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universite paris vii-denis diderot - TEL (thèses

Mme Aline ROBERT IUFM de Versailles Directeur .... semaine, alors que les enseignants de lycée consacrent un mois à ce sujet. ..... Comme les élèves qui ont fini ces écoles ne pouvaient pas trouver de travail .... La répartition des professeurs dans le pays montre beaucoup de différences entre les villes et les campagnes.




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COLOMB INRP de Paris Directeur
M. Jean Luc DORIER IUFM de Lyon Rapporteur
Mme Aline ROBERT IUFM de Versailles Directeur
Mme Jacqueline ROBINET Université de Paris VII Examinateur
Mme Maggy SCHNEIDER FUNDP de Namur Rapporteur


Remerciements

Il est très difficile de savoir par qui je vais commencer ces remerciements. Je vais commencer à remercier les deux pays concernés : la Turquie et la France. Je voudrais remercier beaucoup la première qui m’a envoyé faire ces études à l’étranger et je voudrais remercier la deuxième pour son accueil chaleureux et cette merveilleuse occasion de travailler.
Je tiens surtout remercier Madame Aline Robert. J’ai baigné pendant quatre ans dans un univers de recherche studieux, rigoureux, exigeant, riche, largement ouvert. J’ai profité d’un directeur de recherche toujours présent en cas de besoin, très disponible, sachant parfaitement doser ses aides, ses demandes ; elle a été encourageante, positive, amicale, patiente pendant quatre ans sans jamais faiblir.
Je tiens aussi remercier Monsieur Jacques Colomb. Malgré sa maladie, au début et à la fin de la thèse, il m’a aidé beaucoup, il m’a poussé, il m’a forcé à expliciter des choix, à avancer un peu plus. Pendant quatre ans, il n’a jamais cessé de m’aider, de me soutenir avec gentillesse.
Je voudrais encore remercier Madame Michèle Artigue. Il y a quatre ans elle a accepté la direction de mon mémoire de DEA. Elle m’a aussi ouvert la porte de la didactique et elle m’a encouragé à continuer mes études.
Je voudrais remercier mes proches pour leurs aides, leur soutiens et leur encouragement. Grâce à eux, j’ai pu faire un travail sur la Turquie en vivant en France. Ils ont trouvé les professeurs qui ont répondu aux questionnaires, des programmes nécessaires et tous ces que je leur ai demandé. A ma famille, ma femme Ebru Ba_türk et mes amis Y1lmaz Aksoy, Vedat Çelik, Kenan Güllü, j adresse mes sincères remerciements.
Je voudrais encore remercier les responsables et les professeurs des lycées et des dérsanés suivants : lycée Anatolien de Ala_ehir, lycée de Ala_ehir, lycée Atatürk, dérsané Ba_ar1, dérsané Hedef et dérsané Körfez pour leur participation active à l organisation de la passation des questionnaires et à son déroulement, leur accueil chaleureux et leur soutien. Je tiens aussi à remercier les élèves de ces établissements pour leur spontanéité et leur investissement dans les problèmes proposés.
Il m’est agréable de remercier les responsables de la direction générale de l’enseignement supérieur à Ankara et ceux du conseiller de l’éducation à Paris pour toutes ces facilités qu’ils accordent aux étudiants en doctorat.

TABLE DES MATIERES
Introduction 5
Chapitre I : cadre général : présentation de l’enseignement des
mathématiques en Turquie 10
1. Concours d’entrée à l’université en Turquie 12
2. Naissance et l’évolution des dérsanés en Turquie 17
Chapitre II : problématique et méthodologie de la recherche 28
1. Problématique .30
2. Méthodologie .36
Chapitre III : analyse des manuels 55
Place de la notion de fonction dans les programmes actuels de
seconde, de première et de terminale en Turquie 55
2. Analyse du manuel Tutibay … ………..59
3. Analyse du manuel officiel…… …………………...71
4. Analyse du manuel de préparation au concours Güvender……… 85
5. Comparaison des analyses des manuels……………… …102
6. Conclusion…………………… ………..…………112
Chapitre IV : analyse des thèmes du concours d’entrée
à l’université sur les fonctions du programme de seconde…… 114
1. Thèmes……………………… ………………………………..116
2. Synthèse………………………… ..……………………………125
3. Conclusion………………………………… ……..…………130
Chapitre V : analyse des questionnaires-enseignants sur
l’enseignement de la notion de fonction……… …132
1. Parties des réponses……………… …………………………....134
2. Synthèse……… ……………..……………………148
3. Conclusion……………………………… ….………………150
Chapitre VI : analyse des questionnaires-élèves sur la notion
de fonction……… ……...152
1. Analyse a priori des questionnaires……………………… ……..156
2. Analyse a posteriori du premier questionnaire…………… ..178
3. Analyse a posteriori du deuxième questionnaire………… ...257
4. Synthèse des questionnaires-élèves…………… ……….338
5. Conclusion…………………..……… ………………………347
Chapitre VII : analyse des questionnaires-étudiants……… ..…350
1. Analyse des réponses……………………………… ……………352
2. Conclusion………………… ………………..…………………364
Synthèse générale des résultats…… …….……..………………366
Conclusion…… ..……………..375
Bibliographie……………… ………………...…………………..380
Annexes

Un plan détaillé de chaque chapitre est proposé au début de chacun d’eux.


































INTRODUCTION


En Turquie, les concours sont très importants et occupent une grande place dans la vie de tout le monde : par exemple nous pouvons rencontrer ce système, pour la première fois, après le collège. Beaucoup d’élèves essaient d’avoir une place dans les bons lycées comme les lycées anatoliens, les lycées scientifiques etc. Ensuite il y a un autre concours que les élèves doivent passer avant l’enseignement supérieur : c’est le concours d’entrée à l’université. Après l’enseignement supérieur, le marathon de concours n est pas encore terminé ; par exemple si vous voulez être enseignant ou fonctionnaire, vous devez passer le concours de sélection des personnels publics (KPSS : Kamu Personeli Seçme S1nav1) ou bien si vous voulez faire un DEA ou un doctorat dans une université, vous devez passer le concours de l enseignement d après-licence (LES : Lisansüstü Eitim S1nav1). Mais il est tout à fait intéressant que ces concours ne se différencient pas en général par rapport à des contenus. C’est-à-dire qu’il est possible de rencontrer les mêmes type de questions dans ces concours parce que leur but principal n’est pas de préparer des élèves (ou des candidats) à l’enseignement suivant ou de les motiver à l’enseignement précédent (ou actuel) mais seulement de les sélectionner.
Par ailleurs, la préparation à ces concours, surtout au concours d’entrée à l’université engendre un très grand secteur : c’est le secteur de dérsanés. Ils peuvent être qualifiés d’établissements privés qui préparent des élèves à des concours et qui servent à renforcer ou soutenir des élèves en difficulté dans l’enseignement secondaire.
Pourquoi les dérsanés sont partout dans le pays, leur nombre augmentant toujours ? Si on pose ces questions à quelqu’un en Turquie, il est très probable qu’il y réponde en disant que des élèves ne peuvent pas passer le concours d’entrée à l’université sans suivre les dérsanés, que le contenu du concours et les programmes sont très différents et que dans les dérsanés on apprend aux élèves à « être pratique » et à bien utiliser le temps etc.
Dans l’enseignement de dérsané, il n’y a pas de programmes explicites, les cours sont conditionnés le contenu du concours. Faire connaître les types de questions aux élèves et les entraîner en proposant beaucoup d’exercices de même type est indispensable dans cet enseignement. Les enseignants de dérsané n’ont pas assez de temps, moins qu’en lycée. Ils sont obligés de présenter, par exemple, la notion de fonction en une semaine, alors que les enseignants de lycée consacrent un mois à ce sujet. De plus dans l’enseignement de dérsané, résoudre des questions n’est pas suffisant, il faut trouver les techniques ou les procédures les plus économiques et les plus courtes. Comme le concours comprend des questions à choix multiples, les élèves ne doivent pas présenter leurs démarches à ce concours. Ainsi dans les dérsanés, trouver la bonne réponse quelles que soient les méthodes utilisées est toujours acceptable même si ces méthodes sont mathématiquement très pauvres.
Pourquoi ce travail ? Il y a quatre ans que toutes les choses ont commencé pour moi et une trentaine de futurs didacticiens turcs. Nous avons été sélectionnés par un concours, comme ceux dont j’ai parlés plus haut, pour aller étudier en France une science que nous ne connaissions pas. J’avais terminé mes études supérieures à l’Université Hacettepe dans la discipline de l’enseignement des mathématiques et j’avais travaillé environ deux ans dans un dérsané mais je n’ai jamais rencontré un article ou un ouvrage sur les erreurs des élèves ou sur leurs conceptions. C’est pourquoi, par exemple, quand j’ai lu les articles liés aux erreurs et aux obstacles, j’ai appris que l’erreur peut jouer un rôle fondamentalement différent. Du « droit à l’erreur » concédé aux élèves, on passe progressivement à la recherche de situations où les erreurs seraient révélatrices d’un savoir en voie de constitution, nécessaires à l’apprentissage. En d’autres termes, les erreurs des élèves « nous intéressent », autant qu’elles leur sont profitables. C’était une révolution pour moi. Parce qu’avant je considérais l’erreur comme un dysfonctionnement du savoir de l’élève, je pensais qu’un bon apprentissage devrait permettre de l’éviter, que l’erreur est le signe d’un travail insuffisant de l’élève qui n’a pas (encore) su (ou pu) enregistrer un savoir suffisant pour lui permettre d’éviter cette erreur et que l’erreur est à éviter car elle pourrait s’incruster dans l’esprit de l’élève et devenir persistante. Ainsi j’ai préparé un mémoire de DEA sur les erreurs et les obstacles. Ce mémoire m’a donné l’occasion de dégager les erreurs et les obstacles liés à la notion de valeur absolue au niveau d’élèves de seconde et d’étudier le rôle de l’erreur dans l’apprentissage.
Après le DEA, de plus en plus mes découvertes dans l’océan « didactique » continuaient. Par exemple, dans la progression Douady-Perrin, à propos de l’enseignement et de l’apprentissage, j’apprenais que les élèves doivent pouvoir se comporter comme des chercheurs si les énoncés de problèmes remplissent des conditions précises : ils doivent avoir du sens pour les élèves, être abordables avec les connaissances actuelles des élèves, mais ne peuvent pas être entièrement résolus puisque les connaissances visées sont des outils adaptés à la résolution, que la formulation du problème doit pouvoir se faire dans au moins deux cadres différents (graphique, géométrique ou numérique), que les connaissances antérieures interviennent comme outils explicites quand ils s’engagent dans la résolution, que la recherche provoque chez eux l’élaboration d’une connaissance partielle, implicite, explicitée au cours du débat, puis par l’enseignant qui va lui donner un statut d’objet en décontextualisant.
Par ailleurs, mes conceptions sur le bon professeur ont aussi commencé à changer. Ainsi je croyais que le bon professeur de mathématiques indique aux élèves la règle, la formule ou la construction géométrique à utiliser pour résoudre les problèmes, qu’il explique clairement son cours et illustre par de nombreux exemples de même type et qu’il fait aimer les mathématiques. Mais grâce aux travaux de didactique, j’ai vu que les élèves ont tendance à répondre en fonction du contrat d’abord, et non en fonction du problème (pour dire les choses schématiquement). Si le travail a lieu avant le cours, si le maître n’a qu’un rôle d’assistant, de coordinateur, dans cette phase du travail le contrat n’est pas encore entièrement fixé et donc moins fort. Le seul point fixé du contrat est que le déroulement de la séance dépend de l’activité des élèves et ce point précisément semble positif aux didacticiens. Cela signifie pour le maître que la gestion de la classe pendant ce temps de recherche doit être faite en respectant le rythme des élèves, et sans imposer son point de vue. Comme le caricature bien Aline Robert, un bon enseignant est un enseignant qui sait se taire à certains moments. De plus j’étais très surpris, quand j’ai lu les phrases suivantes : l’enseignement classique, du type « j’apprends, j’applique », ne respecte pas la condition de la (re)construction individuelle du savoir ; il joue sur l’imitation et la mise en application et donc risque d’accroître le rôle réducteur du contrat ; souvent, le caractère « objet » des notions est plus important que leur caractère outil dans la présentation qui est faite. Les « bons » élèves refont tout seuls un certain cheminement cognitif ; cela est renforcée par les initiatives qui caractérisent souvent les bons élèves, du type entraînement individuel sur d’autres exercices que ceux déjà vus en classe par exemple.
Toutes ces remarques témoignant de mon évolution didactique m’ont donné l’envie de faire ce travail. A mon avis, dans l’enseignement des mathématiques actuels en Turquie il y a des problèmes. En effet, dans le pays, tout le monde, ceux qui s’intéressent à l’éducation ou ceux qui n’y s’intéressent pas, accuse notre système éducatif d’être un système d’apprentissage par cœur. Ce travail essaie de faire un diagnostic sur ce système et il a objectif d’apporter des réponses aux questions suivantes : le système oblige-t-il les élèves à apprendre par cœur ? Qu’est-ce qui manque d’un point de vue didactique (plus précisément d’un point de vue outil/objet) dans ce système (ou dans l’enseignement des mathématiques)? Est-ce que les élèves apprennent par cœur volontairement ou n’ont-ils pas d’autres choix qu’apprendre par cœur ? De plus dans le cadre de ce travail, nous allons aussi chercher à répondre aux questions suivantes : est-ce que l’enseignement secondaire est ou non suffisant pour préparer les élèves au concours d’entrée à l’université ? L’enseignement de dérsané ou la motivation du concours influencent-ils négativement les manuels de lycée, les pratiques des enseignants de lycée et celles des élèves ? Autrement dit, un enseignement, comme celui de dérsané, qui consiste à apprendre à résoudre des questions en utilisant les techniques les plus courtes sans commentaire et sans demander « comment ? » ou « pourquoi ? » fait-il apparaître une vision strictement utilitaire des outils mathématiques chez les élèves et implique-t-il de former des automates ?
Pour ce faire, comme les fonctions sont introduites, pour la première fois, en classe de seconde en Turquie et qu’elles sont, en même temps, présentées au dérsané et au lycée, nous avons choisi le chapitre des fonctions au niveau de la seconde. Nous proposons d’analyser quatre manuels de lycée dont un est le manuel officiel et trois manuels de préparation au concours les plus utilisés, pour nous renseigner sur les activités (mathématiques) que chaque énoncé peut déclencher chez les élèves, et sur leurs conséquences éventuelles sur les acquisitions, à condition d’analyser ces activités en relation avec les apprentissages (chapitre II).
De plus, nous proposons d’étudier les programmes de seconde de lycée et les thèmes du concours d’entrée à l’université pour montrer l’éloignement du concours et du lycée (chapitre II et III). Par ailleurs, nous avons mis en place un questionnaire proposé aux enseignants sur la notion de fonction pour pénétrer un peu plus dans ce qui constitue la vie des fonctions dans les classes de seconde et pour étudier l’influence du concours dans les choix faits par les enseignants.
Comme nous avons voulu étudier les effets de l’enseignement de dérsané (ou d’un enseignement très proche du concours) sur les pratiques des élèves et répondre aux questions que nous avions citées plus haut, nous avons fait passer deux questionnaires à des élèves de seconde et des élèves d’une classe de terminale sur la notion de fonction (chapitre V). Le premier questionnaire a été préparé à partir des programmes officiels et des cahiers des élèves qui subissent un enseignement très proche des programmes et l’autre questionnaire à partir des questions déjà proposées au concours et des cahiers des élèves qui subissent un enseignement très proche du concours.
Le but principal des questionnaires proposés aux étudiants (chapitre VI) est de vérifier que subir l’enseignement de dérsané (ou tout enseignement très proche de celui du concours) pose des problèmes dans les études supérieures des élèves. Pour ce faire nous avons mis en place un questionnaire que nous avons soumis à un certain nombre d’étudiants de différentes universités en Turquie.
La thèse sera conçue de la façon suivante :après avoir présenté brièvement le concours d’entrée à l’université en Turquie, nous parlerons de la naissance et de l’évolution des dérsanés et des différents points de vue sur eux et de l’enseignement dispensé au dérsané ; nous développerons ensuite la problématique et la méthodologie de la recherche, puis nous consacrerons un chapitre à l’analyse des manuels un autre chapitre à l’analyse des questionnaires proposés aux enseignants sur la notion de fonction. Dans le chapitre suivant, nous mettons en place l’analyse des questionnaires proposés aux élèves de seconde sur la notion de fonction. L’analyse des questionnaires proposés aux étudiants sur l’enseignement des mathématiques sera le dernier chapitre de la thèse. Enfin nous terminerons par une synthèse des différentes analyses effectuées, en revenant aux questions initialement posées.





























CHAPITRE I



CADRE GENERAL : Présentation de l’enseignement des mathématiques en Turquie














Plan du chapitre I :
1. Concours d’entrée à l’université en Turquie 12
1.1 Présentation générale 12
1.2 Partie qualitative 14
1.3 Partie quantitative 15
2. Naissance et l’évolution des dérsanés en Turquie 17
2.1 Point de vue sur les dérsanés 21
2.2 Points de vue de l’Institut de la Planification d’Etat (IPE) 22
2.3 Points de vue des administrateurs de dérsanés 22
2.4 Points de vue du Ministre de l’Education Nationale (MEN) 23
2.5 Enseignement de dérsané 24
2.6 Du côté du professeur de lycée 26
2.7 Du côté de l’élève 27
2.8 Du côté des étudiants de l’université 27



























Afin de mieux comprendre le système éducatif turc et le cadre général dans lequel nous avons situé cette rechercher, je vais, ici, présenter le concours d’entrée à l’université en Turquie et la place globale des dérsanés dans le système éducatif turc.

I. Cadre général:présentation de l’enseignement des mathématiques en Turquie
1. Concours d’entrée à l’université en Turquie
Dans cette partie nous présentons brièvement le concours d’entrée à l’université que doivent passer les élèves en Turquie, après le lycée, pour pouvoir poursuivre leurs études. Nous prenons dans la première section, d’une manière générale, le système de ce concours. La deuxième section comprend des statistiques au sujet de ce concours et de son contenu. Nous pensons que ces informations permettront de mieux comprendre cette épreuve qui est plutôt différente de l’épreuve équivalente française, le BAC.

1.1 Présentation générale
Pour commencer leurs études supérieures, les élèves doivent, à la fin du lycée, passer un examen qui est préparé par le Centre de Sélection et d’Installation des Etudiants (Örenci Seçme ve Yerle_tirme Merkezi- ÖSYM). De 1974 à 1981 ce concours se déroulait en une seule étape par an. Ensuite entre 1981 et 1998 des candidats devaient passer deux étapes pour avoir une place dans une université. Enfin à partir de 1998 la deuxième étape a été supprimée. Les élèves sont recrutés sur un concours qui a lieu une fois par an en juin, se compose de deux parties: l’une qualifiée de qualitative et l’autre de quantitative. La partie qualitative comprend des questions d’histoire, de géographie, de turc (en tant que langue actuelle et littérature), de philosophie, et de sociologie. La partie quantitative comprend des questions de mathématiques, de sciences physiques, de chimie, et de biologie.
Ce concours est basé sur l’évaluation des élèves sur des résolutions de problèmes et des raisonnements en utilisant les règles et les connaissances essentielles. La durée du concours, qui est une épreuve à choix multiples (5 choix par question), est de trois heures. Les élèves doivent répondre à cent quatre-vingt huit questions.
Pour chaque candidat, il est calculé trois sortes de totaux:

 % Un premier, appelé ÖSS SAY (le total quantitatif), est calculé en prenant en compte la somme des bonnes réponses pour chaque catégorie (qualitative et quantitative), mais en multipliant par un coefficient plus grand le nombre de bonnes réponses pour les questions quantitatives.

 % Un deuxième, appelé ÖSS EA (le total mixte), est calculé en prenant en compte la somme des bonnes réponses pour chaque catégorie (qualitative et quantitative), et en donnant la même importance à ces deux parties.

 % Un troisième, appelé ÖSS–SÖZ (le total qualitatif), est calculé en prenant en compte la somme des bonnes réponses pour chaque catégorie (qualitative et quantitative), mais en multipliant par un coefficient de plus grande importance le nombre de bonnes réponses pour les questions qualitatives.

Après l’évaluation, les élèves ayant dépassé un certain minimum de points ont le droit de présenter une liste de facultés où ils voudraient poursuivre leurs études. Les listes de choix de tous les étudiants sont alors analysées, à nouveau par le ÖSYM, et selon le résultat de l’élève (son classement au concours), le contingent des facultés, et le nombre de postulants pour chaque faculté, les candidats acquièrent ou non le droit d’y poursuivre leurs études.
Les élèves voulant continuer leurs études supérieures en langues doivent passer l’Examen de Langue Etrangère (YDS- Yabanc1 Dil S1nav1) qui a lieu à une date différente de celle de l OSS. Les lauréats s orientent dans des disciplines telles que «Langues et Littérature Etrangère», « Interprétation et Traduction», «Tourisme»,  «Enseignement des Langues Etrangères».
En ce qui concerne les règles que les candidats doivent suivre pendant ce concours :
Les candidats ne peuvent utiliser les objets ci-dessous durant l’examen : « feuilles de brouillon, livres, cahiers, dictionnaires, règles, compas, équerres, etc.…Tout appareil de communication tel que téléphone portable, talkie-walkie, tout appareil informatique tel qu’ordinateur portable, calculatrice, montre-calculatrice etc. Et armes, couteaux etc.»
Pour éviter tout copiage, il y a plusieurs livrets de questionnaires contenant les mêmes questions mais ordonnées différemment. Les candidats doivent s’asseoir à des places qui leur sont réservées à l’avance. Ils ne peuvent pas s’asseoir à leur gré.
Comme nous l’avons déjà indiqué plus haut, le concours est composé de deux parties : qualitative et quantitative. Dans la première partie, on évalue la capacité de maîtrise de la langue turque, celle de réflexion à partir de concepts et principes de bases en sciences sociales (géographie, histoire, philosophie). Quant à la deuxième partie, elle évalue la capacité mathématique dans la résolution de problèmes et celle de réflexion à partir de concepts et principes de bases en sciences physiques et sciences naturelles.
Nous introduisons ces deux parties, plus bas, puis nous donnerons plus d’informations pour la partie quantitative puisque c’est cette partie qui nous concerne.
1.2 Partie Qualitative
Elle est composée de quatre-vingt huit questions dont quarante quatre sur la langue turque et quarante quatre sur l’histoire, la géographie et la philosophie. Le tableau ci-dessous indique le nombre de questions posées et les pourcentages correspondants :
MatièrePourcentageNombre de questionsLangue turque50%44Histoire22%19Géographie17%15Philosophie11%10




Maintenant, nous donnons le nombre de questions de chaque matière pour les cinq dernières années :

Matières19961997199819992000Langue turque4544444445Histoire1819191918Géographie1515151515Philosophie1010101010

1.3 Partie Quantitative 
Cette partie est composée de quatre-vingt huit questions dont vingt huit sur l’algèbre, seize sur la géométrie, et le reste sur la physique, la chimie et la biologie. Le tableau sur la page suivante indique le nombre de questions posées et leur proportionnalité par rapport à la matière :

MatièresPourcentageNombre de questionsAlgèbre31%28Géométrie18%16Physique22%19Chimie15%13Biologie14%12



Le tableau ci-dessous donne le nombre de questions de chaque matière pour les cinq dernières années :
Matières19961997199819992000Algébriques2629272828Géométrie1515161616Physique1919191919Chimie1313131213Biologie1212121212Puisque notre recherche concerne plutôt la partie algébrique, nous trouvons intéressant de faire un tableau thématique représentant à quoi correspondent les sujets algébriques et géométriques des dernières années :
No Sujets 1999 (annulé) CEU19992000200120021Nombres989792Puissances-racines211313Proportionnalité112--4Factorisation 13-325Mise en équations -problèmes 68910126Ensembles111117Correspondances-fonctions111--8Loi de composition interne- congruence112439Polynômes 1121110Equations- inéquations- parabole321--11Permutation- combinaison- binôme- probabilité1111-12Angles 11---13Triangles 2335-14Homothéties121-115Polygones et quadrilatères 6131516Cercle et disque2535317Aire et volume des corps dans l’espace (sphère, cube, prisme…etc.) 1121218Etude analytique des droites43435Si l’on regarde les notions à enseigner dans les programmes de lycée par classes, on observe que la grande majorité des notions introduites dans les classes de première et terminale ne figurent pas dans le concours.

Seconde PremièreTerminalea) Logique
b) Ensembles
c) Correspondances – fonctions - loi de composition interne
d) Nombres
e) Polynômes
f) Equations - inéquations-fonctions du second degréa) Trigonométrie
b) Logarithme
c) Nombres complexes
d) Permutation – combinaison - probabilité
e) Vecteurs
f) Signes de somme et de produit
g) Suites – séries
h) Coniques (ellipse, hyperboloïde, parabole)
a) Fonctions particulières (fonctions entières, fonction valeur absolue, fonctions définies par morceaux…etc.)
b) Dérivée et ses applications
c) Limite et continuité
d) Intégrale et ses applications
e) Algèbre linéaire 
Comme le disent bien les enseignants du dérsané Seçkinler dans leur étude intitulée « les effets du concours sur l’enseignement des mathématiques et les mathématiques dans le concours », pour les élèves qui ont terminé les études du lycée, les mathématiques se ramènent à quatre opérations simples. Dans la résolution des questions des concours, les élèves utilisent la méthode qui consiste à apprendre par cœur les types et les résolutions de questions au lieu d’apprendre des notions enseignées. Quant on les met en face d’un type différent de question, ils expriment leur réaction en disant que «dans leur classe on n’a pas résolu ce type de question ou c’était très difficile ». Ils ne pensent même pas de quelles notions, quelles méthodes ou de quelles règles élémentaires ils ont besoin pour la résolution. Les élèves répondent donc automatiquement aux questions qu’ils connaissent sans faire des opérations mentales et, l’élève qui connaît le plus de types obtient une place dans une université. De plus le fait qu’au lycée, un certain nombre des notions se répètent plusieurs fois durant trois ans provoque l’ennui, la tension et amène les élèves à ne pas travailler ce qu’ils savaient déjà. Or auparavant dans la deuxième étape du concours des questions qui demandent de faire l’analyse, la synthèse et des applications…etc. étaient proposées. C’est pourquoi alors les élèves devaient aussi sérieusement suivre les cours de lycée.
A l’époque où le concours se déroulait en deux étapes, la deuxième étape couvrait tous les programmes de lycée (seconde, première et surtout terminale). Dès l’abolition de la deuxième étape, les cours des classes premières et terminales sont donc devenus caduques.

2. Naissance et l’évolution des dérsanés en Turquie
Il est très difficile de travailler sans prendre en compte les dérsanés dans l’enseignement turc. C’est pourquoi dans les paragraphes suivants je vais présenter des dérsanés en cherchant les réponses à ces questions : comment et de quels besoins les dérsanés sont-ils nés ? Quels élèves suivent les cours de dérsanés ? Selon quels programmes les enseignants de dérsanés préparent-ils leur cours ?
Les dérsanés ont les missions suivantes : renforcer ou soutenir les élèves faibles dans l’enseignement secondaire et préparer les élèves au concours d’entrée à l’université (CEU) et aux autres concours (par exemple aux concours de lycées privés, de lycées anatoliens, de lycées scientifiques…etc).
Actuellement les dérsanés occupent une grande place et jouent un rôle très important. Ils n’ont pas été constitués par l’Etat. Au contraire ils sont nés d’une demande de la société. Bien que les écoles privées aient plus de possibilités et d’avantages que les écoles d’Etat, elles sont aussi insuffisantes pour préparer leurs élèves à ce concours. Ainsi tous les élèves des écoles privées sont amenés à suivre les dérsanés, mais ils vont dans les plus distingués.
A cause de la demande extrême de ces dérsanés on peut en trouver sept ou huit dans une petite ville. Par ailleurs, un dérsané peut économiquement prospérer à très court terme et il peut devenir une entreprise qui comporte beaucoup de nouveaux dérsanés.
En s’appuyant sur les raisons citées ci-dessous, on peut d’emblée dire que l’enseignement secondaire ne permet pas aux élèves de réussir au CEU. C’est-à-dire que l’insuffisance de l’enseignement secondaireprovoque partout l’existence et le développement des dérsanés dans le pays.
A partir de 1950 le développement socio-économique et l’augmentation rapide de la population ont entraîné une forte migration vers les villes, et cela a amené une insuffisance du nombre des écoles. Après 1955 surtout l’augmentation du nombre d’élèves, l’insuffisance du nombre d’enseignants, le fait que les écoles qui existent ne peuvent pas répondre aux besoins, la croissance de la demande d’entrée dans l’enseignement supérieur ont influencé négativement la qualité de l’enseignement secondaire turc.
Le fait que l’augmentation du nombre d’élèves n’ait pas été suivie de celle du nombre d’écoles est un problème important. En 2002 on peut encore trouver des classes qui comportent 80 élèves sous la surveillance d’un seul professeur. Comme on peut le voir facilement sur le tableau ci-dessous, la population turque augmente d’environ 24% à chaque recensement.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
N1= le nombre d’habitants d’après le recensement 1960
N2=le nombre d’habitants d’après le recensement 1964
Augmentation de population = EMBED Equation.3 

Comme notre pays a une population estudiantine plus nombreuse, il est difficile d’accepter tous les élèves à l’université. Les élèves, qui vont entrer à l’université, sont donc sélectionnés par un concours. Si on sait que presque 170 000 élèves peuvent avoir une place pour étudier dans une université parmi plus d’un million d’élèves voulant passer ce concours, il est facile de conclure qu’il s’agit d’un concours très difficile.
A partir de 1955, les universités ont commencé à recruter les étudiants par un concours national et sélectif. En fait pendant l’année scolaire 1955-56, tous les élèves qui étaient bacheliers pouvaient avoir une place dans une université ou une école supérieure. En 1960-61, cette proportion a baissé à 76,2%, en 1965-66 à 61% , en 1970-71 à 32% et de nos jours elle est tombée à 12% des élèves.
Les reformes économiques et la capacité limitée de l’enseignement supérieur ont amené les jeunes de l’enseignement secondaire à s’orienter vers les lycées techniques (professionnels); toutes les politiques ont été faites dans cette direction. Comme les élèves qui ont fini ces écoles ne pouvaient pas trouver de travail à cause de l’insuffisance des infrastructures nécessaires et du manque des exploitations industrielles, cette entreprise n’a pas réussi à empêcher l’accumulation des élèves devant les portes des universités. Ainsi les élèves des lycées professionnels ont aussi commencé à se préparer au CEU pour tenter leur chance au lieu d’aller dans les écoles de techniques supérieures, ils sont donc devenus des clients supplémentaires des dérsanés pour compléter leurs lacunes avant le concours.
Le fait que le but principal de chaque candidat est d’obtenir les meilleurs résultats pour devancer les autres, que les parents souhaitent que leurs enfants n’échouent pas au concours et que dès la classe de seconde les élèves commencent à se préparer, augmente le désir d’aller aux dérsanés. De plus, le fait que le type du concours est très différent de celui des examens du lycée, que le contenu des concours ne correspond pas aux connaissances acquises dans l’enseignement secondaire, que dans certaines écoles les professeurs ne puissent terminer les programmes et que les niveaux des élèves rentrant au concours soient très différents entre eux favorise l’augmentation du nombre de dérsanés.
D’abord dans les grandes villes comme Ankara, Istanbul et Izmir, des dérsanés ont commencé à s’établir avec l’objectif de préparer les élèves au CEU, puis de plus en plus ils se sont diffusés partout en constituant des succursales. Le tableau suivant montre que le nombre des dérsanés atteint 2002 dans l’année scolaire 200l-2002.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 


Même si parfois certains partis politiques mettent en discussion l’existence des dérsanés de manière pragmatique, on ne peut pas empêcher l’augmentation du nombre des dérsanés d’années en années à cause de la demande forte des parents, du fait que les professeurs des écoles d’état ayant un répertoire de bons professeurs soient entraînés par les dérsanés qui proposent des salaires très élevés.
A partir du 31 janvier 1981, les affaires et les contrôles des dérsanés, qui étaient faits par les préfectures, ont été pris sous contrôle du Ministère de l’Education Nationale et le nombre de leurs professeurs et l’effectif de leurs classes ont été limités. Ensuite grâce à la publication d’une circulaire, le règlement interne des dérsanés a été analogue à celui des écoles d’Etat.
De plus, les dérsanés qui n’ont pas respecté les conditions ci-dessous peuvent être fermés selon la loi 1495 :
«Ne pas faire travailler soit les professeurs qui enseignent dans une école d’Etat, soit ceux qui n’ont pas de formation pédagogique ; ne pas prendre les élèves en abusant leur contingent ; ne pas demander des élèves un montant supérieur du prix déterminé et ne pas travailler sans autorisation du Ministre de l’Education Nationale ».
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
PS :Préscolaire, P :Primaire, S :Secondaire, G : Général, PT :Professionnel et Technique, D :Dérsané, CP :Cours privés
2.1 Points de vue sur les dérsanés
Le fait qu’on ait voulu fermer les dérsanés pour rétablir l’égalité des chances et l’équité de l’ éducation et la publication d’une directive dans le programme du gouvernement en 1981 ont donné lieu à un nouveau débat dans notre pays.
Après le coup d’Etat du 12 septembre 1980, comme toutes les entreprises (y compris les dérsanés) ont été accusées par le gouvernement d’avoir provoqué des manifestations, on voit apparaître une idéologie qui se fonde sur la centralisation de toutes les affaires à Ankara (la capitale de la Turquie). Dans ce cas le gouvernement de cette époque-là a pensé transférer le fonctionnement des dérsanés aux écoles d’Etat en ajoutant des cours supplémentaires mais, comme l’a bien montré dans son DEA Tunay, cela n’a pas non plus réussi à empêcher les élèves d’aller aux dérsanés.
Maintenant je vais présenter successivement les points de vue émis à l’occasion de ce débat à cette époque par l’Institut de la Planification d’Etat, par les administrateurs de dérsanés et par le Ministère de l’Education Nationale.

2.2 Points de vue de l’Institut de la Planification d’Etat (IPE)
Lorsqu’il s’est agi de changer la loi 625 qui concerne les établissements privés en 1982, un exposé a été fait par l’IPE auprès du conseil des ministres. Dans cet exposé l’IPE affirme que les niveaux des lycéens rentrant au concours sont très différents. Cela pose un problème de qualité chez ces élèves. De plus le fait qu’on ne puisse supprimer l’inégalité entre les enseignements amène l’échec au concours de la plupart des bons élèves de lycée. L’entrée à l’université devient de plus en plus difficile. Le système du concours n’est pas analogue à celui des examens du lycée. A cause de ces raisons les dérsanés se sont diffusés dans tout le pays.
Par ailleurs l’IPE prétend que les dérsanés ne suppriment pas l’égalité des chances et l’équité de l’ éducation. Ils assurent en plus l’égalité en constituant des succursales dans tout le pays.
D’après cet institut, les parents attendent des dérsanés de combler les lacunes de la qualité de l’enseignement secondaire. De plus, si on ferme les dérsanés sans que les programmes des autres établissements soient rendus analogues aux contenus du CEU, cela causera l’apparition d’un marché de cours privés encore plus chers que les dérsanés. Comme le contrôle des cours privés est très difficile, l’Etat serait également privé des redevances qui viennent de la part des dérsanés.
L’IPE conseille de ne pas fermer à court terme les dérsanés, mais de les prendre sous contrôle de l’Etat et ce jusqu’à ce que l’enseignement secondaire ait atteint un niveau de qualité suffisant et qu’il soit répandu partout uniformément.

2.3 Points de vue des administrateurs de dérsanés
Dans le rapport présenté à l’Institut de la Planification d’Etat par les administrateurs des dérsanés, ceux-ci prétendent que les dérsanés sont des établissements légaux, qu’ils ne suppriment pas l’égalité, qu’ils l’assurent.
Par ailleurs les administrateurs prétendent que le fait que les dérsanés enseignent aux élèves qui viennent de différentes écoles et de différentes conditions selon un programme unique rétablit l’égalité. De plus ils n’acceptent pas le reproche que les dérsanés ne s’accumulent que dans les grandes villes.
Selon les administrateurs les dérsanés servent généralement aux élèves qui ont des familles ayant un revenu modeste. De plus ils font gratuitement profiter des milliers d’élèves pauvres des cours de dérsané et partagent leurs expériences avec tout le monde en publiant les manuels, les guides, les banques de question et en organisant des concours blancs. Cela aide des milliers d’élèves qui ne peuvent pas aller au dérsané pour des raisons économiques.
Les administrateurs affirment aussi que les dérsanés contribuent à l’économie du pays en payant des redevances et qu’ils diminuent le chômage en faisant travailler du personnel.
Maintenant on va citer les points de vue du Ministère de l’Education Nationale.

2.4 Points de vue du Ministère de l’Education Nationale (MEN)
Dans un rapport préparé par le Ministère de l’Education Nationale sur l’enseignement secondaire nous constatons que le MEN reconnaît aussi que les connaissances transmises aux élèves par l’enseignement secondaire ne sont pas analogues à celles du CEU.
Par ailleurs le MEN affirme que l’augmentation rapide de la population multiplie l’effectif des classes et que cela influence négativement l’enseignement. La répartition des professeurs dans le pays montre beaucoup de différences entre les villes et les campagnes.
D’après le MEN, la formation des enseignants dans les écoles d’Etat n’est ni pédagogiquement et ni scientifiquement suffisante. De plus dans certaines écoles, on ne peut pas trouver de professeurs pour faire cours. Les programmes ne peuvent pas être terminés dans la plupart des écoles. Pour quelques domaines comme la physique, la chimie et la biologie il n’y a pas non plus de matériel expérimental dans les écoles.
En ce qui concerne le CEU, le MEN indique que le type des contrôles dans l’enseignement secondaire et celui du CEU sont très différents et que les élèves qui viennent de lycées suivant des programmes différents sont confrontés à un même concours.
Par ailleurs le MEN explicite ses raison à propos des inconvénients des dérsanés en disant que le fait que les élèves suivent les cours des dérsanés en n’étant conditionnés que par l’idée de réussir, les surcharge psychologiquement et les force à travailler plus que leur capacité. De plus les élèves commencent à croire qu’ils peuvent réussir au CEU seulement à condition de participer au dérsané. Cette croyance amène les élèves à considérer que l’enseignement secondaire et leur professeur de lycée ne sont pas très importants.
D’après le MEN, de temps en temps, les dérsanés font travailler illégalement les professeurs qui travaillent déjà dans des écoles d’état. Cela multiplie le nombre de cours hebdomadaires de ces professeurs. De plus le fait que les dérsanés endossent la mission de faire entrer les élèves à l’université à la place des écoles, et ceci en gagnant de l’argent, rend difficile la compréhension de la conception de l’enseignement considéré comme un service public.
Quant à l’enseignement diffusé par les dérsanés, le MEN affirme que les dérsanés ne transmettent pas de nouvelles connaissances aux élèves mais ils leur apprennent plutôt l’application des connaissances déjà acquises en trouvant les techniques les plus courtes. En outre les concours blancs centraux auxquels les grands groupes de dérsanés soumettent les élèves, pour qu’ils puissent voir leur niveau général, diffusent dans l’ensemble du pays inquiétude et concurrence entre les élèves.
Le MEN affirme aussi que les dérsanés recrutent les professeurs qui travaillent dans les écoles d’état avec de l’expérience et des compétences. Cela influence négativement l’enseignement secondaire. Par ailleurs le fait que les dérsanés se constituent généralement dans les grandes villes supprime l’ égalité des chances et l’équité de l’ éducation.
Cependant le Ministère de l’Education Nationale a des préoccupations en cas de fermeture des dérsanés. Dans ce rapport on indique que si les dérsanés sont fermés, les cours privés gagneront de l’importance avec des prix plus élevés. Ainsi ce service qui servait les classes moyennes, ne sera plus que pour le monopole d’une petite minorité. De plus l’Etat serait privé des impôts sur le revenu des dérsanés.
Le MEN affirme aussi que l’insuffisance dans les écoles d’Etat peut être complétée par les dérsanés. Si on les ferme, cela sera en faveur des écoles privilégiées. On ne peut pas remplacer les dérsanés par des classes de préparation au CEU en embauchant les professeurs présents. Il faut qu’ils soient techniquement et scientifiquement formés aux contenus du CEU. Sinon dans ces classes il ne s’agira que d’une simple répétition des cours de lycée. Enfin avec la fermeture des dérsanés, les personnels qui y travaillent rencontreraient le problème du chômage.
Comme on l’a vu, les points de vue des dérsanés et de l’Institut de la Planification d’Etat sont parallèles, et ceux du Ministère de l’Education Nationale ne sont pas en conflit avec ces derniers.
Il est facile de constater que les dérsanés sont appréciés différemment par tous ces agents : par les parents, qui les estiment nécessaires pour l’avenir de leurs enfants ; par le Ministère de l’Education Nationale qui les considère négativement comme étant une alternative  à l’enseignement; par le Ministère des Finances qui les voit comme une source d’impôt ; par les politiciens qui les estiment comme une source de vote.

2.5 Enseignement de Dérsané
L’enseignement de dérsané se fonde sur le contenu du CEU et surtout sur les types de questions proposées dans ce concours. Il n’y a généralement pas de programmes officiels qui montrent explicitement les buts à atteindre, les moyens à utiliser etc. Tandis que le professeur de dérsané peut attacher beaucoup d’importance à certains outils ou objets qui vont servir aux élèves, il peut en négliger d’autres qui ne sont pas nécessaires dans un même sujet mathématique. Je prends un exemple :
en ce qui concerne la notion de fonction, si on a posé beaucoup de questions sur l’inverse d’une fonction jusqu’à maintenant au CEU et si, par contre, il n’y a aucune question liée à la fonction « valeur absolue », le professeur passera cette dernière sans en parler alors que l’inverse d’une fonction sera un de ses buts principaux.
Une autre contrainte inévitable pour le professeur de dérsané est de trouver, de privilégier et de faire acquérir les techniques les plus courtes dans la résolution des problèmes. Dans le dérsané, il est très important de savoir résoudre les questions en utilisant les techniques les plus économiques. On trouve toujours ainsi l’insistance des élèves vis à vis de leurs professeurs : « Madame ou Monsieur, est-ce qu’il n’y a pas d’autres techniques plus courtes ? ». Ce n’est pas étonnant parce que, comme nous l’avons déjà indiqué, dans ce concours les candidats ont environ une minute par question et encore ils n’ont ni brouillon ni cahier et ni calculatrice. Ils ne peuvent disposer que d’un crayon à papier, d’une gomme, d’un taille-crayon et des places libres qui se trouvent autour des questions pour faire quelques petits calculs. Il faut rappeler que les questions du concours sont constituées de questions à choix multiples (QCM).
Ces conditions-là forcent les élèves bon gré mal gré à apprendre les techniques les plus courtes. Par conséquent, les professeurs du dérsané doivent aussi remplacer chez les élèves les techniques déjà acquises au lycée par les plus courtes (éventuellement).
Par ailleurs on peut parler un peu de la vie du professeur de dérsané. Par exemple il n’a pas le droit de ne pas pouvoir résoudre une question posée par les élèves. C’est-à-dire qu’il est obligé de donner l’impression qu’il est bon dans son métier parce que ses élèves le contrôlent toujours en éprouvant le besoin de s’assurer qu’ils ont choisi un bon dérsané et qu’ils ont un bon professeur.
Comme l’expérience et la qualité de professeur sont très importants dans cette arène, les responsables de dérsanés font commencer les professeurs débutants par les classes très faibles pour empêcher qu’ils soient ridiculisés par les bons élèves.
Afin de mieux cerner cet enseignement il me semble aussi nécessaire d’étudier les conseils donnés aux élèves par les dérsanés pour leur préparation et notamment les préfaces de certains manuels de préparation au concours.
Dans la préface du manuel Zafer, on dit que ce manuel s’est construit autour des notions essentielles en prenant en compte le programme entier de la classe de seconde et le besoin de préparer au concours les élèves. Chaque chapitre est enrichi par des notions essentielles, par des règles et par de nombreux d’exemples (corrigés) d’application. Chaque chapitre est aussi illustré par des test résolus. Les élèves qui pensent qu’ils ont assez de connaissances dans ces notions doivent antérieurement résoudre des tests résolus eux-mêmes. Les tests de chaque chapitre contrôlent toutes les connaissances concernées sans négliger un seul point. Tous les exercices sont proposés avec l’objectif d’évaluer une certaine connaissance et son application. C’est pourquoi les élèves sont invités à considérer chaque exercice qu’ils n’ont pas pu résoudre comme une occasion de remarquer le manque d’une connaissance ou d’un entraînement, ensuite à retourner aux explications et aux résolutions des exercices concernés.
Dans ses annales du concours intitulés « des questions immuables dans le CEU entre 1966-2000 » Teslim Özdemir affirme qu’on peut absolument être admis au concours à condition que certains types de questions soient entièrement acquises.
Dans leur site Internet, les enseignants du dérsané Kültür rappellent d’abord aux élèves que dans le concours CEU les questions relèvent du programme de la classe de seconde et couvrent des sujets élémentaires. Ensuite ils donnent les conseils suivants : « le système de ce concours se fonde sur le fait d’utiliser à bon escient des connaissances sur des notions élémentaires plutôt que sur le fait de les savoir. C’est pourquoi si vous apprenez des sujets à un certain niveau, si vous acquérez les types élémentaires de questions et si vous ne les oubliez pas, il est très difficile que vous échouiez dans le concours. De plus les élèves qui ont de bonnes bases doivent faire beaucoup de pratique pour enrichir leurs archives de questions. En ce qui concerne les élèves qui sont privés de bonnes bases, au lieu de résoudre d’abord beaucoup de questions ils doivent apprendre certains types de question dans certains sujets et ensuite ils doivent commencer à résoudre les différents types de question. »

2.6 Du côté du professeur de lycée
Du côté du professeur de lycée je me demande si l’on peut dire que l’enseignement du dérsané pose beaucoup de problèmes au professeur de lycée. Est-ce que le fait que certains élèves commencent à fréquenter les dérsanés, et ceci, à partir de la classe de seconde et même des classes de CM, déséquilibre le niveau de la classe ? Est-ce que le fait que certaines techniques sont apprises aux élèves dans les dérsanés rend la réalisation de son scénario difficile ? De plus est-ce que les professeurs de lycée ont des préoccupations sur lesquelles ils ne peuvent pas motiver les élèves lorsqu’il s’agit d’un sujet qui ne figure pas dans le contenu du CEU ? Il est très difficile de répondre à toutes ces questions dans le cadre de ce travail. Mais j’ai essayé quand-même, autant que possible, de chercher certaines réponses en proposant un questionnaire aux professeurs de lycée et à ceux de dérsanés. De plus les analyses des manuels et l’analyse des questionnaires m’ont semblé aussi apporter des réponses.

2.7 Du côté de l’élève
A l’époque où j’étais un élève de lycée, je rencontrais des difficultés à cause de ces deux systèmes différents et de leurs différents contrats. Par exemple je n’arrivais pas à comprendre pourquoi mon professeur de lycée n’acceptait pas toujours les techniques qui nous avaient été apprises au dérsané. De plus j’ai eu aussi de la peine à comprendre que je me préparais à un concours comportant des questions à choix multiples, tandis que nous étions évalués par des contrôles écrits dans le lycée. Donc, grâce à cette recherche je vais chercher la réponse à la question suivante « Est-ce que les méthodes privilégiées dans les dérsanés et celles dans le lycée sont différentes ? Si oui est-ce qu’elles sont inacceptables pour l’enseignement de lycée ? Pourquoi ? »
2.8 Du côté des étudiants de l’université
Comme l’enseignement supérieur est différent de l’enseignement de lycée et surtout de celui des dérsanés et que cet enseignement se fonde sur le raisonnement, la recherche, le fait de poser et répondre à des questions « pourquoi », je pense que ce type d’enseignement doit poser des problèmes chez les étudiants universitaires qui ont déjà subi l’enseignement de dérsané (ou un enseignement très proche du concours (EPC)).
Dans mes études supérieures il m’a fallu passer les trois premières années pour commencer à aimer les mathématiques de l’université. Ainsi quand j’ai aimé les mathématiques, j’avais terminé mes études. De plus j’ai aussi observé que, chez la plupart de mes collègues, beaucoup de comportements venant du lycée continuaient. Par exemple, avant des examens j’ai vu les gens qui essaient d’apprendre par cœur « la démonstration du fait que l’intervalle ouvert (0,1) soit non dénombrable ».
Tous ces constats m’ont donné l’idée de chercher si l’enseignement de dérsané (ou tout enseignement très proche de celui-ci) posait des problèmes d’adaptation aux études supérieures (en mathématiques) chez les étudiants de l’université.






































CHAPITRE II



PROBLEMATIQUE ET METHODOLOGIE DE LA RECHERCHE















Plan du chapitre II :
1. Problématique de la recherche 30
1.1 Constats probablement à vérifier 30
1.2 Pourquoi les fonctions et les classes de seconde 32
1.3 Hypothèses admises de la recherche 33
2. Méthodologie de la recherche sur les fonctions 36
2.1 Résumé du programme 36
2.2 Analyse des manuels 37
2.3 Description et passation des questionnaires-élèves 43
2.4 Analyse des questionnaires-enseignants sur les fonctions 49
2.5 Analyse des questionnaires-étudiants 49




























Le but de ce chapitre est de présenter le cadre scientifique dans lequel s’inscrit ce travail et mon questionnement. Je présenterai les choix portés sur l’analyse des programmes, des thèmes du concours, des manuels de préparation au concours et des manuels de lycée (à savoir les manuels étudiés et l’analyse adoptée lors de l’exploration des exercices proposés) pour ensuite décrire la mise en œuvre des questionnaires que nous avons passés. Nous avons choisi de ne pas présenter l’analyse a-priori des questionnaires-élèves sur les fonctions dans ce chapitre : il nous a paru plus judicieux de le faire au moment où nous explorerons les données recueillies. Mais nous allons cependant décrire les questions que nous avons mises dans les questionnaires.

1. Problématique de la recherche
Dans ce travail, nous nous attachons à faire un diagnostic sur un chapitre précis (notion de fonction) au niveau des élèves de seconde. Le système actuel du concours d’entrée à l’université en Turquie nécessite une préparation spécifique, proposée en dérsané, pour réussir ; or cela éloigne les élèves d’une pratique mathématique authentique, rendant « l’enseignement en lycée superficiel » et cela peut avoir des conséquences négatives plus tard.

1.1 Constats probablement à vérifier
En ce qui concerne les constats probables à vérifier dans le cadre de tous ces questionnements, ils se repartissent en trois catégories différentes : caractérisation du concours demandant une préparation spécifique non donnée au lycée, différences d’enseignement entre lycée et dérsané et enfin conséquences de l’enseignement dérsané sur les élèves.

Caractérisation du concours demandant une préparation spécifique non donnée au lycée
CPV (Constat probable à vérifier) 1. Le concours est très technique c’est pourquoi les élèves qui ne suivent pas les dérsanés, même s’ils sont très bons élèves, échouent.
CPV 2. Le fait que les questions du concours portent sur plusieurs connaissances antérieures (connaissances qui viennent de l’enseignement précédent par exemple) empêche les élèves non préparés de les résoudre, même s’ils savent mettre en fonctionnement des connaissances actuelles (c’est-à-dire des connaissances qui font référence directe aux fonctions par exemple).

Différences d’enseignement entre lycée et dérsané
CPV 3. Comme l’enseignement des mathématiques au dérsané est fondé sur les questions du concours et l’enseignement des mathématiques au lycée sur le programme officiel, ces deux enseignements doivent être différents. L’enseignement du dérsané n’est pas une simple répétition des cours de lycée.
CPV 4. Dans l’enseignement de dérsané (ou l’enseignement très proche du concours) il s’agit de présenter les types de questions du concours et d’entraîner des élèves à les résoudre en proposant beaucoup d’exercices du même type.

Conséquences de l’enseignement dérsané sur élèves
CPV 5. L’enseignement de dérsané et/ou la motivation forte du concours peuvent négativement influencer les manuels de lycée, les pratiques des enseignants de lycée et celles des élèves. En d’autres termes, dans les dérsanés, du fait qu’on essaie de trouver les techniques les plus courtes sans commentaire et sans se demander « comment ? » ou « pourquoi ? » il apparaît une vision strictement utilitaire des outils mathématiques chez les élèves et cela implique de devenir un automate. De plus ce type d’enseignement peut éloigner les élèves des mathématiques. Je prends un exemple :
Dans les dérsanés, on apprend une formule pour trouver l’inverse des fonctions du type   EMBED Equation.3  ; ainsi  « pour trouver  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 il est suffisant de changer les places de a et de d et leur signe :  EMBED Equation.3 . » On voit ici l’utilisation d’une technique plutôt qu’un apprentissage lié à la notion de fonction inverse.
CPV 6. Dans les classes qui ne sont pas homogènes, c’est-à-dire les classes ayant des élèves qui fréquentent les dérsanés et d’autres non, les pratiques (les rapports au savoir de l’élève) des élèves ne sont pas non plus homogènes. Ainsi les erreurs commises, les méthodes privilégiées et les procédures sont différentes.
CPV 7. Subir l’enseignement de dérsané (ou tout enseignement très proche de celui du concours) pose des problèmes dans les études supérieurs des élèves.
CPV 8. Le désir de préparer les élèves au concours s’avère aussi dans les choix faits par les enseignants de lycée.

1.2 Pourquoi les fonctions et la classe de seconde ?
En deuxième année de cette recherche 2001-2002 nous avions prévu de faire cette étude en faisant des observations de classes au lycée et au dérsané. De plus nous voulions assister à ces séances munies d’un caméscope ou d’un magnétophone et les filmer pour mieux faire ce diagnostic en regardant aussi les pratiques des enseignants et des élèves. C’est pourquoi nous devions choisir une notion qui est introduite en même temps au dérsané et au lycée. Comme les dérsanés font leur cours à partir du contenu du concours, il était très difficile de trouver ce type de notion dans les classes de première et terminale. C’est la raison pour laquelle nous avons choisi la notion de fonction.
Comme je suis boursier du gouvernement turc, je pouvais rester en Turquie au plus deux mois par an. Pour gagner du temps, avant de partir en France j’avais envoyé une demande au Ministre de l’Education Nationale et j’avais sollicité une autorisation un mois avant pour faire ce travail dans trois lycées et trois dérsanés dans la ville où j’habite et je suis né.
L’autorisation du MEN n’était pas encore envoyée aux lycées et dérsanés concernés quand je suis arrivé en Turquie. J’ai dû téléphoner plusieurs fois au MEN pour demander où est mon autorisation. Ils m’ont dit qu’il fallait aller à Manisa (notre préfecture est là) et la chercher à la direction provinciale de l’éducation nationale. J’ai enfin réussi à récupérer mon autorisation. Mais il y avait encore une surprise pour moi ; dans cette autorisation le caméscope et le magnétophone n’étaient pas mentionnés (j’avais écrit tous les détails dans ma lettre). J’ai quand même essayé de les faire accepter aux responsables des lycées. L’un d’entre eux a voulu m’aider en insistant auprès d’une enseignante qui avait refusé (cette enseignante était très importante pour nous parce qu’elle enseignait dans toutes les classes de seconde au lycée anatolien où la plupart des élèves suivent les dérsanés). Cela a rendu mes conditions de travail difficiles. Parce que cette enseignante s’est plainte à la direction de l’éducation nationale en ville. Le directeur m’a dit que dans l’envoi du MEN il n’y avait aucune indication sur le fait de filmer des séances et que je ne pourrais donc pas le faire. De plus il m’a dit que ce n’était pas aussi facile d’entrer dans les classes avec un caméscope. Je lui ai répondu qu’il y avait beaucoup de recherches réalisées avec un et peut-être même deux caméscope en France. Il m’a répondu banalement que nous avions des conditions différentes en Turquie.
Ainsi nous avons renoncé de filmer les séances et nous sommes contentés de proposer des questionnaires aux élèves dans les classes, pour faire ce diagnostic et vérifier nos constats probables ci-dessous en nous appuyant sur les hypothèses admises que nous allons présenter ci-dessous. Nous avons analysé le programme de seconde et le contenu du concours, les questionnaires proposés aux enseignants sur la notion de fonction pour essayer de pénétrer un peu plus dans ce qui constitue la vie des fonctions dans les classes, les questionnaires aux étudiants pour vérifier que subir l’enseignement de dérsané (ou tout enseignement très proche de celui du concours) pose des problèmes dans les études supérieures des élèves.

1.3 Hypothèses admises de la recherche
Comme notre méthodologie de la recherche est fondée sur l’analyse des manuels, des thèmes du concours et des questionnaires proposés aux élèves, pour expliquer les raisons de ce choix, il nous semble nécessaire de retenir certaines hypothèses en didactique portant sur les apprentissages des élèves en fonction des énoncés proposés aux élèves.
Les chercheurs en didactiques des mathématiques étudient l’enseignement des notions mathématiques en essayant de le relier à l’apprentissage des élèves. Ainsi les exercices choisis par l’enseignant (surtout les énoncés) sont considérés comme l’un des facteurs qui dépendent de l’enseignement et ils peuvent avoir une conséquence sur les apprentissages des élèves.

Parmi les facteurs qui dépendent de l’enseignement et qui peuvent avoir une répercussion sur les apprentissages des élèves, nous retenons les exercices que l’enseignant a choisis  : plus précisément nous proposons d’étudier des énonces précis (à proposer aux élèves) et la manière dont ils peuvent être travaillés en classe. Cela nous renseigne en effet sur les activités (mathématiques) que chaque énoncé peut déclencher chez les élèves, et sur leurs conséquences éventuelles sur les acquisitions, à condition d’analyser ces activités en relation avec les apprentissages.

Par ailleurs, peuvent intervenir d’autres disciplines comme la psychologie cognitive, la psychologie, la psychanalyse, l’épistémologie, la sociologie, l’histoire des sciences…etc. Toutes ces disciplines, y compris la didactique des mathématiques, ont une approche spécifique, se fondent sur un découpage particulier de la réalité, a des hypothèses et des questionnements qui lui sont propres. Chacune d’entre eux complète d’autres et utilise leurs avancées.
La plupart des chercheurs qui adoptent une démarche didactique fondent leurs problématiques, leurs analyses sur les savoirs, les notions à enseigner.
Il y a d’autres analyses des tâches proposées aux élèves ( Notamment en termes de praxéologies), notamment celles qui permettent de reconstituer ce qui est abordé en classe dans la panoplie des tâches possibles. Ces analyses peuvent mettre en évidence certains manques dont on peut inférer des conséquences sur les apprentissages. Notre point de vue ici est autre, complémentaire : ce ne sont pas des considérations organisées autour du savoir présenté aux élèves qui nous guident mais un questionnement centré sur le détail du travail de l’élève à partir des énoncés qui lui sont proposés.

Il nous semble important de donner tout de suite quelques précisions sur le vocabulaire que nous utilisons dans le cadre de ce travail. Par le mot activité(s) nous entendons que tout ce que dit, fait, pense un élève pendant l’action, avant ou après. Cela peut avoir des traces, écrites ou orales, mais une partie est invisible. Pour nous, le mot tâche désigne ce qui déclenche une activité : ici un énoncé, ou plus exactement, une question d’un énoncé.
Par ailleurs, en terme d’apprentissage, les conséquences de l’application d’un théorème en remplaçant des données générales par des données particulières et celles de l’adaptation de ce théorème, en travaillant la manière de l’appliquer ne sont pas identiques.

Nous associons à un énoncé une analyse des activités des élèves qu’il peut engendrer, notamment en étudiant ce que les élèves ont à faire de leurs connaissances. Par exemple s’ils doivent utiliser les identités remarquables en reconnaissant sur une forme non habituelle des groupements à effectuer, ou s’ils ont à les utiliser deux fois de suite de manière non indépendante, nous dirons qu’ils ont adapté cette connaissance et c’est ce qui nous intéresse dans cette activité.
L’enjeu des activités déployées par les élèves n’est autre en effet que l’apprentissage : c’est du moins l’entrée que nous avons choisie, nous restreignant à cet aspect qui dépend en large partie des choix de l’enseignant. Appliquer un théorème en remplaçant des données générales par des données particulières ou adapter ce théorème, en travaillant la manière de l’appliquer n’ont pas les mêmes conséquences en terme d’apprentissage(…)

Les élèves apprennent ce qui leur a été présenté en cours avec des applications simples et isolées et ils peuvent l’enrichir en travaillant sur autre chose et d’autres applications non isolées et moins simples.
(…)nous admettons que ce qu’apprend un élève à qui on ne proposerait, par exemple, que des applications simples et isolées des théorèmes du cours, pourrait être enrichi si on lui proposait aussi autre chose, d’autres applications, non isolées ou moins simples. Bien sûr la première fois il risque de ne pas réussir à donner une solution de l’exercice, sans doute sera-t-il arrêté, mais nous suggérons que s’il doit résoudre suffisamment souvent des énoncés différents, en recevant des aides adéquates, il apprendra à la fois chercher et à utiliser autrement ses théorèmes, autrement dit il enrichira ses connaissances. Les enrichissements auxquels nous pensons sont l’accès à des démarches mathématiques pas uniquement algorithmiques, à une certaine généralité des outils et à une certaine organisation des connaissances. Un théorème a un caractère général (abstrait, conceptuel, décontextualisé), et il faut des applications diverses pour en saisir la généralité. De même un théorème s’inscrit dans un champ de connaissances et il faut des applications variées pour saisir sa place, lui donner de plus en plus de sens. Enfin si plusieurs fois les élèves sont confrontés à une certaine recherche, ils s’y font ».

Nous avons conscience du fait que l’activité du professeur ne représente q’une partie des facteurs qui déterminent l’apprentissage d’un élève. L’hétérogénéité d’une classe en témoigne. Le riche travail de Bernard Charlot, Elisabeth Bautier et Jean-Yves Rochex contribue à expliquer, par une approche sociologique, que les élèves ne reçoivent pas de la même manière un même enseignement : non seulement ils ne rentrent pas en classe avec les mêmes attentes et les mêmes projets, mais encore ils ne donnent pas le même sens au discours de l’enseignant et à ses consignes ni même aux tâches qu’ils réalisent en classe ou à la maison. Néanmoins, nous faisons l’hypothèse que ce qui se passe dans une classe reste un facteur essentiel des apprentissages des élèves. De plus, nous fixons à notre recherche une première limite : nous ne prenons pas en compte la dimension sociale des élèves des classes dans lesquelles nous avons passé nos questionnaires.
Dans une situation d’enseignement, le professeur s’engage personnellement. Des logiques inconscientes s’y manifestent nécessairement. Nous avons pu percevoir quelques-unes de leurs manifestations lors de certaines observations, mais n’étant pas spécialiste des théories ni des analyses psychanalytiques, nous avons préféré ne pas en tenir compte dans le cadre de ce travail. Cette limitation suppose, nous en faisons l’hypothèse, que la compréhension partielle à laquelle nous pourrons parvenir reste cependant pertinente pour expliquer, suffisamment même si ce n’est pas totalement, les activités du professeur en fonction de ce qu’elles induisent sur les apprentissages des élèves.
Dans une classe, les interactions entre le professeur et les élèves comportent nécessairement une dimension affective qui n’est pas négligeable. Par exemple il est tout à fait possible de remarquer, lors des observations de classe, que le ton du professeur change suivant la situation ou suivant les élèves, que ses accompagnements du discours purement mathématique (verbaux ou non) sont nombreux pour souligner son égard pour ses élèves, que sa position dans la salle comme ses déplacements témoignent aussi de la dimension affective du jeu qui se déroule en classe. Pour des raisons d’ordre méthodologique, nous avons décidé de ne pas aborder la dimension affective des situations d’enseignement observées. En effet, les exemples que nous avons cités montrent que la prise en compte de cette dimension mérite d’adopter un point de vue très local sur les situations, point de vue qui vient se heurter au choix de considérer l’ensemble complet de la séquence de chaque professeur. Malgré ces nouvelles limitations de notre étude, nous supposons encore qu’elle conserve sa pertinence.

2. Méthodologie de la recherche sur la notion de fonction
Comme nous l’avons précisé auparavant, notre étude va comporter plusieurs dimensions différentes : résumé du programme pour caractériser le concours et montrer la différence entre le programme des lycées et le contenu du concours, analyse des manuels de lycée et des manuels de préparation au concours, des thèmes du concours, des questionnaires proposés aux élèves, aux enseignants et aux étudiants. Nous allons présenter dans cette partie comment nous allons mener l’analyse de ces différentes données et les articuler.

2.1 Résumé du programme
Pour classifier ce qui apparaît dans le programme concernant les fonctions, le comparer avec les thèmes qui apparaissent dans le concours d’entrée à l’université et montrer ainsi l’éloignement du programme de lycée et du contenu du concours, nous avons résumé le programme officiel de la classe de seconde. Dans le chapitre suivant nous décrirons le contenu prévu à ce niveau ainsi que les compétences exigibles tout en soulignant les commentaires (s’ils existent) qui les accompagnent.
Face à ce qui est proposé par le Ministre de l’Education Nationale, il s’agit de savoir ensuite ce qui est retenu dans les manuels de lycée et pour ce faire nous avons choisi quatre exemples qui nous semblent assez représentatifs : manuel officiel (édition : Ministre de l Education Nationale), collection Tutibay (édition : TUTIBAY), collection Alt1n (édition : ALTIN KITAPLAR), et collection Ayd1n (édition : AYDIN).
Puisque l’un de nos objectifs principaux est de caractériser l’enseignement dispensé au dérsané en relation avec celui du lycée, il s’agit aussi de savoir ce qui apparaît dans les manuels de préparation au concours et pour ce faire notre choix s’est porté sur trois manuels de ce type : il s’agit de mathématiques CEU de la collection Güvender chez GÜVENDER YAYINLARI, du manuel de seconde de préparation au concours et de soutien aux cours de lycée de la collection Zafer chez ZAFER YAYINLARI, du manuel de préparation au CEU de la collection Uur chez UGUR YAYINLARI. Cette liste n est pas exhaustive mais couvre les livres principalement utilisés par les élèves. Nous développerons plus en détail les caractéristiques analysées de chaque manuel dans le paragraphe suivant.
Comme les manuels de préparation au concours sont constitués en référence au contenu du concours avec l’objectif de préparer les élèves et que nous voulons étudier l’influence de ce concours dans l’enseignement de lycée, il nous a semblé important d’analyser ce qui a été proposé aux élèves aux concours de 1970 à 2003. L’analyse menée est la même que celle adoptée pour les exercices des manuels afin de permettre une meilleure comparaison entre les deux.

2.2 Analyse des manuels
Notre analyse comportera quatre parties, dont nous allons détailler le plan : chapitre où les fonctions sont introduites globalement, activités introductrices, cours et exercices résolus.

Chapitre où les fonctions sont introduites globalement
Dans cette partie nous avons étudié si les manuels attribuent un chapitre propre aux fonctions ou si elles sont présentés dans un chapitre commun avec d’autres notions. Cette indication fournit des repères sur la qualification des fonctions par les manuels.

Pour les activités introductrices
Nous nous sommes intéressés par la manière avec laquelle chaque manuel introduit la notion de fonction, quel(s) type(s) d’activité(s) est proposé ainsi que sa conformité à l’esprit des programmes.

Pour le cours
Nous avons effectué l’analyse du cours en regardant à la fois : le statut des fonctions (la définition proposée), les notations qui sont introduites à leur propos et les caractères outil ou objet présents, les théorèmes et les propriétés qui apparaissent, en distinguant ceux qui sont démontrés, les notations proposées et donc les différentes écritures et cadres introduits aussi que les articulations explicitées entre ces derniers. Par ailleurs dans l’analyse du cours nous nous sommes penchés aussi sur les remarques grâce auxquelles les connaissances essentielles dont l’élève doit se servir pour résoudre les exercices sont introduites. De plus comme les manuels turcs proposent plusieurs exemples qui peuvent être qualifiés d’exercices résolus dans le cours, nous avons aussi analysé ces exemples, surtout s’ils font référence directe aux notions qui les précédent, en prenant en compte les mêmes niveaux que ceux que nous utilisons dans l’analyse des exercices résolus.

Pour les exercices résolus.
Nous classerons tout d’abord les différents types de tâches prescrites et demandées aux élèves. A. Robert a introduit l’idée (Robert, 1999) que proposer des tâches simples et isolées des théorèmes, définitions, formules, ne provoque pas chez l’élève les mêmes activités que si des adaptations sont à mettre en œuvre. Nous distinguerons ainsi quatre types de tâches qui n’engendrent pas des activités de même nature pour les élèves dans une classe d’un niveau scolaire donné.
• Les tâches élémentaires : lire, répéter, prendre son cahier, écrire sous la dictée. Les activités potentielles des élèves ne sont pas mathématiques.
• Les tâches simples et isolées : elles ne demandent que l’application immédiate d’une règle ou d’une propriété. Il peut s’agir de donner le résultat d’un calcul énoncé par le professeur, de composer deux fonctions affines et de calculer l’image d’un nombre réel par une fonction définie algébriquement. Ces tâches permettent de mettre en fonctionnement le lien décontextualisation-contextualisation.
• Les tâches simples : toutes les tâches qui demandent un travail de reconnaissances pour appliquer un résultat, celles qui demandent des répétitions, ne peuvent pas être considérées comme simples et isolées. La reconnaissance d’une figure, la répétition d’une construction sont des tâches simples, elles demandent aux élèves de mettre en fonctionnement les liens contextualisation-décontextualisation-recontextualisation. Nous considérons, par exemple, la détermination de la formule algébrique d’une fonction affine à partir de deux images connues en classe de seconde, comme une tâche simple, simple parce qu’elle met en jeu une contextualisation immédiate, non isolée parce qu’elle met en jeu plusieurs connaissances à la fois.
• Les tâches complexes : ce sont celles qui amènent les élèves à conjecturer, à adapter, à choisir une propriété parmi plusieurs, à faire un raisonnement en plusieurs étapes. Elles nécessitent l’association d’un problème et d’une mise en fonctionnement et non plus l’application d’un théorème ou une propriété à une figure. Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme est une tâche complexe en cinquième. Les élèves ont tout d’abord à sélectionner parmi les hypothèses celles qui leur permettront de caractériser le parallélogramme. Il leur faut donc mettre en relation hypothèses et caractérisation d’un parallélogramme. Ils ont ensuite à adapter le raisonnement au contexte de l’exercice avant de conclure.
Nous allons donc analyser la tâche prescrite aux élèves dans les exercices résolus en la positionnant par rapport aux exigences du programme et en regardant :
• Les cadres : nous développons l’idée que les notions mathématiques interviennent souvent dans des cadres différents. Avec ce mot, nous étiquetons un domaine de travail du mathématicien dans lequel la notion concernée peut fonctionner et être utilisée en liaison avec d’autres, ce domaine n’étant pas le seul champ où la notion peut intervenir. Nous défendons l’idée que les exercices peuvent utilement amener à contextualiser les notions en utilisant divers cadres, soit explicitement, soit sans le demander aux élèves, mais en espérant cependant qu’ils penseront à introduire ces changements de cadres.
En accordant une importance à ces idées, dans les exercices nous allons regarder les cadres qui apparaissent dans chacun et les changements de cadres, indiqués ou non, qu’il faut effectuer pour la résolution.
• Le degré de décontextualisation de la tâche (tâche particulière, générique, mise en fonctionnement outil ou objet de la notion)
• Les commentaires et les points méthodes éventuellement existants.
• Les connaissances qui sont en jeu, en distinguant celles qui sont relatives au domaine des fonctions et celles qui ne le sont pas. Dans chacune de ces catégories, nous distinguerons les outils disponibles et mobilisables ainsi que les mises en fonctionnement techniques des connaissances.
Nous avons distingué les exercices résolus selon les connaissances en jeu et les avons classé en deux catégories : les exercices simples où il s’agit d’utiliser seulement les connaissances qui font référence directe à la notion de fonction et les exercices articulés où l’élève doit faire appel aussi à des connaissances antérieures pour résoudre. En ce qui concerne les connaissances antérieures des élèves, nous nous sommes limités au programme de la classe de 3.ème La liste suivante montre quelles connaissances antérieures nous appelons «outils devant être disponibles » :
-Nombres (les ensembles des nombres et leurs propriétés: ensemble des nombres rationnels, entiers, irrationnels…etc.)
-Puissances et racines
-Factorisation
-Identités remarquables
-Factorielles
-Valeur absolue (d’un nombre réel)
-Résolution d’équations à une inconnue et d’équations à deux inconnues
-Résolution de système linéaire d’équations
-Equation des droites
-Permutation et probabilités
En nous appuyant sur les travaux de A. Robert (1998), nous avons compté dans les exercices résolus les outils supposés disponibles dans le travail et les outils mobilisables. De plus nous avons aussi précisé, dans la grille d’analyse, le nombre des étapes par lesquels l’élève doit passer pour résoudre l’exercice. Afin de mieux expliquer cette analyse nous allons donner des exemples :











ExemplesSolutionNotre analyseSi  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 pour la fonction f affine, quelle est la valeur  EMBED Equation.3  ?
(exercice articulé dans lequel il y a un outil supposé disponible, deux outils mobilisables, trois étapes, il s’agit de travailler sur l’écriture algébrique des fonctions dans le cadre algébrique)Si f est une fonction affine,  EMBED Equation.3 







 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 


 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
a=3 et b=-1


f(x)=ax+b=3x-1
f(1)=3.1-1=2
La formule générale des fonctions affines (Outil mobilisable 1
-Cadre algébrique (CA)
-Travail sur l’écriture algébrique des fonctions


Trouver les images en mettant à la place de x dans la fonction f (outil mobilisable 2, étape 1)

La résolution du système linéaire d’équations (outil supposé être disponible dans le travail 1, étape 2)


Déterminer la fonction f et calculer l’image demandée (outil mobilisable 2, étape 3)Etant donné  EMBED Equation.3  calculer EMBED Equation.3 


(exercice articulé dans lequel il y a deux outils supposés disponibles dans le travail, un outil mobilisable, deux étapes et il s’agit de travailler sur l’écriture algébrique des fonctions dans le cadre algébrique et numérique)  EMBED Equation.3 






 EMBED Equation.3 Utilisation d’une identité remarquable (outil supposé disponible dans le travail 1, étape 1)
-Cadre algébrique (CA)
-Travail sur l’écriture algébrique des fonctions


L’élève doit calculer l’image demandée en se servant des connaissances antérieures liées aux puissances ou racines (outil mobilisable 1, outil supposé disponible dans le travail 2, étape 2)
-Cadre numérique (CN)Etant donné  EMBED Equation.3  calculer f(x-1) en fonction de f(x).



(exercice articulé dans lequel il y a un outil supposé disponible dans le travail, un outil disponible, trois étapes et il s’agit d’un travail sur l’écriture algébrique des fonctions dans le cadre algébrique)On trouve x à partir de EMBED Equation.3 .

 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 


 EMBED Equation.3 




on écrit à la place de x la valeur x en fonction de f(x)
 EMBED Equation.3 

Calculer x en fonction de f(x) en mettant en fonctionnement la résolution d’équations (outil supposé disponible dans le travail 1,étape 1)
-Cadre algébrique (CA)
-Travail sur l’écriture algébrique des fonctions

Calculer f(x-1) (outil mobilisable 1, étape 2)





Trouver l’image demandée en remplaçant x par la valeur x en fonction de f(x) (étape 3)
Exemples SolutionNotre analyseSi les fonctions f et g sont définies sur IR par  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 trouver fog et gof.

(exercice articulé dans lequel il y a un outil supposé disponible, un outil mobilisable, une seule étape et il s’agit de travailler sur l’écriture algébrique des fonctions dans le cadre algébrique)



(exercice simple dans lequel il y a un outil mobilisable, une seule étape et il s’agit de travailler sur l’écriture algébrique des fonctions dans le cadre algébrique)


 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 




= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 




 EMBED Equation.3 
= EMBED Equation.3 
= EMBED Equation.3 
= EMBED Equation.3 
Utilisation de la définition de la composition des fonctions (outil mobilisable 1, étape 1)
-Cadre algébrique (CA)
-Travail sur l’écriture algébrique des fonctions

Une identité remarquable que l’élève doit se servir (outil supposé disponible dans le travail 1)


Utilisation de la définition de la composition des fonctions (outil mobilisable 1, étape 1)
-Cadre algébrique (CA)
-Travail sur l’écriture algébrique des fonctionsEtant donné f={(-1,2),(1,3),(2,-4)} et g={(-1,1),(2,2),(3,1)}, trouver f+2g.

(exercice simple dans lequel il y a deux outils mobilisables, une seule étapes et il s’agit de travailler sur l’écriture de la liste de couples des fonctions dans le cadre de la théorie élémentaire des ensembles et le cadre numérique)
(f+2g)(-1)=f(-1)+2g(-1)=2+2.1=4
(f+2g)(2)=f(2)+2g(2)=-4+2.2=0
f+2g={(-1,4),(2,0)}Utilisation de l’opération « addition » sur les fonctions définies d’un sous-ensemble fini de Z dans Z par une liste de couples et déterminer les images (outil mobilisable 1 et 2, étape 1)
-Cadre de la théorie élémentaire des ensembles (CE) et cadre numérique (CN)
-Travail sur l’écriture de la liste de couples des fonctions
Les quatre opérations sur les fonctions figurent dans le programme de la classe de terminale.On considère que la fonction f est bijective sur [0,2] et représentée graphiquement ci-dessous : Quelle est la valeur  EMBED Equation.3  ?

 y

 2 f(x)

0 2 x
 1

 -3


(exercice simple dans lequel il y quatre outils mobilisables, quatre étapes et il s’agit de travailler sur la représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé dans le cadre analytique et le cadre numérique)

On détermine graphiquement f(2)=-3, f(0)=2, f(1)=0







Soit f –1(2)=a. On obtient donc f(a)=2.

Si f(a)=2 et f(0)=2, on trouve a=0 et puis f –1(2)=0

f(f(1))=f(0)=2



On peut trouver la valeur demandée en mettant à leurs places les valeurs qu’on a trouvées

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 Détermination graphique des images demandées dans un repère orthonormé (outil mobilisable 1, étape 1)
-Cadre analytique (CAn)
-Travail sur la représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé

Application de la définition de l’inverse des fonctions et de la bijectivité (outil mobilisable 2 et 3, étape 2)

Mise en fonctionnement de la définition de la composition des fonction (outil mobilisable 4, étape 3)


Calculer la valeur demandée (étape 4)
-Cadre numérique (CN)2.3 Description et passation des questionnaires-élèves sur la notion de fonction
Maintenant je vais parler des questionnaires proposés aux élèves de seconde et d’une classe de terminale à l’aide desquels je pourrais vérifier mes constats probables (cf. CPV1, CPV2,CPV5 et CPV6). Comment se sont-ils déroulés ? Pourquoi avons-nous proposé deux questionnaires ? Comment avons-nous choisi les questions des questionnaires ? Pourquoi se sont-ils déroulés dans trois lycées différents ?
Lors du choix des questions, j’ai d’une part fait appel à mon expérience scolaire (comme étudiant) et d’autre part à mon expérience professionnelle (comme enseignant dans un dérsané). Les questions du premier questionnaire (QF1) ont été préparées à partir des programmes officiels de lycée et des cahiers des élèves du lycée normal. Parce que dans les classes de seconde de ce lycée l’enseignement était très proche du programme, il n’y avait aucun élève (ou un très petit nombre) qui suivait le dérsané ; il était très difficile de trouver des questions du concours ou des questions y ressemblant dans les cahiers des élèves. Quant au deuxième questionnaire, je me suis basé sur l’enseignement dispensé dans les classes de seconde du lycée anatolien où l’enseignement était très proche du concours, l’intérêt du concours étant très important pour les élèves, pour les enseignants et pour les parents ; le nombre des élèves qui suivent les dérsanés était élevé et il était possible de remarquer beaucoup de questions du concours ou des questions y ressemblant dans les cahiers des élèves.
Il y a deux questionnaires. L’un comporte 7 questions et l’autre 10 questions qui traitent de la notion de fonction. Je les ai proposés aux élèves de seconde de trois lycées différents et à une classe de terminale. Comme le montrent bien les tableaux ci-dessous, le premier questionnaire a été passé par 249 élèves appartenant à 6 classes de seconde et 1 classe de terminale, le deuxième a été proposé aux mêmes élèves (sauf ceux d’une classe de seconde) une semaine après. Les questionnaires se sont déroulés pendant des cours d’orientation. Dans les questionnaires, afin de disposer d’informations sur les élèves, nous leur avons demandé d’indiquer comment ils s’estiment en mathématiques (bon, moyen, mauvais), de noter les résultats des contrôles et d’indiquer s’ils suivent un enseignement en dérsané.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
LN :Lycée Normal (effectif :102 élèves), LA :Lycée Anatolien (effectif :89 élèves),
LS :Lycée Super (effectif :58 élèves)

 EMBED Excel.Chart.8 \s 
SA :Seconde A (LA :Lycée Anatolien-effectif de la classe :36 élèves), SB :Seconde B (LA-effectif de la classe :34), SC :Seconde C (LS :Lycée Super-effectif de la classe :29 élèves), SD :Seconde D (LS- effectif de la classe :29 élèves), SE :Seconde E (LN :Lycée Normal-effectif de la classe :49 élèves), SF :Seconde F (LN-effectif de la classe :53 élèves), CT :Classe de terminale (LA-effectif :19 élèves)

Afin de mieux comprendre le niveau des élèves, il me semble nécessaire présenter les lycées où les questionnaires se sont passés. Il y a trois classes du Lycée Anatolien qui est le meilleur lycée en ville. Il recrute les élèves sur un concours. Les familles des élèves sont de haut niveau social. Les élèves commencent à suivre les dérsanés dès la classe de seconde. L’une des classes de seconde engagées dans le questionnaire a 20 élèves sur 37 qui suivent les cours de dérsané et l’autre 12 sur 34. Tandis qu’en classe de terminale tous les élèves les suivent. La quasi-totalité des professeurs dans ce lycée fait le cours à partir des programmes officiels et (implicitement) du contenu du concours.
Les bons élèves de collège ayant échoué peuvent aller au lycée super. Il y a deux classes de seconde de ce lycée où les questionnaires se sont déroulés. Le nombre des élèves qui suivent les dérsanés dans ces classes ne dépasse pas 4 ou 5.
Le dernier lycée qu’on appelle le lycée normal recrute les élèves restant après ces deux sélections. Il y a deux classes de seconde de ce lycée où un ou deux élèves suivent les cours de dérsané. Les professeurs et les élèves sont moins motivés par le concours que ceux des autres établissements. Le professeur des classes soumis aux questionnaires suit uniquement les programmes de lycée.
Les questions sont présentées avec un espace libre après chaque question, afin que l’élève y inscrive l’ensemble de ses calculs. Les élèves ont 45 minutes pour répondre aux questions. L’ordre de présentation des questionnaires est aléatoire, néanmoins les deux questionnaires commencent par les questions les plus simples de manière qu’aucun élève ne soit d’emblée en échec. Comme les calculatrices ne sont pas autorisées en Turquie, il n’y a aucun élève qui ait utilisé une calculatrice.

Présentation des questions
Le premier questionnaire est plus proche du programme de seconde. Les questions sont simples et isolées. Elles ne demandent que l’application immédiate d’une règle ou d’une propriété. Le premier questionnaire cherche ainsi à vérifier que les élèves peuvent mettre en fonctionnement leurs connaissances essentielles qui font référence directe à la notion de fonction. On peut trouver ces types de questions dans tous les manuels. En ce qui concerne le deuxième questionnaire, les questions sont soit des questions du concours (comme les questions n°1, n°2, n°3,n°5, n°8, n°9) soit des exercices des manuels de préparation au concours. Elles ne sont pas isolées, mais simples. Elles demandent un travail de reconnaissance pour appliquer un résultat. On peut trouver ces types de questions dans tous les manuels de préparation du concours et certains manuels de lycée. Je joins en annexe un exemplaire des deux questionnaires. En laissant faire l’analyse a-priori des questions dans le chapitre concernant l’analyse des questionnaires (chapitre VI), je présente ici brièvement les questions des questionnaires :
- La question n°1 nous permet de préciser le sens de la notion de la fonction pour les élèves. C’est une question générale. Ainsi avoir une définition complète de la fonction n’est pas très exigé en général. Même si l’élève donne un mot qui renvoie à une des définitions, cela nous renseigne déjà. Comme tous les manuels de dérsané ou de lycée introduisent les fonctions de manière ensembliste, nous attendons que la plupart des élèves aient tendance à donner la définition ensembliste.
- La question n°2 permet de voir les connaissances élémentaires des élèves sur la notion de fonction. Elle invite les élèves à calculer les images des éléments de l’ensemble de définition par une fonction affine. C’est une question très bien préparée.
- La question n°3 implique l’application de la définition de la fonction inverse.
- Les questions n°4 et n°5 impliquent la mise en fonctionnement de la définition de la composition des fonctions. Dans la question n°4 il s’agit de composer deux fonction données. Inversement dans la question n° 5 on demande aux élèves de « décomposer » une fonction en utilisant l’une des fonctions composées.
- Dans la question n°6 il est nécessaire de trouver l’inverse d’une fonction rationnelle.
- La septième question consiste à appliquer la définition des fonctions injectives. L’élève est amené à chercher l’injectivité d’une fonction carré à partir de son ensemble de définition.
Maintenant je fais la présentation du questionnaire 2 ;
- Dans la question n°1 il s’agit de travailler sur une fonction définie par la langue naturelle. D’abord l’élève est amené à traduire la fonction en langage algébrique et ensuite à trouver l’image d’un nombre rationnel.
- La question n°2 concerne une composée des fonctions. On demande de « décomposer » une fonction composée et ensuite de trouver l’image de 2 par cette fonction.
- La question n°3 consiste aussi à « décomposer » deux fonctions. Il s’agit de deux fonctions rationnelles composées.
- La question n°4 concerne la fonction qui présente une identité remarquable. On demande aux élèves de trouver l’image de l’expression x+1 par la fonction.
- Dans la question suivante il s’agit d’une fonction affine sous la forme f(x)=ax+b. On invite les élèves à déterminer a et b à partir des images de 3 et 2 par l’inverse de la fonction.
- La sixième question implique aussi une fonction affine. Les coefficients de x sont inconnus et l’élève est invité à trouver les coefficients en utilisant la relation entre les images de 2 et –2.
- Dans la question n°7 il apparaît une fonction constante. Le fait que le coefficient d’une fonction constante soit nul doit être mobilisé par les élèves.
- La question n°8 est celle dans la quelle la courbe représentative d’une fonction est proposée. On demande aux élèves de déterminer les images de certains éléments par la fonction et son inverse en utilisant la courbe.
- La question n°9 implique aussi la reconnaissance de l’inverse de fonction. Dans l’énoncé de la question en passant quelques étapes du traitement de l’inverse d’une fonction on donne la dernière étape et il reste aux élèves à terminer cette tâche incomplète.
Le tableau récapitulatif ci-dessous montre les connaissances à utiliser ou à mobiliser, dans les questions de nos questionnaires, par question. Ainsi dans le deuxième questionnaire il y a des questions qui demandent d’utiliser plusieurs connaissances antérieures de l’élève. Tandis que le premier est construit avec des questions qui font référence directe à la notion de fonction. Nous pensons que cette différence nous permet de vérifier notre hypothèse « les élèves qui ne suivent pas les dérsanés échouent au concours, même s’ils sont très bons élèves ».


Le tableau récapitulatif des connaissances à utiliser ou à mobiliser par question
Propriétés évoquées dans le programme de seconde de lycée






Questionnaire n°1définition de la fonction trouver des images sur la fonctioninverse d’une fonction affineinverse d’une fonction rationnellecomposée des fonctiondécomposée
des fonctionsune des fonction diversestraduction entre différents langagestrouver les images sur une courbe représentative
(Lecture graphique) résolution du système linéaire d’équations inverse des nombresrésolution des équations à une inconnuefonction inverse
f(x)= EMBED Equation.3 reconnaissance des identité remarquablesdéfinition de l’inverse de la fonctionQ1ouiQ2ouiQ3ouiQ4ouiQ5ouiQ6ouiouiQ7ouiouiQuestionnaire n°2Q1ouiouiouiQ2ouiouiouiQ3ouiouiQ4ouiouiQ5ouiouiouiQ6ouiouiQ7ouiouiQ8ouiouiQ9ouiouioui 2.4 Analyse des questionnaires-enseignants sur l’enseignement des fonctions
Il nous semble nécessaire cependant d’aller au-delà de ces analyses dont nous avons parlé plus haut, pour essayer de pénétrer un peu plus, dans ce qui constitue la vie des fonctions dans les classes de seconde et pour montrer l’influence du concours dans les choix faits par les enseignants (cf. CPV 8). Comme nous l’avons déjà indiqué, nous avons rencontré beaucoup de difficultés pour observer et filmer les séances. C’est pourquoi nous avons mis en place un questionnaire que nous avons soumis à un certain nombre d’enseignants au lycée et au dérsané, pour essayer de cerner plus précisément comment ils conçoivent l’enseignement des fonctions.
Les questionnaires-enseignants ont été distribués aux intéressés lors d’un passage du chercheur dans leur établissement et récupérés une semaine plus tard. J’ai reçu 15 réponses des enseignants.
Chaque questionnaire comprend onze questions.
Les deux premières questions nous apportent des informations sur le parcours de l’enseignant, particulièrement dans les classes concernées ici.
La troisième question nous apporte des informations sur la relation qu’il entretient avec les programmes officiels.
Ensuite, dans une troisième partie, j’ai posé six questions, pour cerner, autant que possible, l’image que l’enseignant se fait de l’enseignement de la fonction, son idée sur le degré de difficulté du chapitre, ses objectifs, les types d’erreurs et de difficultés aux quelles il s’attend.
La quatrième partie, avec deux questions, concerne la façon dont il gère les contraintes liées à l’existence de l’examen final. Dans cette partie nous avons demandé aux enseignants de citer trois exercices (activités) qu’ils avaient proposés aux élèves en classe et qui leur semblent particulièrement représentatifs du chapitre et de citer un exercice qu’ils ont proposé en contrôle. Dans l’analyse de ces exercices proposés nous avons aussi utilisé l’analyse menée pour les exercices résolus des manuels.

2.5 Analyse des questionnaires-étudiants sur l’enseignement des mathématiques
Le but principal de ces questionnaires est de vérifier que subir l’enseignement de dérsané (ou tout enseignement très proche de celui du concours) pose des problèmes dans les études supérieures des étudiants. Pour ce faire nous avons mis en place un questionnaire que nous avons soumis à un certain nombre d’étudiants de différentes universités en Turquie (41 étudiants).
Les questionnaires ont été envoyés par Internet aux proches du chercheur qui travaillent ou étudient aux universités citées ci-dessous. Ainsi ils ont trouvé les étudiants qui acceptent de répondre aux questionnaires et ils les leur ont distribué et ramassé. Dans chaque questionnaire, il y avait une petite explication qui met en évidence le but du questionnaire.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
Nous disposons de dix questionnaires provenant d étudiants de l Université F1rat (Euphrate) à Elaz1 (au Sud-Est de la Turquie), de neuf questionnaires provenant d étudiants de l Université Ege à Izmir (à l Est de la Turquie), de six questionnaires provenant d étudiants de l Université Erciyes à Kayseri (au milieu de la Turquie), de sept questionnaires d’étudiants de l’Université Gazi, de huit questionnaires de l’Université Ankara et d’un questionnaire de l’Université Hacettepe, à Ankara (la capitale de la Turquie, au milieu du pays).
La plupart des étudiants qui répondent aux questionnaires étudiaient les mathématiques dans des facultés scientifiques (soit 37 étudiants sur 41). Quatre étudiants étudiaient les mathématiques dans la discipline « mathématiques » de l’enseignement primaire des facultés d’éducation et un étudiant dans la discipline « mathématiques » des mêmes facultés.
En ce qui concerne la répartition des étudiants par année scolaire, comme le montre bien le tableau ci-dessous, la plupart des étudiants étaient en première année lors de la passation des questionnaires. Un faisait son DEA, neuf étaient sur le point de terminer leurs études supérieures (quatrième année), deux étudiants étaient en troisième année et cinq étudiants en deuxième année.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
Le sexe dominant des étudiants qui répondent aux questionnaires est féminin. Selon le tableau suivant les filles constituent 56% des effectifs globaux des étudiants ayant répondu.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 

Chaque questionnaire comprend sept questions. Dans la première question nous avons invité les étudiants à exprimer leurs idées en répondant à la question suivante « pourquoi on se sent le besoin d’apprendre ou de faire apprendre les mathématiques ? ». La deuxième question demandait aux étudiants d’estimer les mathématiques effectuées au lycée, au dérsané et à l’université. Dans la question suivante nous leur avons demandé s’il y a une différence entre leurs idées actuelles sur les mathématiques et celles d’avant le commencement de l’enseignement supérieur. La quatrième question invitait les étudiants à parler un peu du système des concours et leur demandait ainsi s’il est toujours possible de dire qu’un élève qui répond correctement à toutes les questions de mathématiques au concours va réussir dans l’enseignement supérieur. Dans la cinquième question nous leur avons proposé un dialogue entre trois étudiants qui parlent des difficultés auxquelles ils font face dans l’enseignement supérieur, en faisant un lien avec leur enseignement précédent. Les étudiants devaient ainsi indiquer avec quel étudiant ils sont d’accord et ensuite exprimer leur raisons. En ce qui concerne la sixième question, nous avons invité les étudiants à proposer des conseils pour l’enseignement des mathématiques aux lycées et aux dérsanés. Dans la dernière question nous leur avons demandé comment ils s’estiment (ou s’estimaient) en mathématiques au lycée et à l’université.













































CHAPITRE III


ANALYSE DES MANUELS

















Plan du chapitre III :
1.Place de la notion de fonction dans les programmes actuels de seconde, de première et de terminale en Turquie…………… ....55
1 Définition ensembliste et représentation graphique………… ...56
1.2 Egalité des fonctions à partir d’ensembles……… .…….…….56
1.3 Propriétés particulières des fonctions .57
1.4 Composition des fonctions………………… …………………………....57
1.5 Conclusion …… ………………………………………………58
2. Analyse du manuel de lycée Tutibay …………. ………………………...59
2.1 Définition ensembliste de la notion de fonction……… …….……………59
2.2 Représentation graphique des fonctions dans un repère orthonorm酅. 60
2.3 Egalité des deux fonctions… ……………………………………..60
2.4 Propriétés particulières des fonctions………… ……………………….61
2.5 Ensembles infinis ou finis et ensembles équipotents…………… ………63
2.6 Composition des fonctions…… …………………………………………64
2.7 Définition de l’inverse d’une fonction…………………… ……………64
2.8 Synthèse…………………………… …………………………………..67
3. Analyse du manuel Officiel…………………… ………………...….…...71
3.1 Définition ensembliste de la notion de fonction………… …………….71
3.2 Représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé… ….72
3.3 Egalité des deux fonctions…… …………………………….………….72
3.4 Propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières……… ….72
3.5 Définition de l’inverse d’une fonction……… ……………………74
3.6 Ensembles infinis et équipotents……… ……………………………….75
3.7 Composition des fonctions……… ……………………………………..75
3.8 Exercices résolus……………………………… ……………………….76
3.8.1 Thème III :recherche de l’inverse d’une fonction………… …………..76
3.8.2 Thème IV :composition des fonctions…… …………………………...77
3.8.3 Thème V :image d’un nombre réel ou une expression algébrique ...…..79
3.8.4 Thème VI :représentation graphique des fonctions ..80
3.9 Synthèse…………………………………………… …………………..80
4. Analyse du manuel de préparation au concours Güvender… …………….85
4.1 Définition ensembliste de la notion de fonction…… …….……………85
4.2 Propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières……… .....86
4.3 Quatre opérations sur les fonction……….……………… …...………….87
4.4 Définition de l’inverse d’une fonction………………… ………………88
4.5 Composition des fonctions…………………………… ………………..90
4.6 Représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé …..91
4.7 Exercices résolus……………… ……………………………………….91
4.7.1 Thème I :définition ensembliste de la notion de fonction et ensembles.. 91
4.7.2 Thème II :recherche de l’inverse d’une fonction définie algébriquement 92
4.7.3 Thème III :composition des fonctions définies algébriquement ou à partir d’ensembles………… …………………….92
4.7.4 Thème IV :image d’un nombre réel ou d’une expression par une fonction 95
4.7.5 Thème V :représentation graphique des fonctions ... .97
4.8 Synthèse………………………………………………… ……………….97
5.Comparaison des analyses des manuels………… ……………….………102
6.Conclusion……………………… ………………………………..………112







Afin de comparer les manuels de lycée et ceux de préparation au concours et de mettre en évidence les similarités et les divergences, l’enjeu fort du concours dans les manuels de lycée, dans ce chapitre, nous allons continuer notre travail par l’analyse des manuels. Comme nous l’avons déjà indiqué, nous avons choisi sept manuels dont l’un est le manuel officiel et trois sont les manuels de préparation au concours les plus utilisés.
En particulier, pour chaque manuel nous décrirons : les activités introductrices, le cours, les travaux pratiques et les exercices résolus suivant les lignes directrices précisées dans la partie méthodologique. Nous donnerons ici l’analyse de deux manuels de lycée et d’un manuel de préparation au concours manuel par manuel. Nous avons mis l’analyse des quatre autres manuels en annexes. Nous allons terminer cette partie par une synthèse comparative des données recueillies.
Avant de passer à l’analyse des manuels, nous allons mettre en évidence la place de la notion de fonction dans les programmes actuels en Turquie.

1. Place de la fonction dans les programmes actuels de seconde, de première et de terminale en Turquie
Il nous semble tout d’abord nécessaire d’indiquer que les programmes officiels turcs sont très courts. On annonce simplement des objectifs et des compétences exigibles sans détailler. Il est très rarement possible de trouver des commentaires, des explications et des exemples.
En Turquie la notion de fonction est, pour la première fois, introduite en classe de seconde. A ce niveau l’élève rencontre une définition, des propriétés particulières des fonctions et des fonctions particulières, la composition des fonctions et la définition de l’inverse d’une fonction. Dans cette classe ultérieurement on traite le chapitre « polynomes », et on revoit alors la notion de fonction. En première l’élève est face aux fonctions trigonométriques, logarithmiques, exponentielles et fonctions de permutation. En classe de terminale la composition des fonctions et l’inverse de la fonction sont brièvement reprises d’un point de vue ensembliste. De plus les fonctions croissantes et décroissantes, les fonctions paires et impaires, les quatre opérations sur les fonctions, des fonctions particulières ( fonction définie par morceaux, fonction valeur absolue, fonction signe, et fonction valeur entière ) figurent dans le programme de terminale.
Par ailleurs, en terminale l’élève continue à utiliser la notion de fonction en travaillant sur les limites de fonctions, la continuité des fonctions et les dérivées des fonctions.
Dans le programme officiel de la classe de seconde les fonctions sont mises en place en même temps que la notion de correspondance entre ensembles et de loi de composition interne dans un même chapitre. Nous avons classé les notions qui apparaissent ensuite dans le programme de seconde en quatre rubriques:

1.1 Définition ensembliste et représentations graphiques
Il n’y a aucune indication sur la façon de définir «les fonctions ». C’est la raison pour laquelle le choix de définition reste assez flou. Cependant le fait que des éléments sur les ensembles et les correspondances entre ensemble précédent les fonctions conduit à penser que la définition ensembliste des fonctions est préconisée. Dans ce cadre on attend des élèves de pouvoir définir les fonctions à partir d’ensembles, l’ensemble de définition, l’ensemble d’arrivée, l’ensemble image et de les représenter graphiquement (par exemple avec des diagrammes sagittaux). De plus l’élève est aussi amené à chercher si une correspondance donnée (algébriquement ou à partir d’ensembles) est une fonction. Nous constatons que la représentation graphique d’une fonction donnée dans un repère orthonormé ainsi que le passage de l’écriture ensembliste à l’écriture sous forme de liste figurent dans le programme.

1.2 Egalité des fonctions à partir d’ensembles
Dans cette partie on propose de définir l’égalité des deux fonctions à partir d’ensembles et chercher si deux fonctions données sont égales.
1.3 Propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières
Nous trouvons, dans le programme de seconde, quelques propriétés des fonctions et quelques fonctions particulières. Ainsi on demande de définir à partir d’ensembles les fonctions injectives, surjectives, non surjectives, la fonction identique, les fonctions constantes et nulle. Malgré cette diversité, les fonctions linéaires, affines ne sont pas mises en place dans le programme. La reconnaissance des propriétés particulières d’une fonction donnée et l’écriture d’une fonction ayant une de ces propriétés sont dans les compétences exigibles des élèves. Le programme introduit enfin la définition des ensembles infinis et l’équipotence des deux ensembles grâce à une correspondance bijective

1.4 Compositions des fonctions
Dans cette dernière partie, le programme a pour objectif de définir à partir d’ensembles la composition des fonctions et de montrer que cette opération est associative et non commutative. De plus la définition de l’inverse d’une fonction bijective et celle de la fonction identique sont données à partir de la composition. Le programme introduit la composée d’au maximum trois fonctions définies de manière ensembliste, la composée d’une fonction donnée et son inverse et enfin l’inverse de l’inverse d’une fonction. La représentation graphique d’une fonction donnée et celle de son inverse dans un même plan muni d’un repère orthonormé et la reconnaissance de la relation entre elles sont aussi indiquées dans le programme de seconde. L’élève est amené à trouver et écrire la fonction f lorsqu’on lui a donné la composée fog (ou gof) et g.
Enfin il y a une petite explication dans laquelle les auteurs proposent d’abord d’introduire la loi de composition interne et ses propriétés avant la composition des fonctions. De plus ils conseillent d’aborder la fonction identique et l’inverse des fonctions à partir de la composition et d’expliquer des ensembles équipotents et des ensembles infinis avec des exemples grâce aux fonctions bijectives. Ensuite ils proposent l’exemple suivant :
Pour |N={0,1,2,3…..}, P={0,2,4,6…..} et P EMBED Equation.3 |N f : |N EMBED Equation.3  est définie pour tout x de |N par f(x)=2x. Comme la fonction f est bijective, donc |N EMBED Equation.3 P et les ensembles |N et P sont les ensembles infinis.



1.5 Conclusion
L’élève rencontre pour la première fois la notion de fonction en seconde. Malgré cela on aborde presque toutes les notions ensemblistes à ce propos. Cependant nous voyons en général que la notion apparaît exclusivement comme « objet », sauf dans la démonstration de « équipotence des ensembles infinis où on utilise comme « outil » la bijectivité d’une fonction.
Nous allons vérifier dans les manuels le respect de ce programme tant au niveau du cours qu’en ce qui concerne les exercices. Est-ce que le caractère outil des fonctions apparaît ? Les élèves auraient-ils à mélanger plusieurs notions ? Est-ce que les seuls cadres d’utilisation vont être les cadres ensemblistes, algébriques et graphiques ?





















2. Analyse du manuel Tutibay 
Nous remarquons d’emblée que dans le manuel Tutibay la notion de fonction se présente dans le chapitre intitulé « correspondances, fonctions, loi de composition interne». Alors il n’y a pas de chapitre exclusivement consacré à la notion de fonction. Nous ne trouvons aucune activité que nous pouvons qualifier d’activité introductrice. Les auteurs du manuel débutent par mettre en rapport fonctions et correspondances. Ils conseillent aux élèves de se rappeler la définition des couples et des correspondances. Ensuite est donné l exemple suivant : on appelle fonction la correspondance définie par ²={(1,1), (2,3), (3,2)} dont on vérifiera ensuite que c est bien une fonction. Enfin ils terminent cette petite introduction par faire le bilan suivant : « chaque fonction est également une correspondance ».

2.1 Définition ensembliste de la notion de fonction
L introduction de la notion de fonction se fait à partir de sa définition ensembliste. On donne donc la définition suivante :
« Soient A et B deux ensembles non vides et ² une correspondance de A vers B, ² EMBED Equation.3 (AxB). Si chaque élément de A a une et une seule image dans l ensemble B, on appelle ² fonction de A vers B. »

Nous voyons ainsi que la notion de fonction apparaît comme une correspondance vérifiant des conditions particulières. L’analyse de notre premier questionnaire qui contient une question demandant aux élèves de définir la notion de fonction nous permettra de préciser leur connaissance de la notion.
A la suite de cette définition, conformément au programme officiel, le manuel présente l’ensemble de définition, l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image d’une fonction en utilisant un diagramme sagittal. Ensuite les deux conditions reprises la comptine Co « aucun élément de l’ensemble de définition sans image et pas de plus d’une image par élément » sont citées comme suit :
Une correspondance est une fonction si
a)Dans l’ensemble de définition il n’y a pas d’élément sans image.
b)Tout élément de l’ensemble de définition a une seule image.

Nous rencontrons aussi l’écriture symbolique de la définition :

Soit f  EMBED Equation.3 
a)  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  (x, y)  EMBED Equation.3 f
b) (x, y1)  EMBED Equation.3 f et (x, y2)  EMBED Equation.3 f  EMBED Equation.3  y1=y2

Bien qu’il ne mette pas en place la définition de la notion de fonction en terme de variable, le manuel cite la notation y=f(x) (y variable dépendante et x variable indépendante).
Cette théorie est suivie d’une série d’exemples. Le premier exemple concerne l’utilisation de la comptine Co pour déterminer les fonctions parmi trois correspondances représentées à partir d’ensembles. Le deuxième exemple demande aux élèves de déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image d’une fonction représentée en diagramme sagittal (ce qui nous renvoi aux compétences exigibles par le programme officiel). A la suite de cet exemple nous rencontrons l’introduction de la notation y=f(x) et sa représentation en diagramme sagittal. Dans le troisième exemple il s’agit de la formule algébrique d’une fonction affine. On demande à l’élève de définir l’ensemble image de la fonction à partir de l’ensemble de définition. Le passage du registre algébrique au diagramme sagittal est mobilisé. L’exemple suivant nécessite de calculer quelques valeurs numériques à partir de la formule algébrique d’une fonction linéaire. Le dernier exemple consiste à trouver l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction définie par une liste de couples et les représenter graphiquement à la fois dans un repère orthonormé et à l’aide d’un diagramme sagittal.

2.2 Représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé
La définition de la représentation graphique des fonctions est présentée dans un plan analytique (muni d’un repère orthonormé). Ensuite cette définition est illustrée par deux exemples. L’un concerne la représentation graphique d’une fonction du second degré et l’autre celle d’une fonction affine(linéaire) dans un repère orthonormé. Les deux fonctions sont définies d’un sous-ensemble fini de Z dans Z.

2.3 Egalité des deux fonctions
Après avoir présenté la définition de l’égalité des fonctions, le manuel l’illustre avec deux exemples dans lesquels il s’agit presque des mêmes types de fonction. Ainsi l’élève doit étudier si la restriction d’une fonction linéaire et d’une fonction du second degré à des sous-ensembles finis de Z sont égales.

2.4 Propriétés particulières des fonctions
Nous retrouvons tous les types de propriétés particulières des fonctions indiqués par le programme officiel : les fonctions injectives, non surjectives, surjectives, constantes, la fonction nulle et identique. Bien que les fonctions affines ou polynomiales soient implicitement utilisées lors des exemples et exercices résolus, on n’en parle jamais. Le manuel présente d’abord les définitions formelles ensuite les illustre avec des exemples. Dans certains cas il y a des exercices résolus qui suivent. Nous ne présenterons pas toutes ces définitions. Nous nous limitons aux exercices résolus et points méthodes proposées au cours de leur résolution.
Il y a trois exercices qui concernent la notion de fonction surjective. Les deux premiers sont destinés à étudier la surjectivité d’une fonction affine à partir de la donnée des ensembles A et B (sous-ensembles de Z). La représentation en diagramme sagittal est présente dans les deux cas. Avant de passer au dernier exemple une méthode est proposée comme suit :
Pour étudier la bijectivité d’une fonction y=f(x), on écrit d’abord x à la place de y et y à la place de x. Ensuite on calcule y en fonction de x. Et on examine s’il y a un x EMBED Equation.3  A, pour tout y EMBED Equation.3 B.

Enfin le dernier exercice conduit les élèves à utiliser cette méthode pour étudier la surjectivité d’une fonction affine définie sur |R. On propose également de résoudre cet exercice en utilisant la représentation graphique de la fonction dans le plan analytique. Et pour cette solution on propose une autre méthode :
Pour étudier la surjectivité d’une fonction à partir de sa représentation graphique, on trace une parallèle à l’axe des abscisses par un point de l’ensemble d’arrivée. Si cette parallèle coupe la représentation graphique, la fonction est surjective et f(|R)=|R.

Nous remarquons cependant que dans l’énoncé de cette deuxième méthode il y a une imprécision. Est-ce qu’une seule parallèle suffit à vérifier la surjectivité d’une fonction définie sur |R ? Nous croyons qu’il faut remplacer le mot « un point » par un point quelconque.
A la suite de ces méthodes nous ne retrouvons aucun raisonnement ni aucune explication. Cela nous amène à penser qu’on ne demande à l’élève qu’à les appliquer simplement.
Pour la non-surjectivité des fonctions, deux exercices sont proposés : l’un montre la non-surjectivité d’une fonction linéaire définie d’un sous-ensemble de Z dans Z. La représentation en diagramme sagittal est mobilisée. Pour l’autre est énoncée une méthode concernant l’étude de la non-surjectivité d’une fonction définie par y=f(x) :
Soit la fonction définie par y=f(x) ; en écrivant x à la place de y et y à la place de x on étudie les x pour lesquels y EMBED Equation.3  B. Si x EMBED Equation.3  A, f est une fonction non surjective.

L’élève est donc invité à appliquer cette méthode lors de la résolution du deuxième exercice qui propose d’étudier la non-surjectivité d’une fonction affine définie sur Z. Nous voyons que la résolution analytique est aussi proposée. Et bien sûr la méthode correspondante est énoncée :
Pour étudier la non-surjectivité d’une fonction à partir de sa représentation graphique dans le plan analytique, on trace les droites parallèles à l’axe des abscisses de l’ensemble d’arrivée. Si au moins une d’elles ne coupe pas la représentation graphique, la fonction est non surjective.

En ce qui concerne la fonction injective, le manuel illustre la définition avec son écriture symbolique, une méthode analytique et un certain nombre d’exercices.
f est injective si
 EMBED Equation.3 x1,x2 EMBED Equation.3 A, x1 EMBED Equation.3 x2  EMBED Equation.3  f(x1) EMBED Equation.3 f(x2) ou f(x1)= f(x2)  EMBED Equation.3 x1=x2
Si une droite parallèle à l’axe des abscisses menée par un point de l’ensemble d’arrivée coupe la représentation graphique d’une fonction en un seul point, la fonction est injective.

Nous constatons qu’il y a cinq exercices résolus : le premier illustre la définition et cette méthode analytique. Les trois exercices suivants concernent l’application directe de l’écriture symbolique de la définition. Le premier exercice demande d’étudier la bijectivité d’une fonction linéaire définie de Z vers Q. Le deuxième invite aussi l’élève à étudier si une fonction linéaire définie sur |R est bijective. Dans le dernier exercice de ce groupe, on demande d’écrire une fonction injective définie sur |R. Il nous semble nécessaire souligner que c’est la première fois que l’élève rencontre un exercice ouvert. Le cinquième exercice n’a pas un rapport direct avec l’injectivité. Il s’inspire beaucoup d’une des questions du concours. L’élève doit déterminer l’ensemble de définition d’une correspondance rationnelle définie sur |R à partir de sa formule algébrique pour qu’elle soit une fonction. Il faut signaler que cet exercice est tout à fait dans l’esprit du programme de la classe de Terminale.
Après avoir défini les fonctions constantes de manière ensembliste, le manuel fait intervenir sa représentation en diagramme sagittal et deux exemples. Le premier montre que la fonction f définie sur |R par f(x)=3 est une fonction constante. Les deux types de représentation graphique sont présents : la représentation graphique dans un repère orthonormé et le diagramme sagittal. A la suite de cet exemple, nous trouvons le commentaire suivant :
Si l’ensemble d’arrivée de la fonction constante contient un seul élément, la fonction est également surjective.

L’autre exemple demande d’étudier si l’expression x=3 est une fonction. La représentation graphique dans un repère orthonormé et en diagramme sagittal est aussi mobilisée.
Enfin le manuel présente comme fonctions particulières la fonction nulle et la fonction identique. En ce qui concerne la fonction nulle nous ne rencontrons que ce bref commentaire « le deuxième élément de chaque point sur l’axe des abscisses est nul ». La définition de la notion de fonction identique est suivie des représentations graphiques dans un repère orthonormé et diagramme sagittal, un exercice résolu concerne l’utilisation directe de la formule de la notion de fonction identique. Il s’agit de calculer la valeur k si y=f(x)=x-4+k est une fonction identique. Cette partie se termine par cette phrase « la fonction identique est bijective et l’ensemble de définition et l’ensemble d’arrivée sont identiques »

2.5 Ensembles infinis ou finis et ensembles équipotents
Conformément aux consignes du programme officiel les ensembles infinis ou finis et les ensembles équipotents sont présentés à partir de la bijectivité et sur des exemples. Ainsi la définition des ensembles infinis ou finis est suivie d’une série d’exemples dans lesquels on parle de quelques ensembles infinis et ou finis comme les nombres naturels et les jours de la semaine et de leur écriture. En ce qui concerne les ensembles équipotents, il y a deux exemples qui illustrent la définition. L’un montre que deux ensembles finis sont équipotents en utilisant les diagrammes sagittaux. L’autre consiste à montrer que l’ensemble des nombres naturels est infini. Pour ce faire la fonction f définie de l’ensemble des nombres naturels vers l’ensemble des nombres pairs par f(x)=2x est mobilisée (ce qui nous renvoie à l’exemple suggéré par le programme officiel). Alors c’est la bijectivité de f qui doit être utilisé comme outil. Un diagramme sagittal est toujours utilisé.
Comme c’est bien indiqué dans le programme officiel, avant de présenter la composition des fonctions le manuel propose la notion de loi de composition interne et ses propriétés (commutativité, associativité…). Cela nous conduit à penser que, puisque la composition est une loi de composition interne entre des fonctions, les auteurs du programme considèrent ce passage important.

2.6 Composition des fonctions
Dans la définition ensembliste de la composition, il y a un mot sur lequel est attirée notre attention. C’est le mot « transporter ». Alors la composition des fonctions est considérée comme « un porteur » qui transporte les éléments d’un ensemble vers un autre. La représentation en diagramme sagittal accompagne la définition. Il y a aussi un certain nombre d’exercices. Le premier exercice consiste à utiliser le passage du diagramme sagittal au registre algébrique. Les deux exercices suivants demandent de composer une fonction affine et une fonction du second degré. Il s’agit des deux types de composée (fog et gof) et on utilise la représentation en diagramme sagittal. Cet exercice sert également à montrer que la composition n’est pas commutative. Le dernier exrcice invite l’élève à étudier l’associativité de la composition à partir de trois fonctions du premier degré.
Nous retrouvons pour la deuxième fois la définition de la fonction identique. Mais cette fois-ci elle est définie à partir de la composition. De plus la propriété Iof=foI=f est démontrée. La théorie est suivie d’un exercice dans lequel il s’agit des deux types de composée d’une fonction affine et la fonction identique (Iof(x) et foI(x)). Dans la dernière partie de cet exercice on demande de calculer la valeur foI(3).

2.7 Définition de l’inverse d’une fonction
Après avoir présenté la définition de l’inverse d’une fonction de manière ensembliste on donne l’interprétation de la définition en diagramme sagittal et la relation entre la fonction inverse et la fonction identique ( EMBED Equation.3 ). Il y a sept exercices proposés. En regardant la quantité des exercices nous pouvons dire que la fonction inverse est considérée comme importante. Le premier exercice demande à l’élève de travailler dans le cadre de la théorie élémentaire des ensembles. Ainsi l’élève doit trouver l’inverse d’une fonction représentée en diagramme sagittal. Les trois exemples suivants proposent de trouver l’inverse d’une fonction du premier degré. Parmi eux le premier n’utilise pas de calcul ni de formule. Il s’agit de passer du registre de la formule algébrique au registre de la langue naturelle et vice versa. Nous remarquons cependant que cet exercice s’inspire beaucoup d’une des questions du concours (Q36/1998).
Exemple : on considère la fonction f définie sur |R par f(x)= 3x-1. Trouver l’inverse de f.
Comme la fonction f est bijective, f –1(x) existe.
f : elle prend un élément. Ensuite elle le multiplie par 3 et elle en soustrait 1.
f  -1 : elle prend un élément. Ensuite elle y ajoute 1 et elle le divise par 3.
Brièvement si on écrit comme fonction ceux qu’on a dit en haut :
f(x)= 3.x-1  EMBED Equation.3  f –1(x)= EMBED Equation.3  par exemple ;f(3)=3.3-1=8, f –1(x)= EMBED Equation.3 
|R f |R
 f(3)=8 et f –1(8)=3


f -1

Avant de passer aux deux exercices résolus suivants le manuel énonce comme une règle la méthode Mxfy  « calculer x en fonction de y » lors de trouver l’inverse d’une fonction :
Règle : on trouve y en écrivant x à la place de y et y à la place de x. Si on écrit f –1(x) à la place de y, on trouve l’inverse de la fonction f

Il y a cinq exemples pour lesquels on utilise cette méthode. Les deux premiers sont destinés à trouver l’inverse d’une fonction du premier degré. Parmi eux l’un demande deux fois l’utilisation de la méthode pour montrer que l’inverse de l’inverse d’une fonction est égal à la fonction elle-même ((f –1) –1 (x)=f (x)). Et l’autre propose aussi de calculer quelques valeurs numériques de x par la fonction et son inverse. Le troisième exercice invite les élèves à trouver l’inverse d’une fonction rationnelle. Au travers de cet exemple les auteurs du manuel fait intervenir la technique plus courte pour trouver l’inverse que nous appelons « la Recette d’Abracadabra (Ra) » :




Exemple : Trouver l’inverse de la fonction f définie de |R-{ EMBED Equation.3  } vers |R-{ EMBED Equation.3 } par  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 , cxy+xd=ay+b, y(cx-a)=-xd+b,  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3  les constantes a et d qui se trouvent sur la diagonale changent à la fois la place et le signe.

Le quatrième exercice comprend trois parties. Il s’agit d’une fonction f linéaire définie sur |R. Dans la première partie l’élève est amené à trouver la double composée de la fonction f. La deuxième demande de déterminer la composée (f –1of ) et la dernière la composée (fof) –1.
En ce qui concerne le dernier exercice il s’agit d’une composée implicite. L’élève doit trouver l’inverse de l’une des fonctions et calculer l’image de 3 :
Exemple : Si f :|R-{0} EMBED Equation.3 |R-{1} et f(2x-1)= EMBED Equation.3 , trouver f –1 et calculer la valeur f –1(3).
Si on écrit l’inverse de 2x-1 au lieu de x dans la fonction f, on trouve f(x).
Soit 2x-1=y. Si  EMBED Equation.3 , l’inverse de 2x-1 est de  EMBED Equation.3 .
f(2( EMBED Equation.3 )-1)= EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 


La relation entre la représentation graphique de la fonction et celle de son inverse dans un repère orthonormé est introduite, sous la rubrique intitulée « la représentation graphique de la fonction inverse dans un repère orthonormé », les deux représentations graphiques sont symétriques par rapport à la droite y=x. A la suite nous remarquons qu’il y a quatre exercices résolus. Les deux premiers concernent directement la représentation graphique de la fonction et son inverse. Ainsi l’un demande de représenter graphiquement dans un repère orthonormé une fonction du premier degré définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z. Quant à l’autre il s’agit aussi d’une fonction du premier degré. Mais cette fois-ci elle est définie sur |R.
L’énoncé du troisième exercice nous a donné l’impression qu’il s’agit d’un exercice représentatif dans le sens où la composée est considérée comme une loi de composition interne numérique :

Exemple : Résoudre l’équation  EMBED Equation.3 .

Deux solutions sont proposées. La première solution demande de mettre la valeur numérique 3 dans la première fonction à droite, ensuite la valeur obtenue dans la deuxième fonction. Quant à l’autre solution l’élève est amené à définir d’abord la composée et ensuite l’image de 3. Dans ces deux types de solutions la résolution d’équation paraît comme un outil supposé disponible dans ce travail.
Le dernier exercice du manuel dans lequel il y a deux composées : l’une « implicite » (g(2x-3)=2x+4) et l’autre « explicite » ( fog –1(x)=4x-3). On demande de déterminer la fonction f. L’élève doit d’abord trouver la fonction g comme il l’a déjà fait dans les exercices précédents. Ensuite en utilisant la définition de la composée et la fonction identique il doit trouver la fonction f. Il s’agit donc de l’application directe du cours.

2.8 Synthèse
Constatons tout d’abord que toutes les notions qui apparaissent dans le programme officiel sont abordées par le manuel. Il n’y a aucune activité introductrice. En s’appuyant sur la relation entre fonctions et correspondances la notion de fonction est introduite de manière ensembliste. Nous pensons que ce type d’introduction est très loin de provoquer une motivation chez les élèves. Il est possible qu’ils supposent que la notion de fonction est peu distinguée de la notion de correspondance entre ensembles.
Après ou avant des exercices les points essentiels des connaissances qui servent directement à les résoudre sont simplement énoncés. Il n’y a aucun raisonnement qui les accompagne.
Dans la collection de Tutibay il n’y a pas de travaux pratiques. Le manuel présente la résolution d’un certain nombre d’exercices et chacun contient une solution commentée. De plus le manuel ne poursuit pas un ordre traditionnel (cours-exercices résolus). Toutes les choses semblent passer dans le cours. Par exemple après avoir présenté une définition, cinq ou six exemples (ou exercices résolus) peuvent figurer.
La notion de fonction est toujours présentée comme un objet dans le manuel. Il n’y a aucun exercice dans lequel on utilise la notion de fonction comme un outil.
Pour trouver l’inverse d’une fonction définie algébriquement la méthode Mxfy est toujours utilisée. Quant à la recette Ra elle est présentée dans un seul exercice. Et il n’est jamais repris.
Selon le tableau ci-dessous la plupart des exemples proposés par le manuel font travailler sur les propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières (thème II). Le taux des exemples qui concernent la composition des fonctions est de 21% (thème VI). Le thème I et le thème III se rapprochent par le taux de proposition. Ainsi dans 15% des exemples l’élève est amené à utiliser la définition ensembliste de la notion de fonction ou les ensembles correspondant (thème I). Et 13% font chercher l’inverse des fonctions définies algébriquement ou à partir d’ensembles (thème III). Par ailleurs les exemples qui font travailler sur la représentation des fonctions dans un repère orthonormé sont les exemples les plus rares du manuel Tutibay (thème V).
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
Thème I : Définition ensembliste de la notion de fonction et ensembles correspondant, Thème II : Propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières, Thème III : Recherche de l’inverse des fonctions définies algébriquement ou à partir d’ensembles, Thème IV : Composition des fonctions, Thème V : Représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé, Thème VI : Ensembles finis et équipotents. EXP : Exemples, ER : Exercices résolus, (Effectif : 47 exemples)

Comme le montre bien le tableau ci-dessous, les cadres majoritairement d’utilisation dans les exercices résolus sont le cadre algébrique et le cadre de la théorie élémentaire des ensembles. Le cadre géométrique est totalement absent. En ce qui concerne le cadre analytique il est peu fréquent. Cela signifie que le manuel Tutibay n’est pas géométriquement riche.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
CA :Cadre Algébrique, CN :Cadre Numérique, CGA :Cadre Analytique, CG :Cadre Géométrique, CLN :Cadre de la Langue Naturelle, CE :Cadre de la Théorie Elémentaire des Ensembles.

Le tableau suivant montre bien qu’un très petit nombre des exercices portent sur plusieurs connaissances antérieures (ou ultérieures). La grande majorité d’entre eux font référence directe la notion de fonction. Dans les exercices résolus nous constatons que les auteurs du manuel respectent généralement le programme officiel de la classe de seconde. Il y a un seul exercice qui présente une question du concours dans l’esprit du programme de la classe de terminale. Dans la plupart des exercices l’élève doit mobiliser un seul outil. Tandis que 32% d’entre eux nécessitent de faire appel aux deux outils mobilisables. En ce qui concerne la répartition du nombre des étapes prés de la moitié des exercices comprennent une seule étape. Ce taux descend un petit peu dans les exercices où l’élève doit passer deux étapes pour arriver à la bonne réponse. Par ailleurs, un faible pourcentage d’exercices peuvent être résolus en trois étapes.

 EMBED Excel.Chart.8 \s 
S :Simple, A :Articulé, OD1 :Outil disponible 1, OD2 :Outil disponible 2, OM1 :Outil mobilisable 1, OM2 :Outil mobilisable 2,OM3 :Outil mobilisable 3,E1 :Etape 1, E2 :Etape 2, E3 :Etape 3


















3. Analyse du manuel officiel
3.1 Définition ensembliste de la notion de fonction
Avant la définition de la notion de la fonction les auteurs du manuel rappellent la définition de la notion de correspondance et mettent en évidence la relation entre ces deux notions. Il n’y a aucune activité préparatoire.
La définition ensembliste des fonctions est suivie de son écriture symbolique, de sa représentation en diagramme sagittal et d’un certain nombre d’exemples. La comptine Co n’est pas explicitement présentée. Mais avant de passer aux exemples il y a cependant deux correspondances définies par des diagrammes sagittaux dont l’une est une fonction et l’autre ne l’est pas.
En ce qui concerne les exemples, dans le premier exemple il s’agit d’écrire une correspondance définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z par f(x)=3x, sous forme d’une liste de couples, de chercher si cette correspondance est une fonction, d’écrire l’ensemble image de f sous forme de liste de couples et de représenter f en diagramme sagittal. Le deuxième exemple fait chercher si une correspondance définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z par une liste de couples est une fonction. L’application directe de la définition ensembliste est aussi mise en jeu comme dans l’exemple précédent. Dans le troisième exemple on demande d’écrire une correspondance définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z par  EMBED Equation.3 sous forme de liste de couples, de la représenter en diagramme sagittal et de déterminer son ensemble image. Quant au quatrième exemple l’élève doit écrire une fonction définie par un diagramme sagittal sous forme de liste de couples et trouver sa formule algébrique. Dans le cinquième exemple l’élève est amené à écrire sous forme de liste de couples et représenter en diagramme sagittal une fonction du second degré définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z.
Dans l’exemple suivant on demande de trouver la valeur a si la fonction f est définie sur |R par f(x)=-2x+3 et f(-2)-f(a+1)=f(2a-3)=f(4). L’élève doit d’abord calculer les images, ensuite obtenir une équation pour trouver la valeur a. La résolution d’équations s’avère donc un outil devant être disponible dans ce travail. Le septième exercice fait trouver la valeur a si la fonction f est définie sur |R par f(x)=3x-4 et f(2a)=f(a-1). La résolution d’équations que l’élève doit se servir est aussi un outil devant être disponible dans ce travail comme dans l’exercice précédent. Quant au dernier exemple on demande de calculer le nombre des fonctions définies d’un sous-ensemble fini et discret dans un autre. Pour ce faire une formule est simplement donnée sans commentaire et il ne reste à l’élève qu’à l’appliquer.

3.2 Représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé
Il y a cinq exemples qui illustrent la définition de la représentation graphique des fonctions dans un repère orthonormé. Dans le premier exemple il s’agit de représenter une fonction définie de l’ensemble A qui contient quatre prénoms vers l’ensemble B qui contient quatre villes en Turquie par f={(x, y) : y est la ville natale de x}. Le deuxième exemple demande de représenter une fonction affine définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z. Le quatrième exemple consiste à déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image d’une fonction représentée graphiquement dans un repère orthonormé. A la suite de cet exemple, la méthode qui consiste à chercher si une représentation graphique dans un repère orthonormé est celle d’une fonction est introduite. Mais elle n’est jamais utilisée. Dans l’exemple suivant l’élève doit déterminer graphiquement certaines images et exprimer leur somme. En ce qui concerne le dernier exemple, il s’agit de déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble image d’une fonction représentée graphiquement dans un repère orthonormé et de trouver graphiquement l’image de 2 et le nombre dont l’image est –5. Les connaissances antérieures portant sur les intervalles sont des outils supposés disponibles dans ce travail.

3.3 Egalités des deux fonctions
La définition des fonctions égales est suivie d’un exemple dans lequel l’élève est amené à montrer que les fonctions f et g définies d’un sous-ensemble fini de Z dans Z par  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3  sont égales. L’élève doit déterminer l’ensemble image des deux fonctions et chercher s’ils sont identiques.

3.4 Propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières
Nous trouvons tous les types de propriété particulière des fonctions qui figurent dans le programme officiel :fonctions injectives, non surjectives, surjectives, constantes, la fonction nulle et identique. La définition de chaque propriété est illustrée par des exemples ou la représentation en diagramme sagittal ou l’écriture symbolique de la définition.
Ainsi l’écriture symbolique, la représentation en diagramme sagittal et deux exemples sont proposés à la suite de la définition des fonctions injectives. Dans ces deux exemples l’élève doit chercher si une fonction affine définie sur |R est injective. L’application de l’écriture symbolique de l’injectivité est mise en jeu.
Il y a aussi deux exemples qui illustrent la définition des fonctions surjectives. L’un fait chercher si la fonction carrée définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z est surjective. Et l’autre demande de montrer qu’une fonction affine définie sur |R est surjective.
Dans l’exemple des fonctions non surjectives l’élève doit étudier la non surjectivité de la fonction carrée définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z.
La définition des fonctions injectives-non surjectives est suivie de deux exemples. L’un consiste à chercher le type de propriétés d’une fonction affine définie sur Z. Et l’autre demande à l’élève d’inventer une fonction injective définie sur |R.
En ce qui concerne les exemples de la définition de la fonction identique, il y a deux exemples. Dans le premier exemple l’élève doit trouver l’ensemble image de la fonction f identique définie sur un sous-ensemble fini de Z et de représenter f en diagramme sagittal. Dans le deuxième exercice on demande de trouver les valeurs m et n si la fonction f définie sur Z par  EMBED Equation.3 est identique.
La définition des fonctions constantes et celle des fonctions nulles sont illustrées par une dizaine d’exemples dont deux ne font pas référence directe à cette partie. C’est la raison pour laquelle il nous semble préférable de les analyser dans la partie des exercices résolus.
Quant aux autres exemples, le premier exemple présente la représentation en diagramme sagittal d’une fonction constante et d’une fonction nulle définies d’un sous-ensemble fini et discret dans un autre. Dans le deuxième exemple il s’agit de trouver la valeur a si la fonction f définie sur |R par  EMBED Equation.3  est constante. L’élève doit comprendre que la variable x n’existe pas dans l’expression de l’image des fonctions constantes. Il doit donc égaliser a+2 à zéro pour trouver la valeur demandée. Le troisième exemple demande de trouver les valeurs m et n si la fonction f définie sur |R par  EMBED Equation.3 est une fonction constante. En sachant que si la fonction f est constante, f(x)=c, (c EMBED Equation.3 |R) pour tout x réel, l’élève doit obtenir deux polynomes égaux, ensuite trouver les valeurs m et n en utilisant l’égalité des polynômes. Comme les polynômes figurent dans les chapitres qui viennent, dans cet exemple on demande de faire fonctionner une connaissance prématurée. Le quatrième exemple présente la représentation graphique d’une fonction constante définie sur |R dans un repère orthonormé et il demande à l’élève de reconnaître que la représentation graphique des fonctions constantes est parallèle à l’axe des abscisses. Dans l’exemple suivant l’élève est amené à représenter la fonction f définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z par f(x)=0 dans un repère orthonormé et à reconnaître que la représentation graphique des fonctions nulles sont des points sur l’axe des abscisses. Le sixième exercices comprend six parties : dans la première partie il s’agit de calculer le nombre des fonctions possibles définies d’un sous-ensemble fini et discret dans un autre, dans la deuxième partie de calculer le nombre des correspondances qui ne sont pas des fonctions définies d’un sous-ensemble fini et discret dans un autre, dans la troisième partie de calculer le nombre des fonctions injectives définies d’un sous-ensemble fini et discret dans un autre, dans la quatrième partie de calculer le nombre des fonctions constantes définies d’un sous-ensemble fini et discret dans un autre, dans la cinquième partie de calculer le nombre des fonctions non surjectives définies sur un sous-ensemble fini et discret et dans la dernière partie de calculer le nombre des fonctions bijectives définies sur un sous-ensemble fini et discret. Pour tout ce faire les formules que l’élève doit utiliser sont simplement données sans commentaire. Et l’élève est amené à les appliquer. Les connaissances antérieures liées aux puissances, factorielles et à la permutation sont des outils supposés disponibles dans ce travail. Par ailleurs il faut signaler que dans le programme de la classe de second il n’y a aucune indication qui correspond à e ce type de travaux. Le septième exemple fait trouver les valeurs a et n si la fonction f définie sur |R par f(x)=(a-8)x+(2a-n+3) est identique. En prenant en compte la formule algébrique de la fonction identique (f(x)=x) l’élève doit égaliser (a-8) à 1 et (2a-n+ 3) à zéro pour trouver a et n. La résolution d’équations que l’élève doit mettre en fonctionner est un outil devant être disponible dans ce travail. Dans l’exemple suivant on demande de déterminer la formule algébrique de f et de représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé si la fonction f définie sur |R par f(x)=(4n-2)x+2n+3 est constante. Comme dans le deuxième exemple l’élève doit d’abord égaliser le coefficient de x à zéro, ensuite trouver n et la fonction f.

3.5 Définition de l’inverse d’une fonction
Il y a un exemple qui précède la définition de l’inverse d’une fonction à partir des éléments dans lesquels la relation entre l’existence de l’inverse d’une fonction et la bijectivité est mise en évidence. De plus l’écriture symbolique et la méthode Mxfy sont introduites à la suite de la définition.
Par ailleurs nous constatons que conformément au programme le manuel reprend l’inverse d’une fonction selon la composition des fonctions. Dans ce cadre la relation entre la fonction identique et la composée d’une fonction et son inverse sont mis en place. De plus le manuel propose cinq exemples qui font chercher l’inverse des fonctions définies algébriquement ou à partir d’ensembles. Dans le premier exemple on demande de trouver l’inverse d’une fonction affine définie sur |R. La méthode Mxfy est utilisée. En ce qui concerne le deuxième exemple comprenant quatre parties, la première partie demande d’écrire une fonction f affine définie d’un sous-ensemble fini de Z dans Z et son inverse sous forme de liste de couples. La deuxième partie demande de trouver algébriquement l’inverse de la fonction f en utilisant la méthode Mxfy. Dans la partie suivante l’élève est amené à déterminer les deux types de composée de la fonction f et son inverse. Enfin dans la quatrième partie il est nécessaire de représenter graphiquement la fonction f et son inverse dans un même repère orthonormé et de reconnaître la relation entre ces deux représentations graphiques. Le troisième exemple consiste à trouver l’inverse de l’inverse d’une fonction affine définie sur |R. L’élève doit faire fonctionner deux fois la méthode Mxfy. A la suite de cet exemple la recette Ra qui correspond aux fonctions affines est introduite. Dans l’exemple suivant il s’agit de trouver l’inverse d’une fonction rationnelle à partir de la méthode Mxfy. Comme dans l’exemple précédent l’introduction de la recette Ra concernant les fonctions rationnelles est suivie de cette résolution. Quant au dernier exemple, l’élève doit y montrer que la fonction f définie sur |R par EMBED Equation.3 est bijective et trouver son inverse. En faisant appel à l’écriture symbolique des fonctions injectives et à la définition des fonctions surjectives l’élève doit montrer la bijectivité de la fonction f et trouver son inverse à partir de Ra.

3.6 Ensembles infinis et équipotents
Les auteurs du manuel se contentent de donner la définition des ensembles infinis et des ensembles équipotents. Il n’y a ni un exemple comme celui qui est indiqué par le programme ni une démonstration. Mais ils énoncent simplement que comme on peut définir une correspondance bijective entre l’ensemble des nombres naturels et l’un de ses sous-ensembles, l’ensemble des nombres naturels est infini.

3.7 Composition des fonctions
La définition de la composition des fonctions est introduite de manière ensembliste. La représentation en diagramme sagittal de la définition et un certain nombre d’exemples sont mis en place à la suite.
Dans le premier exemple on demande de représenter en diagramme sagittal les fonctions f, g définies d’un sous-ensemble fini de Z dans Z par  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , de trouver la formule algébrique de la fonction gof et de représenter gof en diagramme sagittal. Le deuxième exercice comprend trois parties. La première partie demande de trouver les deux types de composition (gof et fog) en utilisant deux fonctions affines définies sur |R et de vérifier si elles sont identiques. Dans la deuxième partie l’élève doit calculer (gof) (-1) et (fog)(-1). En ce qui concerne la dernière partie, elle consiste à trouver pour quelle valeur de k on a  EMBED Equation.3 . En remplaçant x par 2k-1 dans la fonction fog l’élève doit obtenir une équation et trouver k. Dans le troisième exemple on démontre l’associativité de la composition des fonctions. La représentation en diagramme sagittal est aussi utilisée. Dans l’exemple suivant il s’agit de l’application directe de l’exemple précédent (associativité). Ainsi l’élève doit trouver (fog)oh et fo(goh) en utilisant deux fonctions affines et une fonction du second degré définies sur |R. Le cinquième exemple fait composer une fonction affine et une fonction polynome définie par morceaux. Il faut signaler que les fonctions définies par morceaux sont dans le programme de la classe de terminale. Une identité remarquable paraît comme un outil supposé disponible dans ce travail. Dans le dernier exemple on demande de calculer (fog)(-2) en utilisant une fonction f du second degré et une fonction g affine définies sur |R. Deux solutions sont proposées. La première demande de composer ces deux fonctions et ensuite de calculer l’image demandée. Une identité remarquable est un outil devant être disponible dans ce travail. Quant à la deuxième solution, elle consiste à calculer l’image «fonction par fonction ».
Après ces exemples la relation entre la composition et la fonction identique est introduite sous une rubrique « fonction identique ». Il y a un exemple qui illustre cette théorie. L’élève est amené à trouver les deux types de composée d’une fonction du second degré et la fonction identique définies sur |R, ensuite à calculer l’image d’un nombre réel par ces deux composées.

3.8 Exercices résolus ( 26 exercices)
Nous trouvons quatre thèmes des exercices résolus du manuel officiel. Le thème I (définition ensembliste de la notion de fonction et ensembles correspondant) et le thème II (propriétés particulières des fonctions et fonctions particulières) ne sont présents que dans les exemples du cours.
Maintenant nous analysons les exercices résolus thème par thème.

3.8.1 Thème III : Recherche de l’inverse d’une fonction ( 2 exercices)
Dans un exercice il s’agit de calculer f(1) si f est bijective et  EMBED Equation.3 . L’élève doit d’abord calculer f –1 en fonction de x et ensuite trouver son inverse à partir de Ra. Enfin il lui reste à calculer l’image demandée.
Dans un autre exercice on propose de trouver la valeur k si la fonction f est définie sur |R par  EMBED Equation.3  et f –1(-2)=-1. En faisant appel à la définition de l’inverse d’une fonction l’élève doit obtenir f(-1)=-2 et ensuite une équation. La résolution d’équations que l’élève doit se servir est un outil supposé disponible dans ce travail.

3.8.2 Thème IV :Composition des fonctions ( 20 exercices)
Nous pouvons classer les exercices en trois catégories différentes selon la tâche prescrite :
i) Composition des fonctions ( 5 exercices) : dans un exercice on demande de montrer
 EMBED Equation.3 en utilisant les fonctions f et g définies sur |R par  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 . Il y a plusieurs étapes. L’élève doit d’abord trouver la composée fog et son inverse. Ensuite en trouvant l’inverse des fonctions f et g il doit déterminer la composée g –1of –1. Enfin il doit vérifier si ces deux composées sont identiques. Dans le deuxième exercice l’élève est amené à calculer (fofofof)(3) si la fonction f est définie par morceaux de la façon suivante : (si x est pair, f(x)= EMBED Equation.3  et si x est impair, f(x)= EMBED Equation.3 . L’élève doit trouver l’image demandée «fonction par fonction ». Comme nous l’avons déjà indiqué, ce type de travail relève du programme de la classe de terminale. Le troisième exercice demande de calculer  EMBED Equation.3 si les fonctions f et g sont définies sur |R par f(x)=(si x  EMBED Equation.3 2, f(x)= EMBED Equation.3  et si x
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