exercices - Math93
Le téléphérique T' est l'image du téléphérique T par la translation qui transforme
A en B. ... Méthode : Construire l'image d'une figure par une translation.
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Fiche dexercices n°2 : Correction
HYPERLINK \l "ex1" Exercice 1
Si EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );DB) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );DA) + EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );DC) , alors DABC est un parallélogramme. Donc (DA) // (BC).
Par ailleurs, on a construit (EB) // (AC).
Le quadrilatère ACBE, ayant ses côtés parallèle deux à deux, est un parallélogramme.
En conséquence, EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AC) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );EB).
De la même manière, on montre que EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AC) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );BF).
Conclusion les deux vecteurs EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );EB) et EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );BF) sont égaux, car ils sont égaux au même vecteur EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AC).
Comme EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );EB) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );BF), le point B est le milieu du segment [EF] .
Par symétrie, O est aussi le milieu du segment [OO'].
Dans le quadrilatère OFO'E, les diagonales ont le même milieu, donc c'est un parallélogramme. Et par conséquent, EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );EO') = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );OF)
HYPERLINK \l "ex2" Exercice 2
ABCD est un rectangle car ses diagonales ont le même milieu et la même longueur.
[OE] a la même longueur que [AB] , car la translation conserve les longueurs.
[OF] a la même longueur que [OC] , car la rotation conserve les longueurs.
Donc OA = OB = OC = OD = OE = OF.
Et A , B, C , D , E et F sont sur le même cercle de centre O.
EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );CB) + EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );CD) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );CA)
HYPERLINK \l "ex3" Exercice 3
La rotation de centre F qui transforme E en G est une rotation de 90°.
Par cette même rotation, H est transformé en L.
HYPERLINK \l "ex4" Exercice 4
Le transformé du triangle AIL par la symétrie d'axe (IK) est le triangle IBJ
Le transformé du triangle AIL par la symétrie de centre O est le triangle CKJ.
EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AL) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );IO)car AIOL est un rectangle, donc un parallélogramme.
EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );LO) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );OJ) car O est le milieu de [LJ]
EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );IJ) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AO) car EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AI) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );LO) et EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );LO) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );OJ) , donc EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AI) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );OJ) et AIJO est un parallélogramme, donc EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );IJ) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AO).
EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AL) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );LD) , car L est le milieu de [AD]
EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );LO) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );DK) car LOKD est un rectangle.
EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AO) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );LK) car EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AL) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );LD) et EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );LD) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );OK), donc EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AL) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );OK) et ALKO est un parallélogramme, donc EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AO) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );LK).
Le transformé du triangle AIL dans la translation de vecteur EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );IJ) est le triangle OJK.
HYPERLINK \l "ex5" Exercice 5
1) Image du triangle ABC dans la symétrie de centre C : A1B1C
2) Image du triangle ABC dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite (BC) : A2BC
3) L'image du triangle ABC dans la rotation de centre C, d'angle 120° et de sens, le sens inverse des aiguilles d'une montre A1A2C
HYPERLINK \l "ex6" Exercice 6
HYPERLINK \l "ex7" Exercice 7
1) a) Le point D est l'image du point B par la symétrie de centre O, ou bien d'axe (AC)
b) Par la translation de vecteur EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AE), le point B a pour image le point D.
2) EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AO) + EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );OD) = EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"190\h\s5 SYMBOL \f"Symbol"174\h\s5 );AD).
Exercice 8
Exercice 9
Exercice 10
Exercice 11
Cours de mathématiques Classe de Troisième
Corrigés des exercices
Fiche dexercices n°2 : Correction
Chapitre 12 : Symétries, angles, rotations Page PAGE 4 sur NUMPAGES 4
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Corrigés des exercices
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B
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T1
T2
T3
F2
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