6. Filtrage adaptatif
Ces filtres servent à améliorer le rapport signal sur bruit sous l'hypothèse où la
bande de ... Figure 5.1 : Schéma général d'un problème d'estimation linéaire. ... 6
.2.3 Application à l'égalisation de canal .... Synthèse de filtre temporelle. où.
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s on va approcher le filtre optimal de Wiener en utilisant une boucle de retour et un algorithme de minimisation : c'est ce que l'on appelle le filtrage adaptatif. Dans ce cas, on remplacera la connaissance des fonctions de corrélation par une phase d'apprentissage permettant de modifier itérativement la réponse impulsionnelle du filtre.
5.2. Filtres de Wiener
5.2.1 Problème d'estimation linéaire
La figure 5.1 illustre un problème courant d'estimation linéaire. INCORPORER Equation.3 correspond au signal qui nous intéresse mais n'est pas directement accessible. Seul INCORPORER Equation.3 l'est et INCORPORER Equation.3 est obtenu après passage de INCORPORER Equation.3 dans un système linéaire suivi de l'addition d'un bruit.
Figure 5.1 : Schéma général d'un problème d'estimation linéaire.
Le problème qui se pose est comment retrouver INCORPORER Equation.3 à partir de INCORPORER Equation.3 . Une solution consiste à filtrer INCORPORER Equation.3 de tel sorte que la sortie INCORPORER Equation.3 soit la plus proche possible de INCORPORER Equation.3 . On peut mesurer la qualité de l'estimation par INCORPORER Equation.3 défini par :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.1)
Evidemment, plus INCORPORER Equation.3 sera faible, plus l'estimation sera bonne. On cherche donc un filtre qui minimisera l'erreur. Il est pratique de chercher à minimiser INCORPORER Equation.3 car c'est une fonction quadratique facilement dérivable. Par ailleurs, étant donné que les signaux intéressant sont aléatoires, la fonction coût qui sera à minimiser est l'erreur quadratique moyenne (MSE) définie par :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.2)
Le filtre optimal de Wiener correspond au filtre qui minimisera la MSE.
5.2.2 Filtre de Wiener de type FIR
On se limitera ici au calcul des filtres FIR. Selon les mêmes principes, on peut calculer des filtres IIR. C'est ce qui sera vu dans la suite du cours avec les modèles ARMA utilisés en codage de parole.
Appelons H, le filtre que nous recherchons et N la longueur de sa réponse impulsionnelle donnée avec une notation matricielle par :
INCORPORER Equation.3
Le signal estimé INCORPORER Equation.3 peut alors s'écrire
INCORPORER Equation.3
ou encore en introduisant la notation matricielle pour INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.3)
avec
INCORPORER Equation.3
En faisant l'hypothèse que les signaux x(n) et y(n) sont stationnaires, et si on introduit l'équation 5.3 dans l'équation 5.2, on arrive à la fonction coût suivante :
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.4)
où INCORPORER Equation.3 est une matrice d'autocorrélation de taille NxN définie par :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.5)
et où INCORPORER Equation.3 est une vecteur d'intercorrélation de taille N défini par :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.6)
L'équation 5.4 montre que pour un filtre FIR, la fonction coût MSE dépend de la réponse impulsionnelle h. Pour en obtenir le minimum, il suffit de chercher les conditions d'annulation de la dérivée de la fonction coût par rapport au variables que sont les N points de la réponse impulsionnelle du filtre.
La dérivée de la fonction coût par rapport au jème point de la réponse impulsionnelle est donnée par :
INCORPORER Equation.3
En substituant dans cette équation e(n) par les équations 5.1 et 5.3, on obtient l'expression suivante :
INCORPORER Equation.3
En utilisant le fait que la sortie du filtre INCORPORER Equation.3 peut s'écrire comme une somme de N produits dont un seul contient le terme hj, on a arrive à l'expression suivante :
INCORPORER Equation.3
On cherche les conditions d'annulation de cette équation pour tous les j={0, ..., N-1}. Ceci nous donne un ensemble de N équations qui peut être écrit de façon matricielle en introduisant le vecteur gradient INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3
En utilisant les équations 5.1 et 5.3 pour remplacer e(n) on obtient :
INCORPORER Equation.3
qui devient en introduisant la matrice d'autocorrélation et le vecteur d'intercorrélation :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.7)
La réponse impulsionnelle optimale hopt est celle qui annule cette équation d'où :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.8)
Le filtre ainsi défini est appelé filtre FIR de Wiener. Il permet d'obtenir une erreur quadratique minimale entre x(n) et son estimé INCORPORER Equation.3 donnée par :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.9)
5.2.3 Application à l'égalisation de canal
Un problème classique rencontré en traitement du signal pour les télécoms est illustré sur la figure 5.2. Une séquence aléatoire de densité de probabilité uniforme est appliqué à l'entrée d'un canal. Un bruit blanc INCORPORER Equation.3 s'ajoute à la sortie du canal pour donner le signal observable y(n).
Le canal peut être modélisé par sa fonction de transfert en z, INCORPORER Equation.3 .
Notre objectif est de construire un filtre avec une fonction de transfert H(z) tel que sa sortie nous donne une bonne estimation de x(n). Il est naturellement acceptable d'obtenir notre estimé avec un certain retard d de telle sorte que ce que l'on estime correspond à x(n-d). Ce problème est connu sous le nous d'égalisation de canal dans le domaine des télécommunications ou encore sous le nom de déconvolution en traitement d'images. Les filtres de Wiener nous apporte une solution à ce problème que nous allons préciser.
Figure 5.2 : Schéma général d'un problème d'égalisation de canal.
Pour simplifier, nous introduirons les trois notations suivantes x'(n), e'(n) et y'(n) respectivement définies par :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.10)
Le bruit additif et le signal sont considérés comme décorrélés entre eux. Cette hypothèse est généralement vérifiée en pratique. Le filtre de Wiener qui minimise la MSE est alors défini par :
INCORPORER Equation.3
où
INCORPORER Equation.3
et
INCORPORER Equation.3
Etant donné que les processus sont considérés comme stationnaires et ergodiques, la matrice d'autocorrélation INCORPORER Equation.3 peut être déduite de la fonction d'autocorrélation INCORPORER Equation.3 donnée par :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.11)
Comme y'(n) est une combinaison linéaire des échantillon de l'entrée x(n) i.e.
INCORPORER Equation.3
et que x(n) et INCORPORER Equation.3 sont décorrélés, il en découle que y'(n) et INCORPORER Equation.3 sont décorrélés d'où :
INCORPORER Equation.3 pour des processus à moyenne nulle.
Par ailleurs, puisque INCORPORER Equation.3 est un bruit blanc, il a la propriété suivante :
INCORPORER Equation.3
Et finalement, l'équation 5.11 prend la forme suivante :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.12)
Les transformées en Z des fonctions d'autocorrélation de deux signaux liés par un système linéaire comme dans la figure ci-dessus sont reliées de la façon suivante :
INCORPORER Equation.3
En utilisant cette propriété pour le cas qui nous intéresse, on obtient la relation suivante :
INCORPORER Equation.3
Par transformée inverse, on obtient :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.13)
Cette équation introduite dans 5.12 permet d'accéder à INCORPORER Equation.3 .
Afin d'accéder au filtre de Wiener, il reste à calculer le vecteur d'intercorrélation INCORPORER Equation.3 . Si le filtre de Wiener possède N coefficients, le vecteur INCORPORER Equation.3 aura N éléments de la forme INCORPORER Equation.3 , où INCORPORER Equation.3 . On peut noter que le processus étant stationnaire :
INCORPORER Equation.3
Par ailleurs, comme INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 sont décorrélés, on a :
INCORPORER Equation.3
Les transformées en Z des fonctions d'auto et d'intercorrélation de trois signaux liés par deux système linéaire en parallèle comme sur la figure ci-dessus sont reliées de la façon suivante :
INCORPORER Equation.3
En utilisant cette propriété et l'analogie avec la Figure 5.2, on obtient donc la relation suivante :
INCORPORER Equation.3
d'où
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.14)
A partir des relations (5.14), (5.13) et (5.12) on peut calculer la réponse impulsionnelle du filtre de Wiener comme nous allons le faire dans l'exemple ci-après.
5.2.4 Exercice d'application
Soit un canal de communication modélisable par la fonction de transfert suivante :
INCORPORER Equation.3
A son entrée, on a un signal aléatoire avec une densité de probabilité uniforme, une moyenne nulle et une variance de 1. A la sortie du canal s'ajoute un bruit blanc de moyenne nulle, de variance 0.1 et décorrélé du signal d'entrée.
Donnez le filtre de Wiener de longueur 3 qui peut être mis en place avec un retard de 1 pour égaliser ce canal. Quelle est la valeur minimale de la MSE qui sera obtenue. Concluez quant à l'intérêt de ce filtre.
(...)
Réponses
INCORPORER Equation.3 INCORPORER Equation.3
Le minimum de MSE est supérieur à la variance du bruit, le filtre n'est pas utile ! Pour avoir un filtre de Wiener efficace, il faut en augmenter le retard toléré et la longueur du filtre de Wiener.
5.3. Algorithmes pour le filtrage adaptatif
5.3.1. Introduction
La mise en uvre d'un filtre (estimateur) optimal de Wiener demande la connaissance des caractéristiques du signal, du bruit et de la fonction de transfert du canal. Cela implique également que ces caractéristiques soient stables au cours du temps, ce qui n'est pas le cas en pratique.
Le filtrage adaptatif a pour objet d'approcher ces filtres optimaux. Pour cela, les coefficients de la réponse impulsionnelle du filtre sont adaptés en fonction de l'erreur par une boucle de retour comme le montre la figure ci-dessous.
Figure 5.2 : Schéma général d'un système de filtrage adaptatif.
Cette adaptation nécessite une séquence d'apprentissage et une stratégie de mise à jour des coefficients du filtre dont l'objectif est la minimisation d'une erreur. Pour cela, on utilisera des algorithmes d'optimisation. Le détail de ces algorithmes dépasse le cadre du traitement du signal, mais on donnera ici les grandes lignes de deux approches largement utilisées en filtrage adaptatif : le RLS et le LMS.
La réponse impulsionnelle d'un filtre adaptatif est donc variable dans le temps. Elle dépend du signal reçu, de la séquence d'apprentissage et de l'algorithme d'optimisation utilisé. Ces filtres peuvent être de type IIR ou FIR.
Le signal estimé INCORPORER Equation.3 s'écrit de la façon suivante :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.15)
Ce qui signifie qu'un point à l'instant n est calculé en utilisant la réponse impulsionnelle du filtre calculée le coup précédent par l'algorithme d'optimisation.
5.3.2 Algorithme RLS
Sachant que les propriétés statistiques nous sont inconnues, on ne vas pas chercher à minimiser E[e²(n)] mais une somme finie d'erreur au carré donnée par :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.16)
Quand cette fonction coût est minimisée en utilisant une réponse impulsionnelle h(n) associée à INCORPORER Equation.3 , on obtient l'estimée des moindre carré.
La réponse impulsionnelle est donc fonction des échantillons disponibles et non pas d'une moyenne statistique générale. Par analogie avec Wiener, elle est donnée par la relation :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.17)
où
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.18)
et
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.19)
La réponse impulsionnelle du filtre est donc à modifier à chaque nouvel échantillon. Pour limiter le nombre des calcul, on passe par une équation récursive :
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.20)
où
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.21)
et où
INCORPORER Equation.3 (Eq. 5.22)
Ces trois équation sont connues sous le nom de l'algorithme RLS. Le détail de cet algorithme est donné ci-dessous.
Détail de l'algorithme RLS
5.3.3. Algorithme LMS
D'autres techniques d'optimisation basées sur la descente en gradient peuvent être mise en uvre. L'algorithme LMS (Least Mean Squares) dont le détail est donné ci-dessous est souvent utilisé dans les systèmes de filtrage adaptatif. On trouvera des détails concernant cette approche dans [1].
Détail de l'algorithme LMS
5.3.4. Comparaison
Le problème qui se pose est celui du choix d'un algorithme d'optimisation. Ce choix va être guidé par le nombre d'opérations nécessaires à chaque étape pour mettre à jour les coefficients et par la vitesse de convergence de l'algorithme, c'est à dire la longueur de la séquence d'apprentissage nécessaire pour obtenir un filtre adapté.
Si une méthode répondait à ces deux critères simultanément, elle serait systématiquement utilisée.
L'algorithme LMS nécessite moins de calcul à chaque étape mais converge plus lentement que le RLS comme le montre la figure ci-dessous. C'est donc l'application qui va déterminer le choix de l'algorithme en fonction de la puissance de calcul disponible !
Figure 5. : Erreur (dB) vs Nombre d'itérations pour la comparaison des vitesses de convergence des algorithmes RLS et LMS
5.4. Applications
5.4.1. Introduction
5.4.2. Suppression de bruit
5.4.3. Annulation d'écho
5.4.4. Egalisation de canal
5.5. Conclusion
5.6. Bibliographie
[1] B. Mulgrew, P. Grant, J. Thompson, "Digital Signal Processing, Concepts and Applications", MacMillan Press, 1999,356p.
Applications
( 3 modes de fonctionnement
a) Annulation d'écho
b) Egalisation de Canal
c) Suppression de bruit large bande / bande étroite
Suppression de bruit large bande / bande étroite
( Système connu ( filtre passe-bande
( Idée !
Signal fortement corrélé facile à prédire ! pas le bruit !
( Apprentissage
Seul le signal d'entrée est nécessaire : il sert d'entrée et d'apprentissage !
Annulation d'écho
( Pas trop grave en parole
( Très grave en modem data
( Apprentissage
Emission d'une séquence aléatoire type avant de fonctionner en émission / réception
Egalisation de canal
( Transmission de séquence binaire aléatoire sur un canal
( Filtre de Wiener irréaliste
( Décision binaire à prendre y(n) = +- 1 ?
( Réglage initial avec séquence mémorisée émetteur / récepteur
( Réglage en continu pour la téléphonie mobile
Filtre de Wiener
( Objectif
INCORPORER Equation.3
( Synthèse de filtre temporelle
INCORPORER Equation.3
où
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
Application du filtre de Wiener
à l'égalisation de canal
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
( INCORPORER Equation.3
( INCORPORER Equation.3
( INCORPORER Equation.3
Filtrage adaptatif
( Approcher le filtre optimal (MSE) par une boucle de retour
Algorithmes d'optimisation
INCORPORER Equation.3
( RLS : Recursive Least Squares
( LMS : Least Mean Square (Gradient stochastique, Descente en gradient)
RLS converge plus rapidement que LMS mais plus coûteux en nombre d'opérations
Algorithmes d'optimisation récursifs
Applications
( 3 modes de fonctionnement
a) Annulation d'écho
b) Egalisation de Canal
c) Suppression de bruit large bande / bande étroite
Suppression de bruit large bande / bande étroite
( Système connu ( filtre passe-bande
( Idée !
Signal fortement corrélé facile à prédire ! pas le bruit !
( Apprentissage
Seul le signal d'entrée est nécessaire : il sert d'entrée et d'apprentissage !
Annulation d'écho
( Pas trop grave en parole
( Très grave en modem data
( Apprentissage
Emission d'une séquence aléatoire type avant de fonctionner en émission / réception
Egalisation de canal
( Transmission de séquence binaire aléatoire sur un canal
( Filtre de Wiener irréaliste
( Décision binaire à prendre y(n) = +- 1 ?
( Réglage initial avec séquence mémorisée émetteur / récepteur
( Réglage en continu pour la téléphonie mobile
Telecommunications Applications
with the TMS320C50 DSP
( TMS320C50 ( DSP 16 Bits, Virgule fixe, 25 ns/ins.
( Orienté Téléphonie mobile
- Codeurs de parole
- Codage de canal : CRC, convolutif, Vitterbi
- Modulation/Démodulation
- Egalisation de Canal
- Reconnaissance de la parole
( CRC 7 bits : g(x) = 1 + x + x2 + x4 + x5 + x7
( Convolutif : R=1/2
( Differential Quaternary Phase Shift Keying
2 bits ( 1 symbole, 4 niveaux de modulation
( Translation en fréquence ( 800 Mhz
( Egaliseur de canal ?
+ Annulateur d'écho ?
( Filtrage adapté
On utilise la notation anglaise MSE pour Mean Square Error
INSA-Lyon Département Télécommunications, Services & Usages
3TC / Traitement du Signal
Hugues Benoit-Cattin - PAGE 26 -
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