Fonctions-Generalites - Maths-et-tiques
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir ...
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LES FONCTIONS :
GENERALITES ET VARIATIONS
Activité conseillée Activité conseillée
p42 n°1 : Évolution du climatp22 n°1 : Évolution du climat ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p61 n°5
p74 n°82p61 n°7p43 n°19
p44 n°20p44 n°21 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Vocabulaire et notations
Exemple dintroduction :
Avec une ficelle de longueur 10 cm, on fabrique un rectangle.
On désigne par x la longueur dun côté de ce rectangle.
a) Calculer l'aire du rectangle lorsque x = 3 cm.
Si la longueur est égale à 3 cm alors la largeur est égale à 2 cm.
Donc A = 3 x 2 = cm2.
b) Exprimer en fonction de x laire du rectangle.
Les dimensions du rectangle sont donc : x et 5 x.
En effet : P = 2x + 2(5 x) = 10 cm.
Ainsi laire du rectangle sexprime par la formule A = x(5 x)
c) Développer A.
A = x(5 x) = 5x xEQ \s\up4(2)
d) On peut calculer laire du rectangle pour différentes valeurs de x :
x11,522,533,544,5Aire45,2566,2565,2542,25
Ce tableau est appelé un tableau de valeurs.
Pour chaque nombre x, on a fait correspondre un nombre égal à laire du rectangle.
Par exemple : 1 EMBED Equation.3 4
2 EMBED Equation.3 6
De façon générale, on note : A : x EMBED Equation.3 5x xEQ \s\up4(2)
x EMBED Equation.3 5x xEQ \s\up4(2) se lit « à x, on associe 5x xEQ \s\up4(2) »
A est appelée une fonction. Cest une « machine » mathématique qui, à un nombre donné, fait correspondre un autre nombre.
EMBED Equation.3
nombre de départ nombre correspondant
Lexpression A dépend de la valeur de x et varie en fonction de x.
x est appelée la variable.
On note ainsi : A(x) = 5x xEQ \s\up4(2)
A(x) se lit « A de x ».
Définitions
Définitions :
Soit D une partie de lensemble des nombres réels EMBED Equation.DSMT4 .
Une fonction f définie sur D associe à tout nombre réel x de D un unique nombre réel, noté f (x).
D est appelé l ensemble de définition de la fonction f.
On note :
f : D ! EMBED Equation.DSMT4
x EMBED Equation.3 f (x)
Et on lit :
« La fonction f, déûnie pour x appartenant à D, qui à un nombre x associe le nombre f (x). »
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p63 n°16 à 18
p63 n°12
p62 n°14
p63 n°15*
p64 n°21*p61 n°6
p42 n°5 à 8
p43 n°9, 12, 13p43 n°10 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Image, antécédent
Exemples :
Pour la fonction A définie plus haut, on avait :
A(2,5) = 6,25 A(1) = 4
On dit que :
limage de 2,5 par la fonction A est 6,25. 2,5 EMBED Equation.3 6,25
un antécédent de 6,25 par A est 2,5.
Remarques :
Un nombre possède une unique image.
Cependant, un nombre peut posséder plusieurs antécédents.
Par exemple : les antécédents de 5,25 sont 1,5 et 3,5 (voir tableau de valeurs).
Méthode : Calculer une image ou un antécédent
Vidéo https://youtu.be/8j_4DHWnRJU
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/X0oOBo65YpE" https://youtu.be/X0oOBo65YpE
Soit la fonction f définie par f(x) = EMBED Equation.DSMT4
1) Compléter le tableau de valeurs :
2) Compléter alors :
a) Limage de 4 par f est
b) Un antécédent de 5 par f est
c) f :
EMBED Equation.3 4,2
d) f(20,25) =
3) Calculer f(4,41) et f(1310,44)
1)
2) a) Limage de 4 par f est 3.
b) Un antécédent de 5 par f est 16.
c) f : 10,24 EMBED Equation.3 4,2
d) f(20,25) = 5,5
3) f(4,41) = EMBED Equation.DSMT4 + 1 = 3,1
f(1310,44) = EMBED Equation.DSMT4 + 1 = 37,2
Exercices conseillés Exercices conseillés
p69 n°62
p61 n°1 à 4
p69 n°63 et 64p42 n°1 à 4
p48 n°52 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
TP conseillé TP conseillé
TP Algo 1 p56 : Lire un algorithme dans différents langagesp35 TP2 : Lire un algorithme dans différents langages ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Représentation graphique
Courbe représentative
Exemple :
Représenter les données du tableau de valeurs du paragraphe I. dans un repère tel quon trouve en abscisse la longueur du côté du rectangle et en ordonnée son aire correspondante.
En reliant les points, on obtient une courbe C.
Tout point de la courbe C possède donc des coordonnées de la forme (x ; A(x)).
En latin, « curbus » désignait ce qui est courbé. On retrouve le mot en ancien français sous la forme de « corbe ». Le corbeau est ainsi appelé à cause de la forme de son bec.
Exercices conseillés Exercices conseillés
p62 n°10, 11
p68 n°60
p70 n°71p44 n°23
p45 n°24
p52 n°74
p57 n°90 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Ouvrir le logiciel HYPERLINK "http://www.geogebra.org/cms/fr"GeoGebra et saisir directement lexpression de la fonction A.
Dans la barre de saisie, on écriera : a(x)=5x-x^2
La courbe représentative de la fonction A dépasse les limites du problème.
En effet, lexpression de la fonction A accepte par exemple des valeurs négatives de x, ce que les données du problème rejettent puisque x représente une longueur !
On peut ainsi dresser un tableau de signes de la fonction A sur un intervalle plus grand :
x -1 0 5 6A(x) - 0 + 0 -
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/8cytzglu8yc" https://youtu.be/8cytzglu8yc
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p63 n°19 et 20
p64 n°23 et 25
p52 Tice1 Ex2p64 n°24p45 n°25, 26
p50 n°65
p34 et 35 TP1p45 n°27 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Résolution graphique déquations et dinéquations
Méthode : Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/FCUd2muFEyI" https://youtu.be/FCUd2muFEyI
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/3_6LcpumUh4" https://youtu.be/3_6LcpumUh4
Répondre graphiquement aux questions suivantes :
a) Résoudre l'équation 5x xEQ \s\up4(2) = 2.
b) En déduire un ordre de grandeur des dimensions dun rectangle dont laire est égale à 2 cmEQ \s\up4(2)EQ \s\up4().
c) Résoudre graphiquement linéquation 5x xEQ \s\up4(2) > 2. Donner une interprétation du résultat.
a) Il sagit de trouver les antécédents de 2 par la fonction A.
Ce qui revient à résoudre l équation
A(x) = 2.
On détermine les abscisses des points d intersection de la courbe C avec la droite " parallèle à l axe des abscisses passant par le point (0 ; 2).
On lit graphiquement que l équation
5x xEQ \s\up4(2) = 2 admet pour solutions : les nombres 0,5 et 4,5.
b) Le rectangle de dimensions 0,5 cm sur 4,5 cm possède une aire environ égale à 2 cmEQ \s\up4(2).
c) Résoudre linéquation 5x xEQ \s\up4(2) > 2 revient à déterminer les abscisses des points de C pour lesquels C est strictement au-dessus la droite .
On lit graphiquement que l inéquation 5x xEQ \s\up4(2) > 2 admet pour solutions tous les nombres de l intervalle ]0,5 ; 4,5[.
Si une dimension du rectangle est strictement comprise entre 0,5 et 4,5 alors son aire est supérieure à 2.
Remarques :
Par lecture graphique, les solutions obtenues sont approchées.
L équation A(x) = 7 n a pas de solution car dans ce cas la droite ne coupe pas la courbe.
Graphiquement, on ne peut pas être certain que les solutions qui apparaissent sont les seules. Il pourrait y en avoir dautres au-delà des limites de la représentation graphique tracée.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p64 n°27 et 26
p65 n°30 et 32
p65 n°35, 31, 37
p64 n°28*p65 n°33p45 n°29 à 33
p46 n°34 à 37
p50 n°64, 66
p53 n°78*, 79*p45 n°28 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Variations dune fonction
Exemple
Pour des valeurs croissantes choisies pour x dans lintervalle [0 ; 2,5], laire A du rectangle est également croissante.
Par exemple : 1 < 2 et A(1) < A(2).
Pour des valeurs croissantes choisies pour x dans lintervalle [2,5 ; 5], laire A du rectangle est décroissante.
Par exemple : 3 < 4 et A(3) > A(4).
On dit que la fonction A est croissante sur lintervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur lintervalle [2,5 ; 5].
Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors EMBED Equation.DSMT4 .
Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alorsEMBED Equation.3.
Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : EMBED Equation.DSMT4 .
Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I.
Remarques :
On dit quune fonction croissante conserve lordre.
On dit quune fonction décroissante renverse lordre.
Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I.
Maximum ; minimum
Exemple :
Pour tout nombre réel x de l intervalle [0 ; 5], on a : A(x) d" 6,25.
6,25 est le maximum de la fonction A.
L aire du rectangle est maximum pour x = 2,5.
Définitions :
Soit f une fonction de lintervalle I.
a et b deux nombres réels de I.
Dire que f admet un maximum M en a de I signifie que pour tout nombre réel x de lintervalle I, EMBED Equation.DSMT4 .
Dire que f admet un minimum m en b de I signifie que pour tout nombre réel x de lintervalle I, EMBED Equation.DSMT4 .
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p66 n°41, 42
p67 n°46 à 48
p52 Tice1 Ex1
p53 Tice1 Ex3p67 n°45p46 n°41
p47 n°43 à 46
p51 n°71
p56 n°88p47 n°42 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Tableau de variations
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone.
Exemple :
La fonction A est croissante sur lintervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur lintervalle [2,5 ; 5].
A(0) = 0
A(2,5) = 6,25
A(5) = 0
x0 2,5 5A(x) 6,25
0 0
Méthode : *,_`j}~±²ëç×˽¬½|½p^L7(h§ch`Y6B*CJOJQJaJph"h`Y6B*CJOJQJaJph"hå*Z6B*CJOJQJaJphh`YB*OJQJph!hChhWüB*OJQJ^JphhWüB*OJQJ^Jph!hf\h`YB*OJQJ^Jph!hChh`YB*OJQJ^Jphh`YB*OJQJ^Jphh`YB*OJQJph h`YB*CJOJQJaJphh¥O(hÄh¥O5B*CJ4OJQJaJ4phÿ*+,`~ïïêêáØØØ $Ifgd'hÍ
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