trigonometrie
Trouver à l'aide de la calculatrice ou de la table trigonométrique le cosinus, le
sinus et la tangente d'un angle aigu dont on connaît la mesure. - Trouver à l'aide
...
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Chapitre 2 :
Objectifs :
A la fin de cette leçon, lélève doit être capable de :
reconnaître un triangle rectangle
utiliser la propriété de Pythagore dans un triangle pour faire des calculs .
calculer le sinus, le cosinus et la tangente dun angle aigu.
Trouver à laide de la calculatrice ou de la table trigonométrique le cosinus, le sinus et la tangente dun angle aigu dont on connaît la mesure.
Trouver à laide de la calculatrice ou de la table trigonométrique, la mesure en degré (ou un encadrement de cette mesure) dun angle aigu dont on connaît soit le sinus, soit le cosinus soit la tangente.
ESSENTIEL DU COUR
1.1. Définition
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (90° ou EMBED Equation.3 ).
NB : Dans un triangle rectangle, le côté opposé à langle droit est appelé hypoténuse.
Exemple
ABC est un triangle rectangle en A. [BC] en est son hypoténuse.
1.2. Propriété de Pythagore
* Propriété
si un triangle est rectangle, alors le carré de lhypoténuse est égal à la somme des carré des deux autres côtés
Hypothèse :
conclusion :
* Réciproque de la propriété de Pythagore
Si dans un triangle, le carré dun côté (le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Hypothèse
Conclusion :
Exercices dApplication
1. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et BC = 4. Calcule BC
2. Quelle est la nature du triangle DEF sachant que DE = 6 ; EF= 10 et DF = 8.
Solution
1. Etant donné que ABC est un triangle rectangle en A, daprès la propriété de Pythagore, on a : BC² = AB² + AC² ainsi, BC² + =3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
donc BC = 5
2. DE² = 6² = 36
EF² = 10² = 100
DF² = 8² = 64
EF² = DE² + DF² ainsi, daprès la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en D.
Propriétés
Soit ABC un triangle rectangle en A et AH une hauteur de ABC. Les égalités suivantes sont vraies :
BA² = BH .BC
AC² = CH . CB
AH² = BH . CH
II- TRIGONOMETRIE
2.1. Définitions :
Un angle aigu est un angle dont la mesure en degré est comprise entre 0° et 90°
Deux angles sont complementaires lorsque leur somme est un angle droit (90° ou EMBED Equation.3 rd).
Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est un angle plat (180° ou EMBED Equation.3 rd).
2.2. Cosinus, Sinus et Tangente dun angle aigu
NB : [AB] est le côté opposé à langle de mesure a :
Sin a = EMBED Equation.3
Cos a = EMBED Equation.3
Tan a = EMBED Equation.3
Exercice dApplication
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 et AC = 8 calculons BC, cos ABC, sin ABC et tan ABC.
Solution
ABC étant rectangle en A daprès la propriété de Pythagore
BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100
Donc BC = 10
Cos ABC = EMBED Equation.3
Sin ABC = EMBED Equation.3 Tan ABC = EMBED Equation.3
2. Propriété
P1 : Pour tout angle aigu de mesure a, on a :
O ( sin a ( 1
O ( cos a ( 1
cos² a + sin² a = 1
P2: Si deux angles sont complémentaires, alors le cosinus de lun est égal au sinus de lautre.
P3 : Dans un triangle rectangle en A, les tangente des angles complémentaires sont inverse lun de lautre cest-à-dire tan EMBED Equation.3 x tan EMBED Equation.3 = 1.
P4 : Quelque soit langle de mesure a, on a :
Cos (-a) = cos a
Sin (-a) = - sin a
3. Cosinus, Sinus et Tangente de quelques angles particuliers
EMBED Equation.3
a°0°30°45°60°90°sin a°0 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 1cos a°1 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0tan a°0 EMBED Equation.3 1 EMBED Equation.3 Nexiste pas
B. Exercises
1. Indique pour chaque question, toutes les bonnes réponses (0 ; 1 ou plusieurs).
a. ABCD est un parallélogramme alors :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont supplémentaires
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont égaux
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont complémentaires
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont égaux
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont supplémentaires
b. où ya-t-il une phrase sûrement fausse ?
cos a = 5
cos a = 30°
cos a = cos b
cos a = 0,453
cos a = cos 30°
C. cos 60°, cest aussi
2 x cos 30°
cos (2 x 30°)
0,5
EMBED Equation.3
1-cos 60°
2.2. ABC est un triangle équilatéral de hauteur 5cm. Calcule la longueur du côté de ce triangle
2.3. Lunité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle rectangle en B tel que : mes EMBED Equation.3 = 30° et AB = 2.
Calcule AC et BC
2.4. ABC est un triangle rectangle en B. Calcule tan EMBED Equation.3 lorsque :
sin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 et cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
sin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 et cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
2.5.
ABC est un triangle rectangle en A calcule des
valeurs approchées à 0,001
en près de cos EMBED Equation.3 , sin EMBED Equation.3 et cos EMBED Equation.3 .
2.6 Sur la figure ci-dessous, B est un point de [AC] et D est un point de [AE]. On a AB = 4cm
AD = 5cm
AE = 8cm.
Ecris cos EMBED Equation.3 de deux façons différentes puis calcule BC
2.7. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4,4 cm et EMBED Equation.3 = 35°
construis le triangle. Détermine la mesure de langle ABC. Calcule AC et BC
2.8. A et B appartiennent à un cercle (C) de centre O de 4cm de rayon. Langle AOB mesure 82°. [OH] est une hauteur du triangle AOB.
Quelle est la mesure de HOA ?
Justifie la réponse
Calcule AB à 0,01 mm près
2.9. Pour travailler sur son toit. Un monsieur
pose une échelle de 3m contre le mur
extérieur de sa maison. Le pied de léchelle
est à 0,75m du mur (figure ci contre) .
1) Calcule la mesure de langle EMBED Equation.3 .
2) Calcule la distance BC du pied du
mur au point de contact de léchelle avec ce mur
2.10. ABC est un parallélogramme de hauteur [BH] tel que EMBED Equation.3 = 52°
AB = 4cm et BC = 6cm
Calcule BH et détermine une valeur approchée à 0,01 cm2 près de laire du parallélogramme.
2.11. Choisir la réponse exacte
1. tan 60° =
a) EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.3 c) EMBED Equation.3
2. cos x = EMBED Equation.3 alors sin x =
a) EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 c) EMBED Equation.3
3. sin x = EMBED Equation.3 et cos x = EMBED Equation.3 alors tan x =
a) EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.3 c) EMBED Equation.3
2.12.
[AH] est une hauteur du triangle ABC
1. Calcule une valeur approchée de AH.
2. Calcule une valeur approchée de la mesure de langle EMBED Equation.3
3. Calcule une valeur approchée de HC.
2.13. [BK] est une hauteur du triangle BTU
1. Quelle est la mesure de langle EMBED Equation.3 ?
2. Calcule BK et BU
3. Calcule une valeur approchée de langle EMBED Equation.3
2.14. On se propose de calculer EC.
1. Exprime tan EMBED Equation.3 dans le triangle rectangle ABC.
Exprime tan 25° en fonction de x.
2. Calcule x, puis en donner une valeur approchée.
2.15.
1. Démontre que mes EMBED Equation.3 = 50°
2. Calcule une valeur approchée de CD.
CE2.1. 2.16. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 15 et BC= 25. Calcule AC.
CE2.2. 2.17.
Lunité de longueur est le centimètre ABC est un triangle tel que
AB = 3+ EMBED Equation.3 ; AC = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; et BC = EMBED Equation.3 . Montre que le triangle ABC est rectangle.
CE2.3. 2.18.
Lunité de longueur est le centimètre. ABCD est un carré tel que AC = EMBED Equation.3 ; Calcule le côté du carré .
CE2.4. 2.19 ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = 6cm et BC = 4cm
1. Calcule AH
2. Calcule sin EMBED Equation.3
CE2.5.2.20. Lunité de longueur est le centimètre. On considère la figure ci-contre.
1. Calcule AB
2. Calcule sin EMBED Equation.3 et cos EMBED Equation.3
3. Montre que cos² EMBED Equation.3 + sin² EMBED Equation.3 = 1
Calcule tan EMBED Equation.3 et en déduire tan EMBED Equation.3
CE2.6. 2.21. Dans un triangle rectangle en B, on a sin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Calcule cos EMBED Equation.3
CE2.7. 2.22. Lunité de longueur est le centimètre MNP est un triangle rectangle en N. tel que MN = 5 et sin EMBED Equation.3 .
Calcule MP et NP.
CHAPITRE II CORRECTION DES EXERCICES
TRIGONOMETRIE
2.1. a. (iv) B et D sont égaux
b . (i) cos a = 5
(ii) cos a = 30°
c. (ii) cos (2 x 30°)
(iii) 0,5
(V) 1-cos 60°
2.2. Posons a, la longueur du côté du triangle ABH est un triangle rectangle en H daprès la propriété de Pythagore.
AB² = AH² + BH² or AB = a et AH = EMBED Equation.3 a
Donc ಠ= EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
a= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
2.3.
Cos 30° = EMBED Equation.3
Tan 30° = EMBED Equation.3 ° par suite BC = AB tan 30°
Dou . EMBED Equation.3
2.4. a. tan EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
b. tan EMBED Equation.3
2.5. cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
(sin EMBED Equation.3 )² + (cos EMBED Equation.3 )² = 1 EMBED Equation.3 sin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 sin EMBED Equation.3 = 0,909
cos EMBED Equation.3 = sin EMBED Equation.3 = 0,909.
2.6
AB = 4 AD = 5
AE = 8
Cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
BC = 0,8 AE AB
= 0,8 x 8 4
2.7.
mes EMBED Equation.3 = 90°- mes EMBED Equation.3
= 90° -35°
EMBED Equation.3 mes EMBED Equation.3 = 55°
tan EMBED Equation.3
sin EMBED Equation.3
2.8. Le triangle OAB est isocèle en O. H est à la fois hauteur et bissectrice de langle EMBED Equation.3 donc mes EMBED Equation.3 °
sin EMBED Equation.3
= 4 sin 41° = 2,62.
Or AH = EMBED Equation.3 AB donc AB = 2 AH = 2x 2,62
EMBED Equation.3 AB = 5,24.
2.9.
1) A EMBED Equation.3 °
2) sin EMBED Equation.3
= 3 x 0,97 EMBED Equation.3 BC = 2,91.
2.10.
sin 52° = EMBED Equation.3 °
EMBED Equation.3 BH = 3,152
calculons une valeur approchée de laire du parallélogramme ABCD
A = BH + BC = 3,152 x 6 = 18,91 EMBED Equation.3
2.11. 1. tan 60° = b) EMBED Equation.3 .
2. a) EMBED Equation.3
3. b) EMBED Equation.3
2.12.
1. tan 40s = b) EMBED Equation.3
2. a) EMBED Equation.3
b) EMBED Equation.3
2.12
1. tan 40° = EMBED Equation.3 ° = 1,69
2. sin EMBED Equation.3 °
3. cos EMBED Equation.3
2.13
1. mes EMBED Equation.3 = 180° - 120° = 60°
2. tan EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
BU² = BK² + KU² EMBED Equation.3 BU = EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
3. tan EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
doù
2.14.
1. tan EMBED Equation.3 tan 25° = EMBED Equation.3
2. tan 25° = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 2,7 = (2 + x) tan 25°
EMBED Equation.3 x = EMBED Equation.3
valeur approchée de x.
2.15.
1) mes EMBED Equation.3 = 180° (100° + 30°) = 50°
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont des angles opposés par leur sommet donc
mes EMBED Equation.3 = mes EMBED Equation.3 = 50°
2) DEC est un triangle rectangle en D
tan EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Mathematiques 3ème
Collection l'Essentiel
ABC est un triangle rectangle en A.
BC² = AB² + AC²
ABC est rectangle en A
ABC est un triangle tel que BC² = AB² + AC²
AC = EMBED Equation.3
BC = EMBED Equation.3
BC= 2,4
A = 18,91cm2
BK = 3,46
BU = 9,17
Mes EMBED Equation.3 = 22,15°
Tan 25° = EMBED Equation.3
x = 3,79
triangle rectangle
trigonometrie
B
A
C
C
A
B
C
A
B
A
B
C
H
C
A
B
a
C
A
B
C
A
B
B
A
H
C
5
A
B
C
2,5
6
A
B
C
D
E
O
H
B
A
C
A
B
3
0,75
A
B
C
D
H
4
6
520
A
R
C
H
2
4
400
B
K
T
U
2
6 ,5
1200
A
B
C
E
2
x
6,7
250
A
B
D
C
E
2
300
1000
AZ
B
H
C
C
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A
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C
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E
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A
C
A
B
3
B
A
C
C
B
A
H
O
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A
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2
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B
A
Triangle rectangle. Trigonométrie
2
