BAC S 2007 corrige
(a) X suit une loi exponentielle de paramètre donc p( X > 5 ) = 1 ? p( X £ 5 ) .... ³ +
1 Û ( e 1/n ) n ³ ( + 1 ) n car la fonction puissance n-ième est croissante sur +.
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Correction du BAC S 2007 Nouvelle Calédonie
EXERCICE 1
1. c) 2. c) 3. b) 4. b) 5. c) 6. c) 7. a) 8. c)
EXERCICE 2
1. (a)
0,03 D
F1
0,25
0,97 eq \x\to(D)
0,75 0,02 D
F2
0,98
eq \x\to(D)
(b) p( D SYMBOL 199 \f "Symbol"\h F1 ) = p( F1 ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h pF eq \o(1)( D ) = 0,25 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 0,03 = 7,5 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 10 3
p( D ) = p( D SYMBOL 199 \f "Symbol"\h F1 ) + p( D SYMBOL 199 \f "Symbol"\h F2 ) = 7,5 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 10 3 + 0,75 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 0,02 = 0,022 5
(c) pD ( F1 ) = eq \s\do1(\f(p( D SYMBOL 199 \f "Symbol"\h F1 );p( D ))) = eq \s\do1(\f(7,5 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 10 3;0,022 5)) = eq \s\do1(\f(1;3))
2. Il sagit dun schéma de Bernoulli. Une même expérience est répétée 20 fois. Le succès est « la pièce est
défectueuse » avec pour probabilité p( D ). La variable aléatoire Y ( nombre de succès obtenus ) suit une
loi binomiale B ( 20 ; 0,0225 ) doù p( Y = k ) = eq \b(\a\ac\hs4\co1(20;k)) ( 0,0225 ) k ( 1 0,0225 ) 20 k .
p( Y SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 2 ) = 1 p ( Y < 2 ) = 1 [ p( Y = 0 ) + p( Y = 1 )]
p( Y = 0 ) = eq \b(\a\ac\hs4\co1(20;0)) ( 0,0225 ) 0 ( 0,9775 ) 20 = ( 0,9775 ) 20 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,634
p( Y = 1 ) = eq \b(\a\ac\hs4\co1(20;1)) ( 0,0225 ) 1 ( 0,9775 ) 19 = 20 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 0,0225 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h ( 0,9775 ) 19 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,292
p( Y SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 2 ) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,074
3. (a) X suit une loi exponentielle de paramètre ( donc p( X > 5 ) = 1 p( X SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 5 ) avec
p( X SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 5 ) = eq \i\in(\d\ba2()0 ;\d\fo1()5; ( e ( x dx ) = [ e ( x ] 50 = 1 e 5 ( doù p( X > 5 ) = e 5 (
p( X > 5 ) = 0,325 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e 5 ( = 0,325 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h 5 ( = ln 0,325 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h ( = eq \s\do1(\f(ln 0,325;5 )) ( SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,225 )
p( X SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 8 ) = 1 e 8( = 1 e 8 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 0,225 SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,835
p( X > 8 ) = 1 p( X SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 8 ) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,165
p( X > 8 / X > 3 ) = p( X > 5 ) car X suit une loi de durée de vie sans vieillissement
p( X > 8 / X > 3 ) = 0,325
EXERCICE 3
Partie A : dans votre cours !
Partie B f(x) = e x x 1 Df = EQ \o\al(I;\d\fo2()R)
1. (T) : y = f (a) ( x a ) + f(a) ( a SYMBOL 206 \f "Symbol"\h EQ \o\al(I;\d\fo2()R) )
f (x) = e x 1
(T) : y = ( e a 1 )( x a ) + ( e a a 1 ) = ( e a 1 ) x a ( e a 1 ) + ( e a a 1 )
= ( e a 1 ) x a e a + a + e a a 1
(T) : y = ( e a 1 ) x a e a + e a 1
2. (D) : y = x 1
(T) et (D) se coupent en un point N dabscisse b doù :
( e a 1 ) b a e a + e a 1 = b 1 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e a b b a e a + e a 1 = b 1
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e a ( b a + 1 ) b 1 = b 1
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e a ( b a + 1 ) = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e a = 0 ou b a + 1 = 0
e a = 0 est impossible donc b a = 1
3. Construction de la tangente (T) à (C) au point M dabscisse 1,5 :
a = 1,5 donc b = 0,5
On place le point M de (C) dabscisse 1,5 et le point N de (D) dabscisse 0,5 puis on trace la droite (MN).
Partie C
1. (C) se situe au-dessus de laxe des abscisses donc f SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 0 sur EQ \o\al(I;\d\fo2()R).
2. On en déduit que, pour tout réel x, e x x 1 SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 0 soit e x SYMBOL 179 \f "Symbol"\h x + 1
En particulier pour x = eq \s\do1(\f(1;n)) avec n un entier naturel non nul, on a : e 1/n SYMBOL 179 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(1;n)) + 1 (1)
En particulier pour x = eq \s\do1(\f(1;n + 1)) avec n un entier naturel non nul, on a : e 1/(n + 1) SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 1 eq \s\do1(\f(1;n + 1)) (2)
3. Pou tout entier naturel n non nul, on a :
e 1/n SYMBOL 179 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(1;n)) + 1 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h ( e 1/n ) n SYMBOL 179 \f "Symbol"\h ( eq \s\do1(\f(1;n)) + 1 ) n car la fonction puissance n-ième est croissante sur EQ \o\al(I;\d\fo2()R) +
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e SYMBOL 179 \f "Symbol"\h ( eq \s\do1(\f(1;n)) + 1 ) n
soit ( 1 + eq \s\do1(\f(1;n)) ) n SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e
4. Pou tout entier naturel n non nul, on a :
e 1/(n + 1) SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 1 eq \s\do1(\f(1;n + 1)) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e 1/(n + 1) SYMBOL 179 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(n + 1 1;n + 1))
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e 1/(n + 1) SYMBOL 179 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(n;n + 1 )) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h ( e 1/(n + 1) ) n + 1 SYMBOL 179 \f "Symbol"\h ( eq \s\do1(\f(n;n + 1 )) ) n + 1 car la fonction puissance n-ième est croissante
sur EQ \o\al(I;\d\fo2()R) +
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e 1 SYMBOL 179 \f "Symbol"\h ( eq \s\do1(\f(n;n + 1 )) ) n + 1 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(1;e)) SYMBOL 179 \f "Symbol"\h ( eq \s\do1(\f(n;n + 1 )) ) n + 1
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e SYMBOL 163 \f "Symbol"\h ( eq \s\do1(\f(n + 1;n)) ) n + 1 car la fonction inverse est décroissante sur ] 0 ; + SYMBOL 165 \f "Symbol"\h [
soit e SYMBOL 163 \f "Symbol"\h ( 1 + eq \s\do1(\f(1;n)) ) n + 1
5. Daprès les questions 3. et 4., on en déduit que, pour tout naturel n non nul,
( 1 + eq \s\do1(\f(1;n)) ) n SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e SYMBOL 163 \f "Symbol"\h ( 1 + eq \s\do1(\f(1;n)) ) n + 1
Posons un = eq \b(1 + eq \s\do1(\f(1;n))) eq \o\al(\s\up9(n)) pour n SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 1
on a un SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e SYMBOL 163 \f "Symbol"\h ( 1 + eq \s\do1(\f(1;n)) ) n + 1
0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e un SYMBOL 163 \f "Symbol"\h ( 1 + eq \s\do1(\f(1;n)) ) n + 1 un
0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e un SYMBOL 163 \f "Symbol"\h ( 1 + eq \s\do1(\f(1;n)) ) n + 1 ( eq \s\do1(\f(1;n)) + 1 )n
0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e un SYMBOL 163 \f "Symbol"\h ( 1 + eq \s\do1(\f(1;n)) ) n [ ( eq \s\do1(\f(1;n)) + 1 ) 1 ]
0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e un SYMBOL 163 \f "Symbol"\h ( 1 + eq \s\do1(\f(1;n)) ) n SYMBOL 180 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(1;n))
or ( eq \s\do1(\f(1;n)) + 1 ) n SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e daprès 3.
0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e un SYMBOL 163 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(e;n)) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e SYMBOL 163 \f "Symbol"\h un SYMBOL 163 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(e;n)) e SYMBOL 219 \f "Symbol"\h e eq \s\do1(\f(e;n)) SYMBOL 163 \f "Symbol"\h un SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e
pour tout naturel n SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 1, e ( 1 eq \s\do1(\f(1;n)) ) SYMBOL 163 \f "Symbol"\h eq \b(1 + eq \s\do1(\f(1;n))) eq \o\al(\s\up9(n)) SYMBOL 163 \f "Symbol"\h e
On a, de plus, eq \o(lim;\s\do11(n ( +SYMBOL 165 \f "Symbol"\h)) eq \s\do1(\f(1;n)) = 0 donc eq \o(lim;\s\do11(n ( +SYMBOL 165 \f "Symbol"\h)) e ( 1 eq \s\do1(\f(1;n)) ) = e et, daprès le théorème des gendarmes,
eq \o(lim;\s\do11(n ( +SYMBOL 165 \f "Symbol"\h)) eq \b(1 + eq \s\do1(\f(1;n))) eq \o\al(\s\up9(n)) = e.
EXERCICE 4
1. (a) H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC) donc (OH) SYMBOL 94 \f "Symbol"\h (ABC) et (OH) SYMBOL 94 \f "Symbol"\h (BC).
eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OA) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC) = eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OA) . ( eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );BO) + eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OC) ) = eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OA) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );BO) + eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OA) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OC)
or les triangles OAB et OCA sont rectangles en O donc eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OA) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );BO) = 0 et eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OA) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OC) = 0
doù eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OA) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC) = 0 et (OA) SYMBOL 94 \f "Symbol"\h (BC).
(b) eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );AH) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC) = ( eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );AO) + eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OH) ) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC) = eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );AO) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC) + eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OH) . eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC) = 0 daprès (a) ainsi (AH) SYMBOL 94 \f "Symbol"\h (BC).
(c) (AH) SYMBOL 94 \f "Symbol"\h (BC) donc la droite (AH) est une hauteur du triangle ABC
(BH) SYMBOL 94 \f "Symbol"\h (AC) donc la droite (BH) est une hauteur du triangle ABC
Les hauteurs (AH) et (BH) se coupent en H donc H est lorthocentre de ABC.
2. (a) Le plan (ABC) a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0
A( 1 ; 0 ; 0 ) SYMBOL 206 \f "Symbol"\h (ABC) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h a + d = 0
B( 0 ; 2 ; 0 ) SYMBOL 206 \f "Symbol"\h (ABC) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h 2b + d = 0
C( 0 ; 0 ; 3 ) SYMBOL 206 \f "Symbol"\h (ABC) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h 3c + d = 0
On cherche a, b et c en supposant connu d : on résout eq \b\lc\{( \s(a = d;b = eq \s\do1(\f(d;2));c = eq \s\do1(\f(d;3)))) on choisit d = 6
donc a = 6, b = 3 et c = 2 doù (ABC) : 6x + 3y + 2z 6 = 0.
Soit M( x ; y ; z ) un point de la droit D passant par O et orthogonale à (ABC).
eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );n)( 6 ; 3 ; 2 ) est un vecteur normal du plan (ABC) et un vecteur directeur de D.
M( x ; y ; z ) SYMBOL 206 \f "Symbol"\h D SYMBOL 219 \f "Symbol"\h eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );OM) = t eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );n) ( t SYMBOL 206 \f "Symbol"\h EQ \o\al(I;\d\fo2()R) ) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h eq \b\lc\{( \s(x = 6t;y = 3t;z = 2t)) ( t SYMBOL 206 \f "Symbol"\h EQ \o\al(I;\d\fo2()R) ).
eq \b\lc\{( \s(x = 6t;y = 3t;z = 2t)) ( t SYMBOL 206 \f "Symbol"\h EQ \o\al(I;\d\fo2()R) ) est une représentation paramétrique de D.
Les coordonnées du point dintersection de (ABC) et D est solution du système :
eq \b\lc\{( \s(x = 6t;y = 3t;z = 2t; 6x + 3y + 2z 6 = 0))
On remplace x, y et z dans la dernière équation : 36t +9t +4t 6 = 0
et on trouve t : 49t = 6 soit t = eq \s\do1(\f(6;49)) . Ainsi H( eq \s\do1(\f(36;49)) ; eq \s\do1(\f(18;49)) ; eq \s\do1(\f(12;49)) ).
(a) La distance de O au plan (ABC) est : OH = eq \s\do1(\f(SYMBOL 189 \f "Symbol"\h6 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 0 + 3 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 0 + 2 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 0 6 SYMBOL 189 \f "Symbol"\h; eq \r(62 + 32 + 22))) = eq \s\do1(\f(6;7))
(b) V (OABC) = eq \s\do1(\f(1;3)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h OC SYMBOL 180 \f "Symbol"\h A (OAB) avec A (OAB) = eq \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h OA SYMBOL 180 \f "Symbol"\h OB = eq \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 = 1
V (OABC) = eq \s\do1(\f(1;3)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 3 = 1
De plus V (OABC) = eq \s\do1(\f(1;3)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h OH SYMBOL 180 \f "Symbol"\h A (ABC)
1 = eq \s\do1(\f(1;3)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(6;7)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h A (ABC) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h A (ABC) = eq \s\do1(\f(7;2))
(c) [A (ABC) ] 2 = eq \s\do1(\f(49;4))
[A (OAB) ] 2 = 1
[A (OAC) ] 2 = [ eq \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h OA SYMBOL 180 \f "Symbol"\h OC ]2 = eq \s\do1(\f(9;4))
[A (OBC) ] 2 = [ eq \s\do1(\f(1;2)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h OB SYMBOL 180 \f "Symbol"\h OC ]2 = 9
[A (OAB) ] 2 + [A (OAC) ] 2 + [A (OBC) ] 2 = eq \s\do1(\f(49;4))
En effet, [A (ABC) ] 2 = [A (OAB) ] 2 + [A (OAC) ] 2 + [A (OBC) ] 2
EXERCICE 4 ( spécialité)
1. (a) 6 a" 6 [11] 62 a" 3 [11] 63 a" 7 [11] 64 a" 9 [11] 65 a" 1 [11] donc 610 a" 1 [11]
Le reste de la division euclidienne de 610 par 11 est 1.
(b) 6 a" 1 [5] 62 a" 1 [5] donc 64 a" 1 [5]
Le reste de la division euclidienne de 64 par 5 est 1.
(c) 610 a" 1 [11] donc ( 610 )4 a" 14 [11] soit 640 a" 1 [11]
64 a" 1 [5] donc ( 64 )10 a" 110 [5] soit 640 a" 1 [5]
(d) 640 a" 1 [11] donc 640 1 est un multiple de 11 et 640 a" 1 [5] donc 640 1 est un multiple de 5
donc 5 et 11 divisent 640 1, or 5 et 11 sont premiers entre eux donc 640 1 est divisible par 55.
2. (a) (E) : 65x 40y = 1
65 et 40 sont des multiples de 5 or 5 ne divise pas 1 donc (E) na pas de solution car x et y sont des
entiers relatifs.
(E) : 17x 40y = 1
40 = 17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 + 6
17 = 6 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 + 5
6 = 5 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1 + 1
5 = 1 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 5 + 0 donc PGCD( 17 , 40 ) = 1 et on en déduit que 40 et 17 sont premiers entre eux.
Ainsi, daprès Bézout, (E) admet au moins une solution.
6 = 40 17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2
5 = 17 6 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 = 17 [ 40 17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 ] SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 = 17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 5 40 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2
1 = 6 5 = [ 40 17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 ] [17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 5 40 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 ] = 17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h ( 7 ) 40 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h ( 3 )
Le couple ( 7 ; 3 ) est une solution particulière de (E).
(d) (E) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h 17x 40y = 17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h ( 7 ) 40 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h ( 3 )
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h 17( x + 7 ) = 40( y + 3 ) (E)
17divise 40( y + 3 ) et 17 et 40 sont premiers entre eux donc, daprès Gauss, 17 divise y + 3,
il existe donc un entier k tel que y + 3 = 17k soit y = 17k 3
dans (E) : 17( x + 7 ) = 40 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 17k SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x = 40k 7.
Réciproquement, si x = 40k 7 et y = 17k 3 avec k SYMBOL 206 \f "Symbol"\h EQ \o(\d\ba2()SYMBOL 90\fArial;\d\fo1()SYMBOL 90\fArial) alors 17( 40k 7 ) 40( 17k 3 ) = 1,
le couple ( x , y ) est solution de (E).
Les couples ( x , y ) solutions de (E) sont tels que x = 40k 7 et y = 17k 3 avec k SYMBOL 206 \f "Symbol"\h EQ \o(\d\ba2()SYMBOL 90\fArial;\d\fo1()SYMBOL 90\fArial).
Soit ( x0 ; y0 ) une solution de (E). Alors 17x0 = 40 y0./0; ? A B C D E F Q Z [ \ c d e f ~ © ª ® Æ Ç Î Ï Ý ß à â ã æ ç ì ÷ ø !!!!!!!2!3!õïåïÕÎïÅÎÕïåï¸ÅŸïÅïåïåïÅõïåïåïåïåïÕÎïÅÎÕΤÎÎÎÅõïåïåjhõ)CJU]hõ)CJH*]hõ)6CJH*hõ)6CJ]aJjhõ)6CJU]hõ)6CJ]
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hõ)CJH*hõ)6CJ]
hõ)CJjhõ)CJUD + 1 a" 1 [40].
D autre part, x0 = 40 k 7. Si on veut de plus que 0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h x0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 40, il faut prendre k = 1 d où x0 = 33.
3. Soient a et b tels que a17 a" b [55] et a40 a" 1 [55] .
D après la question précédente : 17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 33 a" 1 [40] d où 17 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 33 = 40 p + 1 avec p SYMBOL 206 \f "Symbol"\h EQ \o(\d\ba2()SYMBOL 90\fArial;\d\fo1()SYMBOL 90\fArial).
Si a17 a" b [55] alors : ( a17 )33 a" b33 [55] SYMBOL 219 \f "Symbol"\h a40 p + 1 a" b33 [55] SYMBOL 219 \f "Symbol"\h (a40) p SYMBOL 180 \f "Symbol"\h a a" b33 [55]
Or par hypothèse, a40 a" 1 [55] donc a a" b33 [55].
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