Elasticité linéaire - Mécanique des Milieux Continus
Action de l'eau de Vichy fraîche sur les «ulcères de contrainte» du rat, par Ch.
...... Examen clinique d'un sujet au cours de la sixième décennie, par le P" H.
PËQUIGNOT 208 ...... Son intérêt vis?à?vis des fragments lithiasiques résiduels
après.
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Cours de Mécanique des Milieux Continus
Année scolaire 2013 2014
Michel MAYA
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Ce cours est en constante amélioration en partie grâce aux retours que vous pouvez apporter par vos commentaires. Ces derniers sont les bienvenus sous forme de mails à ladresse :
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Dans le cadre des améliorations, un travail est fait pour avoir une version multimédia sonore. Lavancement de ce travail est consultable sur :
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Sommaire
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc334789114" Sommaire PAGEREF _Toc334789114 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc334789115" Descriptions de la Mécanique des Milieux Continus PAGEREF _Toc334789115 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc334789116" Domaine d'étude PAGEREF _Toc334789116 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc334789117" Hypothèse de continuité PAGEREF _Toc334789117 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc334789118" Variables d'études PAGEREF _Toc334789118 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc334789119" Référentiels - Répères PAGEREF _Toc334789119 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc334789120" Description Lagrangienne PAGEREF _Toc334789120 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc334789121" Description Eulérienne PAGEREF _Toc334789121 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc334789122" Dérivation temporelle PAGEREF _Toc334789122 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc334789123" Déformations d'un milieu continu PAGEREF _Toc334789123 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc334789124" Tenseur Gradient PAGEREF _Toc334789124 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc334789125" Exemple dans le cas d'une déformation homogène triaxiale PAGEREF _Toc334789125 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc334789126" Etude tridimensionnelle des déformations PAGEREF _Toc334789126 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc334789127" Interprétation des résultats PAGEREF _Toc334789127 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc334789128" Base principale PAGEREF _Toc334789128 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc334789129" Tenseur des déformations linéarisé PAGEREF _Toc334789129 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc334789130" Etude des petites perturbations PAGEREF _Toc334789130 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc334789131" Directions principales ; déformations principales PAGEREF _Toc334789131 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc334789132" Représentations graphiques PAGEREF _Toc334789132 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc334789133" Conditions de compatibilité PAGEREF _Toc334789133 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc334789134" Vitesse de déformation PAGEREF _Toc334789134 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc334789135" Taux de déformation lagrangien PAGEREF _Toc334789135 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc334789136" Taux de déformation eulérien PAGEREF _Toc334789136 \h 29
HYPERLINK \l "_Toc334789137" Interprétation du tenseur taux de déformation PAGEREF _Toc334789137 \h 30
HYPERLINK \l "_Toc334789138" Etat de contrainte dans les milieux continus PAGEREF _Toc334789138 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc334789139" Lois de conservation PAGEREF _Toc334789139 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc334789140" Dérivée particulaire dune intégrale de volume PAGEREF _Toc334789140 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc334789141" Théorème de la divergence PAGEREF _Toc334789141 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc334789142" Théorème de lintégrale nulle PAGEREF _Toc334789142 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc334789143" Expression générale dune loi de conservation PAGEREF _Toc334789143 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc334789144" Contraintes dans un domaine matériel PAGEREF _Toc334789144 \h 34
HYPERLINK \l "_Toc334789145" Loi fondamentale de la mécanique PAGEREF _Toc334789145 \h 34
HYPERLINK \l "_Toc334789146" Vecteur contrainte PAGEREF _Toc334789146 \h 35
HYPERLINK \l "_Toc334789147" Tenseur des contraintes PAGEREF _Toc334789147 \h 36
HYPERLINK \l "_Toc334789148" Equilibre dynamique PAGEREF _Toc334789148 \h 38
HYPERLINK \l "_Toc334789149" Propriétés du tenseur des contraintes PAGEREF _Toc334789149 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc334789150" Lois de Comportement des milieux continus PAGEREF _Toc334789150 \h 45
HYPERLINK \l "_Toc334789151" Bilan des Equations PAGEREF _Toc334789151 \h 45
HYPERLINK \l "_Toc334789152" Théorème de lénergie cinétique PAGEREF _Toc334789152 \h 46
HYPERLINK \l "_Toc334789153" Thermodynamique des milieux continus PAGEREF _Toc334789153 \h 49
HYPERLINK \l "_Toc334789154" Premier Principe de la thermodynamique PAGEREF _Toc334789154 \h 49
HYPERLINK \l "_Toc334789155" Second Principe de la thermodynamique PAGEREF _Toc334789155 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc334789156" Equation de la chaleur PAGEREF _Toc334789156 \h 51
HYPERLINK \l "_Toc334789157" Thermo-élasticité linéaire PAGEREF _Toc334789157 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc334789158" Première approche de lélasticité linéaire PAGEREF _Toc334789158 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc334789159" Deuxième approche de lélasticité linéaire PAGEREF _Toc334789159 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc334789160" Convention d'écriture PAGEREF _Toc334789160 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc334789161" Symétrie plane PAGEREF _Toc334789161 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc334789162" Matériau orthotrope PAGEREF _Toc334789162 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc334789163" Matériau isotrope transverse PAGEREF _Toc334789163 \h 61
HYPERLINK \l "_Toc334789164" Matériau isotrope PAGEREF _Toc334789164 \h 62
HYPERLINK \l "_Toc334789165" Elasticité linéaire PAGEREF _Toc334789165 \h 63
HYPERLINK \l "_Toc334789166" Loi de comportement PAGEREF _Toc334789166 \h 63
HYPERLINK \l "_Toc334789167" Equations supplémentaires en élasticité PAGEREF _Toc334789167 \h 65
HYPERLINK \l "_Toc334789168" Equations de NAVIER PAGEREF _Toc334789168 \h 65
HYPERLINK \l "_Toc334789169" Equations de BELTRAMI PAGEREF _Toc334789169 \h 66
HYPERLINK \l "_Toc334789170" Critères de limite élastique PAGEREF _Toc334789170 \h 68
HYPERLINK \l "_Toc334789171" Les résultats dessai PAGEREF _Toc334789171 \h 68
HYPERLINK \l "_Toc334789172" Les différents critères PAGEREF _Toc334789172 \h 71
HYPERLINK \l "_Toc334789173" Les schémas de résolution PAGEREF _Toc334789173 \h 73
HYPERLINK \l "_Toc334789174" Théorème dunicité PAGEREF _Toc334789174 \h 73
HYPERLINK \l "_Toc334789175" Schémas de résolution PAGEREF _Toc334789175 \h 74
HYPERLINK \l "_Toc334789176" Exemple dapplication PAGEREF _Toc334789176 \h 74
HYPERLINK \l "_Toc334789177" Elasticité bidimensionnelle PAGEREF _Toc334789177 \h 78
HYPERLINK \l "_Toc334789178" Définition des états plans PAGEREF _Toc334789178 \h 78
HYPERLINK \l "_Toc334789179" Fonction dAiry PAGEREF _Toc334789179 \h 81
HYPERLINK \l "_Toc334789180" Exemple dapplication : flexion simple dune poutre rectangulaire PAGEREF _Toc334789180 \h 82
HYPERLINK \l "_Toc334789181" Elasticité plane en coordonnées polaires PAGEREF _Toc334789181 \h 84
HYPERLINK \l "_Toc334789182" Application en coordonnées polaires PAGEREF _Toc334789182 \h 85
HYPERLINK \l "_Toc334789183" Quelques formules PAGEREF _Toc334789183 \h 87
HYPERLINK \l "_Toc334789184" Elasticité linéaire en coordonnées polaires PAGEREF _Toc334789184 \h 88
Descriptions de la Mécanique des Milieux Continus
Domaine d'étude
L'objectif de ce cours est de présenter (hélas succinctement) la mécanique des milieux continus. Nous allons trouver dans ce cours l'application du principe fondamental de la mécanique à tous types de domaines matériels. En particulier nous pourrons nous intéresser aussi bien à des domaines ayant des comportements de corps solide ou des comportements de fluide (liquide ou gaz). La généralité de ce cours apparaît ainsi évidente.
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Il est à noter que la distinction entre ces différents états de la matière n'est pas évidente. Ainsi comment ne pas s'interroger devant le phénomène de changement d'état liquide-vapeur-liquide pour un cycle englobant dans le diagramme Température - Entropie le point K sommet de la courbe d'ébullition.
Le dictionnaire ne nous aide pas particulièrement dans notre démarche de distinction. Ainsi « Le Petit Larousse » donne les définitions suivantes :
*Fluide Se dit des corps (gaz et liquides) qui n'ayant pas de forme propre, sont déformables sans effort.
*Gaz Tout fluide aériforme (qui a les propriétés physiques de l'air (fluide gazeux qui forme l'atmosphère)). Un des trois états de la matière, caractérisé par la compressibilité et l'expansibilité.
*Liquide Qui coule ou qui tend à couler. Se dit d'un état de la matière présenté par les corps n'ayant pas de forme propre, mais dont le volume est invariable.
*Solide Qui a une forme propre.
Comment avec ces définitions trouver la frontière entre un solide plus ou moins mou et un liquide plus ou moins visqueux? Le sable est-il un solide ou un fluide? Certaines peintures ont un comportement de solide mais après brassage deviennent fluides. Le verre est un solide à notre échelle de temps, mais avec les siècles, on constate que c'est un liquide à très forte viscosité. Le yaourt peut être considéré comme un fluide à mémoire. Et encore nous ne dirons rien des Alliages à Mémoire de Forme (AMF).
Comme on peut le constater, la détermination n'est pas simple et peut être fonction de nombreux paramètres (Pression, Température, Temps ...). En conséquence, on peut considérer que la démarche du mécanicien qui consiste à regrouper dans un seul enseignement l'étude mécanique de ces différents états de la matière est légitime, mais quelle risque de se heurter à de nombreuses difficultés. L'étude de ces différents comportements est appelée la Rhéologie.
Pour mener à bien une étude de mécanique, la notion de référentiel est essentielle. D'une part, afin de connaître les évolutions cinématiques d'un domaine matériel on devra lui associer un référentiel, et d'autre part le Principe Fondamental de la Mécanique s'appuie sur l'existence d'un repère privilégié appelé "Repère Galiléen".
Un repère est défini par la donnée d'une base vectorielle associée à une origine. Il est à noter qu'en aucun cas il n'est fait l'obligation d'une base orthonormée. Bien évidement, pour des questions de simplifications, nous essaierons toujours d'employer de telle base, mais nous pourrons aussi constater que suite aux déformations imposées à notre domaine, nous ne pourrons pas constamment conserver cette notion d'orthogonalité. Le mécanicien est ainsi tout naturellement guidé vers l'utilisation des notations tensorielles. A ce sujet, il est à noter que l'algèbre et l'analyse tensorielle professées en mathématique sont des enseignements directement issus de notions mécaniciennes. Le mot tenseur ne provient-il pas du mot tension ? Ainsi on peut constater ce que la science mécanicienne a apporté à la connaissance des autres sciences. Cette remarque peut aussi bien s'adapter aux méthodes de résolutions numériques fortement issues de la méthode des éléments finis.
Hypothèse de continuité
Nous allons orienter notre étude sur des domaines matériels continus subissant des transformations continues. Dans cette simple phrase on peut constater l'importance de l'hypothèse de continuité. De nouveau le Petit Larousse ne nous est que d'un faible secours (Continu : non divisé dans son étendue, non interrompu dans sa durée).
Continuité du domaine matériel étudié.
Pour le physicien, la continuité du domaine sera traduite mathématiquement par le fait que les fonctions caractéristiques du domaine sont des fonctions continues au sens mathématique du terme. Ainsi, si on considère des grandeurs physiques telles que la masse volumique, la température, la pression, on doit pouvoir les représenter par des fonctions continues. Déjà, avec cette définition, on peut constater qu'il existe des limites à notre étude. Ainsi nous ne pourrons pas étudier un milieu diphasique, de même pour un mélange eau-huile. Toutefois, il sera possible de mener à bien de telles études en considérant n domaines continus. On conçoit que ceci ne nous mènera pas vers une simplification.
De plus il est à noter que la continuité parfaite d'un domaine matériel n'existe pas. Ainsi, sans aller à une définition atomique de la matière, les moyens d'investigation tels que les microscopes (électroniques ou non) montrent clairement que la matière est faite de juxtaposition d'éléments ne possédant pas les mêmes caractéristiques. De fait la continuité du domaine matériel ne pourra qu'être une approximation. Suivant le degré de respect ou de non-respect de cette hypothèse, notre étude sera plus ou moins entachée d'erreur. Il faut noter que malgré tout, nous pourrons utiliser ce cours pour étudier des matériaux tels que le béton, le bois ...
Heureusement, il existe actuellement un processus dit d'homogénéisation qui permet de limiter les erreurs. Ainsi les matériaux plastiques chargés de fibre de verre pourront être traités dans le cadre de cette étude.
Continuité de la transformation.
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Comme nous le verrons ensuite, la transformation sera essentiellement caractérisée par la donnée d'un champ vectoriel appelé champ de déplacement. L'hypothèse de continuité de la transformation va se traduire par le fait que les fonctions scalaires du champ vectoriel doivent être des fonctions continues des variables d'espaces et de temps. De nouveau nous nous trouvons devant une limitation de notre étude. On peut facilement constater qu'il existe des transformations non continues. Ainsi les problèmes métallurgiques de dislocation, l'apparition du phénomène de cavitation dans les écoulements de domaine fluide et les fissurations font clairement apparaître des discontinuités de transformation. Ces cas particuliers pourront être traités en considérant la notion de continuité par sous-domaines.
Variables d'études
Référentiels - Répères
L'étude d'un domaine matériel impose que l'on procède à sa description et à son repérage tout au long de son évolution au cours du temps. La notion de référentiel doit être développée pour préciser les évolutions.
Le référentiel R est lié à l'observateur. Il représente l'ensemble des points animés du mouvement de corps rigide de l'observateur. Pour effectuer les repérages spatiaux des points matériels dans un référentiel R on utilise une base vectorielle associée à un point origine O. On obtient ainsi un repère R. Ce repère, animé du mouvement de corps rigide du référentiel R permet de matérialiser ce référentiel.
Pour les besoins de l'étude, on peut être amené à effectuer des changements de repère. On réalisera ainsi la même transformation des coordonnées spatiales sur les composantes des êtres mathématiques (vecteur, tenseur ...) utilisés pour décrire le domaine. Il est à noter que l'on peut associer plusieurs repères à un même référentiel.
Parallèlement, on peut imaginer un changement d'observateur, ce qui va se traduire par un changement de référentiel. On peut se représenter une telle transformation en associant à chacun des référentiels un repère. Les deux repères étant choisis de telle sorte qu'ils soient coïncidant à un instant donné, on examine leur évolution au cours du temps.
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Pour fixer les idées, prenons l'exemple d'un lopin cylindrique écrasé par une presse.
On peut penser faire des observations à partir du référentiel R associé au plateau "fixe" de la presse. La notion de fixe étant prise ici dans le sens de non-déplacement vis à vis du référentiel terrestre RT. Pour effectuer ces observations, on peut soit utiliser un repère cartésien orthonormé RC EMBED Equation , soit employer pour des raisons de symétrie cylindrique un repère cylindro-polaire orthonormé RP EMBED Equation .
Mais il est tout à fait pensable que, par exemple pour étudier le contact pièce-plateau mobile, l'on veuille faire des observations à partir du référentiel R' associé au plateau mobile.
Avec cet exemple, on conçoit fort bien la notion d'objectivité, c'est à dire du caractère d'indépendance vis à vis de l'observateur choisi. On parle alors de phénomène intrinsèque vis à vis du changement de référentiel. Certaines grandeurs sont objectives (déformations, contraintes, masse volumique ...), d'autre ne le sont pas (vitesse, matrice de changement de base ...).
Enfin pour décrire la configuration d'un domaine matériel, il est possible de choisir parmi deux types de variables.
Description Lagrangienne
Considérons un repère orthonormé R EMBED Equation associé à un référentiel R. La cinématique classique d'un milieu continu est construite à partir des notions :
* de temps, pouvant être représentée par une variable réelle t déterminée par deux valeurs extrêmes.
* d'espace physique, pouvant être représenté par un espace affine de dimension 3. Les points de cet espace sont appelés "points matériels".
Dans le repère R, à un instant t =0, le point EMBED Equation.3 a des coordonnées EMBED Equation qui définissent la position du point matériel M. On appelle aussi ce système de coordonnées le système de coordonnées matérielles dans la configuration de référence EMBED Equation.3 . Nous pourrons ainsi écrire :
EMBED Word.Document.8
EMBED Equation
Pour décrire le mouvement du domaine, il convient donc de se donner la loi d'évolution au cours du temps des positions de l'ensemble des particules matérielles constituant le domaine. On obtient donc la configuration actuelle EMBED Equation.3 . Ainsi il est nécessaire de définir les coordonnées EMBED Equation du point EMBED Equation.3 qui à l'instant t représente la position du point matériel M.
EMBED Equation
Ce qui revient à dire qu'il faut se donner les fonctions scalaires suivantes :
EMBED Equation
Dans cette description, les variables indépendantes EMBED Equation et t sont dites "variables ou coordonnées de Lagrange".
Les fonctions EMBED Equation représentent la description lagrangienne du mouvement de notre domaine par rapport au référentiel R.
Connaissant la position à chaque instant du point matériel M il est possible de définir alors sa vitesse et son accélération vis à vis du référentiel R.
vecteur vitesse :
EMBED Equation
Dans une base cartésienne orthonormée, ses composantes sont EMBED Equation .
Dans cette dernière formule, le symbole EMBED Equation représente la dérivation partielle par rapport au temps, c'est à dire la dérivation en considérant les variables de position EMBED Equation indépendantes du temps.
vecteur accélération :
EMBED Equation
EMBED Word.Document.8
Dans une base cartésienne orthonormée, ses composantes sont EMBED Equation
vecteur déplacement :
Souvent on préfère employer le vecteur déplacement au lieu du vecteur position :
EMBED Equation
On peut alors remarquer l'égalité :
EMBED Equation
EMBED Equation
Description Eulérienne
Les hypothèses de continuité (milieu et transformation) imposent que les fonctions EMBED Equation soient des bijections de la configuration de référence C0 sur la configuration actuelle Ct. Cette bijectivité impose l'existence d'une relation inverse entre les variables de position de référence et les variables de position actuelle. On a donc :
EMBED Equation
On constate donc qu'il est possible de changer de variables spatiales. La description dite eulérienne consiste à considérer les variables EMBED Equation et t comme indépendantes et à les utiliser sous forme de "variables ou coordonnées d'Euler".
Dans la description eulérienne, on ne se préoccupe pas de savoir ce qu'il advient de chaque particule. En fait on étudie ce qui se passe, à chaque instant, en chaque point de l'espace.
On peut exprimer la vitesse et l'accélération en fonction des variables d'Euler :
vecteur vitesse :
EMBED Equation avec EMBED Equation
vecteur accélération :
EMBED Equation avec EMBED Equation
Pratiquement, on peut dire qu'en description lagrangienne, on suit le domaine dans son mouvement, alors qu'en description eulérienne, on observe l'évolution du système en un point géométrique fixe pour l'observateur.
Dérivation temporelle
Souvent nous aurons à considérer les variations d'une grandeur physique, que nous noterons EMBED Equation.3 , au cours du temps. Cette grandeur peut être une fonction scalaire, vectorielle ou tensorielle. Nous avons donc :
EMBED Equation pour une détermination vis à vis des variables eulériennes
EMBED Equation pour une détermination vis à vis des variables lagrangiennes.
On peut au niveau de cette grandeur, s'intéresser à deux types de variation.
Ainsi, si nous considérons un point géométrique de l'espace, la grandeur EMBED Equation.3 étant définie en ce point, nous pourrons exprimer les variations en utilisant la dérivée partielle par rapport au temps. On appelle parfois cette dérivée "dérivée locale". En variables eulériennes nous pouvons écrire :
EMBED Equation
Cependant, les grandeurs utilisées sont souvent attachées à un domaine matériel (température, masse volumique, vitesse ...). Il convient de considérer aussi la variation de ce domaine matériel au cours du temps. Pour ce faire on utilise la dérivée totale par rapport au temps, appelée "dérivée particulaire" (du fait que c'est une particule que l'on suit dans son mouvement).
En représentation lagrangienne, puisque les grandeurs physiques sont repérées vis à vis de l'élément de matière, il y a identification entre la dérivée particulaire et la dérivée locale :
EMBED Equation
Par contre, pour la représentation eulérienne, le calcul de la dérivée particulaire nécessite de prendre en compte la variation du domaine délimité par des variables EMBED Equation qui sont fonctions du temps :
EMBED Equation
Dans cette formule on remarque la présence de EMBED Equation qui est la ième composante du vecteur vitesse. D'autre part le terme EMBED Equation peut aussi être interprété comme la composante de l'opérateur gradient appliqué à la grandeur A. On peut donc écrire, sous une forme générale :
EMBED Equation
Exemple d'application : calcul de l'accélération en représentation Eulérienne.
La formule précédente donne la relation suivante :
EMBED Equation
Soit sous forme développée, dans un repère cartésien orthonormé :
EMBED Equation
Imaginons par exemple que l'on soit dans un véhicule automobile un vendredi soir de départ en vacance à l'entrée du tunnel sous Fourvière de Lyon. Connaissant depuis longue date le problème du bouchon, nous avons pris la précaution de ne pas partir trop tôt. Toutefois à l'approche du tunnel, nous constatons un ralentissement. Notre vitesse diminue et à bord de notre véhicule nous enregistrons une décélération (accélération négative). Par contre déception pour le badaud qui s'amuse à regarder circuler les voitures assis sur le bord de la route depuis une paire d'heure. En effet, comme le bouchon est en train de sauter, la vitesse des véhicules passant en un point précis de la route est en constante augmentation. Suite à ce phénomène d'accélération (positive), il n'y aura bientôt plus rien à voir.
La première accélération (la négative) est celle d'une particule que l'on suit dans son mouvement. En variable de Lagrange, c'est la dérivée particulaire. Pour la seconde accélération (positive), on observe le mouvement en un point fixe de l'espace et on ne considère que les variations de vitesse dues au temps : c'est la dérivée locale.
Déformations d'un milieu continu
Tenseur Gradient
Il convient de bien différencier la notion de déplacement de la notion de déformation. Ainsi que nous avons déjà pu le constater en faisant l'étude mécanique des solides dits indéformables, il existe des champs vectoriels de déplacement qui ne créent aucune déformation.
Autant il est facile de définir le champ vectoriel des déplacements, autant la notion de déformation est délicate à bien cerner. Ainsi que nous allons le voir nous ne pourrons pas parler d'une déformation, mais de scalaire déformation, de vecteur déformation et de tenseur d'ordre 2 des déformations. Il convient donc de bien faire attention à toutes ces entités.
Pour matérialiser la déformation, on étudie la transformation d'un vecteur "matériel", c'est à dire d'un vecteur ayant origine et extrémité confondus avec des points matériels. Toutefois on conçoit bien que l'état de déformation n'étant généralement pas homogène dans la matière, il faille utiliser des points matériels infiniment voisins afin de bien caractériser la déformation au voisinage d'un élément matériel.
Nous sommes ainsi amenés à considérer la transformation suivante :
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EMBED Equation
D'autre part, nous avons les relations suivantes :
EMBED Equation EMBED Equation
Par abus de langage, et pour rester dans la tradition, nous écrirons :
EMBED Equation EMBED Equation
Sous forme différentielle nous obtenons :
EMBED Equation et
Ces relations nous permettent de mettre en évidence les composantes d'un tenseur définies par :
EMBED Equation avec EMBED Equation
On peut donc écrire :
EMBED Equation
Ce qui implique :
EMBED Equation
Le tenseur EMBED Equation.3 qui apparaît est appelé "tenseur gradient" ou encore "application linéaire tangente".
Il permet de caractériser les différentes transformations.
Les composantes de ce tenseur peuvent être calculées à partir du champ de déplacement en différenciant la relation suivante :
EMBED Equation
On a donc : EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation
Exemple dans le cas d'une déformation homogène triaxiale
EMBED Word.Document.8
Les équations de la transformation sont les suivantes :
EMBED Equation
On peut donc définir le tenseur gradient :
EMBED Equation
On a alors pour la variation d'un volume infinitésimal unitaire :
EMBED Equation
Cette expression est le cas particulier d'une formule plus générale :
EMBED Equation avec EMBED Equation
Etude tridimensionnelle des déformations
D'après l'étude précédente, on serait tenté de croire que le tenseur EMBED Equation.3 est suffisant pour représenter l'état de déformation d'un domaine matériel. En effet il permet de bien faire apparaître les différences entre les deux vecteurs EMBED Equation et EMBED Equation . Il semble même que la différence entre ces deux vecteurs soit à associer directement au champ de déplacement. En effet nous avons :
EMBED Equation
On pourrait alors conclure que le tenseur gradient du champ de déplacement est le tenseur qui suffit à caractériser les déformations d'un domaine matériel. Cette conclusion est erronée, car il existe des cas de déplacement d'un domaine matériel qui respectent la notion de solides indéformables alors que le tenseur gradient du champ de déplacement est non nul. On peut par exemple imaginer le phénomène de rotation autour d'un axe. Il faut donc définir proprement un état de déformation.
Pour caractériser les déformations d'un domaine matériel, il faut en fait considérer les variations entre deux configurations de la distance existante initialement entre deux points matériels arbitraires. Hélas cette notion de distance n'est pas simple à mettre en uvre et on préfère considérer les variations de deux vecteurs "matériels". Mathématiquement, cela revient à examiner les variations du produit scalaire de ces deux vecteurs. Un produit scalaire invariant quels que soient les deux vecteurs considérés est équivalent à une déformation nulle du milieu (pas de variation de longueur, pas de variation d'angle). On aura alors défini les changements de formes.
Imaginons deux vecteurs "matériels" EMBED Equation et EMBED Equation . Après transformation, nous obtenons les vecteurs EMBED Equation et EMBED Equation .
EMBED Word.Document.8
Nous avons les relations :
EMBED Equation EMBED Equation
Ce qui nous donne :
EMBED Equation
EMBED Equation
En utilisant les notations indicielles et en omettane par abus de notation le signe de transposition, nous obtenons :
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
La déformation locale est alors définie par le tenseur EMBED Equation.3
EMBED Equation
On a ainsi:
EMBED Equation avec EMBED Equation
Dans cette relation EMBED Equation.3 est un tenseur symétrique d'ordre deux (représentable par une matrice 3*3) appelé tenseur des dilatations ou tenseur de Cauchy-Green droit.
C'est un tenseur lagrangien car ses deux références sont faites vis à vis de la configuration de référence EMBED Equation.3 . Ce tenseur peut être défini à partir du tenseur gradient du champ de déplacement :
EMBED Equation
EMBED Equation
La variation de notre produit scalaire devient alors :
EMBED Equation
Soit encore :
EMBED Equation
EMBED Equation
Nous obtenons ainsi un nouveau tenseur :
EMBED Equation
Ce tenseur est le tenseur des déformations de Green-Lagrange.
C'est aussi un tenseur symétrique. On peut remarquer qu'il est identiquement nul dans un mouvement de corps solide EMBED Equation . Ses composantes sont :
EMBED Equation
On dira que la déformation du système est homogène si le tenseur des déformations EMBED Equation.3 ne dépend pas des coordonnées spatiales de référence EMBED Equation .
Remarque
De la même façon que l'on définit le produit scalaire EMBED Equation à partir du produit scalaire EMBED Equation , on peut, de manière tout à fait symétrique, définir le produit scalaire EMBED Equation à partir du produit scalaire EMBED Equation .On aura alors les relations suivantes :
EMBED Equation avec EMBED Equation : Tenseur de Cauchy-Green gauche.
EMBED Equation
EMBED Equation Tenseur des déformations d'Euler-Almansi.
Le tenseur des déformations d'Euler-Almansi et le tenseur de Cauchy Green gauche sont des tenseurs eulériens, symétriques.
D'autre part, il est possible de démontrer la relation suivante :
EMBED Equation
Soit en composantes :
EMBED Equation
Interprétation des résultats
Variation de longueur :
Prenons un vecteur "matériel" de longueur initiale EMBED Equation orienté selon une direction unitaire EMBED Equation au voisinage d'un point EMBED Equation.3 . Nous pouvons écrire :
EMBED Equation
La transformation nous donne alors :
EMBED Equation
Il est noter que le vecteur obtenu non seulement n'a pas la même longueur que le vecteur initial, mais qu'en plus il ne garde pas la même orientation.
On peut alors définir l'allongement (ou la dilatation linéaire) au point EMBED Equation.3 dans la direction EMBED Equation
EMBED Equation
C'est en fait la variation relative de longueur de notre segment initial.
A partir des tenseurs précédents, nous pouvons écrire :
EMBED Equation
EMBED Equation
En effet nous avons la relation :
EMBED Equation
Ainsi, dans le cas particulier de la direction EMBED Equation , on obtient :
EMBED Equation
De même, on peut définir le glissement (ou la distorsion angulaire) au point EMBED Equation.3 dans les directions initialement perpendiculaires EMBED Equation et EMBED Equation :
EMBED Equation
EMBED Word.Document.8
Cette entité correspond à la variation d'un angle choisi initialement droit. Pour la calculer, on utilise les propriétés du produit scalaire entre deux vecteurs, qui dans la géométrie euclidienne fait apparaître le cosinus de l'angle formé entre ces deux vecteurs. On a ainsi :
EMBED Equation
D'où :
EMBED Equation
Par exemple, pour les deux directions orthogonales EMBED Equation et EMBED Equation , on aura :
EMBED Equation
Enfin, il est possible d'obtenir la dilatation volumique ou variation relative de volume :
EMBED Equation
Base principale
Comme le tenseur de Green Lagrange EMBED Equation.3 est un tenseur symétrique, sa représentation matricielle est symétrique dans tout repère. On a en fait affaire à une application bilinéaire symétrique. Il existe alors une base de vecteurs EMBED Equation dans laquelle la représentation matricielle de l'application est une matrice diagonale. On dit que l'on a la base propre ou base principale.
Les vecteurs de cette base sont appelés les vecteurs propres de l'application. En mécanique, nous parlerons plus facilement de directions principales.
Donc dans cette base, nous avons :
EMBED Word.Document.8
EMBED Equation
Un volume élémentaire construit selon ces directions et de cotés EMBED Equation est transformé en un volume parallélépipèdique (pas de glissement) de cotés EMBED Equation . On peut alors calculer la variation relative de volume :
EMBED Equation
On a d'autre part les relations :
EMBED Equation et EMBED Equation
Avec par exemple :
EMBED Equation
On obtient donc :
EMBED Equation
EMBED Equation
On fait ainsi apparaître le jacobien de la transformation :
EMBED Equation
Ce qui nous donne pour la variation relative de volume :
EMBED Equation
Tenseur des déformations linéarisé
Comme nous venons de le voir, la caractérisation de l'état de déformation d'un domaine matériel passe par la détermination de tenseurs plus ou moins compliqués. Quel que soit le choix fait au niveau des tenseurs, on constate une non-linéarité provenant essentiellement des termes du type EMBED Equation . Cette non-linéarité de l'état de déformation par rapport au champ de déplacement complique sérieusement les calculs.
Cependant, dans de nombreux cas, on pourra linéariser l'état de déformation en faisant l'hypothèse des transformations infinitésimales. Cette hypothèse, encore dénommée hypothèse des petites perturbations, se décompose en deux idées :
* Le déplacement de chacun des points du domaine matériel est petit. On pourra ainsi confondre l'état actuel avec l'état de référence.
* Le tenseur gradient de déplacement ne contient que des termes négligeables devant l'unité.
Avec ces hypothèses, les différents tenseurs déformations deviennent :
EMBED Equation Cauchy-Green droit
EMBED Equation Green-Lagrange
EMBED Equation Cauchy-Green gauche
EMBED Equation Euler-Almansi
On remarque donc qu'il y a une identification entre les descriptions lagrangienne et eulérienne.
Ainsi que nous l'avons déjà constaté, ce sont les tenseurs de déformation de Green-Lagrange et d'Euler-Almansi qui, plus que les tenseurs de déformation de Cauchy-Green, représente l'état de déformation en un point. En effet dans un déplacement de corps solide indéformable, les tenseurs de déformation de Green-Lagrange et d'Euler-Almansi sont nuls, alors que les tenseurs de déformation de Cauchy-Green sont confondus avec le tenseur identité.
On convient de dire que, dans le cas de petites perturbations, l'état de déformation est représenté par le tenseur des déformations linéarisé EMBED Equation défini par :
EMBED Equation
Ce qui nous donne pour les coordonnées cartésiennes :
EMBED Equation
Ce nouveau tenseur est en fait la partie symétrique du tenseur gradient. Pour traiter de nombreuses applications, il peut être fait l'usage de la partie antisymétrique EMBED Equation du tenseur gradient. Les relations sont les suivantes :
EMBED Equation
Lemploi du tenseur des déformations EMBED Equation.3 en lieu et place du tenseur de Green Lagrange EMBED Equation.3 ou du tenseur dEuler Almansi EMBED Equation.3 est une simplification importante car on obtient une linéarisation des déformations vis à vis du champ de déplacement. En effet si lon considère deux champs de déplacement EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , on peut écrire :
EMBED Equation.3
On en déduit alors la relation :
EMBED Equation.3
Interprétation géométrique
Avec ce qui précède nous pouvons écrire :
EMBED Equation.3
Supposons que EMBED Equation.3 représente, dans la configuration initiale, deux points EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . Le vecteur EMBED Equation.3 représentera alors, dans la configuration actuelle les deux points EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , transformés des deux points initiaux dans le champ de déplacement.
On a alors les relations suivantes :
EMBED Equation.3
Ce qui nous permet décrire :
EMBED Equation.3
De plus, on peut montrer quà un tenseur antisymétrique du second ordre, il est possible dassocier un vecteur de tel sorte que lon puisse remplacer le produit tensoriel par un produit vectoriel :
EMBED Equation.3
Ainsi , au voisinage du point EMBED Equation.3 , le champ de déplacement se présente sous la forme suivante :
EMBED Equation.3
On peut reconnaître les composantes dun champ de déplacement de solide indéformable avec une translation EMBED Equation.3 et une rotation EMBED Equation.3 . Le reste représente donc la déformation du solide. Cest pourquoi le tenseur EMBED Equation.3 est appelé tenseur de déformation.
Remarques
Il existe malheureusement des cas d'études qui ne respectent pas l'hypothèse de petites perturbations.
On trouve en particulier le non-respect de cette hypothèse simplificatrice dans des opérations de mise en forme imposant à la fois de grands déplacements et de grandes déformations. Mais on peut aussi trouver des applications qui ne respectent pas que l'une des conditions. Ainsi, en robotique, on est souvent confronté à des problèmes de grands déplacements, mais dans chacun des éléments, on peut considérer que les déformations sont très faibles.
EMBED Word.Picture.8
Ces hypothèses sont d'une réelle importance pour la simplification des calculs. Prenons par exemple le cas d'une poutre console encastrée en une section extrémité, libre à l'autre extrémité et supportant une charge uniformément répartie.
Déjà la définition rigoureuse de la charge pose un problème. Cette charge conserve-t-elle une direction constante qu'elle que soit la déformée de la poutre (cas de l'attraction gravitationnelle), ou bien cette charge est-elle suiveuse, c'est-à-dire, conserve-t-elle une direction fixe vis à vis de l'élément de poutre sur lequel est s'applique (cas d'une pression) ?
EMBED Word.Picture.8
La réponse à cette question étant trouvée, si on veut déterminer la déformée de notre poutre en utilisant la théorie classique des poutres, il convient de bien réaliser que, si cette déformée est grande, on a vite affaire à une poutre courbe. En conséquence la formule classique EMBED Equation devra être délaissée au profit de la formule suivante qui fait apparaître le rayon de courbure de notre poutre initialement droite :
EMBED Equation
Bien entendu les problèmes d'intégration sont accrus. De plus le calcul du moment de flexion pose tout de suite plus de difficultés. En effet suivant que lon prenne en compte ou non la rotation des sections, on constate quil y a une différence dans lévaluation du bras de levier.
Etude des petites perturbations
A partir des hypothèses simplificatrices, on peut s'intéresser à l'étude des allongements et des glissements au voisinage d'un point matériel.
Du fait des relations existantes entre les différents tenseurs, et en ayant remarqué que de nombreux termes sont négligeables devant l'unité, nous pouvons écrire :
EMBED Equation Pour l'allongement dans la direction EMBED Equation
EMBED Equation Pour le glissement dans les directions EMBED Equation et EMBED Equation
On peut donc donner une nouvelle détermination du tenseur des déformations linéarisé :
EMBED Equation
Dune façon plus générale, si on considère deux vecteurs unitaires orthogonaux EMBED Equation.3 , on peut écrire :
EMBED Equation.3 dilatation linéaire dans la direction EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 distorsion angulaire de langle droit formé entre les directions EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Dune manière générale, on définira le vecteur déformation pure au point M dans la direction unitaire EMBED Equation.3 par la relation :
EMBED Equation.3
On peut aussi remarquer que, du fait de la symétrie du tenseur de déformation, on a :
EMBED Equation.3
En ce qui concerne la variation relative de volume, on obtient :
EMBED Equation
Directions principales ; déformations principales
La matrice représentant l'état de déformation linéarisé étant une matrice réelle symétrique, on peut définir ses directions principales (vecteurs propres) et les valeurs des déformations principales (valeurs propres). Du fait de la forte dépendance entre le tenseur des déformations de Green Lagrange et le tenseur des déformations linéarisé, il y a identification totale entre les vecteurs propres des matrices associées à ces deux tenseurs.
Pour le tenseur EMBED Equation , les relations sont les suivantes :
EMBED Equation
Avec comme représentation dans la base principale :
EMBED Equation
Comme le tenseur des déformations linéarisé est symétrique, si les trois déformations principales sont différentes, il existe trois directions principales orthogonales deux à deux.
Si deux déformations principales sont distinctes, il y a alors une direction principale associée à la troisième déformation principale. Toute direction orthogonale à cette direction principale est principale. Si les trois directions principales sont identiques, toute direction est principale. On dit alors que le tenseur est sphérique.
La détermination des valeurs des directions principales de déformation conduit aussi à la détermination de trois invariants scalaires du tenseur. En effet, comme pour tout tenseur du second ordre EMBED Equation.3 , le calcul des valeurs propres passe par l'annulation du polynôme caractéristique EMBED Equation . Ce polynôme est obtenu par le déterminant de EMBED Equation .
On a donc :
EMBED Equation
Les termes EMBED Equation représentant les invariants fondamentaux du tenseur EMBED Equation.3 :
EMBED Equation
Etat déviatorique :
Pour un tenseur du second ordre quelconque, il est toujours possible de le décomposer sous forme dune somme de deux tenseurs de tel sorte que lun soit sphérique et que lautre ait une trace nulle. Les formules sont les suivantes :
EMBED Equation.3
Dans le cas du tenseur de déformation, le tenseur sphérique associé change le volume sans changer la forme alors que le tenseur déviateur change la forme à volume constant (la trace est nulle donc pas de variation relative de volume).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Représentations graphiques
La notion de tenseur étant relativement délicate à appréhender, on recherche souvent des solutions plus parlantes pour représenter un état tensoriel. Il existe, pour des tenseurs de second ordre dun espace vectoriel de dimension trois, des représentations graphiques, soit tridemensionnelle, soit plane, qui permettent de tirer quelques enseignements.
Imaginons que lon connaisse un tenseur symétrique, à coefficients réels, EMBED Equation.3 par ses composantes dans la base principale :
EMBED Equation.3
Considérons un vecteur unitaire quelconque : EMBED Equation.3
On peut alors calculer le vecteur obtenu dans la direction EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Dans la base principale, les composantes de ce vecteur sont :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Dautre part, comme le vecteur EMBED Equation.3 est unitaire nous avons :
EMBED Equation.3
Nous constatons ainsi que les composantes du vecteur EMBED Equation.3 peuvent très bien représenter les coordonnées dun point A dans lespace des vecteurs propres. Avec léquation précédente, on peut dire que le lieu décrit dans lespace des vecteurs propres est un ellipsoïde, appelé ellipsoïde de Lamé.
Cette première représentation graphique tridimensionnelle permet de constater que les valeurs propres représentent les valeurs extrêmales de létat tensoriel.
Ainsi dans le cas du tenseur de déformation, la plus grande dilatation linéaire et la plus petite en un point sont données par deux des déformations principales EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Par contre cette représentation de létat tensoriel présente linconvénient dêtre tridimensionnelle et donc peu aisée à dessiner. Il est possible dobtenir une représentation plane en considérant le plan formé par les deux vecteurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . Ce plan présente généralement une intersection avec le plan orthogonal au vecteur EMBED Equation.3 . On désigne par EMBED Equation.3 la projection du vecteur EMBED Equation.3 sur le vecteur EMBED Equation.3 , par EMBED Equation.3 le vecteur obtenu par projection du vecteur EMBED Equation.3 sur son plan orthogonal.
On a, avec des notations évidentes :
EMBED Equation.3
avec EMBED Equation.3 vecteur normal et EMBED Equation.3 vecteur tangent, EMBED Equation.3 étant le vecteur unitaire associé.
Supposons que le vecteur EMBED Equation.3 appartienne au plan principal formé par les vecteurs EMBED Equation.3 , et quil présente un angle EMBED Equation.3 avec la direction principale EMBED Equation.3 . On peut donc écrire :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Avec les formules de changement de base, il est facile de démontrer que lon a :
EMBED Equation.3
On constate donc que dans le plan vectoriel EMBED Equation.3 , lorsque langle varie, lextrémité du vecteur EMBED Equation.3 parcourt un cercle dont le centre a EMBED Equation.3 pour coordonnées. Le rayon du cercle est os. Le point extrémité décrit le cercle en sens inverse et du double de langle de position EMBED Equation.3 . Le cercle ainsi obtenu est appelé cercle de Mohr dans le plan principal EMBED Equation.3 . On conçoit aisément quil soit ainsi possible de construire trois cercles. La figure obtenue montre ainsi le tricercle de Mohr de létat tensoriel.
A partir de la représentation de Lamé, on peut déduire que pour une direction unitaire quelconque, lextrémité du vecteur EMBED Equation.3 doit se trouver à lintérieur du tricercle. Les valeurs propres formant le diamètre de plus grand des cercles de Mohr sont les valeurs extrémales du vecteur normal. Leur différence constitue la plus grande valeur du vecteur tangent.
Conditions de compatibilité
Ainsi que nous lavons constaté, les différents tenseurs déformations sont issus de la donnée dun champ vectoriel, le champ de déplacement. Les relations permettent sans ambigüité de calculer, dans un repère quelconque, les composantes de chacun de ces tenseurs dès lors que lon connaît les composantes du vecteur déplacement.
Par contre la démarche inverse nest pas immédiate. On conçoit en effet quil soit délicat de « remonter » à un champ de déplacement à partir de la connaissance dun tenseur déformation.
Nous allons raisonner sur la forme linéarisée des déformations, donc à partir du tenseur de déformation EMBED Equation.3 . Ce tenseur, symétrique est déterminé par 6 composantes. Il est clair que des relations doivent exister entre ces six composantes si le tenseur représente un état de déformation obtenu à parti dun champ vectoriel ayant trois composantes.
Ces relations sappelle les conditions de compatibilité et elles ne sont en fait que les conditions dintégrabilité au sens de Cauchy pour un système déquations différentielles.
Dans un système de coordonnées cartésiennes nous avons les relations suivantes :
EMBED Equation.3
Nous pouvons écrire :
EMBED Equation.3
Nous venons ainsi de montrer que nous sommes capables de calculer les composantes du vecteur gradient de EMBED Equation.3 . Toutefois nous obtiendrons effectivement un vecteur gradient si le rotationnel est nul, cest à dire si nous pouvons vérifier les relations suivantes :
EMBED Equation.3
Ce sont en fait les conditions dintégrabilité de Cauchy de la différentielle EMBED Equation.3 .
Exprimées en fonction des composantes du tenseur de déformations ces conditions nous donnent un système de six équations :
EMBED Equation.3
Soit sous forme développée :
EMBED Equation.3
On peut aussi démontrer que ces conditions de compatibilité prennent la forme intrinsèque suivante :
EMBED Equation.3
Donc, si ces équations sont vérifiées, il est possible de déterminer le champ de déplacement. La méthode consiste à calculer les composantes du tenseur antisymétrique à laide des différentielles totales exactes :
Puis de déterminer les composantes du champ de déplacement à laide des trois autres différentielles totales exactes :
EMBED Equation.3
Le champ de déplacement ainsi obtenu est défini à un champ de déplacement de solide indéformable près.
En application, nous proposons au lecteur de définir le champ de déplacement qui crée létat de déformation suivant :
EMBED Equation.3
Vitesse de déformation
EMBED Word.Document.8
Dans l'étude précédente, on s'est intéressé aux transformations du système entre une configuration de référence EMBED Equation.3 et une configuration actuelle EMBED Equation.3 .
Sans se soucier du chemin de déformation suivi lors du mouvement entre ces deux configurations, on a étudié la transformation sous un aspect purement géométrique, d'un état initial vers un état final. On conçoit très bien que cette étude puisse convenir dans toute transformation pour laquelle l'état de déformation est une fonction d'état (au sens thermodynamique du terme). Peu importe alors le chemin suivi pour passer d'un état à l'autre.
Hélas, de plus en plus fréquemment, suite à une modélisation plus fine, suite à une meilleure connaissance, suite à des développements de moyens de calcul, il devient nécessaire d'étudier les évolutions du système suivant un chemin de déformation. Nous sommes alors amenés à faire l'étude de façon incrémentale, c'est à dire à étudier la transformation entre deux états infiniment voisins, puis, par un processus de type intégration, en déduire le chemin réel de déformation.
Pour caractériser les vitesses, on introduit le vecteur vitesse EMBED Equation que l'on peut considérer comme :
* fonction du temps et des coordonnées de référence EMBED Equation (description Lagrangienne)
* fonction du temps et des coordonnées actuelles EMBED Equation (description Eulérienne)
Taux de déformation lagrangien
Entre les instants t et t + dt, un vecteur "matériel" infinitésimal EMBED Equation se transforme en EMBED Equation . De la même manière que, pour les déformations, nous nous sommes intéressés à la variation du produit scalaire, nous allons cette fois considérer sa vitesse de variation.
La vitesse de variation du produit scalaire de deux vecteurs matériels est alors :
EMBED Equation
EMBED Equation
Le tenseur EMBED Equation est appelé taux de déformation Lagrangien
Il est obtenu en dérivant par rapport au temps le tenseur des déformations de Green-Lagrange. C'est donc la vitesse d'évolution de la déformation lorsque celle-ci est mesurée à partir d'un état de référence initial.
Taux de déformation eulérien
Etudions à présent la même variation de produit scalaire mais en variables eulériennes. On a donc :
EMBED Equation
En utilisant la relation : EMBED Equation
On obtient :
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
Cette dernière relation nous permet de faire apparaître le tenseur taux de déformation eulérien EMBED Equation.3 . Il peut être déterminé à partir du tenseur gradient des vitesses.
Nous avons en effet la relation :
EMBED Equation
Ainsi le produit EMBED Equation défini un tenseur EMBED Equation.3 qui n'est autre que le tenseur gradient des vitesses :
EMBED Equation
Le tenseur EMBED Equation.3 représente la partie symétrique du tenseur gradient des vitesses. On peut aussi faire apparaître le tenseur EMBED Equation.3 qui représente la partie antisymétrique.
Les relations sont les suivantes :
EMBED Equation
On montre que le tenseur EMBED Equation.3 est un tenseur qui représente la vitesse de rotation de la matière.
Remarques
1- L'égalité des produits scalaires en définition lagrangienne et eulérienne nous conduit à la relation suivante :
EMBED Equation
On peut alors en déduire la relation :
EMBED Equation
Ainsi les dérivées par rapport au temps des tenseurs lagrangiens décrivant la déformation sont directement reliées au tenseur des taux de déformation. Il n'en va pas de même pour les tenseurs eulériens. Par exemple pour le tenseur de Cauchy-Green gauche, on a :
EMBED Equation
2- Si l'on considère la transformation infiniment petite entre les configurations EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , en prenant la configuration EMBED Equation.3 comme configuration de référence (on parle alors de description lagrangienne réactualisée), le déplacement est alors :
EMBED Equation
Le tenseur de déformation est alors dans une forme linéarisée :
EMBED Equation
EMBED Equation
Ainsi, le tenseur EMBED Equation.3 apparaît comme le tenseur "tangent" aux déformations, à partir de la configuration actuelle. Cette description est souvent utilisée en calcul numérique, car on réactualise souvent la configuration de référence à chaque pas de calcul.
3- Dans le cadre des transformations infinitésimales, EMBED Equation peut être considéré comme un infiniment petit. On a donc :
EMBED Equation
Les tenseurs des taux de déformations lagrangien et eulérien peuvent être confondus.
Interprétation du tenseur taux de déformation
Cette interprétation est tout à fait similaire à celle des tenseurs de Cauchy-Green droit EMBED Equation.3 et des déformations de Green-Lagrange EMBED Equation.3 .
Taux de dilatation linéaire
En considérant par exemple les deux vecteurs EMBED Equation et EMBED Equation confondus, de longueur dl et dans la direction EMBED Equation , on obtient :
EMBED Equation
Ainsi, EMBED Equation est le taux de dilatation linéaire (ou encore taux d'allongement ou vitesse d'extension ) dans la direction EMBED Equation .
Taux de glissement
Nous devons cette fois prendre les deux vecteurs EMBED Equation et EMBED Equation dans deux directions orthogonales. En les supposants normés EMBED Equation , nous avons :
EMBED Equation
Etat de contrainte dans les milieux continus
Lois de conservation
La mécanique des milieux continus repose sur des lois ou des principes de la physique. Tout le monde pense bien entendu immédiatement au principe fondamental de la mécanique, mais il ne faut en aucun cas négliger les autres lois constatées. Lévolution dun domaine matériel sera souvent loccasion déchange avec le milieu extérieur et ces échanges sont réglementés. Ainsi on conçoit que les variations entre les domaines soit assujetties aux principes de la thermodynamique. Le premier principe permet de traduire la conservation de lénergie et il se présente sous la forme dune égalité. A lopposé, le second principe de la thermodynamique ne sert quà constater limpossibilité que lon a à réaliser certaines transformations. Il est alors donné par une inégalité.
A ces trois lois, il faut impérativement ajouter la loi de conservation de la masse. Souvent, en mécanique, on oublie de traduire le fait que le domaine étudié ne transforme pas sa masse dans son mouvement. Cela provient du fait que lenseignement traditionnel de la mécanique du solide se fait en variables de Lagrange et que lon suit la particule (ou le domaine) dans son mouvement. Par contre, en variables dEuler, il faut bien traduire le fait quil ny a pas de transformation de la masse du milieu étudié même si localement il peut y avoir une modification de la masse volumique.
Ainsi que nous allons le constater, ces lois peuvent sexprimer soit sous forme globale, cest à dire écrites pour un domaine matériel, soit sous forme locale, cest à dire en équation différentielle valable en chaque point du domaine.
Avant de donner des expressions dune loi de conservation, il convient de compléter le bagage mathématique en précisant la notion de dérivée particulaire dune intégrale de volume et les énoncés de deux théorèmes importants, le théorème de la divergence et le théorème de lintégrale nulle.
Dérivée particulaire dune intégrale de volume
Soit un domaine EMBED Equation.3 que lon suit dans son mouvement et considérons la variation entre deux instants infiniment proche de lintégrale dun champ tensoriel volumique sur le domaine : EMBED Equation.3
Cette variation est due à deux contributions, dune part la variation propre du champ tensoriel entre les deux instants EMBED Equation.3 et dautre part la variation du domaine entre les deux instants.
Pour calculer lexpression totale, désignons par EMBED Equation.3 le domaine à linstant t et par EMBED Equation.3 le domaine à linstant t+dt. Linstant les séparant étant infiniment petit, on peut supposer quils possèdent une large intersection commune que lon désignera par EMBED Equation.3 .
Ainsi le domaine à linstant t se décompose en deux sous domaines, lintersection commune EMBED Equation.3 et la perte de domaine EMBED Equation.3 , alors que le domaine à linstant t+dt se décompose en EMBED Equation.3 et le gain de domaine EMBED Equation.3 .
On peut écrire :
EMBED Equation.3
On peut alors calculer la variation :
EMBED Equation.3
Mais pour les domaines EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , laccroissement et la diminution de volume sont dus au déplacement de la surface génératrice. On peut donc écrire :
Pour EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Pour EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Lintervalle de temps étant infiniment court, on a alors :
EMBED Equation.3
Dans ces expressions, EMBED Equation.3 (resp. EMBED Equation.3 ) représente la surface commune aux domaines EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 (resp. EMBED Equation.3 ). On peut donc en déduire la relation fondamentale suivante :
EMBED Equation.3
Théorème de la divergence
Nous nous contenterons de donner, sans démonstration, un énoncé de ce théorème appelé aussi théorème de Green Ostrogradski :
Le flux dun champ tensoriel EMBED Equation.3 au travers de la surface EMBED Equation.3 enveloppant le domaine EMBED Equation.3 est égal à lintégrale de la divergence du champ tensoriel sur le domaine :
EMBED Equation.3
Remarques :
Dans le cas où EMBED Equation.3 représente un champ vectoriel constant, on obtient EMBED Equation.3
Dans le cas où EMBED Equation.3 représente un champ scalaire EMBED Equation.3 , on obtient EMBED Equation.3
Théorème de lintégrale nulle
Lénoncé de ce théorème est le suivant :
Considérons un champ vectoriel volumique EMBED Equation.3 défini et continu sur un domaine EMBED Equation.3 . Si quelque soit le sous domaine EMBED Equation.3 inclus dans EMBED Equation.3 , lintégrale du champ tensoriel sur le domaine EMBED Equation.3 est nulle, alors le champ tensoriel est identiquement nul.
EMBED Equation.3
Pour la démonstration de ce théorème, il suffit dimaginer que le champ tensoriel nest pas nul en un point donné du domaine EMBED Equation.3 . Du fait de la continuité, il est alors possible de définir un domaine EMBED Equation.3 infiniment petit enveloppant le point et tel que lintégrale du champ tensoriel ne soit pas nul, ce qui va à lencontre de lhypothèse de départ.
Expression générale dune loi de conservation
On peut dire que dune manière générale, une loi de conservation exprime un bilan dune grandeur tensorielle EMBED Equation.3 . On peut alors associer à cette grandeur :
La densité volumique dans le domaine considéré : EMBED Equation.3
La densité volumique produite par unité de temps dans le domaine considéré : EMBED Equation.3
La densité surfacique associée au flux de EMBED Equation.3 entrant à travers de la frontière du domaine : EMBED Equation.3
La loi de conservation a alors comme expression générale :
EMBED Equation.3
Equation qui traduit le fait que la variation de la grandeur EMBED Equation.3 au cours de lintervalle de temps dt est égale à la somme de la quantité produite (algébriquement) à lintérieur du domaine et de la quantité entrant (algébriquement) à travers la frontière EMBED Equation.3 du domaine.
Exemple : Equation de continuité
Le principe de conservation de la masse postule quil ny a ni apparition ni disparition de matière. En conséquence la variation de la masse au cours du temps est nulle :
EMBED Equation.3
La masse peut se calculer à partir de la masse volumique :
EMBED Equation.3
Avec la notion de dérivée particulaire dune intégrale de volume, on obtient :
EMBED Equation.3
On peut encore utiliser le théorème de la divergence :
EMBED Equation.3
Ce qui nous donne une forme locale de léquation de continuité avec le théorème de lintégrale nulle :
EMBED Equation.3
De plus nous avons les relations :
EMBED Equation.3
On obtient ainsi une autre forme locale de léquation de continuité :
EMBED Equation.3
Contraintes dans un domaine matériel
Loi fondamentale de la mécanique
Il existe plusieurs formulations de la loi fondamentale de la mécanique. Suivant l'énoncé choisi, ce qui est axiomatique dans un cas devient théorème dans un autre cas. Toutes ces formulations (principe de moindre action, principe des puissances virtuelles, principe fondamental de la mécanique) sont équivalentes. Toutefois suivant l'application traitée, certaines formes peuvent être plus intéressantes que d'autres.
Pour notre part, nous nous contenterons de l'énoncé classique du principe fondamental de la mécanique:
Il existe au moins un repère EMBED Equation.3 , dit galiléen, et une chronologie, dite absolue, tels que, à chaque instant et pour toute partie EMBED Equation.3 d'un système EMBED Equation.3 , la dérivée par rapport au temps du torseur cinétique galiléen est égal au torseur des actions extérieures s'exerçant sur EMBED Equation.3 .
Pour pouvoir exploiter le principe fondamental de la mécanique, nous devons donc définir une représentation des efforts appliqués par lextérieur au domaine EMBED Equation.3 .
On peut classer ces efforts suivant deux types :
* les efforts extérieurs exercés à distance sur EMBED Equation.3 . Ce sont par exemple les forces de pesanteur, les forces dinertie ou les forces électromagnétiques. Elles sont distribuées dans le volume du domaine et représentées par une densité massique de force EMBED Equation .
* les efforts extérieurs exercés sur la surface délimitant le domaine EMBED Equation.3 . Ce sont par exemple les actions de contact du domaine au niveau des liaisons cinématiques ou encore les actions de pression exercées par le fluide enveloppant le domaine. Elles sont généralement représentées par une densité surfacique de force EMBED Equation .
Vecteur contrainte
La modélisation des efforts intérieurs passe par une axiomatique. Il existe en effet plusieurs modèles employés suivant les domaines d'études. Pour notre part, nous nous contenterons de l'exploitation du postulat de Cauchy, ce qui va nous conduire à la représentation la plus fréquente de l'état de contrainte en un point matériel.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Postulat de Cauchy
* Les efforts exercés sur une partie EMBED Equation.3 d'un milieu continu par le complémentaire de EMBED Equation.3 dans le système EMBED Equation.3 peuvent être représentés par une répartition surfacique de forces.
* Cette densité surfacique ne dépend du domaine considéré que par la normale extérieure au domaine pour le point d'étude.
On a donc une représentation par un vecteur du type EMBED Equation appelé vecteur contrainte en EMBED Equation.3 dans la direction EMBED Equation .
On peut considérer que chaque élément de matière est en effet soumis à des forces de liaison provenant soit d'une frontière si celle-ci est contiguë, soit du reste du système.
Avec l'hypothèse de densité surfacique de forces, nous pouvons dire que sur chaque surface élémentaire EMBED Equation.3 autour du point EMBED Equation.3 et de normale EMBED Equation , les éléments du système EMBED Equation.3 situés dans la région de EMBED Equation.3 et n'appartenant pas à la partie EMBED Equation.3 exercent sur les éléments du système EMBED Equation.3 appartenant à la partie EMBED Equation.3 une force élémentaire EMBED Equation déterminée par : EMBED Equation
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Généralement, on appelle facette le plan tangent en EMBED Equation.3 au domaine étudié. La normale EMBED Equation défini l'orientation de cette facette.
On peut alors définir la contrainte normale EMBED Equation comme étant la projection sur la direction de la normale EMBED Equation du vecteur contrainte EMBED Equation .
De même on a le vecteur contrainte tangentielle EMBED Equation (encore appelé cission ou contrainte de cisaillement) qui représente le vecteur contrainte projeté dans le plan de la facette.
On a :
EMBED Equation
Une contrainte normale positive traduit localement un état de traction de la matière. Si au contraire elle est négative, nous avons localement un état de compression.
Remarques
1- Les composantes du vecteur contrainte sont homogènes à une pression, c'est à dire qu'ils ont la dimension d'une force par unité de surface.
2- Le vecteur contrainte ainsi défini est déterminé dans la configuration actuelle. Nous avons ainsi une représentation eulérienne de ce vecteur.
3- Une autre axiomatique pourrait être de considérer une densité de couples en plus de la densité surfacique EMBED Equation et de la densité volumique EMBED Equation . Cette modélisation est souhaitable en présence de champ magnétique élevé (accélérateur de particules).
Tenseur des contraintes
Le vecteur contrainte ne suffit pas à lui seul pour caractériser l'état de contrainte en un point matériel. Sa dépendance vis à vis de la direction de normale à la facette montre clairement qu'il est nécessaire d'envisager une autre représentation pour l'état de contrainte.
Considérons par exemple une poutre droite circulaire sollicitée en traction simple. Si on peut négliger les actions gravitationnelles, on obtient une modélisation des efforts extérieurs très simple.
L'étude de la répartition des contraintes en un point donné EMBED Equation.3 passe par la définition de plans de coupe. Pour un plan de section droite, la répartition de contrainte (supposée homogène) qui permet de maintenir l'équilibre du tronçon étudié est facilement calculable.
EMBED Equation
De même, en faisant une coupe par un plan méridien, on peut facilement constater que la répartition des vecteurs contraintes pour une facette de normale EMBED Equation est nulle.
EMBED Equation
Ainsi, en un même point on peut avoir deux vecteurs contraintes totalement différents.
Ce qui caractérise l'état de contrainte, c'est la relation existante entre le vecteur contrainte et la direction de normale à la facette. Pour obtenir cette relation, il suffit de considérer l'équilibre d'un domaine matériel de forme tétraédrique infinitésimal ayant trois faces de normales EMBED Equation .
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Sur chacune de ces faces, nous pouvons définir le vecteur contrainte par ses projections dans le trièdre de base :
EMBED Equation
On utilise alors la notation suivante :
EMBED Equation premier indice i indice de normale
deuxième indice j indice de projection
Avec ces notations, EMBED Equation représente la contrainte normale pour une facette de normale EMBED Equation alors que EMBED Equation (avec les indices différents) représente une composante tangentielle du vecteur contrainte pour la facette de normale EMBED Equation .
D'autre part nous sommes amenés à définir la quatrième face de notre quadrilatère par les composantes EMBED Equation de la normale EMBED Equation à la facette. Si on désigne par EMBED Equation.3 l'aire infinitsimale de la face de normale EMBED Equation , et par EMBED Equation.3 l'aire de la surface de normale EMBED Equation , on a la relation :
EMBED Equation
L'équilibre de notre domaine va faire intervenir aussi bien des forces de surface (associées aux vecteurs contraintes) que des forces de volumes (associées aux efforts extérieurs). Toutefois, ces dernières faisant intervenir des éléments différentiels d'ordre supérieur, on peut les négliger devant les forces de surfaces si les dimensions de notre tétraèdre sont infinitésimales.
L'équation d'équilibre est donc :
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
Or, d'après la définition du vecteur contrainte, on conçoit relativement bien la relation suivante :
EMBED Equation
On obtient donc :
EMBED Equation
Ainsi, la donnée des vecteurs contraintes dans les trois directions de base EMBED Equation suffit pour déterminer le vecteur contrainte dans une direction de facette quelconque.
En utilisant les composantes EMBED Equation du vecteur contrainte EMBED Equation dans la base EMBED Equation , la relation précédente se met sous la forme suivante :
EMBED Equation
Soit en notation indicielle : EMBED Equation
On a ainsi déterminé les composantesEMBED Equation d'un tenseur d'ordre deux EMBED Equation dans la base EMBED Equation . Ce tenseur nous permet de calculer le vecteur contrainte en EMBED Equation.3 dans la direction EMBED Equation grâce à la relation :
EMBED Equation
Ce tenseur est appelé tenseur des contraintes ou encore tenseur de Cauchy. Il est fonction uniquement du point d'étude.
La donnée du champ tensoriel dans le domaine d'étude permet de connaître l'état de contrainte en tout point de notre domaine. Bien entendu, cette répartition de contrainte n'est pas indépendante des sollicitations exercées sur notre domaine. Les équations d'équilibre vont nous permettre de mettre en évidence cette dépendance.
Equilibre dynamique
Pour écrire les équations de la dynamique, il convient d'isoler un domaine matériel et de lui appliquer le principe fondamental de la dynamique.
D'un coté de l'égalité nous trouvons le torseur résultant des efforts extérieurs. Celui-ci est la somme de deux torseurs :
EMBED Equation Torseur des actions extérieures (densité massique)
EMBED Equation Torseur des actions intérieures (densité surfacique)
Le domaine d'intégration du deuxième torseur est EMBED Equation , c'est la surface contour délimitant notre domaine matériel EMBED Equation.3 . C'est donc une surface fermée.
De l'autre coté de l'égalité nous avons la dérivée par rapport au temps du torseur cinétique galiléen de notre domaine
EMBED Equation
Le calcul de cette dérivée est compliqué par le fait que le domaine d'intégration est fonction du temps en variable d'Euler.
Toutefois en variables de Lagrange nous obtenons le torseur dynamique :
EMBED Equation
Le Principe Fondamental de la Mécanique nous donne alors deux égalités vectorielles :
EMBED Equation
Présenté sous cette forme, le Principe Fondamental de la Mécanique apparaît bien comme une loi de bilan.
Ainsi, dans cette égalité nous nous retrouvons avec deux torseurs ayant EMBED Equation.3 comme domaine d'intégration et avec le torseur des efforts intérieurs ayantEMBED Equation comme domaine d'intégration.
En utilisant le théorème de la divergence, il est possible de redéfinir EMBED Equation.3 comme domaine d'intégration du torseur des efforts intérieurs.
EMBED Equation
L'équation de résultante devient alors :
EMBED Equation
On peut en déduire la relation suivante :
EMBED Equation
Avec EMBED Equation masse volumique du domaine matériel au point considéré.
Cette équation fondamentale est la traduction locale du principe fondamental de la mécanique. Elle montre bien les liens entre l'état de contrainte en un point et les sollicitations extérieures.
Il est possible d'avoir une démonstration plus "physique" de cette équation en isolant un parallélépipède rectangle construit avec des arrêtes communes avec les axes de base.
Ce domaine infinitésimal a pour longueur d'arête EMBED Equation .
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Nous nous trouvons en présence des forces suivantes :
*force de volume appliquée au centre de gravité de notre domaine : EMBED Equation
*force d'inertie (en mouvement relatif) appliquée au centre de gravité du domaine :
EMBED Equation
*forces de surface dues aux vecteurs contraintes.
Pour une facette de normale EMBED Equation et de surface EMBED Equation , la force associée est du type EMBED Equation
Toutefois, pour cette dernière représentation, il convient de bien faire attention aux points d'application de ces forces, la valeur des contraintes EMBED Equation étant fonction des coordonnées de ces points.
La situation peut être résumée sous forme d'un tableau :
Points
M1
M2
M3
M4
M5
M6
CoordonnéeEMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation NormaleEMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation AireEMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation EMBED Equation
Première composante du vecteur contrainte
EMBED Equation EMBED Equation
EMBED Equation EMBED Equation
EMBED Equation EMBED Equation
A l'écriture des équations d'équilibres, nous pouvons constater de nombreuses simplifications. Ainsi il nous reste les trois équations scalaires suivantes :
EMBED Equation
Nous obtenons donc sous forme indicielle l'équation locale d'équilibre :
EMBED Equation
L'avantage de la présentation précédente est qu'elle permet une utilisation rapide de l'équation du moment dynamique. On peut tout d'abord remarquer que les forces de volume et les forces d'inertie induisent des moments d'ordre 4, négligeables vis à vis des moments associés aux forces de surface qui eux sont d'ordre 3.
Dans le calcul du moment des forces de surface, seules les composantes tangentielles (cissions) donnent ces moments d'ordre 3. Une simple équation conduit alors à la relation suivante :
EMBED Equation
Cette équation, appelée "équation de réciprocité des cissions", entraîne la symétrie du tenseur des contraintes. Ainsi, comme le tenseur des déformations EMBED Equation , le tenseur des contraintes EMBED Equation ne sera déterminé que par 6 termes. Il suffira de se donner trois contraintes normales sur la diagonale et trois contraintes tangentielles hors diagonale.
Propriétés du tenseur des contraintes
Changement de base
La relation EMBED Equation montre que le vecteur contrainte dépend linéairement de la direction de normale à la facette. Le tenseur des contraintes est donc une application linéaire qui fait passer de EMBED Equation à EMBED Equation .
Si on choisit une base orthonormée EMBED Equation , cette application linéaire est représentée par une matrice dont les éléments sont EMBED Equation . Dans une nouvelle base orthonormée EMBED Equation les nouvelles composantes du tenseur des contraintes EMBED Equation seront déduites des anciennes à l'aide de la formule suivante :
EMBED Equation
Dans cette formule, les termes EMBED Equation représentent la matrice de passage :
EMBED Equation avec EMBED Equation
Contraintes principales
Le tenseur des contraintes étant symétrique à coefficients réels, il est diagonalisable et ses valeurs propres sont réelles.
Il existe donc trois contraintes principales (valeurs propres) associées à trois directions principales (vecteurs propres). Nous avons ainsi des relations du type :
EMBED Equation
Dans la base des vecteurs propres EMBED Equation , la matrice représentant l'état des contraintes est diagonale
EMBED Equation
Ainsi, dans cette base, les contraintes tangentielles sont nulles.
Généralement, on décompose le tenseur des contraintes en une somme d'un tenseur sphérique EMBED Equation.3 et d'un tenseur déviatorique EMBED Equation.3 . Le tenseur déviatorique EMBED Equation.3 est un tenseur ayant une trace nulle. La décomposition est alors unique.
On a les relations : EMBED Equation
La trace du tenseur des contraintes est un invariant. A partir de cette notion, on peut définir la pression hydrostatique :
EMBED Equation
Le tenseur déviateur EMBED Equation.3 est symétrique et il admet les mêmes directions principales que le tenseur des contraintes. On dit que la pression p représente la partie sphérique du tenseur des contraintes et que le tenseur EMBED Equation.3 représente la partie "cisaillement".
Invariants
Comme pour le tenseur des déformations, l'annulation du polynôme caractéristique montre qu'il existe des invariants scalaires.
Ceux ci sont définis par :
EMBED Equation
soit sous forme indicielle :
EMBED Equation
Les invariants du tenseur déviateur sont :
EMBED Equation
Cercle de Mohr
Létat de contrainte est donc représenté par un tenseur. Ainsi que nous lavons déjà vu il est possible dobtenir une représentation graphique plane par cercle de Mohr.
Dans le plan de cette représentation, on trace le lieu de lextrémité du vecteur contrainte, en fonction de lorientation de la normale à la facette choisie au point considéré. Si la normale appartient à un plan principal, ce lieu est lun des trois cercles de Mohr associés aux plans principaux. Si la normale appartient à deux plans principaux, cest à dire si la normale est confondue avec une direction, alors le vecteur contrainte est situé sur laxe de la normale, lextrémité du vecteur étant alors confondu avec le point commun aux deux cercles de Mohr. Enfin si la normale est quelconque dans lespace des vecteurs propres, lextrémité du vecteur contrainte se trouve à lintérieur du tricercle.
Lavantage de cette représentation graphique réside dans la facilité de visualisation des composantes normales et tangentielles dun vecteur contrainte. On vérifie aisément que la plus grande contrainte principale est en fait la valeur maximale de la contrainte normale en un point alors la valeur minimale est donnée par la plus petite contrainte principale. Pour ce qui est de la contrainte tangentielle, la plus grande valeur est donnée par la demi différence entre la plus grande contrainte principale et la plus petite contrainte principale. Elle est obtenue pour la direction de normale qui correspond à la bissectrice du plan principal associé à la contrainte principale maximale et la contrainte principale minimale.
Si on se donne la convention dordonner les contraintes principales selon une décroissance, on a :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Application
Considérons une poutre droite de section circulaire sollicitée en flexion pure combinée avec de la torsion. On désigne par EMBED Equation.3 laxe de la poutre (ligne des centres de gravité) et par EMBED Equation.3 laxe du moment de flexion. Il est alors possible de démontrer que, dans le cadre des hypothèses de la théorie des poutres, les tenseurs contraintes associés à ces deux sollicitations sont dans la base cylindro polaire :
Pour la flexion : EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Pour la torsion : EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Létat de contrainte résultant est donc :
EMBED Equation.3
A partir de ce tenseur, il est simple de représenter le tricercle de Mohr. En effet, on constate aisément que le vecteur EMBED Equation.3 représente une direction principale, la contrainte principale associée étant nulle. Le plan EMBED Equation.3 est donc un plan principal de contraintes auquel il est possible dassocier un cercle de Mohr.
Pour la construction de ce cercle, il suffit de représenter quelques points appartenant à ce cercle, cest à dire de définir lextrémité de vecteur contrainte pour quelques directions de normales appartenant au plan principal. On peut alors choisir de représenter les vecteurs contraintes associés aux directions EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 . On a :
EMBED Equation.3
La construction du cercle de Mohr est alors possible et elle montre que les valeurs des contraintes principales sont :
EMBED Equation.3
Lois de Comportement des milieux continus
Bilan des Equations
Nous venons de décrire un problème de mécanique sous deux angles différents. Dun coté, une description cinématique nous a permis dintroduire les quantités tensorielles de déformation, de lautre coté, par une description dynamique, nous avons obtenu les quantités tensorielles de contrainte.
Toutefois, lexpérience montre quil est impossible de dissocier les deux approches et quil y a une dépendance étroite entre ces deux descriptions. Il existe une dualité entre les notions de déplacement déformation et les notions de force contrainte. A tel point quil est souvent impossible de distinguer la cause de leffet.
Prenons par exemple le cas dune poutre console encastrée à une extrémité et libre à son autre extrémité. Plusieurs cas de sollicitation peuvent apparaître. On peut envisager quà son extrémité libre on impose une force F dintensité connue (pilotage en force). On obtient alors une déformation générale de la poutre qui se traduit aussi par une flèche mesurable à lextrémité libre. A linverse, on peut, par un système mécanique imposer la flèche f à lextrémité libre (pilotage en déplacement). Cette déformation ne pourra être obtenue que si le système mécanique exerce une certaine force sur la poutre. Ces deux exemples montrent bien que ce qui est la cause (resp. leffet) dans un cas peut devenir leffet (resp. la cause) dans lautre cas. Il est même possible de compliquer un peu létude précédente en imaginant quil existe un appui élastique à lextrémité libre de la poutre. On établit ainsi une relation entre la force et le déplacement, relation donnée par la fonction de réponse de lappui élastique.
Dans une étude de mécanique il est nécessaire de définir toutes les variables. Il convient donc den faire le dénombrement et de rechercher toutes les équations à notre disposition pour mener à bien cette étude.
Les variables peuvent se classer dans les deux catégories cinématique et dynamique. Pour laspect cinématique on peut, dans lhypothèse des petites perturbations dire que les variables détude sont le champ vectoriel de déplacement et le champ tensoriel de déformation. Du coté de laspect dynamique, les seules variables détudes sont les composantes du champ tensoriel de contrainte. Le dénombrement des inconnues dune étude de mécanique est alors le suivant :
Masse 1 scalaire 1 fonction scalaire
Champ de déplacement 1 vecteur 3 fonctions scalaires
Champ de déformation 1 tenseur symétrique 6 fonctions scalaires
Champ de contrainte 1 tenseur symétrique 6 fonctions scalaires
Pour ce qui concerne les équations, nous avons à notre disposition dune part les relations déplacement déformation issue de létude cinématique, dautre part les équations déquilibre issues de létude dynamique.
Le dénombrement des équations disponibles est alors le suivant :
Equation de continuité 1 relation
Relations déplacement déformation 6 relations
Equations déquilibre (équation de résultante) 3 relations
Il est à noter que dans ce dénombrement déquations, il nest pas fait état de léquation du moment dynamique, cette dernière étant directement utilisée pour obtenir un tenseur des contraintes symétrique.
Le bilan inconnues équations montre brutalement quil existe un déficit de 6 relations pour traiter un problème de mécanique. Ce déficit sera comblé par les relations issues de lexpérience, relations que lon appellera Lois de comportement.
Pour être correctes, les nouvelles équations doivent respecter certaines conditions et en particuliers ne pas aller à lencontre des principes fondamentaux de la physique (mécanique et thermodynamique). Il convient donc dans un premier temps de formuler clairement ces principes en fonction de nos inconnues détude. Ces principes faisant apparaître essentiellement des quantités énergétiques, il nous faut les expressions des grandeurs utilisées.
Théorème de lénergie cinétique
Ce théorème est une conséquence directe du principe fondamental de la mécanique. Léquation locale nous donne :
EMBED Equation.3
On peut alors faire le produit scalaire avec le vecteur vitesse :
EMBED Equation.3
Dautre part nous avons la relation suivante :
EMBED Equation.3
Dans cette expression, le dernier terme représente le produit doublement contracté entre le tenseur contrainte et le tenseur gradient du champ des vitesses. Sous forme développée, on peut, dans une base cartésienne, écrire :
EMBED Equation.3
Considérons de manière séparée le dernier terme. On a :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Donc, grâce à la symétrie du tenseur de contrainte, ce terme apparaît comme le produit doublement contracté entre le tenseur contrainte et le tenseur taux de déformation.
On a donc :
EMBED Equation.3
Soit pour un domaine matériel :
EMBED Equation.3
Dans cette expression, le premier membre représente la dérivée par rapport au temps de lénergie cinétique du domaine que lon suit dans son mouvement. En effet, en utilisant la dérivée particulaire dune intégrale de volume, nous pouvons écrire :
EMBED Equation.3
Le premier terme du second membre peut encore sécrire :
EMBED Equation.3
Le dernier terme peut être modifié en utilisant le théorème de la divergence :
EMBED Equation.3
De plus nous pouvons utiliser léquation de continuité :
EMBED Equation.3
La dérivée de lénergie cinétique par rapport au temps devient alors :
EMBED Equation.3
Ce qui nous donne pour léquation précédente :
EMBED Equation.3
Dans le second membre on peut utiliser le théorème de la divergence :
EMBED Equation.3
Ce que nous pouvons écrire, compte tenu de la symétrie du tenseur des contraintes :
EMBED Equation.3
Dans le second membre, le premier terme représente la puissance mécanique des efforts surfacique, le second terme représente la puissance mécanique des efforts volumique et le dernier terme représente la puissance mécanique des efforts de cohésion, cest à dire des efforts intérieurs :
EMBED Equation.3
La puissance des efforts intérieurs est parfois appelée puissance de déformation.
On obtient ainsi lénoncé du Théorème de lénergie :
EMBED Equation.3
La dérivée par rapport au temps de lénergie cinétique dun domaine D que lon suit dans son mouvement est égale à la somme de la puissance mécanique des efforts extérieurs et de la puissance mécanique des efforts intérieurs.
Thermodynamique des milieux continus
Sous réserve dadmettre certains résultats, il est possible de déterminer la loi de comportement traduisant lélasticité linéaire sans faire appel aux notions de thermodynamique. Toutefois, afin de rester encore un peu général et davoir les bagages mathématiques qui par la suite permettront détablir dautres lois de comportement (comme la plasticité), nous allons maintenant regarder les deux principes de la thermodynamique. De plus il ne faut pas oublier que de nombreux problèmes technologiques impliquent un couplage entre les effets mécaniques et les phénomènes thermiques.
Premier Principe de la thermodynamique
Ce premier principe est encore appelé loi de conservation de lénergie. Il exprime le fait que la variation de lénergie totale (énergie interne et énergie cinétique) dun domaine est égale à la somme de la puissance des efforts extérieurs développés sur le système et de la quantité de chaleur apportée au système par unité de temps.
EMBED Equation.3
On remarquera cette fois lemploi de la notation EMBED Equation.3 qui est utilisée pour indiquer que les fonctions dérivées ne sont pas des fonctions détat et quelles ne dérivent pas dun potentiel.
Lénergie interne est une grandeur extensive (additive) et on peut définir une énergie interne massique :
EMBED Equation.3
De la même façon, on pourra écrire pour lénergie cinétique :
EMBED Equation.3
Pour la détermination de la quantité de chaleur apportée au système par unité de temps, on suppose que les échanges sont de deux types :
Surfacique ( conduction
Volumique ( rayonnement
Le terme de conduction sur la surface frontière est lintégrale de surface dune densité surfacique EMBED Equation.3 , où EMBED Equation.3 représente la normale extérieure en M à la surface. Cette densité sexprime sous la forme dun flux dun vecteur courant de chaleur sortant :
EMBED Equation.3
Par convention, les quantités de chaleur reçues par le système seront notées positivement et celles perdues négativement.
Le terme de rayonnement est lintégrale dune densité volumique qui correspond au taux de chaleur reçue (rayonnement externe, effet joule, réaction chimique interne
).
On a donc pour la quantité de chaleur apportée au système par unité de temps :
EMBED Equation.3
Léquation de conservation de lénergie se met sous la forme suivante :
EMBED Equation.3
Dautre part on peut utiliser le théorème de lénergie cinétique :
EMBED Equation.3
Le premier principe de la thermodynamique peut donc se mettre sous la forme :
EMBED Equation.3
En utilisant léquation de continuité et en appliquant les théorèmes de la divergence et de lintégrale nulle, on peut donner une expression locale de ce bilan :
EMBED Equation.3
On peut donc dire que la variation de lénergie interne massique est due à la puissance massique dissipée par les efforts intérieurs et à un apport de chaleur.
Second Principe de la thermodynamique
Le deuxième principe de la thermodynamique postule l'existence d'un champ scalaire positif, appelé température absolue et noté T et d'une fonction d'état du système additive, appelée entropie, notée S et telle que l'on ait toujours l'inégalité :
EMBED Equation
Il est à noter que nous navons plus une loi de conservation, mais au contraire une détérioration de lentropie.
L'égalité n'est obtenue que dans le cas très particulier des transformations réversibles.
La fonction entropie n'est donc définie que par sa différentielle et elle ne peut être calculée qu'à une constante additive près. Généralement on travaillera avec l'entropie massique s.
On a donc, compte tenu de léquation de continuité, et des théorèmes de la divergence et de lintégrale nulle :
EMBED Equation
De plus on a une identité fondamentale :
EMBED Equation
On peut donc obtenir l'inégalité de Clausius - Duhem :
EMBED Equation
Que l'on peut encore écrire :
EMBED Equation
En faisant intervenir l'énergie libre massique EMBED Equation .
En fait le second principe permet d'exprimer l'écart entre le processus étudié et un processus réversible. Comme on peut le constater, cette différence fait apparaître deux origines :
* thermique par le terme EMBED Equation
* mécanique par le terme EMBED Equation
Le signe négatif du terme d'origine thermique s'explique facilement par la convention choisie. En fait on traduit ainsi l'irréversibilité thermique. Un corps chaud ne peut que céder de la chaleur à un environnement plus froid, alors qu'à l'inverse un corps froid ne pourra que recevoir de la chaleur (apport d'énergie sous forme calorifique).
Le terme d'origine mécanique se présente sous la différence de deux quantités. La seconde quantité est définie comme étant la partie réversible de la puissance dissipée par la déformation. Elle vient toujours en déduction de la puissance de déformation.
Equation de la chaleur
La thermodynamique introduit quatre nouvelles inconnues dans notre problème. En effet lénergie interne et le vecteur courant de chaleur ne sont à priori pas déterminés. De même le second principe nous apporte deux nouvelles inconnues, lentropie et la température absolue.
Il convient donc de trouver les équations supplémentaires qui permettront de définir complètement toutes ces inconnues. A nouveau ces équations seront issues de lexpérience et elles feront souvent intervenir à la fois les quantités thermiques et les quantités mécaniques.
Afin de ne pas alourdir lexposé, nous nous contenterons dune formulation simplifiée dans laquelle les composantes thermiques interviendront très peu. En conséquence nous naurons quun déficit inconnues / équations égal à 6, comme exposé dans le premier paragraphe de ce chapitre.
Toutefois il existe de nombreux cas où le découplage mécanique / thermique est effectif. Il est alors bon de déterminer la loi de distribution des températures en utilisant léquation de la chaleur.
Pour établir cette équation, nous formons les hypothèses suivantes :
* le matériau est à liaisons parfaites et on néglige toute transformation chimique ou physique de la matière. On montre qu'alors l'énergie interne est proportionnelle à la température absolue T par l'intermédiaire d'une constante c appelée capacité calorifique massique :
EMBED Equation
* on néglige le terme volumique de taux de chaleur reçu :
EMBED Equation
L'équation de l'énergie devient alors :
EMBED Equation
On fait généralement l'hypothèse que le matériau suit la loi de conduction de Fourier, c'est à dire que le flux de chaleur est une fonction linéaire du gradient thermique :
EMBED Equation
Le scalaire k est la conductivité thermique. Si le corps n'est pas isotrope, la conductivité thermique sera représentée par un tenseur. Si le corps est isotrope et homogène, cette conductivité thermique est une constante.
On obtient alors l'équation de la chaleur :
EMBED Equation
La résolution de cette équation permet de connaître à chaque instant la température en tout point du matériau. Pour être résolue, cette équation nécessite une bonne connaissance des conditions initiales et des conditions aux limites du domaine.
Les conditions thermiques que l'on peut rencontrer aux limites sont :
* température imposée (dans le cas d'une paroi parfaitement régulée thermiquement).
* flux imposé (un flux nul correspond à une paroi parfaitement isolée, c'est à dire adiabatique).
* échange par convection : EMBED Equation
où EMBED Equation est le coefficient de convection et EMBED Equation la température du second milieu.
* échange par rayonnement : EMBED Equation
où EMBED Equation est l'émissivité, EMBED Equation la constante de Stefan et EMBED Equation la température du second milieu.
Thermo-élasticité linéaire
Ainsi que nous venons de le démontrer, nous avons un déficit inconnues / équations. Cet état de fait ne doit pas nous surprendre, car il difficilement envisageable quune théorie générale puisse englober des comportements aussi différents que ceux des solides et des fluides. Il faut faire appel aux résultats expérimentaux pour déterminer les relations manquantes que nous appellerons les lois de comportement. Toutefois, une telle loi de comportement ne peut pas être quelconque. Elle se doit de respecter certains principes que lon peut considérer de bon sens. Lobjet de ce cours nétant pas de faire une étude exhaustive de toutes les lois de comportement, nous nous contenterons de ne citer que les principes évidents auxquels devra souscrire le comportement étudié, à savoir le comportement élastique linéaire.
En premier lieu nous rappellerons quune loi de comportement ne peut en aucun cas déroger au principe fondamental de la mécanique et aux principes de la thermodynamique
Ensuite, nous pouvons dire quune loi doit être objective, cest à dire invariante dans tout changement de référentiel. Elle doit être la même pour tous les observateurs. Cette condition dobjectivité suppose une invariance pour les changements de chronologie (changement dorigine des temps et/ou changement dunité de temps), et une invariance pour les changements de repères.
Enfin nous dirons quune loi doit être déterministe cest à dire que la réponse du milieu à linstant t ne doit dépendre que de lhistoire antérieure du milieu.
Bien évidemment, ces généralités ne permettent pas de définir la forme détaillée des lois de comportement et encore moins d'obtenir une loi de comportement universelle. Pour poursuivre il faut faire des hypothèses supplémentaires, hypothèses qui seront souvent déduites de l'observation expérimentale.
Nous pouvons maintenant donner la formulation dun comportement élastique linéaire. Toutefois afin daider le lecteur dans sa compréhension, nous indiquons deux approches quelques peu différentes pour aboutir au même résultat.
Première approche de lélasticité linéaire
Pour traduire le phénomène élastique d'un comportement de matériau, on peut dire que la réponse du milieu est parfaitement décrite par la connaissance de la température et du tenseur des déformations.
Reprenons l'inégalité de Clausius - Duhem :
EMBED Equation
Avec l'hypothèse formulée, on peut dire que la fonction d'état EMBED Equation (énergie libre massique) est une fonction uniquement des paramètres T et EMBED Equation . On peut donc écrire :
EMBED Equation
En reportant dans l'inégalité de Clausius - Duhem, on obtient :
EMBED Equation
Comme les seuls paramètres retenus pour l'étude sont la température et le tenseur des déformations, l'inégalité précédente doit être satisfaite quels que soient EMBED Equation et EMBED Equation . On peut donc dire :
EMBED Equation et EMBED Equation
Ainsi on constate que la connaissance de la fonction d'état énergie libre massique permet de définir la loi de comportement du matériau. Pour cette raison on donne le nom de potentiel élastique à la fonction énergie libre EMBED Equation .
Pour poursuivre, on peut formuler l'hypothèse des petites perturbations, c'est à dire que la température T et le tenseur des déformations linéarisé sont les seules variables d'état du système.
La relation de comportement s'écrit :
EMBED Equation
Par cohérence avec l'approximation, nous ne garderons dans le développement du tenseur des contraintes en fonction du tenseur des déformations que les termes d'ordre 1. De même pour le paramètre température.
On obtient alors la loi de comportement thermoélastique linéaire :
EMBED Equation
avec : EMBED Equation : tenseur des contraintes dans la configuration initiale, dit contraintes résiduelles
EMBED Equation : tenseur d'élasticité du quatrième ordre
EMBED Equation : tenseur des coefficient de dilatation thermique
EMBED Equation : température dans la configuration initiale
Si le matériau est homogène et isotrope, la condition d'objectivité nous conduit alors à un tenseur d'élasticité déterminé par deux constantes et le tenseur des coefficients de dilatation thermique est sphérique EMBED Equation .
La loi de comportement devient alors :
EMBED Equation
Que l'on peut encore écrire :
EMBED Equation
avec les relations :
EMBED Equation Premier coefficient de Lamé = Module de Coulomb
EMBED Equation Deuxième coefficient de Lamé
EMBED Equation Module d'Young
EMBED Equation Coefficient de Poisson
EMBED Equation Coefficient de dilatation thermique linéaire
Deuxième approche de lélasticité linéaire
Nous allons reconstruire cette loi de comportement en essayant de montrer limportance de chaque hypothèse formulée.
Dans un premier temps nous dirons que nous faisons subir à notre milieu continu une transformation géométrique continue, infinitésimale. Nous nous plaçons ainsi dans le cas des petites perturbations et létat de déformation peut être, aussi bien en variables de Lagrange quen variables dEuler, déterminé par la partie symétrique du tenseur gradient de déplacement, cest à dire le tenseur EMBED Equation.3 .
La transformation est monotherme réversible. Ainsi le milieu néchange de la température quavec une seule source thermique. La réversibilité permet de traduire le second principe par une égalité. Il est à noter que cette réversibilité est double, mécanique et thermique. La réversibilité mécanique exclue tous les problèmes de frottement entre deux pièces alors que la réversibilité thermique impose au domaine étudié dêtre constamment à la température de la source thermique, cest à dire à une température uniforme (mais pouvant évoluer au cours du temps).
Dès à présent nous écrire les conséquences de ces hypothèses sur le second principe de la thermodynamique :
EMBED Equation.3
Dautre part nous supposons que le domaine ne subit aucune transformation chimique, ni de changement détat. Il ny a donc aucune création de chaleur interne et par voie de conséquence, comme le domaine est constamment à la température de la source, léchange de chaleur est nul.
EMBED Equation.3
Lécriture du premier principe de la thermodynamique se simplifie et devient :
EMBED Equation.3
Ainsi la puissance de déformation est la dérivée par rapport au temps de lénergie potentielle.
On peut alors définir lénergie de déformation qui est lopposé du travail développé par les efforts intérieurs dans la transformation permettant de passer de létat naturel à létat considéré. On a :
EMBED Equation.3
Avec le premier principe de la thermodynamique, on peut alors constater que lénergie de déformation, qui, à une constante additive près, est égale à lénergie interne, est une fonction détat. Ainsi la différentielle que nous venons de former doit être une différentielle totale exacte et les conditions dintégrabilité de Cauchy doivent sappliquer. Lénergie de déformation ne dépend donc que de létat initial et de létat final. Le matériau restitue intégralement lénergie que lon fournit pour le déformer. On dit quil a un comportement élastique, cest à dire réversible.
Cette énergie de déformation ne sera une différentielle totale exacte que si les contraintes EMBED Equation.3 ne sont fonctions que des déformations EMBED Equation.3 , à une constante près. On obtient alors :
EMBED Equation.3
Les contraintes EMBED Equation.3 représentent létat de contrainte en labsence de déformation. Ce sont les contraintes initiales. Dans létat initial naturel, elles sont nulles.
Pour avancer dans notre étude nous supposerons que dune part létat initial est naturel, et que dautre part le matériau a un comportement élastique linéaire, cest à dire que les relations entre létat de contrainte et létat de déformation sont des fonctions linéaires.
On peut donc écrire :
EMBED Equation.3
Le tenseur du quatrième ordre EMBED Equation.3 représente le tenseur de raideur. Dans lhypothèse dun milieu continu homogène, ses composantes sont indépendantes des coordonnées du point considéré. Compte tenu de la symétrie des tenseurs contrainte et déformation, le tenseur de raideur est caractérisé par 36 termes. Toutefois le nombre de paramètres indépendants est de 21 car il faut respecter les conditions dintégrabilité de Cauchy pour la forme différentielle de lénergie de déformation. Ces conditions sont au nombre de 15 :
EMBED Equation.3
Dans le cas le plus général, il conviendra donc de trouver les essais de caractérisation de ces 21 fonctions. Dans la pratique ces fonctions sont dépendantes de la température et du temps (vitesse d'application des charges). Comme on travaille en général dans des plages de température bien définies , relativement limitées et que ces fonctions sont faiblement dépendantes de la température, on peut facilement les assimilées à des coefficients constants pour une cinétique donnée.
L'identification de ces coefficients élastiques repose sur l'évaluation de la raideur dans des essais statiques (traction-compression, torsion ...), dans des essais de vibrations ou dans des essais de propagation d'ondes. On constate une différence au niveau des résultats donnés par ces essais. Cet écart s'explique car les méthodes dynamiques ne permettent pas de prendre en compte certains mouvements internes visqueux et de ce fait donnent des rigidités un peu plus grandes.
Convention d'écriture
Le tenseur de raideur est un tenseur d'ordre 4. Il est donc particulièrement délicat à expliciter. Les formules développées sont relativement lourdes. Il convient donc de trouver une méthode qui permette une simplification d'écriture.
La solution réside en des applications linéaires. L'une va nous permettre de passer de l'espace vectoriel de dimension 2 associé aux tenseurs d'ordre 2 vers un espace vectoriel de dimension 1 auquel on associera des tenseurs d'ordre 1. Pour le tenseur des contraintes, cette application se présente sous la forme suivante :
EMBED Equation
Par contre pour le tenseur des déformations, on préfère utiliser l'application définie par :
EMBED Equation
Ces transformations sur les tenseurs des contraintes et des déformations induisent l'existence d'une application linéaire de l'espace vectoriel de dimension 4 (associé au tenseur de raideur) vers un espace vectoriel de dimension 2 :
EMBED Equation
La nouvelle forme du tenseur de raideur permet alors de lui associer une matrice carrée (6,6) :
EMBED Equation
Compte tenu des conditions d'intégrabilité de Cauchy sur le travail de déformation, nous avons les relations suivantes :
EMBED Equation
Ces relations étant au nombre de 15, nous nous retrouvons bien avec 21 coefficients indépendants.
La structure de la matrice C devient alors :
EMBED Equation
Les sous-matrices X, Y et Z étant des matrices (3,3), les matrices X et Y étant symétriques.
Les hypothèses supplémentaires portant sur le degré d'anisotropie du matériau vont nous permettent de diminuer le nombre des coefficients indépendants.
Ces hypothèses portent essentiellement sur les symétries et rotations possibles sans changement de la loi de comportement. L'invariance du comportement dans un certain type de changement de base ne sera en effet vérifiée qu'avec des relations particulières du tenseur de raideur.
Pour mettre en évidence ces relations on rappelle les règles de transformation des composantes d'un tenseur dans un changement de bases orthonormées :
EMBED Equation
Pour un tenseur d'ordre 2, on a :
EMBED Equation
Pour un tenseur d'ordre 4, on obtient :
EMBED Equation
Remarque La notation précédente (avec des indices supérieurs et inférieurs) peut choquer à première vue mais cette notation est en conformité avec les notions de variance et de contravariance. Elle permet des écritures avec des simplifications systématiques. De plus, dans le cas d'une métrique non euclidienne, elle seule permettra de prendre en compte correctement les nouvelles notions de longueur.
Toutefois, dans un souci de simplicité, nous continuerons à utiliser des notations avec des indices inférieurs pour les tenseurs.
Symétrie plane
Supposons que le plan EMBED Equation.3 soit un plan de symétrie matérielle.
Dans ce cas la loi de comportement doit être invariante par le changement de base défini par les matrices :
EMBED Equation.3
On a alors avec ces matrices :
EMBED Equation.3
Pour cela, il faut avoir les relations suivantes :
EMBED Equation.3
Lexpression des relations contraintes déformations devient alors :
EMBED Equation.3
Matériau orthotrope
Un milieu est dit orthotrope pour une propriété donnée si cette propriété est invariante par changement de direction obtenue par symétrie relative à deux plans orthogonaux.
On remarque qu'alors la symétrie par rapport au troisième plan orthogonal est automatiquement acquise. Ce mode de comportement est relativement bien réalisé pour le bois (dans certains cas), les composites unidirectionnels et les produits métalliques laminés.
Supposons que nous ayons une symétrie par rapport au plan de coordonnées EMBED Equation . La matrice de changement de base traduisant cette symétrie est :
EMBED Equation
La relation d'indépendance du tenseur de raideur EMBED Equation dans ce changement va se traduire par le fait que toutes les composantes EMBED Equation ayant un nombre impair d'indice 3 sont nulles. Ainsi pour la matrice C on obtient :
EMBED Equation
Le tenseur de raideur n'a plus que 13 coefficients indépendants.
Il nous reste maintenant à traduire la condition de symétrie par rapport à un plan orthogonal, par exemple celui de coordonnées EMBED Equation .
On aura donc :
EMBED Equation
Il ne reste donc que 9 coefficients indépendants pour traduire le comportement de notre matériau. Dans le repère principal d'orthotropie, la loi peut se mettre sous la forme :
EMBED Equation
Les conditions de symétrie se traduisent par les relations :
EMBED Equation
Le matériau est donc caractérisé par 9 coefficients indépendants :
* 3 modules d'élasticité longitudinal EMBED Equation dans les directions de l'orthotropie.
* 3 modules de cisaillement EMBED Equation .
* 3 coefficients de contraction EMBED Equation .
De plus, des considérations thermodynamiques sur le travail de déformation permettent de démontrer les inégalités suivantes :
EMBED Equation
Matériau isotrope transverse
Un milieu est dit isotrope transverse pour une propriété donnée si cette propriété est invariante par changement de direction obtenue par rotation autour d'un axe privilégié. Dans ce cas, tout plan passant par l'axe privilégié est un plan de symétrie. Nous pouvons donc remarquer que le milieu est déjà orthotrope.
Imaginons par exemple que l'axe EMBED Equation soit l'axe d'isotropie. Il est donc nécessaire d'avoir une invariance de la loi de comportement pour toute rotation définie par :
EMBED Equation
On conçoit facilement qu'en plus des relations du cas orthotrope, on obtienne de nouvelles relations entre les coefficients élastiques du tenseur de raideur.
On aura par exemple :
EMBED Equation
Ce qui nous donnera :
EMBED Equation
D'où la relation :
EMBED Equation
En définitive on retrouvera 4 nouvelles équations (dont EMBED Equation ). Il n'y a donc plus que 5 composantes indépendantes. Les équations deviennent :
EMBED Equation
Les 4 relations supplémentaires étant :
Matériau isotrope
L'hypothèse d'isotropie impose que la loi de comportement soit indépendante du repère choisi pour l'exprimer. En d'autre terme, le tenseur de raideur doit être invariant pour tout changement de base.
Cela revient à dire que trois axes indépendants sont des axes disotropie transverse. Cela nous donne alors les relations suivantes :
EMBED Equation.3
Compte tenu de toutes ces relations, la loi de comportement se présente sous la forme :
EMBED Equation.3
On constate alors que la seule forme possible du tenseur délasticité est :
EMBED Equation
On obtient ainsi la loi de comportement faisant apparaître les coefficients de Lamé :
EMBED Equation
Avec cette forme de relation, on constate que les directions principales de contraintes sont confondues avec les directions principales de déformations.
Cette loi de comportement va faire lobjet dune étude approfondie dans la suite du cours.
Elasticité linéaire
Loi de comportement
Dans le chapitre précédent, nous avons expliqué la nécessité décrire des relations issues de lexpérience afin de solutionner un problème. Nous allons maintenant étudier de façon plus approfondie lune de ces lois de comportement, lélasticité linéaire.
Dans la pratique, cest certainement le comportement qui est le plus facilement employé. Il sapplique, moyennant certaines approximations, dans de nombreux cas. Pratiquement tous les métaux présentent ces propriétés, sous réserve que le niveau de contrainte ne soit pas trop élevé. Mais la théorie de lélasticité linéaire peut aussi sappliquer à des matériaux non isotropes, comme le bois par exemple. La mécanique des sols utilise aussi cette théorie. Enfin, dans une certaine mesure, les matières plastiques peuvent avoir une phase de comportement élastique.
Toutefois la loi que nous utiliserons sera limitée à des matériaux isotropes, cest à dire que la formulation de cette loi de comportement doit être identique quel que soit le référentiel utilisé, lié ou non au matériau étudié.
Si le matériau est homogène, isotrope, si la transformation est continue, infinitésimale, monotherme réversible, si le domaine ne subit aucune transformation chimique, ni de changement détat, si le comportement est linéaire, alors nous avons les relations suivantes :
EMBED Equation
EMBED Equation
avec : EMBED Equation : tenseur des contraintes dans la configuration initiale
EMBED Equation : température dans la configuration initiale
et avec les relations :
EMBED Equation Premier coefficient de Lamé = Module de Coulomb
EMBED Equation Deuxième coefficient de Lamé
EMBED Equation Module d'Young
EMBED Equation Coefficient de Poisson
EMBED Equation Coefficient de dilatation thermique linéaire
Dans le cas dune transformation isotherme à partir dun état initial naturel (sans contraintes initiales), les formules prennent les expressions suivantes :
EMBED Equation
EMBED Equation
En notation indicielle, on obtient, dans nimporte quelle base (isotropie du comportement) :
EMBED Equation.3
On peut facilement constater avec ces relations que les bases principales de létat de déformation et de létat de contrainte sont confondues.
La loi de comportement nest caractérisée que par deux grandeurs indépendantes, par exemple les coefficients de Lamé ou le module dYoung et le coefficient de Poisson. Généralement on préfère employer ces deux dernières grandeurs que lon peut facilement déterminer par un simple essai de traction.
Le tableau suivant donne certaines de ces valeurs pour une température de 20°C:
MatériauxModule dYoung
(GPa)Coefficient de PoissonMasse Volumique (kg/dm 3)Acier de construction2100,2857,8Acier Inox 18-122030,297,9Fonte grise90 à 1200,297,1 à 7,2Alliage TA6V1050,257,8Aluminium710,342,6Zinc780,217,15Titane1050,344,5Verre600,252,8Béton en compression10 à 130,152 à 2,4Caoutchouc0,20,51,8Bois (pin)70,20,4Marbre260,32,8Graphite250 à 3500,3 à 0,41,75 à 1,92Elastomère0,20,51(Valeurs données dans louvrage de G. DUVAUT)
Equations supplémentaires en élasticité
Dans le cas général nous aurons, grâce à la loi de comportement, suffisamment déquations pour pouvoir traiter un problème délasticité. Toutefois souvent nous serons face à un système déquations différentielles relativement délicat à résoudre. Il peut être utile demployer des équations complémentaires qui traduisent, sous une autre forme, les lois de la physique. Les équations de NAVIER et les équations de BELTRAMI en sont un exemple.
Equations de NAVIER
Ces dernières ne sont en fait que la traduction des équations déquilibre en termes de déplacement. Pour cela on utilise à la fois la loi de comportement et les relations déformations déplacements.
Sous forme locale, léquation de résultante issue du principe fondamental de la mécanique nous donne :
EMBED Equation.3
Avec la loi délasticité linéaire, nous obtenons :
EMBED Equation.3
Dautre part nous avons les relations suivantes :
EMBED Equation.3
On obtient alors les formes vectorielles suivantes des équations de NAVIER :
EMBED Equation.3
Il est possible de retrouver ces équations en utilisant la notation indicielle. On peut ainsi dériver la loi de comportement élastique linéaire exprimée dans une base cartésienne.
On obtient :
EMBED Equation.3
Ce qui nous permet décrire les équations déquilibre sous la forme :
EMBED Equation.3
Avec les relations déplacement déformation, nous obtenons :
EMBED Equation.3
Ce qui nous donne bien la relation vectorielle :
EMBED Equation.3
Dautre part, il est possible dobtenir une équation supplémentaire à partir de la formulation précédente. En utilisant lopérateur divergence, on obtient :
EMBED Equation.3
Mais nous avons aussi les relations :
EMBED Equation.3
Ce qui nous donne alors léquation scalaire :
EMBED Equation.3
Cas particulier : Dans le cas dun domaine à masse volumique constante, en équilibre et placé dans un champ de force volumique à divergence nulle EMBED Equation.3 , on obtient :
EMBED Equation.3
Equations de BELTRAMI
Lorsque lon désire résoudre le problème en contrainte, sans vouloir à priori définir les champs de déplacement et de déformation, on utilise une méthode dite « inverse ». Il convient alors, en plus de la vérification des équations déquilibre, de sassurer que létat de contrainte conduit, par lintermédiaire de la loi de comportement, à un état de déformation compatible avec un champ de déplacement.
Les équations de BELTRAMI permettent justement de faire cette dernière vérification sans jamais calculer les composantes du tenseur de déformation. Elles proviennent des équations de compatibilité :
EMBED Equation.3
La loi de comportement nous permet décrire :
EMBED Equation.3
Dautre part nous avons :
EMBED Equation.3
Avec la forme scalaire des équations de NAVIER :
EMBED Equation.3
De plus nous pouvons écrire :
EMBED Equation.3
Enfin nous pouvons utiliser les équations déquilibre :
EMBED Equation.3
Léquation de compatibilité devient alors :
EMBED Equation.3
Sous forme indicielle on obtient :
EMBED Equation.3
Cas particulier : Dans le cas dun domaine à masse volumique constante, en équilibre et placé dans un champ de force volumique à divergence nulle EMBED Equation.3 , on obtient :
EMBED Equation.3
Critères de limite élastique
La loi de comportement que nous venons de définir admet malheureusement des limites. Dans pratiquement toutes les expériences, on constate en effet que, lorsque les efforts appliqués sont trop grands, le matériau perd ses qualités délasticité et quil subsiste des déformations permanentes appelées déformations plastiques. Lingénieur est alors soumis à deux contradictions : assurer un prix de revient minimal, cest à dire employer le moins de matière possible, et définir une structure performante et résistante, cest à dire utilisant beaucoup de matière. Il est donc nécessaire pour lui de se trouver constamment à la frontière entre ces deux contraintes et pour cela il lui faut donc avoir les éléments qui définissent cette frontière.
Les résultats dessai
La connaissance dun état limite se détermine par les essais effectués en laboratoire. Il est logique de penser que cet état limite est lié au tenseur des contraintes car cest lexpression tensorielle qui traduit la répartition des efforts à lintérieur de la matière. En vertu de lhypothèse disotropie du matériau, il est logique de penser que la limite élastique sera reliée aux valeurs propres de létat de contrainte, cest à dire aux contraintes principales. De plus il faut pouvoir tenir compte des différents résultats obtenus lors des essais expérimentaux.
Nous pouvons donc envisager la forme générale dun critère comme étant une relation du type :
EMBED Equation.3
Dans cette expression, les coefficients EMBED Equation.3 permettent de prendre en compte les différents résultats expérimentaux. On supposera que les contraintes principales sont ordonnées :
EMBED Equation.3
Tout état de contrainte élastique vérifie linégalité, légalité étant obtenue en limite délasticité.
Afin de bien se représenter cette limite élastique, on peut envisager une représentation graphique. Pour cela on peut penser que le plan des cercles de Mohr, plan qui contient toutes les informations sur létat de contrainte, doit convenir. On va donc commencer par représenter dans ce plan les différents résultats expérimentaux.
Traction uniaxiale
Parfaitement normalisé, cest lessai le plus couramment pratiqué. Sa mise en uvre est relativement simple à condition de bien respecter le processus opératoire. Lessai de traction est aussi beaucoup utilisé pour définir les constantes élastiques du matériau. On démontre que, en des points au centre de léprouvette, létat de contrainte est de la forme :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 représente laxe de la poutre.
Nous sommes donc dans les directions principales et le tricercle de Mohr associé est de la forme :
Les essais montrent que lon est dans le domaine de comportement élastique tant que lon vérifie la relation :
EMBED Equation.3
On définit ainsi la limite élastique en traction du matériau EMBED Equation.3 .
Compression uniaxiale
Cest un essai plus difficile à mettre en uvre. Pour éviter les phénomènes de bord (frottement entre la pièce et les plateaux de compression) il faut une pièce élancée, mais on risque alors le flambement.
En des points au centre de la pièce létat de contrainte est de la forme :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3 , contrainte normale de compression
Le tricercle de Mohr prend alors la forme suivante :
Les essais montrent que lon est dans le domaine de comportement élastique tant que lon vérifie la relation :
EMBED Equation.3
On définit ainsi la limite élastique en compression du matériau EMBED Equation.3 .
Cisaillement simple
Cet état peut être obtenu dans le cas de la torsion dun tube de faible épaisseur. Bien entendu nous sommes à nouveau confrontés à des problèmes de flambement. Cest pourquoi nous utilisons souvent lessai de torsion sur des poutres droites circulaires à section pleine. Létat de contrainte est de la forme :
EMBED Equation.3
Après calcul des valeurs propres EMBED Equation.3 , il est facile de représenter le tricercle de Mohr :
Lexpérience montre quil existe une valeur de contrainte tangentielle à ne pas dépasser si lon veut rester dans un état élastique :
EMBED Equation.3
Compression isotrope
Cest en fait le cas dun corps auquel on applique une pression uniforme sur sa surface. Létat de contrainte est alors sphérique est on a :
EMBED Equation.3
Lexpérience montre quen fait il ny a pratiquement pas de limite à la valeur de la pression appliquée. Après retour à un état de pression nulle, le corps retrouve intégralement sa forme initiale : il ny a aucune déformation permanente.
Les différents critères
La détermination dun critère est particulièrement délicate. Il nexiste malheureusement pas de critère universel qui intègre tous les résultats expérimentaux. Même si il était possible de déterminer un tel critère, il est à craindre que le coût détablissement et le coût dutilisation ne seraient pas admissibles industriellement. En effet la détermination des différentes limites élastiques associées aux différents essais fait appel à des machines dessai plus ou moins sophistiquées qui peuvent être onéreuses. Aussi on préfère utiliser des critères qui ne font appel quà un ou deux essais et qui sont plus simples à mettre en uvre. On est alors parfaitement conscient que lon perd de la précision, mais il faut relativiser cette perte vis à vis des incertitudes de mesures expérimentales des limites élastiques, ou de détermination des grandeurs caractéristiques de la loi de comportement.
Le critère de Von Misès
Ce critère est basé sur le dernier constat concernant la compression isotrope et sur lénergie de déformation. Comme il ny a aucune limite, il faut que ce critère permette de quantifier une énergie de déformation qui ne dépende pas de la compression isotrope.
En se basant sur les résultats obtenus par lexpérience, à savoir que lon modifie le volume sans modifier la forme, on peut montrer que le tenseur des contraintes, comme le tenseur des déformations, est purement sphérique. Les parties déviatoriques sont nulles.
Lidée associée au critère de Von Misès est donc de limiter lénergie de déformation élastique déviatorique, cest à dire celle obtenue à partir des tenseurs déviateurs.
On a vu que lénergie de déformation avait lexpression infinitésimale suivante :
EMBED Equation.3
Avec une loi de comportement élastique linéaire on obtient :
EMBED Equation.3
Avec la décomposition en partie sphérique et déviatorique, on obtient :
EMBED Equation.3
Pour le critère de Von Misès on a :
EMBED Equation.3
En tenant compte des résultats donnés par lessai de traction et en exprimant lénergie de déformation déviatorique en fonction de létat de contrainte, on obtient :
EMBED Equation.3
En fonction des contraintes principales on a :
EMBED Equation.3
Ce critère, qui vérifie particulièrement bien le cas de la compression hydrostatique, présente linconvénient dêtre symétrique en traction et en compression. Il ne permet pas de prendre en compte une différence entre la limite élastique en traction et la limite élastique en compression. Son principal intérêt réside dans sa simplicité dusage.
Le critère de Tresca
Ce critère est basé sur une limitation du cisaillement en un point. Il revient en fait à limiter le rayon du plus grand des cercles de Mohr et de ce fait il est particulièrement bien adapté à des sollicitations de cisaillement comme la torsion dune poutre.
Son expression est simplement donnée en contraintes principales ordonnées EMBED Equation.3 par la formule :
EMBED Equation.3
Comme pour le critère de Von Misès, on se trouve devant un critère simple à définir et à mettre en uvre mais qui ne permet pas de prendre en compte la complexité des différents résultats dessais. En particulier, comme pour le critère précédent, on constate quil ny a aucune limitation à une sollicitation de traction isotrope, ce qui va à lencontre des résultats expérimentaux.
Les schémas de résolution
Nous avons maintenant tous les outils pour traiter un problème de mécanique. Avec la loi de comportement nous avons comblé le déficit entre le nombre déquations et le nombre dinconnues. Avec un critère de limite élastique, nous savons vérifier la validité concernant lutilisation de la loi élastique linéaire.
En définitive, on pourrait penser quil suffit maintenant de traiter le problème simplement du point de vue mathématique. Hélas, la réalité est toute autre. Le problème est complexe, car pour déterminer les inconnues (3 fonctions déplacement, 6 fonctions déformation, 6 fonctions contrainte) nous avons effectivement le bon nombre déquations mais ces dernières peuvent prendre une forme différentielle du premier ordre (relations déformation déplacement) ou du second ordre (équations déquilibre, équations de compatibilité
). Si bien que, même avec la connaissance des conditions aux limites (portant soit sur les déplacements, soit sur les efforts), il est pratiquement impossible de donner une solution analytique exacte du problème dans le cas général.
La détermination de la solution passe alors soit par des méthodes numériques approchées (différences finies, éléments finis
), soit par des méthodes inverses permettant de simplifier le problème posé. Les schémas de résolution permettent de traiter ces méthodes inverses. Ils sont basés sur le fait que la solution existante est généralement unique.
Théorème dunicité
Indépendamment des critères associés à la loi de comportement, les états de contrainte et de déformation solutions du problème ne sont pas quelconques. Ils doivent vérifier certaines conditions qui permettent de les classer dans les champs admissibles ou non.
Un champ de contrainte est Statiquement Admissible sil vérifie les conditions statiques, cest à dire sil satisfait aux équations déquilibre (ou aux équations de Navier) et sil permet de valider les conditions aux limites sur les forces.
Un champ de déformation est Cinématiquement Admissible sil vérifie les conditions cinématiques, cest à dire sil satisfait aux équations de compatibilité (ou aux équations de Beltrami) et sil permet de valider les conditions aux limites sur les déplacements.
Un problème est dit Régulier si en tout point de la surface délimitant le domaine détude nous connaissons les trois composantes complémentaires de leffort et du déplacement.
Cette dernière définition mérite une petite explication. Considérons par exemple le cas dun solide en déplacement sur une surface lisse. On peut admettre que le frottement est nul. En conséquence, on peut affirmer que pour le vecteur déplacement, la composante normale au plan tangent commun est nulle. Par contre les deux composantes tangentielles de la résultante des inters efforts sont nulles aussi. Vu la complémentarité des informations, on dira que localement le problème est régulier.
En fait pour quun problème soit régulier, il faut que lintégrale représentant le travail des efforts de contact puisse se décomposer en deux termes :
EMBED Equation.3
Le premier terme représente le travail des efforts donnés dans le déplacement inconnu et le second représente le travail des efforts de contact inconnu dans les déplacements donnés.
Fort de toutes ces définitions, il est alors possible de démontrer le théorème dunicité :
Si, pour un problème régulier, on a trouvé un champ de contrainte statiquement admissible associé par lintermédiaire de la loi de comportement à un champ de déformation cinématiquement admissible, alors on a la solution unique du problème.
Dans ce théorème, non démontré dans ce cours, il faut surtout remarquer que pour un problème régulier, la solution existe et elle est unique.
Dans la suite nous admettrons que tous nos problèmes sont des problèmes réguliers.
Schémas de résolution
En conséquence, peu importe le chemin utilisé pour obtenir la solution dun problème régulier, seul compte le résultat. Toutefois il faut aussi comprendre que la solution en terme de contrainte ne pourra être trouvé que dans les champs statiquement admissible, alors que la solution en terme de déformation ne se trouvera que dans les champs cinématiquement admissible.
Il est alors possible de concevoir des schémas de résolution basés sur le principe suivant. En premier lieu, à partir de lexpérience et de la logique, on formule des hypothèses simplificatrices permettant de réduire notablement le nombre dinconnues du problème. Ensuite on vérifie si ces hypothèses permettent davoir un champ de contrainte statiquement admissible et un champ de déformation cinématiquement admissible. Enfin, si tous les tests sont corrects, on vérifie enfin que lon est bien en droit demployer la loi de comportement en utilisant les critères limites.
Cette méthode présente lavantage de donner des solutions analytiques exactes dans des cas simples. Ensuite par superposition, il est possible denvisager des cas plus complexes. De plus historiquement, la détermination de solutions analytiques a permis de faire le calage des codes de calcul numérique. Il nest pas rare en effet de valider de nouveaux éléments numériques en faisant la comparaison des résultats de calcul avec un cas décole.
Il est à noter que cette méthode nest valable que si elle correctement utilisée. En particulier, il faut impérativement faire tous les tests avant daffirmer que lon détient la solution.
Exemple dapplication
Imaginons que nous ayons à définir la solution dun tube sollicité par une pression intérieure EMBED Equation.3 au rayon EMBED Equation.3 , une pression extérieure EMBED Equation.3 au rayon EMBED Equation.3 et une traction EMBED Equation.3 sur les surfaces extrémités.
Il est possible de faire des hypothèses sur les composantes du champ de déplacement. En effet, vu les symétries du problème, on peut raisonnablement penser que le champ de déplacement na pas de composantes orthoradiales, que la composante radiale ne dépend que de la coordonnée radiale et que la composante axiale nest fonction de la coordonnée axiale. On suppose que, dans la base cylindro-polaire, le champ de déplacement est de la forme :
EMBED Equation.3
Essayons de valider nos hypothèses. Dans un premier temps on peut remarquer que comme dans notre problème nous navons aucune condition de déplacement imposé sur la surface de notre domaine et que dautre part nous partons dun champ de déplacement, le champ de déformation associé sera nécessairement cinématiquement compatible.
Il reste à vérifier que le champ de contrainte associé soit statiquement admissible. En ce qui concerne les équations déquilibre, on pourrait être tenté dutiliser les équations de Navier, mais il faudra ensuite déterminer les composantes du tenseur des contraintes afin de valider les conditions aux limites sur les forces. Aussi autant calculer immédiatement les composantes du tenseur des contraintes.
Pour cela il faut utiliser les relations déplacement déformation afin dobtenir les composantes du tenseur des déformations. Attention les calculs doivent se faire dans la base cylindro-polaire et les formules utilisant les opérateurs différentiels (gradient, divergence, laplacien
) nont pas les mêmes expressions indicielles que dans le cas dune base cartésienne. On a donc :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Il est à noter quavec ces hypothèses les distorsions angulaires sont nulles, ce qui est logique si on imagine la déformation du tube. Nous sommes avec les axes principaux.
Comme la loi de comportement élastique linéaire est définie pour un matériau isotrope, elle peut être utilisée sous la même forme indicielle dans nimporte quelle base. On a alors pour les composantes du tenseur des contraintes :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Avec : EMBED Equation.3
Il reste maintenant à vérifier que le tenseur obtenu est bien statiquement admissible. Pour cela commençons par valider les équations déquilibre, toujours en faisant bien attention à utiliser des formules valables en coordonnées cylindro-polaire. Comme le domaine est supposé être en équilibre et que les forces de volumes sont négligeables, le tenseur des contraintes doit avoir une divergence nulle :
EMBED Equation.3
Compte tenu du fait que le tenseur des contraintes est diagonal, nous obtenons :
EMBED Equation.3
Avec les hypothèses faites, la deuxième équation est identiquement satisfaite. La première et la troisième équation nous apportent deux équations différentielles :
EMBED Equation.3
Les solutions sont de la forme :
EMBED Equation.3
Ce qui nous donne les expressions suivantes pour les composantes du tenseur des contraintes :
EMBED Equation.3
avec EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Soit avec le module dYoung et le coefficient de Poisson :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Avec les conditions aux limites, il est possible de fixer les constantes dintégration :
EMBED Equation.3
La constante EMBED Equation.3 nest pas fixée, mais en fait quelque soit sa valeur, les expressions des tenseurs des contraintes et des déformations sont les mêmes. En fait cette constante traduit un déplacement de solide indéformable le long de laxe du tube.
Pour terminer létude, il ne reste quà vérifier que létat de contrainte obtenu en tout point soit en accord avec la limite élastique du matériau, ce qui peut être fait en employant par exemple le critère de Von Misès :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Le cas le plus défavorable étant obtenu au rayon intérieur, on a :
EMBED Equation.3
Elasticité bidimensionnelle
Parmi lensemble des hypothèses simplificatrices que lon peut être amené à faire, lhypothèse détat plan apporte rapidement une étude avec beaucoup moins de variables. Nous avons alors une méthodologie particulière qui est développée et qui permet dans de nombreux cas daboutir à une solution. Toutefois il ne faut pas perdre de vue que lhypothèse détat plan, qui est très forte, nest que rarement vérifiée dans son intégralité. De ce fait les résultats obtenus ne sont, comme souvent dans le cas de résultats analytiques sur un problème concret, quune estimation de la solution.
En pratique il semble quil y ait deux cas délasticité plan, soit létat plan de contraintes planes, soit létat de déformations planes. Mais en fait, on constate que les méthodes de détermination des solutions sont identiques et quen jouant sur la dualité entre contrainte et déformation, il est tout à fait possible de déterminer une méthode générale.
Définition des états plans
Etat plan de déformations
Considérons un corps dont la forme est un cylindre de génératrices parallèles à laxe EMBED Equation.3 . Si le champ de déplacement est tel quil soit indépendant de la coordonnée axiale EMBED Equation.3 du point et que sa composante axiale soit nulle EMBED Equation.3 , alors on dit que lon a affaire à un état plan de déformations.
Le tenseur déformation est donné par la forme suivante :
EMBED Equation.3
On constate bien que les déformations sont données exclusivement dans le plan orthogonal à laxe de cylindre et quil suffit de connaître les déformations dans une section droite pour les connaître en tous points du domaine étudié.
Par lintermédiaire de la loi de comportement, il est possible de définir les composantes du tenseur des contraintes :
EMBED Equation.3
La contrainte normale dans la direction EMBED Equation.3 nest pas nulle, mais elle est liée aux autres contraintes normales :
EMBED Equation.3
Le champ de contrainte est donc, comme les champs de déplacement et de déformation, indépendant de EMBED Equation.3 . On ne pourra donc être dans un état de déformations planes que si lensemble du problème est invariant par toute translation parallèle à laxe EMBED Equation.3 . Ceci impose en particulier que le corps soit de longueur infinie dans la direction EMBED Equation.3 , ce qui est bien entendu irréel. Toutefois, par approximation, les cylindres de grandes longueurs pourront, selon certaines conditions, être en état plan de déformations. Ces conditions porteront en particulier sur le chargement de ce domaine.
La force de volume par unité de volume est donnée par les équations déquilibre :
EMBED Equation.3
On constate quil ne peut pas y avoir de chargement axial. Dautre part si lon considère un point de la surface latérale cylindrique, le vecteur contrainte dans la direction de normale extérieure au domaine montre quil ne peut y avoir de chargement normal à cette surface. En effet, compte tenu du fait que le domaine est cylindrique, la direction de normale extérieure au domaine en un point de la surface latérale est orthogonale à laxe du cylindre :
EMBED Equation.3
Etat plan de contraintes
Un domaine sera en état plan de contraintes si le champ de contrainte en tout point ne dépend que de deux coordonnées spatiales ( EMBED Equation.3 par exemple) et les composantes du tenseur contrainte associées à la troisième coordonnée sont nulles EMBED Equation.3 .
Le tenseur des contraintes est donc de la forme :
EMBED Equation.3
Par lintermédiaire de la loi de comportement il est possible de définir les composantes du tenseur des déformations :
EMBED Equation.3
Par analogie avec létat plan de déformations, il est possible de déterminer la dilatation linéaire dans la direction axiale en fonction des deux autres dilatations linéaires :
EMBED Equation.3
Les équations déquilibres prennent la même forme que pour létat plan de déformations et pas conséquent la force de volume par unité de volume doit être orthogonale à la direction EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Dautre part on constate que le chargement sur une face orthogonale à la direction EMBED Equation.3 doit être nul, ce qui nous permet de dire que létat plan de contraintes ne sera obtenu que dans le cas dun cylindre chargé uniquement sur la surface latérale. Pratiquement cest le cas des domaines de faible épaisseur chargée dans leur plan.
De plus on constate que les problèmes de déformations planes et de contraintes planes sont de même nature et que les équations qui les régissent sont analogues. En particulier, pour la loi de comportement on a dans le cas de létat plan de contraintes planes :
EMBED Equation.3
Dans le cas de létat plan de déformations, les équations sont similaires à condition dutiliser de nouvelles valeurs pour le module dYoung, le coefficient de Poisson et le premier coefficient de Lamé:
EMBED Equation.3
Les équations de compatibilité conduisent essentiellement à une condition qui est dans le cas de létat plan de contraintes :
EMBED Equation.3
Dans le cas de létat plan de déformations il suffit de remplacer le coefficient de Poisson par sa nouvelle valeur EMBED Equation.3 .
Il est à noter toutefois que pour un état plan de contraintes, les équations de compatibilité conduisent aussi à la relation suivante :
EMBED Equation.3
Cette condition nétant que rarement satisfaite, nous nous trouverons souvent dans le cas détat approximativement plan de contraintes.
Comme on peut le constater, il nexiste, au niveau des équations, que très peu de différences entre un état plan de déformations et un état plan de contraintes. Pour passer dune solution à une autre il suffit de transformer les équations en utilisant les coefficients fictifs :
EMBED Equation.3
Ainsi une solution obtenue dans le cas dun état plan de contraintes sera tout à fait adaptable à un état plan de déformations. En conséquence, par la suite nous allons simplement chercher à définir des solutions dites de létat plan, sans trop préciser si lon considère un état plan de contraintes ou un état plan de déformations.
Fonction dAiry
Dans de nombreuses applications la force de volume dérive dun potentiel EMBED Equation.3 et on a la relation :
EMBED Equation.3
Dans le cas de la statique, les équations déquilibre deviennent alors :
EMBED Equation.3
Pour un matériau à masse volumique constante (incompressible) on obtient :
EMBED Equation.3
De plus nous avons la relation pour une fonction scalaire f:
EMBED Equation.3
Ce qui nous donne pour les équations déquilibre :
EMBED Equation.3
Cette équation est automatiquement satisfaite si lon pose :
EMBED Equation.3
Le tenseur EMBED Equation.3 nouvellement défini doit être symétrique. Il est appelé tenseur de fonctions de contrainte. Il est donc caractérisé par six composantes indépendantes.
Toutefois dans le cas de lélasticité plane, comme nous navons que deux équations équilibre significatives, on constate que léquilibre peut être obtenu en posant :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3 fonction dAIRY
Ainsi dans le cas des coordonnées cartésiennes, on obtient :
EMBED Equation.3
Il est alors aisé de constater que les équations déquilibre sont satisfaites.
Léquation de compatibilité nous apporte une condition supplémentaire sur la fonction dAiry :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
En particulier, dans le cas dun champ de force de volume à divergence nulle, on a :
EMBED Equation.3
Les fonctions dAiry satisfaisant à cette condition sont dites biharmoniques.
Exemple dapplication : flexion simple dune poutre rectangulaire
On considère une poutre droite daxe EMBED Equation.3 , de section rectangulaire (hauteur 2h, épaisseur 2b). Cette poutre est encastrée dans un massif à labscisse EMBED Equation.3 . Lextrémité libre est la seule supportant un chargement. Dautre part on suppose que les forces de volume sont nulles. On suppose que lépaisseur est très faible devant les autres dimensions de la poutre et quen conséquence, on peut faire lhypothèse dun état plan de contrainte.
Nous adoptons la fonction dAiry suivante :
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
On constate aisément que la fonction ainsi définie est biharmonique. On peut alors déterminer létat de contrainte obtenu :
EMBED Equation.3
Cet état de contrainte est parfaitement compatible avec la condition de non chargement des faces supérieure EMBED Equation.3 et inférieure EMBED Equation.3 de la poutre.
Pour la section extrémité EMBED Equation.3 , on obtient un torseur équivalent avec un moment nul au centre de surface et une résultante nayant quune composante :
EMBED Equation.3
On peut donc considérer que la poutre est sollicitée en flexion simple. Il est a noter que létat de contrainte ainsi obtenu est parfaitement en accord avec la théorie élémentaire des poutres.
Il reste à vérifier les conditions aux limites sur les déplacements et en particulier la condition dencastrement de la section EMBED Equation.3 .
Il convient donc de calculer la forme générale du champ de déplacement. Toutefois, dans le cas délasticité plane, il nest pas nécessaire dutiliser la méthode générale avec la détermination du tenseur antisymétrique. Lintégration peut se faire directement à partir des relations déplacements-déformations.
Dans notre exemple nous avons le tenseur déformation suivant :
EMBED Equation.3
Les deux premières équations nous permettent décrire :
EMBED Equation.3
A partir de la troisième équation, on obtient :
EMBED Equation.3
Le champ de déplacement nétant déterminé que par trois constantes, il est pratiquement impossible de respecter la condition dencastrement pour tous les points de la section droite définie par EMBED Equation.3 . Pour définir les constantes, on se contentera de donner leur valeur afin de respecter le non déplacement de certains points de la section origine. On peut écrire par exemple :
EMBED Equation.3
On peut alors en déduire la déformée de la ligne moyenne EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Ainsi la flèche à lextrémité libre est :
EMBED Equation.3
Dans cette expression, le second terme correspond parfaitement à la valeur de la flèche donnée par la théorie élémentaire des poutres. Le premier terme apparaît donc comme un terme correctif vis à vis de cette théorie.
Elasticité plane en coordonnées polaires
Dans le cas dune base curviligne, il suffit dappliquer les relations intrinsèques. Par la connaissance des opérateurs différentiels dans la base, il est alors possible de donner les relations sous forme développée. Ainsi pour la base cylindro-polaire, on a toujours:
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3
Ce qui nous permet de calculer les composantes du tenseur des contraintes :
EMBED Equation.3
La condition de compatibilité reste inchangée :
EMBED Equation.3
Avec dans le cas dune fonction F dépendant des deux variables r et EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3
Il existe un cas particulier important associé au cas dun solide de révolution par rapport à laxe EMBED Equation.3 et soumis à des charges purement radiales, distribuées symétriquement par rapport à laxe du solide (solide et chargement axisymétriques). Les fonctions ne dépendent alors plus de la variable angulaire EMBED Equation.3 .
Les relations deviennent alors :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Ce qui nous donne pour léquation de compatibilité :
EMBED Equation.3
La solution générale de léquation sans second membre est :
EMBED Equation.3
La solution de léquation avec second membre sera alors obtenue en ajoutant une solution particulière dépendant de la force de volume.
Application en coordonnées polaires
On se propose détudier une plaque de largeur 2b, de faible épaisseur, tendue entre deux extrémités et possédant un trou médiant de rayon a. Les forces de volume sont négligeables. On fait lhypothèse dun état plan de contrainte.
Dautre part on considère que le rayon du trou a est petit devant la demi largeur de la plaque b. On peut donc raisonnablement penser quen tout point dun cercle de rayon R grand devant a létat de contrainte nest pas perturbé par la présence du trou. Ainsi en découpant virtuellement un cylindre de rayon R, on peut écrire que sur la surface extérieure létat de contrainte est uniaxial, alors que le chargement est nul sur la surface intérieure de rayon a.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Le chargement sur la surface cylindrique extérieure peut se mettre sous la forme :
EMBED Equation.3
Le premier cas de charge est radial et indépendant de langle polaire. Il correspond parfaitement au cas particulier précédemment traité. Comme la force de volume est nulle, la solution générale est de la forme :
EMBED Equation.3
La détermination des contraintes se fait par la vérification des conditions aux limites. On obtient alors :
EMBED Equation.3
Pour le deuxième cas de charge, on recherche une solution en adoptant une fonction dAiry de la forme:
EMBED Equation.3
Léquation de compatibilité nous donne alors :
EMBED Equation.3
La solution générale est :
EMBED Equation.3
Ce qui nous donne létat de contrainte suivant :
EMBED Equation.3
En retenant lhypothèse que le rayon de la surface cylindrique extérieure est grand devant celui de la surface cylindrique intérieure EMBED Equation.3 , et en utilisant les conditions aux limites, on peut définir les valeurs des constantes :
EMBED Equation.3
On a ainsi la solution au deuxième cas de charge. Il suffit ensuite dutiliser la superposition des cas de charges pour obtenir la solution du problème initial :
EMBED Equation.3
A partir de ces résultats il est possible détudier la loi de répartition des contraintes normales dans la poutre au niveau de la section trouée.
On obtient :
EMBED Equation.3
Avec cette fonction, on constate que la contrainte normale est maximale au bord du trou et quelle est alors égale à trois fois la contrainte nominale. Cette étude fait clairement apparaître le phénomène de concentration de contrainte dû à la présence dun trou.
Quelques formules
EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3
Elasticité linéaire en coordonnées polaires
Relations Déplacement-Déformation
EMBED Equation.3
Principe fondamental de la mécanique
EMBED Equation.3
Equations de Beltrami
EMBED Equation.3
avec : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Opérateur différentiel
EMBED Equation.3
Arts et Métiers ParisTech
Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY
Arts et Métiers ParisTech
Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY
DATE31/08/2013 Mécanique des Milieux Continus Page PAGE2
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
