Angles Trigonométrie en 1S
11 avr. 2008 ... Angles - Trigonométrie en 1S. Exercices liés aux angles remarquables : 15°, 22,5
°, 54°, 72°. Rectangle d'or, triangle d'or.
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Angles - Trigonométrie en 1S
Exercices liés aux angles remarquables : 15°, 22,5°, 54°, 72°. Rectangle d'or, triangle d'or.
Sommaire
1. Configuration du rectangle
Angle EMBED Equation.3
2. Angle EMBED Equation.3
a. Calculatrice TI-92 b. Triangle équilatéral dans un carré c. Triangle d'angles EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 d. Exercice : calcul de coordonnées3. Angles EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
a. sin EMBED Equation.3
c. Rectangle d'or
d. Triangle d'or
Document no 35, réalisé le 17/3/2003,
modifié le 11/4/2008
Faire des maths
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1. Configuration du rectangle
Placer un M libre sur le cercle trigonométrique de centre o et de rayon 1.
Avec les symétries (menu : point > point image par > symétrie axiale par rapport à ox puis oy ou centrale par rapport à o) créer M1 M2 M3.
Puis trouver les points H, K, H, K.
Si (,EMBED Unknown) = x, calculer en fonction de x les angles(,EMBED Unknown), (,EMBED Unknown),(,EMBED Unknown).
EMBED Unknown= EMBED Unknown+EMBED Unknown= cos x + sin x .
En déduire cos(-x), sin(-x) ; cos((-x), sin((-x) ; cos((+x), sin((+x).
Avec GéoPlan déplacer le point M pour obtenir les angles remarquables EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Angle EMBED Equation.3 : les formules de linéarisation cos2a = EMBED Equation.3 et sin2a = EMBED Equation.3 permettent décrire :
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 doù cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (le cosinus est positif) et de même on trouvesin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
2. Angle EMBED Equation.3
a. La calculatrice TI-92 donne les valeurs exactes des lignes trigonométriques de EMBED Equation.3 :
cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , sin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 et tan EMBED Equation.3 = 2 - EMBED Equation.3 .
On peut vérifier ces formules en décomposant EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 :
Par exemple :
cos EMBED Equation.3 = cos( EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 ) = cos EMBED Equation.3 cos EMBED Equation.3 + sin EMBED Equation.3 sin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Pour retrouver la tangente utiliser : 1+ tan2 x = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
b. Triangle équilatéral dans un carré
ACDE est un carré de côté a = 2 et ABC est un triangle équilatéral.
Montrer que ABE est un triangle isocèle et calculer ses angles.
En déduire que (EMBED Unknown,EMBED Unknown) = EMBED Equation.3 .
Calculer BH et en déduire le calcul exact de cos EMBED Equation.3 .
Solution :
AB est égal au côté du carré, donc ABE est un triangle isocèle en A, ayant pour angle en A : EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Les deux angles sont égaux à EMBED Equation.3 soit EMBED Equation.3 , donc
(EMBED Unknown,EMBED Unknown) = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
La hauteur du triangle équilatéral est égale à a EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , donc BH = 2 - EMBED Equation.3 .
Dans le triangle rectangle EBH tan EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 2 - EMBED Equation.3 , et la propriété de Pythagore donne EB2 = (2 - EMBED Equation.3 )2 +1 = 8 - 4 EMBED Equation.3 .
cos2 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
On trouve donc deux nouvelles formules : cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 et sin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Cercle circonscrit
La médiatrice de [BE] coupe la médiatrice de [DE] en O.
Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle BDE,le rayon de ce cercle est égal à la longueur du côté du carré.
c. Triangle dangles EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Construire un segment AB de 5 cm. À partir du point A tracer une demi-droite formant un angle de EMBED Equation.3 avec (AB) et une autre à partir de B formant un angle de EMBED Equation.3 . Les deux demi-droites se coupent en C.
Soient AI, BJ et GH les trois hauteurs du triangle.
Calculer AI, puis exprimer AC en fonction de cos EMBED Equation.3 .
Solution
AIB est un triangle rectangle en I. Langle en B est par hypothèse EMBED Equation.3 , le complémentaire
(EMBED Unknown,EMBED Unknown) = EMBED Equation.3 .
On a AI = AB cos EMBED Equation.3 = 5 EMBED Equation.3 .
Étudions le triangle ACI rectangle en I :
(EMBED Unknown,EMBED Unknown) = (EMBED Unknown,EMBED Unknown) + (EMBED Unknown,EMBED Unknown) = - EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
AI = AC cos EMBED Equation.3 donc AC = EMBED Equation.3 .
Calculer BJ, puis exprimer BC en fonction de cos EMBED Equation.3 .
Dans le triangle ABJ rectangle en J, on a BJ = AB cos EMBED Equation.3 = 5 EMBED Equation.3 .
De même le triangle rectangle BCJ langle aigu B est égal à EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
BJ = BC cos EMBED Equation.3 donc BC = EMBED Equation.3 .
Calcul de AC cos EMBED Equation.3 + BC cos EMBED Equation.3
Dans le triangle ACH rectangle en H, dangle A= EMBED Equation.3 , on a : AH = AC cos EMBED Equation.3 .
Dans le triangle BCH rectangle en H, dangle B= EMBED Equation.3 , on a : HB = BC cos EMBED Equation.3 .
AC cos EMBED Equation.3 + BC cos EMBED Equation.3 = AH + HB = AB = 5.
Calcul de cos EMBED Equation.3
AC cos EMBED Equation.3 + BC cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 5.
On retrouve la formule cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
d. Exercice : calcul de coordonnées
1) Le point A a pour coordonnées polaires (2, EMBED Equation.3 ).Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?
2) On place C image de A par la rotation r(O, - EMBED Equation.3 ).
Quelles sont les coordonnées polaires de C ?
Ses coordonnées cartésiennes ?
3) On place le point B tel que OABC soit carré : ( EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ). Quelle est la nature du triangle OAB ? Quel est langle ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) ? Calculer OB. Quel est langle (, EMBED Equation.3 ) ? Quelles sont les coordonnées polaires de B ?
4) Calculer les coordonnées cartésiennes de B. En déduire les valeurs exactes de cos EMBED Equation.3 et sin EMBED Equation.3 .
e. Complexes
Bac S Amérique du Nord 1999 - EXERCICE 2 : candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire
Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (O, , ), lunité graphique étant 4 cm. On considère les points A0, A1, d'affixes respectives : a0 = l ; a1 = EMBED Equation.3 .Le point A2 est limage du point A1 par la rotation r de centre O et dangle EMBED Equation.3 .
1. a) Calculer laffixe a2 du point A2 sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.b) Soit I le milieu du segment [A0A2]. Calculer laffixe du point I.c) Faire une figure.
2 . a) Prouver que les droites (OI) et (OA1) sont confondues.b) Écrire sous forme trigonométrique laffixe de I.c) Déterminer cos EMBED Equation.3 et sin EMBED Equation.3 (les valeurs exactes sont exigées), sachant que :
3. Angles EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
a. cos EMBED Equation.3 : Pour ce calcul nous plaçons le point A sur le cercle trigonométrique tel que ( EMBED Equation.3 ,EMBED Unknown) = EMBED Equation.3 . La rotation de centre O et dangle EMBED Equation.3 transforme A en B ; B en C et C en D.
Les points B et C correspondent aux angles supplémentaires EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , B et C sont symétriques par rapport à laxe vertical (Oy). Le point D correspond à langle supplémentaire EMBED Equation.3 , A et D sont symétriques par rapport à (Oy).
Les coordonnées de A sont :
cos EMBED Equation.3 = x,
sin EMBED Equation.3 = y.
Les formules de duplication pour larc double donnent :
sin 2a = 2sin a cos a = 2 x y
cos 2a = 2 cos2a 1 = 1 sin2a = x2 1 = y2 - 1
La TI-92 calcule les fonctions trigonométriques associées au triple de larc (fonction dévTrig)
sin 3a = 4 sin a cos2a sin a = 4 x2 y y
cos 3a = cos a 4 sin2a cos a = x 4 x y2
B et C ont même ordonnée : sin EMBED Equation.3 et sin EMBED Equation.3 sont égaux, donc 4 x2 y y = 2 x y.
En simplifiant par y on obtient 4 x2 - 2 x 1 = 0.
x = cos EMBED Equation.3 est la solution positive de cette équation donc cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , calcul que la TI-92 fait directement.
Remarque : cos EMBED Equation.3 est égal à la moitié du nombre dor ( = EMBED Equation.3 .
En appliquant les formules de duplication cos 2a = 2 cos2a 1 on trouve :
cos EMBED Equation.3 = - cos EMBED Equation.3 = sin EMBED Equation.3 = 2 cos2 EMBED Equation.3 1 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
x EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 cos x EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
L'inverse du nombre d'or est donc EMBED Equation.3 = ( - 1 = EMBED Equation.3 = 2 sin EMBED Equation.3 .
I, B, D et les symétriques de D et B par rapport à (Ox) sont les sommets d'un pentagone régulier.
I, A, B, C, D, J et les symétriques de D, C, B et A par rapport à (Ox) sont les sommets d'un décagone régulier.
b. sin EMBED Equation.3
Soit D le symétrique du A par rapport à la droite déquation y = x.
Le complémentaire de langle ( EMBED Equation.3 ,EMBED Unknown) est ( EMBED Equation.3 ,EMBED Unknown) = EMBED Equation.3 . OD2 = OA1 d'où :
sin EMBED Equation.3 = cos EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Le supplémentaire de langle ( EMBED Equation.3 ,EMBED Unknown) est ( EMBED Equation.3 ,EMBED Unknown) = EMBED Equation.3 .
sin EMBED Equation.3 = sin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
c. Rectangle dor
Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d'or ( = EMBED Equation.3 .
Depuis l'antiquité grecque, on sait construire un rectangle d'or d'une largeur donnée de la façon suivante :
tracer un carré ABCD ayant comme côté la largeur souhaitée.
Prendre le milieu K de [AD].
Rabattre le point C sur (AD) en traçant le cercle de centre K, passant par C. Ce cercle coupe [AD) en E.
Terminer la construction du rectangle d'or ABFE.
En effet en choisissant AB = AD comme unité on a KE = KC = EMBED Equation.3 daprès la propriété de Pythagore dans le triangle DKC rectangle en D, donc AE = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = (.
Tracé régulateur
En architecture, comme en dessin, le tracé régulateur permet de schématiser les lignes de force d'une figure.
Dans un rectangle d'or, les diagonales du rectangle rencontrent les diagonales des carrés selon des sections d'or.
Les diagonales des carrés ABCD et EFHG coupent en L, M, N, P les diagonales du rectangle d'or ABFE.
Section d'or sur une diagonale :AF/AP = AP/AM = ¦.
Section d'or sur une côté des carrés :CD/CN = CN/CP = ¦.
Pavage non périodique du plan
Il est possible de paver le plan à partir de rectangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de rectangles de plus en plus grands.
Une bonne occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :
Tracer un rectangle d'or initial A0B0F0E0 à partir du carré A0B0C0D0. Tracer A0E0A1B1. B0F0A1B1 est un rectangle d'or. Remplacer A0, B0, F0, E0 respectivement par C1, F1, E1, D1 pour obtenir le rectangle d'or A1B1F1E1 contenant le carré A1B1C1D1 de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S) on tracera les carrés suivants.
En traçant dans chaque nouveau carré le quart de cercle de centre Dn, reliant AnAn+1, on obtient la spirale d'or C0A0A1A2...
d. Triangle dor
Le triangle dor ACD est un triangle isocèle en C dangle EMBED Equation.3 , les deux autres angles en A et D étant égaux à EMBED Equation.3 .
Le rapport entre le grand côté et la base est égal au nombre dor : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = ¦.
Soit B le point qui partage [AC] en une section d or : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = ¦, on a DA = DB = BC, (DB) est la bissectrice de l angle EMBED Equation.3 . Le triangle isocèle ABD est semblable au triangle ADC avec un rapport de similitude égal à ¦. Ce triangle ABD est aussi un triangle d or.
Le triangle BCD est un triangle d'argent : il est isocèle en B d'angle EMBED Equation.3 , les deux autres angles en C et D étant égaux à EMBED Equation.3 . Le rapport des côtés est aussi égal au nombre d'or : EMBED Equation.3 = ¦.
Un pentagone régulier est formé par un triangle d'or et deux triangles d'argent.
Triangle bisocèle
Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.
La droite (DB), bissectrice de l'angle D du triangle ACD, partage le triangle en deux triangles isocèles. Le triangle ACD est bisocèle.
Il n'y a que deux types de triangles bisocèles: le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.
Construction dune section dor
À partir du segment [AC], sur la perpendiculaire en A, placer le point M tel que AM = EMBED Equation.3 AC.
Le cercle c1 de centre M, passant par A, coupe le segment [CM] en P.
Le cercle c2 de centre C, passant par P, coupe le segment [AC] en B qui est la section dor cherchée.
En effet daprès la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle AMC, on a :
MC2 = AC2 + AM2 = (2AM)2 + AM2 = 5AM2 doù MC = EMBED Equation.3 AM.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = ¦.
Construction du triangle d or à partir du grand côté
Si A et C sont deux sommets du triangle, soit B le point qui partage [AC] en une section d or. Le troisième sommet D est un des points d intersection du cercle c3 de centre C, passant par A et du cercle c4 de centre B, passant par C.
Soit ± = EMBED Equation.3 l angle au sommet du triangle d or. ± est aussi égal à l angle EMBED Equation.3 du triangle d or isométrique. EMBED Equation.3 = 2± car (DB) en est la bissectrice. La somme des trois angles du triangle d or est EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = ± + 2± + 2± = 5± = (.
Le triangle d or a donc un angle au sommet de EMBED Equation.3 , les deux autres angles étant égaux à EMBED E|}ª«¾¿ÀÁËÌßàáâ: ; N O P Q V W j k l m ² üöêöß×Ë×À²Ëרö¨×ü~tüüi_×üjh^/EHæÿUjíB
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Construction du triangle dor à partir de la longueur de la base
À partir du segment [AB] trouver le point C et tracer le triangle dor ayant une base [DC] égale à AB.
Soit K le milieu de [AB] et B le point de la perpendiculaire en B situé sue le cercle de centre B passant par A (ABB triangle rectangle isocèle).
Le cercle de centre K passant par B coupe la demi-droite [AB) en C.
B est la section dorée de [AC].
En effet si la longueur AB représente lunité, la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle KBB permet de vérifier que :
AC = AK + KC =AK + KB = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = (
Une des intersections du cercle de centre A passant par C avec le premier cercle de centre B est D.
ACD est un triangle dor.
Pavage non périodique du plan
Il est possible de paver le plan à partir de triangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de triangles de plus en plus grands.
A partir du triangle dor AnAn+1An+2 créer le point An+3 tel que An+1AnAn+3 soit une section d'or et recommencer.
Encore une occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :
tracer un triangle d'or initial A0B0C0. Trouver le point A1 tel que B0C0A1 forme une section d'or. Remplacer A0 et B0 respectivement par B1, C1 pour obtenir le triangle d'or A1B1C1 de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S), tracer les triangles suivants.
Spirale d'or
Une spirale logarithmique d'équation, en coordonnées polaires,Á= a EMBED Equation.3 dans un repère d'origine I, intersection des droites A0A5 et A1A6 (voir figure), passe par les sommets des triangles d'or.
Première SAngle de vectÐÐ
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