 3 cm.
On considère les points A, B, C et D daffixes respectives a, b, c et d telles que
a = 3, EMBED Equation.DSMT4 , c= 3i et EMBED Equation.DSMT4 .
1. Représenter les points A, B, C et D.
2. Déterminer langle EMBED Equation.DSMT4 et le rapport k de la similitude directe s transformant A en B et C en D.
3. Donner lécriture complexe de s. En déduire laffixe du centre I de s.
4. Soit M le point de coordonnées (x ; y) et M(x ; y) son image par s.
Montrer que : EMBED Equation.DSMT4 .
5. On construit une suite (Mn) de points du plan en posant EMBED Equation.DSMT4 pour tout entier naturel n.
On note zn laffixe du point Mn et on pose EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que (rn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que EMBED Equation.DSMT4 .
Rotations, homothéties, Am. du Sud, nov 2003 (c)
Le plan complexe estmuni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 (unité graphique : 1 cm).
On note r1 la rotation de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 et r2 la rotation de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A
1. Résoudre dans EMBED Equation.DSMT4 léquation (E) : 3y = 5(15 " x).
2. Soit I le point d affixe 1. On considère un point A mobile sur le cercle trigonométrique (C) de centre O. Sa position initiale est en I.
On appelle d la distance, exprimée en centimètres, qu a parcouru le point A sur le cercle (C) après avoir subi p rotations r1 et q rotations r2 (p et q étant des entiers naturels).
On convient que lorsque A subit la rotation r1 (respectivement r2), il parcourt une distance de EMBED Equation.DSMT4 cm (respectivement EMBED Equation.DSMT4 cm).
Déterminer toutes les valeurs possibles de p et q pour lesquelles le point A a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercle (C) à partir de I.
Partie B
On note h1 lhomothétie de centre O et de rapport 4 et h2 lhomothétie de centre O et de rapport "6. On pose EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de s1 et s2.
2. On pose EMBED Equation.DSMT4 (composée de m fois s1, m étant un entier naturel non nul), EMBED Equation.DSMT4 (composée de n fois s2, n étant un entier naturel non nul), et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Justifier que f est la similitude directe de centre O, de rapport EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
b. f peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?
c. On appelle M le point daffixe 6 et M son image par f. Peut-on avoir OM = 240 ? Démontrer quil existe un couple dentiers naturels unique (m, n) tel que OM = 576.
Calculer alors la mesure principale de langle orienté EMBED Equation.DSMT4 .
Correction
Partie A
1. 3y = 5(15 " x) : comme 5 ne divise pas 3, il doit diviser y, donc EMBED Equation.DSMT4 ; ceci donne alors
EMBED Equation.DSMT4 .
2. Comme l unité est le centimètre, la distance parcourue sur le cercle lorsque A fait un angle EMBED Equation.DSMT4 est EMBED Equation.DSMT4 centimètres (définition du radian). Après p fois r1 il a donc parcouru EMBED Equation.DSMT4 cm et après q fois r2, il a parcouru EMBED Equation.DSMT4 , soit au total EMBED Equation.DSMT4 .
On a alors EMBED Equation.DSMT4 . On retombe donc sur léquation précédente, ce qui donne EMBED Equation.DSMT4 .
Comme p et q doivent être positifs, on a EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ; ceci donne donc les 6 couples
EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
1. s1 est la similitude de centre O, dangle EMBED Equation.DSMT4 , de rapport 4, s2 est la similitude de centre O, dangle EMBED Equation.DSMT4 et de rapport 6 (attention au signe du rapport).
2. On pose EMBED Equation.DSMT4 (composée de m fois s1, m étant un entier naturel non nul), EMBED Equation.DSMT4 (composée de n fois s2, n étant un entier naturel non nul), et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Pour Sm on a le rapport 4 répété m fois, donc EMBED Equation.DSMT4 et pour angle EMBED Equation.DSMT4 ; pour EMBED Equation.DSMT4 on a le rapport 6 répété n fois, soit EMBED Equation.DSMT4 et langle EMBED Equation.DSMT4 , doù un total de EMBED Equation.DSMT4 pour le rapport et EMBED Equation.DSMT4 pour langle.
b. On a EMBED Equation.DSMT4 , il faudrait EMBED Equation.DSMT4 et donc un angle de
EMBED Equation.DSMT4 .
Ca colle pour le rapport mais pas pour langle.
c. Si OM = 240, OM = 6, alors le rapport de similitude doit être de 40, ce qui est impossible puisque 5 napparait pas comme diviseur dans le rapport.
Avec OM = 576, il faut EMBED Equation.DSMT4 donc langle est EMBED Equation.DSMT4 .
Similitudes, Pondichéry, mai 2003 (c)
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Première partie
ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soit ( un réel qui conduit à la réalisation de la figure ci-contresur laquelle on raisonnera.

d1 est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle EMBED Equation.DSMT4 .ð
d2 est l'image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d'angle EMBED Equation.DSMT4 .
d3 est l'image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d'angle EMBED Equation.DSMT4 .
A1 est le point d'intersection de d1 et d3, B1 celui de d1 et d2, et C1 celui de d2 et d3.
1. On appelle H le point d'intersection de (BC) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.
2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4
A - Construction de la figure
1. Placer les points A( "4"6i), B(14), C("4+6i), A1 (3"7i), B1(9 + 5i) et C1("3"i).
2. Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.
3. Montrer que A1, I, B1 sont alignés.
On admettra que B1, J, C1 d'une part, et C1, K, A1 d'autre part sont alignés.
4. Déterminer une mesure en radians de l'angle EMBED Equation.DSMT4 .
On admettra que EMBED Equation.DSMT4
5. Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle EMBED Equation.DSMT4 /4 ?
B - Recherche d'une similitude directes transformant ABC en A1B1C1
On admet qu'il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C respectivement en A1, B1 et C1.
1. Montrer que l'écriture complexe de s est EMBED Equation.DSMT4 , où z et z' désignent respectivement les affixes d'un point et de son image par s.
2. a. Déterminer le rapport et l'angle de s.
b. Déterminer l'affixe du centre EMBED Equation.DSMT4 de s.
3. Que représente le point EMBED Equation.DSMT4 pour le triangle ABC ?
Correction
Première partie
1. HIB et EMBED Equation.DSMT4 sont semblables : on a évidemment EMBED Equation.DSMT4 ; par ailleurs EMBED Equation.DSMT4 de même que EMBED Equation.DSMT4 puisque cest langle de rotation. Les triangles ont deux angles égaux, les triangles sont semblables.
2. Le troisième angle de chaque triangle est donc le même : EMBED Equation.DSMT4 .
Le raisonnement tenu à partir de I est valable dans les rotations de centres J et K, soit EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 donc ABC et EMBED Equation.DSMT4 sont semblables.
Deuxième partie
A. 1. A("4 " 6i), B(14), C("4 + 6i), EMBED Equation.DSMT4 (3 " 7i), EMBED Equation.DSMT4 (9 + 5i) et EMBED Equation.DSMT4 ("3 " i).
2. EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 .
3. L alignement revient à montrer soit que EMBED Equation.DSMT4 soit que EMBED Equation.DSMT4 avec k réel : on calcule de toutes manières EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ; on voit alors que k = "2.
4. Pour calculer l angle des vecteurs, on calcule largument du quotient des affixes des deux vecteurs :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
5. Comme A, I et B sont alignés et que EMBED Equation.DSMT4 , limage de (AB) est EMBED Equation.DSMT4 .
B. 1. On cherche a et b complexes tels que EMBED Equation.DSMT4 ; en résolvant on trouve bien EMBED Equation.DSMT4 .
2. Le rapport est EMBED Equation.DSMT4 , l'angle est EMBED Equation.DSMT4 . L'affixe du centre EMBED Equation.DSMT4 est celle du point invariant : EMBED Equation.DSMT4 .
3. EMBED Equation.DSMT4 Est-il le centre du cercle circonscrit ? EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . Donc oui.
Longueur de spirale, Am. du Nord, mai 2003
Le plan P est rapporté a un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 1 cm.
On considère les points A0, A1, A2 daffixes respectives z0 = 5"4i, z1 = "1"4i, z2 ="4"i.
1. a. Justifier l existence d une unique similitude directe S telle que S(A0) = A1 et S(A1) = A2.
b. Établir que l écriture complexe de S est EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire le rapport, l angle et l affixe EMBED Equation.DSMT4 du centre EMBED Equation.DSMT4 de la similitude S.
d. On considère un point M, daffixe z avec EMBED Equation.DSMT4 , et son image M, daffixe z. Vérifier la relation :
EMBED Equation.DSMT4 ; en déduire la nature du triangle EMBED Equation.DSMT4 MM.
2. Pour tout entier naturel n, lepoint An+1, est défini par An+1 = S(An) et on pose un = AnAn+1.
a. Placer les points A0, A1, A2 et construire géométriquement les points A3, A4, A5, A6.
b. Démontrer que la suite (un) est géométrique.
3. La suite (vn) est définie sur EMBED Equation.DSMT4 par vn = u0 +u1+···+un = EMBED Equation.DSMT4 .
a. Exprimer vn en fonction de n.
b. La suite (vn) est-elle convergente ?
4. a. Calculer en fonction de n le rayon rn du cercle circonscrit au triangle ©AnAn+1.
b. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n : si n > p alors rn ¬ ~òiÕ@+®3ùaÌ+méXÇ@¾-ýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýý789:opq°±²³æçè
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