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On réalise en fin de compte que la théorie des probabilités n'est tout ...

Lipschutz S., Probability, Mc Graw Hill, Schaum's outline Series, 1965. - Gaultier M. ... Chapitre 2 : Conditionnement, compatibilité et dépendance. - Chapitre .... Si p et q sont deux propositions, p implique q, signifie que si p est vraie, alors q est vraie. ...... S2 . S3 = 3³ = 27. Probabilités élémentaires : Vocabulaire de base I. 1.




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probabiliste n’est qu’une évidence qu’il suffit d’élucider.
Cette citation ne fait pas justice à la découverte par Blaise Pascal, non pas des probabilités – le principe du calcul élémentaire de ces dernières avait été découvert plus de 4 siècles auparavant par Omar Khayyan et sans doute deux siècles plus tôt encore en Chine par Chu – Shih – Chei –, mais plutôt de leur usage pratique dans le détermination des droits moraux des joueurs sur les enjeux d’une partie.
Et, bon gré, mal gré, nous sommes tous joueurs, engagés dans une « partie »dont Pascal disait : « Tout ce que je connais à propos de l’avenir, c’est que je vais bientôt mourir. » (fr. 681).
Pascal avait compris les possibilités infinies de l’utilisation des probabilités. Car, comme il l’écrit lui-même : «  … l’incertitude de gagner est proportionnée à la certitude de ce que l’on hasarde, selon la proportion des hasards de gains et des hasards de pertes. » (fr 680)
C’est là, une prise de conscience d’une fracture dans l’évolution de la pensée humaine ; la découverte qu’il est possible d’agir en tant qu’homme face au hasard, qu’il y a moyen, non de subir, mais de faire face rationnellement à l’incertitude.
Dans son histoire personnelle, Blaise Pascal a inventé l’assurance avant de risquer son pari. Il avait cependant une conscience parfaite des enjeux de sa découverte qui fait que les probabilités sont aujourd’hui un des facteurs d’amélioration du bien-être de l’humanité.
Bibliographie
Vigneron C., Logak E., Probabilité et statistiques, Tome 1, Paris, Diderot, Arts et Sciences, 1995.
Ross S.M., A first course in probability, Macmillan, 4th ed., 1994.
Traduction française : Initiation aux probabilités, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, 1994.
Lipschutz S., Probability, Mc Graw Hill, Schaum’s outline Series, 1965.
Gaultier M., Probabilités, Paris, Vuibert, 1997.
Mc Coll J.H., Probability, London, Edward Arnold, 1995.
Approche pédagogique
Voir le cours de statistique générale (à l’exception d’un test de mi-semestre qui n’est pas organisé dans le cas présent.).
Note sur le syllabus et son étude : la mise en page de ce texte est conçue de façon à ce que (presque) chaque page forme un tout cohérent et contienne un ou plusieurs messages unifiés, donc sans report explicite sur la page suivante.
Contenu du cours
Introduction
Chapitre 0 : Préliminaires mathématiques et logiques
Chapitre 1 : Probabilités élémentaires
Chapitre 2 : Conditionnement, compatibilité et dépendance
Chapitre 3 : La loi des probabilités totales et le théorème de Bayes
Chapitre 4 : Variables aléatoires discrètes
Chapitre 5 : Moments
Chapitre 6 : Lois discrètes
Exercices récapitulatifs
INTRODUCTION
Cette introduction a pour objectif de mettre en place des CONCEPTS et Démarches fondamentaux qui sont basés sur la reconnaissance de l’incertitude comme composante essentielle de la réalité.
Quelques remarques préliminaires :
L’incertitude ne doit pas être confondue avec l’ignorance.
L’étude des probabilités constitue une démarche perturbatrice.
« Students often arrive in their first probability course with seriously deficient or confused intuitive ideas about the random phenomena being studied. Perhaps this is partly due to the human tendency to seek patterns even where none exist, and partly due to the vested interests of the gambling industry in cultivating erroneous impressions about chance events. Whatever the source of these misconceptions, the teacher of an elementary course in probability has the difficult task of eradicating them and helping to build the sound intuition that leads to self-confidence in understanding theory and making applications. »
L’objet de l’étude des probabilités :
A l’aide de certains éléments connus caractérisant un phénomène, inférer d’autres éléments inconnus en leur associant une mesure de vraisemblance d’occurrence.
Il s’agira donc de modéliser l’incertitude.
Exemple : la valeur affichée après le lancer d’un dé honnête : Eléments connus : Un dé a six faces toutes distinguables les unes des autres par la valeur qu’elles affichent. Le dé est honnête, c’est-à-dire est correctement et également équilibré. Elément inconnu : La valeur de la face supérieure après le lancer. Mesures de vraisemblance associées : la fréquence d’observation attendue d’une valeur donnée sur un grand nombre de lancers, une conclusion de la réflexion a priori sur les propriétés de l’expérience, etc.
Modéliser l’incertitude : Pourquoi ? Comment ?
Modéliser l’incertitude : Pourquoi ? : quelques applications pratiques.
L’exercice inconscient du calcul probabiliste :
Prendre ou non son parapluie.
Souscrire un contrat d’assurance.
« Passer » des sections d’un cours pendant le blocus.
Etc.
Le calcul probabiliste (souvent implicite) fait partie du quotidien :
Cfr journaux : conjectures dans les relations de certains faits, …
Jeux : lotto, pronostics, …
Conduite automobile, …
Etc.
Le calcul des probabilités consiste à étudier SYSTématiquement l’incertitude :
Depuis deux siècles, les probabilités sont utilisées EFFICACEMENT dans de nombreux domaines et fournissent des résultats opérationnels indéniables.

Exemples dans différents domaines :
Médecine :
La lutte contre le cancer est organisée en fonction de modèles probabilistes de mécanismes de transmission et de développement des affections.
L’épidémiologie, basée sur l’étude probabiliste du développement des maladies transmissibles, (poliomyélite, grippe, sida, hépatites, …) permet un meilleur diagnostic, une meilleure prévention et une meilleure planification de la recherche médicale.
Physique : la théorie quantique de l’univers décrit l’organisation subatomique des particules élémentaires comme une structure aléatoire.
Biologie : la théorie moderne de l’hérédité décrit comment les gènes sont transmis aléatoirement des parents à leur descendance.
Assurances : la modélisation du risque du crédit, du risque d’accident, de la probabilité de sinistre, permet un calcul plus juste (« équitable ») des primes et des frais.
Judiciaire : les enquêtes de la police scientifique sont de plus en plus guidées par un raisonnement probabiliste et l’inférence bayesienne.
Etc.
Modéliser l’incertitude : Comment ? : Probabilités et modélisation mathématique

Un modèle probabiliste est une représentation abstraite, mathématique d’une expérience aléatoire.

Il ne peut, bien entendu, être aussi riche de détails que la réalité, il simplifie cette dernière.

Mais, pour être d’une certaine utilité pratique, il doit représenter fidèlement les caractéristiques de l’expérience qui sont importantes dans la détermination et la production du résultat.

ATTENTION !

La construction des modèles de probabilité :

n’est pas une matière de déduction mathématique précise,

c’est une démarche intuitive, inductive, construite à partir de notre propre raisonnement, notre propre expérience et notre propre culture et ceux des autres.


( Importance des exemples, des exercices, des lectures …

CHAPITRE 0 :
PRELIMINAIRES MATHEMATIQUES ET LOGIQUES
Section 1 : Eléments de logique
Section 2 : Introduction au dénombrement
Section 3 : Techniques de dénombrement
Section 1 : Eléments de logique

A. Implication, négation, équivalence

Une proposition, p, est une affirmation qui, suivant certaines conditions, peut être vraie ou fausse.
Implication
Si p et q sont deux propositions, p implique q, signifie que si p est vraie, alors q est vraie.
On dit alors que : p est une condition suffisante pour q et que q est une condition nécessaire pour p. On note : p ( q.
Contraposée ou négation

Si p est une proposition, ~p (non-p) est une proposition qui est vraie quand p est fausse, et fausse quand p est vraie.
p ( q est synonyme de sa contraposée ~q ( ~p (non-q ( non-p).
Equivalence
Si p ( q et q ( p, alors les deux propositions sont dites équivalentes.
p est une condition nécessaire et suffisante pour q, on note : p ( q.
Exemples
a) Soit p : « Il pleut.» et q : « Le sol est mouillé. » :
p ( q  : « S’il pleut, le sol est mouillé. »
et
~q ( ~p  : « Si le sol est sec, il ne pleut pas. ».
b) Soit p : « La température de l’eau passe sous 0°C.» et q : « L’eau est en train de geler. » : p ( q, p est une condition nécessaire et suffisante pour q, ou « L’eau gèlera si et seulement si sa température passe sous 0°C. ».
B. Ensembles et applications
Ensemble des parties d’un ensemble : P et éléments de logique
P (E) désignera l’ensemble des parties de l’ensemble E : A ( P (E) ( A ( E.
Si E et F sont deux ensembles, E = F ( E ( F et F ( E.
Deux ensembles sont inclus l’un dans l’autre si et seulement s’ils sont égaux (équivalents).
Réunion et intersection
Définitions
Soit un ensemble E avec A et B ( P (E) , on définit les ensembles suivants, aussi des parties de E :

 EMBED Equation.3  = {x ( E : x (A}, le complémentaire de A ;
A(B = {x ( E : x ( A ou x ( B}, l’union (la réunion) de A et B ;
A(B = {x ( E : x ( A et x ( B}, l’intersection de A et B ;
A\B = {x ( E : x ( A et x ( B}, la différence de A et B.
On dit que les ensembles A et B sont disjoints si A(B = (
Généralisations
I est un ensemble d’indices, soit Ai et Aj ( P (E), i et j (I ; on dira que les parties Ai et Aj sont deux à deux disjointes si pour i ( j, Ai ( Aj = (.
L’ensemble des Ai est une partition de E si les Ai sont disjointes deux à deux et  EMBED Equation.3 = E.
Donc une partition de E n’est pas un sous-ensemble de E, mais un ensemble de parties de E dont la réunion reconstitue E.
Exemples
 EMBED Equation.3 
    A\B = [-1, 1]

 EMBED Equation.3 .
Propriétés

Lois de l’idempotence

A(A = A A(A=A

Lois associatives

(A(B) ( C = A ( (B(C) (A(B) ( C = A ( (B(C)

Lois commutatives

A(B = B(A A(B = B(A

Lois distributives

A ( (B(C) = (A(B) ( (A(C) A ( (B(C) = (A(B) ( (A(C)

Lois d’identité (soit U = l’ensemble universel)

A(( = A A(( = (
A(U = U A(U = A

Lois du complémentaire

A( EMBED Equation.3  = U A( EMBED Equation.3  = (
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  = (  EMBED Equation.3  = U
 EMBED Equation.3 
Lois de De Morgan

 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

N.B.

A\B = A( EMBED Equation.3  A(B = ( ( B (  EMBED Equation.3 
A(B(C est bien défini. A(B(C est bien défini.

A(B(C = ? car pas de priorités entre opérateurs ( et (.
soit (A(B)(C
qui diffèrent le plus souvent.
ou A((B(C)
Applications

E et F étant deux ensembles non vides, une application f de E dans F associe à tout élément x de E un unique élément de F, noté f(x) et appelé image de x par f.

Si y est un élément de F (y ( F), on appelle antécédent de y par f, tout élément x ( E tel que f(x) = y.

Injection, surjection, bijection

Soit f une application de E dans F :

f est injective si tout élément de F a au plus un antécédent.
f est surjective si tout élément de F a au moins un antécédent.
f est bijective si tout élément de F a exactement un antécédent.
Dans ce dernier cas, avec f(x)=y, x ( E et y ( F, il est possible de définir une application de F dans E, notée f-1, bijective également et appelée bijection réciproque de f.
f(x) = y ( x = f-1(y)


Illustration par diagrammes de Venn :

 C. Eléments de logique et théorie des ensembles
Soit S un ensemble et A et B deux sous-ensembles inclus dans S.
1. Implication et inclusion
On dit que A ( B si A ( B ; en effet, (x ( A, x ( B.
2. Vérification de la proposition contraposée
A ( B donc  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  ; en effet, si A ( B, alors   EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 .
Preuve via représentation en diagrammes de Venn









3. Autres conclusions : Lois de De Morgan
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  , preuves graphiques similaires à supra.

4. Logique et théorie ensembliste : un exemple
On lance un dé honnête. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Soit A, l’ensemble des diviseurs de 4 = {1, 2, 4}
et B, l’ensemble des nombres entiers non supérieurs à 4 = {1, 2, 3, 4}.
A ( B donc A ( B ; en effet, tous les diviseurs de 4 sont non supérieurs à 4.

Vérification de la proposition contraposée :
 EMBED Equation.3  : l’ensemble des non-diviseurs de 4 dans S = {3, 5, 6}.
 EMBED Equation.3  : l’ensemble des nombres supérieurs à 4 dans S = {5, 6}.
 EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  ; en effet, les nombres supérieurs à 4 ne peuvent être diviseurs de 4.
et pas  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  ; en effet, parmi les non-diviseurs de 4, on trouve un nombre (3) qui n’est pas supérieur à 4. Donc  EMBED Equation.3  n’implique pas  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .












Section 2 : Introduction au dénombrement
A. Ensembles finis et dénombrables
Un ensemble fini est un ensemble contenant 0 ou n éléments, n ( N+.
Le nombre d’éléments d’un ensemble fini E est appelé son cardinal, noté #E.
N.B. : #E = 0 ( E = (
Un ensemble est dit dénombrable si on peut indexer ses éléments par les entiers naturels, c’est-à-dire s’il existe une injection de N+ dans E.
B. Propriétés des cardinaux
Soit E un ensemble fini et A et B des parties de E :
#(A(B) = #A + #B - #( A(B).
Si A(B = (, #(A(B) = #A + #B.
# EMBED Equation.3  = #E - #A.
#(A\B) = #A - #( A(B).
Si B ( A, #(A\B) = #A - #B.
Si {A1, A2, A3, …, Am} est une partition de E, #E =  EMBED Equation.3 .
C. Produit cartésien et cardinal de ce produit cartésien

Soit deux ensembles E et F, leur produit cartésien, noté E x F, est l’ensemble des couples (x, y) avec x ( E et y ( F. Formellement E x F = {(x, y) : x ( E et y ( F}.

Si E et F sont deux ensembles finis, leur produit cartésien est aussi un ensemble fini et #(E x F) = #E.#F.

Généralisations :
         ((((( n fois
En = E x E x … x E et # En = (#E)n.

Soit n ensembles E1, E2, E3, …, En :
E1x E2x E3x …x En = {( x1, x2, x3, …, xn), xi (Ei, (i, i = 1, …, n},
et #( E1x E2x E3x …x En ) = #E1.#E2.#E3 … #En .

D. Modes de tirages

Très souvent, les épreuves (expériences stochastiques) impliquent la sélection aléatoire d’un élément ou d’un sous-ensemble d’éléments tirés d’un ensemble plus vaste. Cette sélection est appelée tirage.

On distingue :

Les tirages avec remise
L’élément ou les éléments sélectionnés sont analysés après tirage PUIS réintègrent l’ensemble de départ reconstituant le cardinal original de cet ensemble avant un prochain tirage.

N.B. :
Si l’ensemble est composé de symboles comme les chiffres ou les lettres, etc. reproductibles à l’infini, les tirages sont considérés comme « avec remise ».
Si la taille de E est très grande (#E = n ( () alors que p (le nombre d’éléments sélectionnés) est relativement faible : n >> p, les tirages seront considérés avec remise sans trop d’impacts sur les résultats.
Le nombre de résultats possibles associés à un tirage avec remise de p éléments dans les n éléments de l’ensemble est égal au nombre de p-listes (voir infra) distinctes que l’on peut générer à partir de l’ensemble soit (voir infra) : np.

Les tirages sans remise
Se caractérisent par le fait que le cardinal de l’ensemble à partir duquel le tirage est effectué, diminue au fur et mesure des tirages. (Attention au calcul des probabilités !).

Les tirages groupés
Le tirage groupé, appelé aussi « poignée », de p éléments est considéré comme une succession de p tirages sans remise.
Mais attention, dans ce cas des tirages groupés, le calcul des probabilités n’est pas identique au calcul des probabilités dans le cas des tirages sans remise car les méthodes de dénombrement diffèrent (voir exemples infra).

Section 3 : Techniques de dénombrement

Objectif : déterminer le cardinal d’ensembles finis.

A. Listes

On appelle p-liste de E, un ensemble à n éléments, toute suite de p éléments de E : (x1, x2, x3, …, xp), avec xi (E, (i, i = 1, …, p.

Exemples :

E = {R, V, B} : (R, B, B, V, V, R) est une 6-liste de E.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} : (1, 1, 2, 5, 4) est une 5-liste de E.
( ) est la 0-liste de E.

Dénombrement des p-listes de E :

Il y a : - n façons de choisir le 1er élément ;
n façons de choisir le 2ème élément ;
n façons de choisir le 3ème élément ;
…
n façons de choisir le pème élément, donc np possibilités.

Généralisation : les principes de multiplication et d’addition  :

Soit une expérimentation complexe qui peut être divisée en une séquence d’étapes (1, (2, (3, … et :
(1 a N1 résultats possibles,
n’importe quel résultat de (1 peut être suivi par N2 résultats de (2,
n’importe quelle combinaison de résultats de (1 et (2 peut être suivie par N3 résultats de (3,
et ainsi de suite …
alors l’expérience composée : (1 suivie de (2 suivie de (3, … a N1 x N2 x N3 x … résultats possibles (principe de multiplication).
Soit une situation où les épreuves (1, (2, (3, … ont respectivement N1, N2, N3, … résultats possibles différents, aucune de ses épreuves ne pouvant se dérouler simultanément à une autre, alors l’expérience composée : (1 ou (2 ou (3, … a N1 + N2 + N3 + … résultats possibles (principe d’addition).

B. Arrangements  :
E étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments de E, toute suite de p éléments distincts de E. On le note  EMBED Equation.3 .
Exemples :
E = [1, 6] ;
(1, 3, 5, 6) est un  EMBED Equation.3 de E ; (4, 1, 6, 2, 5, 3) est un EMBED Equation.3 de E.
(3, 1, 3, 4, 2, 5, 6) n’est pas un A de E ; (1, 2, 5) et (5, 1, 2) sont 2  EMBED Equation.3 de E.
E = {R, V, B} ;
(R), (B) et (V) sont les 3  EMBED Equation.3  possibles.
(R, B), (B, V ), (R, V), (B, R), (V, B) et (V, R)
sont les 6  EMBED Equation.3 possibles de E.
(R, B, V), (R, V, B), (V, R, B), (V, B, R), (B, V, R) et (B, R, V)
sont les 6  EMBED Equation.3  possibles.
Dénombrement :
Il y a n façons de choisir le 1er élément, (n-1) façons de choisir le 2ème élément, …, [n-(p-1)] façons de choisir le pème
donc  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 si p ( n et  EMBED Equation.3  = 0 si p > n.
 EMBED Equation.3 = 1 ;  EMBED Equation.3 = n ;  EMBED Equation.3 = n !.
C. Permutations
E étant un ensemble à n éléments, on appelle permutation, tout arrangement des n éléments de E.
Il y a n ! permutations de E si les n éléments sont distinguables entre eux.
N. B. :Quand il s’agit de classer N « objets », rangés en t groupes dont les éléments sont considérés comme indistinguables entre eux à l’intérieur de chaque groupe, il faut trouver le nombre de permutations distinctes de N objets quand N1 sont d’une sorte, N2 d’une autre, …, Nt de la tème sorte, avec N1 + N2 + …+ Nt = N. Ce nombre est alors :  EMBED Equation.3 .
(Voir infra exemple 7 pour une application de cette formule.)
Exemples :
E = [1, 6] : (4, 5, 6, 1, 2, 3) est une permutation de E ;
mais (3, 1, 3, 2, 4, 5) et (1, 5, 6, 2, 3) ne sont pas des permutations de E.
D. Combinaisons

E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de E, toute collection non ordonnée (partie) de p éléments distincts de E.

On la note  EMBED Equation.3 ou  EMBED Equation.3 (notation anglo-saxonne).

Exemples :
E = [1, 6] ; (1, 3, 5, 6) est une  EMBED Equation.3 de E ; (1, 5, 3) et (3, 1, 5) est une  EMBED Equation.3 de E.
E = {R, V, B} ; (R, B), (B, V ) et (R, V) sont les 3  EMBED Equation.3 possibles de E.

Dénombrement :

Il y a p! façons d’ordonner dans une suite p éléments distincts de E. Donc, à chaque combinaison de p éléments de E correspondent p ! arrangements de ces p éléments.

 EMBED Equation.3 = p!. EMBED Equation.3 donc  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 

Formules usuelles :

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 = 1
 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 = n
p. EMBED Equation.3 = n. EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 +  EMBED Equation.3  (formule de Pascal)
(x + y)n =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 x k.y n-k (formule du binôme)
 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  (formule de Vandermonde)
N.B. (Voir supra p. 0.8)
 EMBED Equation.3  : est le nombre de tirages distincts sans remise de p éléments dans E.

 EMBED Equation.3 : est le nombre de tirages groupés (poignées) distincts de p éléments dans E.
E. Diagrammes en arbre

Un diagramme en arbre est un moyen utilisé fréquemment pour énumérer tous les résultats possibles d’une séquence d’épreuves.

La technique du diagramme en arbre pour la résolution de problèmes est antérieure à l’utilisation de l’analyse combinatoire et a été utilisée dans le développement de celle-ci jusqu’au milieu du XIXè siècle, quand elle a été définitivement fixée.

Si le nombre d’épreuves consécutives ainsi que le nombre de résultats (le cardinal de l’espace d’échantillonnage) associés à chaque épreuve individuelle ne sont pas trop élevés, la technique s’avère très utile pour visualiser le résultat du produit cartésien de deux ou plusieurs ensembles.

La construction des arbres est illustrée dans l’exemple infra.
Exemple
Justine et Kim vont jouer un tournoi amical de tennis. La première à gagner deux parties de suite ou un total de trois parties aura remporté le tournoi.
Quel est le nombre de et quelles sont les configurations possibles du tournoi ?












Avec J (K) = « Justine (Kim) a gagné la partie. ».
Donc 10 configurations possibles du tournoi, en 2, 3, 4 ou 5 manches.
F. Exemples

Exemple 1 : 4 chemins relient le point A au point B, et 3 chemins relient B à C. Combien y a-t-il d’itinéraires pour aller de A à C ?
Il s’agit d’une succession d’épreuves élémentaires, donc le principe de multiplication peut s’appliquer, il existe donc 4 fois 3, soit 12 itinéraires reliant A à C. (N.B. Un diagramme en arbre peut également être utilisé).

Exemple 2 : On veut constituer une délégation de 4 personnes dans un groupe de 15. Combien y a-t-il de délégations possibles ?
 EMBED Equation.3 délégations.

Exemple 3 : Combien de tiercés dans l’ordre potentiels pour une course de 20 chevaux tous partants ? Idem, pour des tiercés dans le désordre ?
Pour les tiercés dans l’ordre :  EMBED Equation.3 tiercés.
Pour les tiercés dans le désordre :  EMBED Equation.3 tiercés.

Exemple 4 : 10 hommes et 6 femmes sont présents à une soirée.
Combien de pistes différentes (formées de couples) est-il possible de constituer pour danser ?
 EMBED Equation.3 pistes différentes.
N.B. Ici c’est le principe de multiplication qui s’applique, menant à une formule d’arrangement, et non pas une déduction directe d’analyse combinatoire.

Exemple 5 : 6 personnes se séparent. Combien de poignées de mains?
 EMBED Equation.3 poignées de mains.
N.B. ! Il est possible d’arriver au même résultat par une application directe du principe d’addition : en effet, la 1ère personne doit serrer la main à 5 autres puis partir ; la 2ème, à 4 autres puis partir ; , la 3ème , à 3 autres ; la 4ème à deux autres et enfin la 5ème à la 6ème. Soit 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 poignées de mains.

Exemple 6 : Un jeu standard de dominos compte 28 pièces. Justifiez.
7 figures sont utilisées : blanc et les nombres de 1 à 6, et sont combinées deux à deux, donc on a déjà  EMBED Equation.3 , auxquelles il faut ajouter les « doubles » au nombre de 7. On obtient bien 28 pièces.

Exemple 7 : Dans une compétition sportive, on retrouve en finale quatre Français, trois Italiens et trois Espagnols.
Combien existe-t-il de possibilités de classement des sportifs ?
Combien existe-t-il de possibilités de classement des nationalités ?

P10 = 10 ! possibilités.
 EMBED Equation.3 possibilités.
N.B. ! Parmi les 10 ! classements possibles de sportifs, il en existe un certain nombre qui sont indistinguables les uns des autres si la nationalité des sportifs qui importe pas leur individualité. Dans ce point b), il s’agit de classer les 10 sportifs, rassemblés en trois groupes (les nationalités), chaque citoyen d’une nationalité étant considéré comme indistinguable d’avec un citoyen de la même nationalité. Il faut donc trouver le nombre de permutations différentes de N (10) sportifs quand N1 (4) sont français, N2 (3) italiens et N3 (3) espagnols.
Ce nombre est alors : EMBED Equation.3 . (Formule des permutations avec répétitions)

Annexe au chapitre 0 : Exercices récapitulatifs
Exercice 0.1 :
Un cadre doit visiter cinq ateliers (A, B, C, D, E) chaque semaine. Il visite un (et seul) atelier différent chaque jour, du lundi au vendredi. Il choisit l’ordre de ses visites AU HASARD tous les dimanches.
De combien de façons différentes peut-il organiser ses tournées ?
Idem sur deux semaines ?
Exercice 0.2 :
Pour me rendre à mon travail, je dispose du métro, je peux marcher et trois bus peuvent me mener à destination.
De combien de possibilités de me rendre à mon travail puis-je bénéficier ?
Exercice 0.3 :
Soit les ensembles M={Albert, Charles, Bernard} et F={Danielle, Françoise}. Ecrire M x F en extension et via deux représentations du diagramme en arbre.
Exercice 0.4 :
Trouver P(S) avec S={a, b, c}. Quel est le #P (S) ?
Exercice 0.5 :
Ecrire en extension :
A={x : x²-x-2 =0}.
B={x : x est une lettre dans le mot « PROBABILITES »}.
C={x : x² = 9, x-3 = 5}.
Exercice 0.6 :
Vrai ou faux :

{2, 5, 4} = {4, 5, 2}.
{4, 2, 3} ( {2, 3, 4}.
{4} ( {{4}}.
Ø ( {{4}}.
{4} ( {{4}}.
1 ( {1, 2, 3, 4}.


Exercice 0.7 :
Un homme qui possède 1 ¬ joue aux dés. A chaque fois qu il joue, soit il gagne 1 ¬ si le résultat est pair, soit il perd 1 ¬ si le résultat est impair. Il peut jouer au maximum cinq fois et arrête de jouer avant la fin s il a tout perdu ou s il a gagné 3 ¬ (donc s il possède 4 ¬ ). De combien de façons les paris peuvent-ils s établir ?
Peut-il terminer le jeu avec la même somme qu au départ, soit 1 ¬  ?
Résolvez par le diagramme en arbre.
Exercice 0.8 :
Soit le plan suivant d un parc à allées rectilignes. Un homme s’y promène tous les jours, commence toujours sa promenade en allant de X en R et se déplace (sur le plan) horizontalement ou verticalement une étape à la fois. Il s’arrête quand il ne peut continuer à marcher sans passer deux fois sur le même point. Il modifie sa promenade tous les jours. Combien de promenades différentes sont-elles possibles ?

A B C


R S T


X Y Z

Exercice 0.9 :
Une femme dispose de deux bagues identiques. Elle décide de les mettre, soit à l’index, soit au majeur, soit à l’annulaire de la main droite. Elle change chaque jour la disposition de ses bagues.
Combien de temps maximum se passe-t-il entre deux dispositions identiques ?
Quid si les bagues sont différentes ?
Exercice 0.10 :
Le titulaire d’une classe de 11 garçons et 9 filles doit choisir 3 d’entre eux pour représenter sa classe à un concours inter-écoles.
De combien de façons peux-il constituer l’équipe ?
Idem s’il s’impose de choisir un garçon et deux filles ?
Idem s’il s’impose de choisir une fille et deux garçons ?
Exercice 0.11 :
Madame A. Lamode dispose aujourd’hui de 3 vases de Chine, de deux cristaux de Bohème et d’un saladier du Val-Saint-Lambert, tous ces objets sont différents. Elles les expose fièrement sur une planche de la vitrine de son salon et se donne comme règle de disposer différemment ces objets chaque fois qu’elle reçoit ses amies pour le thé.
Combien de fois peut-elle inviter ses amies sans répéter une disposition déjà réalisée :
si aucune restriction n’est mise sur la disposition ?
si les vases de Chine doivent être rangés ensemble et les cristaux de Bohème également ?
si seuls les vases de Chine doivent se trouver ensemble ?
Monsieur Lamode a promis à son épouse de lui offrir un nouveau Val-Saint-Lambert quand la situation de répétition d’une disposition se produira.
Après cet événement, que deviennent les prévisions du nombre d’invitations dans les trois cas ?(Pour cette question, on supposera qu’au point b) les vases Val-Saint-Lambert restent groupés ensemble.)
Exercice 0.12 :
Dans les « Noces de Figaro », W.A. Mozart à composé une œuvre où les ensembles de taille variable amènent tous les protagonistes à se rencontrer. Il rompait, se faisant, avec la tradition de l’opéra classique et, en innovant de la sorte, produisait un chef d’œuvre absolu de la culture.
Le célèbre chef d’orchestre P.Avaroti a contacté cinq chanteurs et sept chanteuses qui seraient susceptibles d’être retenus pour la distribution de la nouvelle production des « Noces » que l’Opéra National lui a demandé de diriger la saison prochaine. Deux chanteurs sont nécessaires et 3 chanteuses.
Combien de distributions différentes peut-il envisager ?
Parmi les chanteuses pressenties, la diva C. Astafiore refuse absolument de partager la scène avec L. Acallas dont elle est très jalouse. P.Avaroti n’envisage donc pas de les faire chanter ensemble. Combien de possibilités de distribution lui reste-t-il ?

CHAPITRE 1 :
PROBABILITéS éLéMENTAIRES

Introduction : les deux modes d’inférence

La modélisation et le calcul des probabilités visent à réduire l’incertitude dans des situations marquées par un résultat aléatoire, et cela, selon deux modes possibles d’inférence : la méthode classique et l’approche bayesienne.

A. La méthode classique

Cette méthode met en relation la population avec l’échantillon selon deux approches possibles.

De la population vers l’échantillon
De l’échantillon vers la population

Exemples :
Soit un échantillon représentatif dont k% de l’effectif possèdent une caractéristique précise :
Quelles sont les chances d’observer un certain pourcentage dans l’échantillon alors que n% de la population possèdent cette caractéristique ?
Etant donné k% dans l’échantillon, quel pourcentage de cette caractéristique pourra-t-on observer dans la population ?

B. La méthode bayesienne (Thomas Bayes 1702-1761)

Utilise l’information a priori et l’intègre à l’information observée sur l’échantillon. (Voir infra chapitre 3.)

C. Plan du chapitre :

Section 1 : Vocabulaire de base du langage probabiliste
Section 2 : Définitions alternatives de la probabilité
Annexes au Chapitre 1 : Exemples et exercices

Section 1 : Vocabulaire de base du langage probabiliste

Définitions : univers, expérience, épreuve, tirage, événement élémentaire, événement composé.

A. Expérience, épreuve, univers

Une expérience ou un tirage est une opération qui consiste à faire le relevé de différents résultats.

L’expérience (ou le tirage) est dite aléatoire – et porte alors le nom d’épreuve – si son résultat est un élément imprévisible d’un ensemble bien déterminé appelé univers (des possibles) (ou encore espace d’échantillonnage ou encore ensemble élémentaire). On le représente usuellement par S, E ou (.

Donc, dans le cas d’une épreuve, la connaissance que l’on possède des conditions initiales ne permet pas de prévoir avec certitude le résultat final.
Exemple : le lancer d’un dé honnête.

Epreuve ou expérience stochastique : notions
Définition : une épreuve ou expérience stochastique est une expérience dont les conditions connues de réalisation ne permettent pas de prévoir un résultat unique.
On utilise également les expressions : expériences aléatoires ou expérimentations stochastiques.

Exemples :
Enregistrer le sexe du prochain bébé qui va naître à la maternité voisine.
Interroger 100 clients au supermarché, enregistrer le nombre de ceux qui ont entendu parler d’une nouvelle marque de poudre à lessiver.
Tester les composants électroniques qui sortent de chaîne, enregistrer le nombre de composants corrects jusqu’au premier composant défectueux.
Cultiver une nouvelle sorte de tomate, enregistrer la production d’un plan.
Opérer quelqu’un du cancer du poumon, enregistrer le temps qui s’écoule avant une rechute.
Enregistrer le poids de jumeaux à la naissance.

Commentaires :
Dans le cas des expériences aléatoires c), d) et e) , le chercheur peut exercer un contrôle sur certains paramètres.
Dans les cas a), b) et f), le chercheur ne peut qu’observer passivement.
L’observation qui résulte de l’expérience s’appelle le résultat (outcome). Le résultat peut être : qualitatif ou quantitatif ; unique ou multiple.
Les expériences des 6 exemples sont toutes stochastiques ou aléatoires. En effet, dans chaque cas, l’expérience pouvait donner un résultat parmi les multiples possibles :
Fille ou garçon
0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou … ou 100
 ?
etc., sans pouvoir le prévoir avec certitude.
Dans le cas contraire, on parle d’expériences déterministes, c’est-à-dire d’expériences dont les conditions de réalisation déterminent à coup sûr le résultat.
L’ensemble élémentaire ou l’espace d’échantillonnage : notions

Définition : l’espace d’échantillonnage est la liste des tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.
Il est décrit mathématiquement comme un ensemble ; en conséquence, on le désigne également comme l’ensemble élémentaire.
Formellement l’espace d’échantillonnage est un ensemble S (ou E) dans lequel chaque résultat de l’expérience est représenté par un et un seul élément.

Exemples :
Enregistrer le nombre d’ampoules lumineuses défectueuses dans une boîte d’une douzaine.
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ou S = {x : 0 ( x ( 12, x ( (}
Estimer le nombre de jours de la semaine durant lesquels il pleut.
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ou S = {x : 0 ( x ( 7, x ( (}
Le 15 août, enregistrer le nombre d’automobiles passant dans le tunnel Léopold II en direction du littoral.
S = {0, 1, 2, 3, …} ou S = {x : x ( (}
N.B. : Cet ensemble est a priori dénombrable ; a posteriori, il sera fini.
Enregistrer la hauteur (en m.) d’un arbre dans la forêt.
S = {x : x > 0, x ( (}
Enregistrer le poids (en grs) de jumeaux à la naissance.
S = {(x,y) : x > 0 et y > 0, x ( (}
Enregistrer le sexe des enfants dans une famille de trois enfants.
Plusieurs possibilités :
S = {FFF, FFG, FGF, GFF, GGF, GFG, FGG, GGG}
: la plus informative : ordre et nombre de filles (F) et de garçons (G).
ou
S = {0, 1, 2, 3}
: la moins informative : seulement le nombre de représentants d’un sexe.
Exercices :
Ecrire les espaces d’échantillonnages associés aux expériences aléatoires suivantes :

Le nombre de parties de dames que vous gagnez dans une série de trois jeux avec un ami.
Le nombre de visites chez le médecin en un an.
Le temps en minutes que met un service d’urgence pour se trouver à l’endroit voulu après avoir reçu un coup de téléphone urgent.
La différence de taille (en cms) entre époux.
Le temps en minutes que vous devez attendre à la poste pour être servi.
Le nombre de réponses correctes données lors d’un test de connaissance générales
par un candidat à qui on soumet 100 questions ;
par chacun des deux candidats à qui on a posé à chacun séparément 100 questions.
B. Evénements élémentaires, événements et événements composés

Chaque résultat individuel possible d’une épreuve est appelée événement élémentaire. Cet événement élémentaire ne peut être décomposé en d’autres événements.

On le note ei (i = 1, 2, …, n) et, par conséquent : S= { e1, e2 e3 …, en}1.
Les événements élémentaires réalisent une partition de S : ei ( ej = (, (i `" j et
 EMBED Equation.3 .

Exemples : pile ou face ;
un, deux, trois, quatre, cinq ou six après le lancer d un dé honnête.

Un événement (définition générale) est un sous-ensemble de l ensemble élémentaire S. C est donc un élément de P (S).

a) Propriétés des événements et événements composés

Si S est fini ou dénombrable, l’ensemble des événements étudiés lors d’une épreuve est P (S).
Si S n’est pas dénombrable, l’ensemble des événements étudiés est seulement inclus dans P (S).

Evénements composés : (cfr. infra, ch. 2, le cas des probabilités composées.)

Si A et B désignent deux événements associés à une épreuve ( :
A ( B désigne la réalisation simultanée de A et B, on parle aussi du produit des événements A et B.

A ( B désigne la réalisation d’un au moins des événements A ou B, on parle aussi de la somme des événements A et B.

Un exemple : le lancer d’un dé honnête :

S = {1, 2, 3 , 4 , 5 , 6},
on définit : A : « Obtenir 1 ou 2. »,
B : « Obtenir 3 ou 4 ou 5. »,
C : « Obtenir 2 ou 3 ou 6. »,
G : « Obtenir un résultat ( 5. »,
H : « Obtenir 1 ou 2 ou 3 ou 6. ».

Somme d’événements :

A = e1 ( e2 , B = e3 ( e4 ( e5 et C = e2 ( e3 ( e6 sont trois événements composés d’événements élémentaires de l’espace S.

G = A ( B ou H = A ( C sont des événements composés à partir d’autres événements composés.

Produits d’événement ou événements joints :

K : « Obtenir 2 » = A ( C.

R : « Obtenir un résultat ( 3 » = G ( H.
b) Evénements : un exemple

Soit 100 ménages répartis selon 3 classes de revenus :
La classe M : revenus modestes : ( 12.500 ¬  ;
La classe I : revenus intermédiaires : > 12.500 ¬ , ( 25.000 ¬  ;
La classe E : revenus élevés : > 25.000 ¬ .

Soit l épreuve ( : « Tirer aléatoirement trois ménages ».

#S = 27, car on peut dénombrer 27 événements élémentaires composant S, l espace d’échantillonnage de l’épreuve (.

En effet par le principe de multiplication, on peut décomposer l’épreuve en trois épreuves plus simples (i (i = 1, 2, 3) : « Tirer aléatoirement un ménage » successives, pour chacune desquelles il existe trois résultats possibles : M ou I ou E, avec :
M, l’événement élémentaire de l’épreuve (i  : « Tirer un ménage à revenu modeste » ;
I, l’événement élémentaire de l’épreuve (i  : « Tirer un ménage à revenu intermédiaire » ;
E, l’événement élémentaire de l’épreuve (i  : « Tirer un ménage à revenu élevé ».
A chacune de ces épreuves (i (i = 1, 2, 3) est associé un espace d’échantillonnage Si = {M, I, E}, avec # Si = 3 .
Et donc # S = S1 . S2 . S3 = 3³ = 27.



Schématiquement :
Dans cet arbre, un ième tirage est considéré comme une épreuve simple (i :








Avec quatre événements élémentaires de l’espace d’échantillonnage S.

c) Evénements et langage probabiliste

Le vocabulaire particulier utilisé pour caractériser certains types d’événements est parallèle au et inspiré du langage ensembliste.

L’événement impossible : la partie vide de S, ( ( P (S).
L’événement certain : S.
L’événement contraire ou complémentaire de A :  EMBED Equation.3  S\ A, c’est-à-dire l’événement qui se réalise quand A ne se réalise pas.
Deux événements incompatibles A et B sont des parties disjointes de P (S) sans éventualités communes, ( A ( B = (.
« L’événement A implique l’événement B » est équivalent à « la partie A (de S) est incluse dans la partie B (de S) », ( A ( B. Si A est réalisé, alors B est également réalisé.

Exemples : on lance un dé honnête (non pipé), l’événement :
« On obtient un nombre entier » est un événement certain ;
« On obtient un sept» est un événement impossible ;
« On obtient un multiple pair de trois » est un événement élémentaire : {6} ;
« On obtient un nombre impair » est un événement complémentaire de l’événement « On obtient un nombre pair » : {1, 3, 5} ( {2, 4, 6} = ( et {1, 3, 5} ( {2, 4, 6} = S ;
« On obtient un multiple de trois » implique l’événement « On obtient un nombre supérieur ou égal à trois » : {3, 6} ( {3, 4, 5, 6} ;
« On obtient trois » est incompatible avec l’événement « On obtient un » :
{3} ( {1} = (.
C. Exemples et exercices

Exemple 1 : On lance un dé honnête, donc S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
On note A et B les événements :
A : « on obtient un nombre pair » ( A = {2, 4, 6} ;
B : « on obtient un multiple de trois» ( B = {3, 6} .
A ( B est l’événement « on obtient un multiple pair de trois » = {6}.
A ( B est l’événement « on obtient un nombre pair ou un multiple de trois » = {2, 3, 4, 6}.

Exemple 2 : On lance trois fois un dé honnête, et on note la suite (x, y, z) des nombres obtenus, donc S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}³.
Soit Ai l’événement : « on obtient un as au ième lancer, i = 1, 2, 3 ».
A1 ( A2 ( A3 est l’événement « on obtient un as aux trois lancers »,
A1 ( A2 ( A3 est l’événement « on obtient un as au moins au cours des trois lancers ».

Exemple 3 : Soit un jeu de hasard consistant à lancer à la fois une pièce équilibrée et un dé honnête. Soit Sp = {P, F} et Sd = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, les ensembles élémentaires de chaque épreuve séparée. Décrire Sj , l’ensemble élémentaire du jeu.
Sj = {(P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6), (F,1), (F,2), (F,3), (F,4), (F,5), (F,6)}, le produit cartésien des espaces d’échantillonnage Sp et Sd.
Exemple 4 : Un médecin doit rendre visite à trois patients : Albert (A), Béatrice (B) et Charles (C). Il (Elle) est libre de choisir l’ordre des visites.

L’espace d’échantillonnage des choix possibles, S, peut s’écrire : S = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} avec #S = 6.
Définissons les événements :
E : « Le médecin visite A avant B », donc E = {ABC, ACB, CAB} ;
F : « Le médecin visite B avant C », donc F = {ABC, BAC, BCA} ;
G : « Le médecin visite C avant A », donc G = {BCA, CAB, CBA }.
 EMBED Equation.3  , l’événement complémentaire de E, = {BAC, BCA, CBA} représente l’événement : « Le médecin visite A après B » ou « Le médecin ne visite pas A avant B » ou encore « E ne se produit pas ».
E ( F = {A, B, C}
représente l’événement : « Le médecin visite A avant B et B avant C ».
Similairement, F ( G = {B, C, A} et G ( E = {C, A, B}.

E ( F ( G = (, en effet l’événement : « Le médecin visite A avant B et visite B avant C et visite C avant A » est impossible.

E ( F ( G = S, en effet l’événement : « Le médecin visite soit A avant B, soit B avant C, soit C avant A » est un événement certain.

E ( F = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB}, représente l’événement : « Le médecin visite soit A avant B, soit B avant C ».
Exercice 1.7 :
Pour un lot d’une douzaine d’ampoules à tester, représentez l’espace d’échantillonnage S :
ainsi que les événements suivants comme des sous-ensembles  de l’espace d’échantillonnage S :
« Une ampoule est défectueuse. » : A ;
« Au moins une ampoule est défectueuse. » : B ;
« Au plus une ampoule est défectueuse. » : C.

Exercice 1.8 :
Voici une liste d’événements associés aux épreuves décrites dans une série précédente d’exercices. Décrivez chaque événement comme un sous-ensemble de l’espace d’échantillonnage adéquat :
« Vous gagnez au moins deux parties de dames. » : A ;
« Votre ami gagne au moins deux parties de dames. » : B :
« Vous ne rendez pas visite au médecin plus de deux fois par an. » : C ;
« L’ambulance arrive en moins de cinq minutes. » : D ;
« L’ambulance met plus de dix minutes pour arriver. » : E ;
« L’épouse est plus grande que son mari. » : F ;
« Le premier candidat donne au moins 75 réponses correctes. » : G ;
« Le second candidat donne au moins 75 réponses correctes. » : H ;
« A eux deux, les candidats donnent au moins 150 réponses correctes. » : I.
Exercice 1.9 : Vous allez lancer une pièce de monnaie trois fois de suite. Ecrivez les espaces d’échantillonnage correspondant  :
aux résultats des lancers dans l’ordre où ils se présentent :
au nombre total de « faces » obtenues :
au nombre de « piles » obtenues avant la première face :

Exercice 1.10 :
Soit un dé honnête.
Ecrivez l’espace d’échantillonnage S correspondant à l’épreuve du lancer unique de ce dé :
Ensuite écrivez les événements suivants comme des sous-ensembles de l’espace d’échantillonnage S :
« Le score obtenu est un nombre impair. » : A :
« Le score obtenu est au plus 2. » : B :
« Le score obtenu est 6. » : C :
Ensuite, écrivez les sous-ensembles suivants de S avec une brève description des évènements qu’ils représentent (si possible) :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Section 2 : Définitions de la probabilité

Cinq approches et quatre définitions :
approche intuitive ;
approche et définition fréquentiste ;
approche et définition classique ;
approche et définition subjective ;
approche et définition axiomatique.
A. Approche intuitive

Soit une urne U contenant 10 boules blanches, 20 boules rouges, 70 boules bleues, indistinguables au toucher.
Si on tire une boule au hasard, on dit qu’il y a plus de chances, qu’il est plus probable, de tirer une boule bleue. De même on dit qu’il est plus probable de tirer une boule rouge qu’une boule blanche.
En formalisant l’intuition en fonction de l’information disponible, on dira que P(Bl) = 0,7, P(W) = 0,1 et P(R) = 0,2,
avec, Bl = « Tirer une boule bleue. » ;
W = « Tirer une boule blanche. » ;
R = « Tirer une boule rouge. ».

B. Approche et définition fréquentiste

B.1. La probabilité comme limite de la fréquence d’observation
Soit E, une épreuve dont l’ensemble élémentaire est S et A, un événement associé à E. (A ( P (S)). On montre par l’expérience que l’approche intuitive tend à être vérifiée.

Exemple : (une expérience à réaliser soi-même.)
Le tirage répété d’une boule de l’urne U. A chaque tirage, on note le résultat.
L’épreuve est répétée (dans les mêmes conditions) n (10) fois, puis n’ (100) fois, puis n’’ (100.000) fois, et enfin n’’’ (1.000.000) fois. Notons nA, nA’, nA’’, nA’’’, le nombre de réalisations de A au cours de ces quatre séries d’épreuves.
On constate que les fréquences (fA, fA’, fA’’, fA’’’) se rapprochent quand le nombre d’épreuves augmente et tendent vers les proportions dans lesquelles les couleurs sont effectivement représentées dans l’urne.
Résultats d’une expérience similaire à celle qui est décrite supraAnAfAnA’fA’nA’’fA’’nA’’’fA’’’W10,1150,1510.1020,101100.9730,101R10,1220,2220.9440,209203.4520,203Bl80,8630,6368.9540,690695.5750,696Total1011001100.00011.000.0001nn’n’’n’’’
Cette expérience, et toutes celles qui lui sont similaires, laisse penser que sur une série illimitée (et donc hypothétique) d’épreuves, la fréquence de A sur les n premières épreuves, tendra, pour n tendant vers l’infini, vers un nombre déterminé, attaché à l’événement et indépendant de la série d’épreuves considérée, c’est ce nombre dont la valeur exacte demeure inconnue que nous appelons probabilité de l’événement A.
 EMBED Equation.3 P (A) =  EMBED Equation.3  (inconnue).
Cette définition n’est qu’approximative, mais va permettre une définition mathématique précise en se basant sur certaines propriétés caractéristiques des fréquences.
On nomme ce phénomène de convergence de la fréquence vers un nombre stable, la régularité statistique, principe fondamental de l’approche fréquentiste des probabilités.
Une expérience réelle (cfr Mc Coll)
Sur son chemin de retour de l’école, chaque élève d’une classe s’arrête quelque part et observe le passage de 20 automobiles. Il note le nombre de véhicule bleus parmi les 20. Le relevé suivant recense les observations des 16 élèves de la classe : {6, 5, 4, 5, 5, 9, 3, 4, 5, 5, 4, 7, 5, 6, 6, 5}.
Calculer les fréquences cumulées de l’événement : « La voiture est bleue » après l’enregistrement des données de chaque élève.
En faire le graphique et montrer la régularité statistique.
Quelle est la probabilité dans cette localité qu’une voiture choisie au hasard ne soit pas bleue ?
élèvenb d'obs.nb bleuescumul obs.cumul bleuesfréquencecumul non bleuesfréquence12062060,3000140,7000220540110,2750290,7250320460150,2500450,7500420580200,2500600,75005205100250,2500750,75006209120340,2833860,71677203140370,26431030,73578204160410,25631190,74389205180460,25561340,744410205200510,25501490,745011204220550,25001650,750012207240620,25831780,741713205260670,25771930,742314206280730,26072070,739315206300790,26332210,736716205320840,26252360,7375
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
B.2. Propriétés élémentaires d’une probabilité
La probabilité d’un événement A quelconque, notée P(A), est un nombre (une mesure) : 0 ( P(A) ( 1.
Si P(A) = 0, alors A est un événement impossible.
Si P(A) = 1, alors A est un événement certain .
Exemple : le lancer d’une pièce équilibrée :
A = « Obtenir pile ou face » est un événement certain, P(P(F) = 1,
A = « Obtenir pile et face » est un événement impossible, P(P(F) = 0.
Soit A = {ek1, ek2, ek3, …, ekp}, un événement associé à l’ensemble élémentaire S.
Si A est la réunion disjointe des événements élémentaires ek1, ek2, ek3, …, ekp, deux à deux incompatibles,
A = {ek1, ek2, ek3, …, ekp} = ek1 ( ek2 ( ek3 ( … ( ekp,
alors P(A) = P(ek1) + P(ek2) + P(ek3) + … + P(ekp) .

Lorsque e1, e2, e3, …, en sont les n événements élémentaires qui réalisent la partition de l’espace d’échantillonnage S, alors  EMBED Equation.3 (ei) = 1 et donc P(S) = 1.
Soit deux événements A et  EMBED Equation.3  , avec A = e1 ( e2 ( e3 ( …( ek
et  EMBED Equation.3  = ek+1 ( ek+2 ( ek+3 ( …( en et  EMBED Equation.3 ei = S.
Donc  EMBED Equation.3  = S\A, A et  EMBED Equation.3  réalisent une partition de S, A (  EMBED Equation.3  = S, A (  EMBED Equation.3  = ( et  EMBED Equation.3  est appelé le complémentaire de A,
alors P( EMBED Equation.3 ) = 1 – P(A)
puisque P(S) = P(A) + P( EMBED Equation.3 ) = 1.
B.3. Limite épistémologique de la définition fréquentiste

La définition fréquentiste ne donne pas de valeur précise à la probabilité d’un événement, c’est donc une définition approximative peu satisfaisante.
En effet, on n’a jamais pu effectuer (même avec les ordinateurs les plus modernes) un nombre infini d’épreuves. On observe seulement la tendance de la limite de la fréquence vers la proportion dans la population,
Donc il est « PROBABLE » que cette proportion soit la valeur limite de la fréquence.
La « circularité » de la définition fréquentiste est peu acceptable.

C. Approche et définition classique

L’approche classique prend sa source dans l’étude des jeux de hasard qui sont toujours utilisés à titre pédagogique (lancer d’une pièce, d’un dé honnête, tirage de cartes).
C.1. définition : la formule de Laplace
S’il y a dans, dans un univers donné U, #P résultats possibles pour une épreuve E, mutuellement exclusifs, épuisant toutes les possibilités, équiprobables, dont #F sont favorables (à la réalisation de l’événement A) et donc #P - #F qui sont défavorables, alors on peut calculer la probabilité de A comme :
 EMBED Equation.3 

C.2. Un exemple de probabilité de sélection dans un sondage
Soit notre échantillon de 100 ménages avec #M = 70, #I = 20, #E = 10. On demande la probabilité de « Tirer lors de notre épreuve trois ménages qui ont le même niveau de revenu » : A.
A = ((M( M( M) ( (I( I( I) ( (E( E( E)) = (M ( I ( E )
Soit F, l’ensemble des tirages favorables =
{{M(M(M} ( {I(I(I} ( {E(E(E}} ou {M ( I (E }.
#P =  EMBED Equation.3 cas possibles.
#F = #M + #I + #E =  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 cas favorables.
Donc  EMBED Equation.3 
C.3. Les limites de l’approche classique (outre la circularité de la définition)
L’énumération (le dénombrement) des cas est fastidieux et l’application de la formule classique n’est pas possible en cas de non équiprobabilité. D. Définition subjective

La probabilité subjective est la mesure du « degré de confiance » qu’un individu a dans la survenance d’un événement particulier, compte tenu de l’information dont il dispose.
Exemples : la probabilité de vivre jusqu’à 150 ans dans le demi-siècle qui s’annonce, de gagner la prochaine coupe du monde de football, …
Limite : la contrainte de cohérence est difficile à respecter.

E. Approche et définition axiomatique
L’approche axiomatique des probabilités essaie de surmonter les limites des approches précédentes (peu de rigueur ou de cohérence dans les approches intuitives et subjectives, circularité de la définition dans les approches fréquentistes et classiques) au prix d’une abstraction plus grande.
Ses fondements ont été établis par Kolmogorov vers 1920.
Cette approche, la plus rigoureuse, permet de traiter les cas d’univers non seulement finis mais aussi seulement dénombrables ou même non dénombrables.

E.1. Définition
La probabilité d’un événement élémentaire ei , parmi tous les résultats possibles, dénombrables ou non, d’une épreuve, est un nombre qui satisfait aux axiomes suivants :
0 ( P(ei) ( 1.
P(S) = 1, avec S, l’ensemble élémentaire de l’épreuve.
P(A) = P(ei) + P(ej) si A = ei ( ej et ei ( ej = (.

E.2. Extension de la définition aux événements : tribus et (-algèbre
Cette extension de la définition mène au concept de (-algèbre, encore connu sous l’expression d’espace probabilisable.
Soit E, une épreuve et S, son ensemble élémentaire associé, on appelle tribu ou (-algèbre d’événements, tout sous-ensemble A inclus dans P (S), contenant S, stable par passage au complémentaire et par union finie ou dénombrable. C’est-à-dire (
A ( P (S) ;
S ( A ;
E ( A ( ~E = S\E ( A ;
Ei ( A, i ( I alors (i(IEi ( A .
Le couple (S, A) sera alors appelé espace probabilisable.

E.3. Algèbre de Kolmogorov ou espace probabilisé 

Définition :
Soit E une épreuve, S, son ensemble élémentaire associé, A une tribu ou (-algèbre d’événements,
on appelle probabilité sur (S, A) toute application P : A ( R telle que :
0 ( P(E) ( 1, E ( A.
P(S) = 1, avec S, l’ensemble élémentaire de l’épreuve.
Pour toute famille finie ou dénombrable (Ei) i(I d’événements de A, deux à deux incompatibles, P((i(IEi ) = ( i(IP(Ei).

Le triplet (S, A, P) est alors appelé espace probabilisé ou parfois algèbre de Kolmogorov.

Conclusion au Chapitre 1

Il y a désaccord à propos de ce que signifie vraiment le concept précis de probabilité.
Il y a accord sur son interprétation générale (mesure de la vraisemblance d’occurrence d’un événement lors d’une épreuve) et sur la façon dont les probabilités doivent être manipulées pour donner des résultats opérationnellement adéquats.
Annexe 1 au chapitre 1 : Exemples
Exemple 1 : Révision de l’approche classique à partir de l’épreuve E : « On tire une carte d’un jeu non marqué de 32 cartes ». (Jeu non marqué = cartes non distinguables à la vue et au toucher si leur face est cachée.)
P.N. : S={32 éventualités équiprobables},
donc l’approche classique peut s’appliquer.
Soit les événements : H = « Tirer un habillé ».
 A = « Tirer un as ».
 C = « Tirer un cœur ».
Une représentation graphique :
1RDV10987`&1RDV10987c&1RDV10987f&1RDV10987e&Questions :
P(H) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ?)
P(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un cSur ?)
P(H(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un cSur habillé ?)
P(H(A) ? (Quelle est la probabilité de tirer un as habillé ?)
P(H(A) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ou un as?)
P(H(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ou un cœur ?)
P(~H) ? (Quelle est la probabilité de tirer un non-habillé ?)

N.B. : Réfléchir à la qualification des événements (somme, produit, incompatibles, certains, impossibles, …) et des épreuves (élémentaires, complexes, …) permet d’assurer une bonne modélisation et/ou un bon contrôle de la solution
P(H) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ?)
P(H)  EMBED Equation.3 .
P(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?)
P(C)  EMBED Equation.3 .
P(H(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un cœur habillé ?)
P(H(C)  EMBED Equation.3 .
N.B. Cet événement est un événement produit : dans le cas de cet exemple simple : P(H(C) = P(C).P(H)  EMBED Equation.3 . Cependant pour que cette formule soit applicable, des conditions particulières d’indépendance doivent être respectées (comme dans l’exemple présent), voir infra chapitre 2.

P(H(A) ? (Quelle est la probabilité de tirer un as habillé ?)
P(H(A) = 0 ;  EMBED Equation.3 .
En effet, P(H(A) est un événement impossible, H(A = (, H et A sont incompatibles.
N.B. Cet événement est un événement produit : dans le cas de cet exemple simple : P(H(A) = 0 ( P(H).P(A)  EMBED Equation.3 . Dans cet exemple, les conditions particulières d’indépendance mentionnées supra ne sont pas respectées. (Voir infra chapitre 2.)
P(H(A) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ou un as?)
P(H(A)  EMBED Equation.3 .
N.B. Cet événement est un événement somme : dans le cas de cet exemple simple : P(H(A) = P(A) + P(H)  EMBED Equation.3 . Cependant pour que cette formule soit applicable, des conditions particulières d’incompatibilité doivent être respectées (comme dans l’exemple présent), voir également infra chapitre 2.
P(H(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ou un cœur ?)
A ce stade, seuls le dénombrement et la formule classique peuvent permettre de répondre à la question.
P(H(C)  EMBED Equation.3 .
N.B. Cet événement est un événement somme : dans le cas de cet exemple simple : P(H(C) ( P(H) + P(C). car les conditions particulières d’incompatibilité ne sont pas respectées ici. En effet, dans le jeu de 32 cartes, il existe trois cartes qui soit à la fois des cartes de cœur et habillées (R(, D(,V(). On dit alors que les événements H et C sont compatibles. Pour traiter ce cas par formule, voir infra chapitre 2.

P(~H) ? (Quelle est la probabilité de tirer un non-habillé ?)

~H est l’événement complémentaire à H dans S. Autrement dit, l’événement (~H (H) = S. On dit que ~H et H forment toujours un système complet d’événements (S.C.E.). (Voir infra chapitre 3.)
Or S est un événement certain, donc P(S) = 1.
Et par définition, ~H et H sont incompatibles,
donc P(~H(H) = P(~H) + P(H) ( P(S) = P(~H) + P(H) ( 1 = P(~H) + P(H) ( P(~H) = 1 - P(H) = 1 -  EMBED Equation.3 .

Le dénombrement et la formule classique permettent également de répondre à la question.
P(H(C)  EMBED Equation.3 .
Exemple 2 : Tirages groupés ou non
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 10.
On tire 2 boules, l’une après l’autre, sans remise. Calculer la probabilité de l’événement A : « La somme des numéros égale 10 ».
Calculer la probabilité de l’événement A si les deux boules sont tirées simultanément, c’est-à-dire par poignées.
Calculer la probabilité de l’événement A si les deux boules sont tirées l’une après l’autre avec remise.

P.N. Il n’y a pas que l’événement considéré qui influe sur la mesure de la probabilité, la façon dont l’épreuve se produit la détermine également.

#P = EMBED Equation.3 = 10 . 9 = 90
et F = {(1, 9), (9, 1), (2, 8), (8, 2), (3, 7), (7, 3), (4, 6), (6, 4)} donc #F = 8.
Donc P(A) =  EMBED Equation.3 = 0,0889.

#P =  EMBED Equation.3 .
et F = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6)}, l’ordre dans chaque paire étant non important, donc #F = 4.
Donc P(A)  EMBED Equation.3 = 0,0889.

#P = 10 . 10 = 100 (principe de multiplication).
et F = {(1, 9), (9, 1), (2, 8), (8, 2), (3, 7), (7, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 5)}, car il est maintenant possible de tirer deux fois de suite la boule numéro 5,
donc #F = 9.
Donc P(A) =  EMBED Equation.3 .
Exemple 3 : Définitions et qualifications d’événements

Soit l’épreuve : « On lance deux fois un dé honnête ». S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}².
Quel est le libellé correct de l’événement A correspondant à la partie P de S = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} ?
A = « On obtient deux fois de suite le même résultat ».

A quelle partie P de S correspond l’événement B = « La somme des deux numéros obtenus est inférieure ou égale à 4 » ?
P = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}.

Calculer la probabilité des événements : A, B, A(B, A(B, A\B, B\A ; donner un libellé à ceux qui n’en ont pas.
P(A) =  EMBED Equation.3 .
P(B) =  EMBED Equation.3 .
P(A(B)=  EMBED Equation.3  : P(« La somme des deux numéros identiques est inférieure ou égale à 4 »).
P(A(B)=  EMBED Equation.3 : P(« On obtient deux numéros, soit identiques, soit dont la somme est inférieure ou égale à 4 »).
P(A\B)=  EMBED Equation.3 : P(« La somme des deux numéros identiques est supérieure à 4 »).
P(B\A)=  EMBED Equation.3 : P(« La somme des deux numéros différents est inférieure ou égale à 4 »).
Exemple 4 : Contrôle de qualité.
Une boîte contient 30 objets dont 10 sont défectueux.
On prélève 5 objets en une fois, quelle est la probabilité que, parmi ces 5 objets, 2 soient défectueux , P(2D) ?
On prélève successivement 5 objets avec remise, quelle est la probabilité d’obtenir, dans l’ordre, 2 défectueux puis 3 non défectueux, P(2D_3ND) ? Et deux défectueux dans le lot de 5, P(2D) ?
#P =  EMBED Equation.3 possibilités.
Et pour #F, il faut tirer 2 objets parmi les 10 objets défectueux présents : soit  EMBED Equation.3 possibilités de cas favorables, que l’on doit combiner (principe de multiplication) aux 3 objets non défectueux tirés parmi les 20 non défectueux : soit,  EMBED Equation.3 
et donc #F =  EMBED Equation.3 .1.440 = 51.300. Donc P(2D)  EMBED Equation.3 .
Soit Di : « L’objet i est défectueux », donc P(Di) = 1/3 et P(~Di)= 2/3, (i.
Donc P(2D_3ND) = P(D1 et D2 et ~D3 et ~D4 et ~D5 ) = P(D1 ( D2 ( ~D3 ( ~D4 ( ~D5 ) = P(D1).P(D2).P(~D3).P(~D4).P(~D5 ) = (1/3)².(2/3)³ = EMBED Equation.3 = 0,0329.
Quand l’ordre n’importe pas, il existe plus de possibilités d’obtenir 2 objets défectueux sur les 5, en fait toute permutation distinguable de la séquence supra devient un cas favorable. Nos 5 objets sont répartis en deux groupes respectivement de 2 et 3 objets indistinguables à l’intérieur de chacun de ces deux groupes. On dispose donc de  EMBED Equation.3  possibilités de permutation sans que la probabilité de l’une diffère de n’importe quelle autre. Nous sommes en fait dans le cas d’une distribution binomiale. (Voir infra, chapitre 6.) Donc P(2D) =  EMBED Equation.3 . Annexe 2 au chapitre 1 : Exercices récapitulatifs
Exercice 1.11 :
Soit l’épreuve : « On lance trois fois de suite un dé honnête ».
Donc S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}³.
A quelles parties de S correspondent les événements :
A : « On n’obtient pas d’as aux trois lancers. » ;
B : « On obtient exactement un as. » ;
C : « On obtient au moins un as. » ;
D : « On obtient un as au deuxième et au troisième lancer. » ?
Calculer la probabilité de ces événements.

Exercice 1.12 :

Sur les 10 filles assises au premier rang, 3 ont les yeux bleus. On en désigne 2 au hasard.

Quelle est la probabilité :
qu’elles aient toutes deux des yeux bleus ?
qu’aucune n’ait des yeux bleus ?
au moins une ait des yeux bleus ?

Exercice 1.13 :

Trois étudiants Albert, Bernard et Charles disputent une compétition de natation. Albert et Bernard ont la même probabilité a priori de gagner et chacun d’eux a deux fois plus de chance de gagner que Charles.

Quelle est la probabilité :
pour chacun de gagner ?
que Bernard ou Charles gagne ?
qu’Albert et Bernard perdent ?
qu’Albert ou Bernard perde ?
Exercice 1.14 :
Cinq couples mariés se trouvent réunis.
Si deux personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité qu’elles soient mariées ?
Si deux personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité qu’une d’elles soit une femme et l’autre un homme ?
Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité que deux couples mariés aient été choisis ?
Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité qu’aucun couple marié ne se trouve parmi les quatre personnes ?
Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité qu’exactement un couple marié soit présent dans les quatre ?
Si les dix personnes sont divisées au hasard en 5 paires, quelle est la probabilité que chaque paire soit mariée ?
Si les dix personnes sont divisées au hasard en 5 paires, quelle est la probabilité que chaque paire comprenne un homme et une femme ?
Exercice 1.15 :
On a établi que la probabilité qu’une caissière de grand magasin reçoive k clients entre 15 et 16 heures est :  EMBED Equation.3  .
Calculez ( .
Quelle est la probabilité  que la caissière reçoive moins de 5 clients ? P(C 0, sont incompatibles entre eux, c’est-à-dire P(A (B) = 0, alors ils ne sont pas indépendants.
Preuve (voir également infra exemple 4) :
S’ils étaient indépendants, P(A/B) = P(A) ; or P(A/B) = P(A(B)/P(B), donc dans le cas présent d’incompatibilité entre A et B, P(A(B)=0 (P(A/B) = 0.
Ce qui est impossible puisque P(A) est supposé > 0.
D. Exemples

  L’urne bicolore

Soit U une urne contenant r boules blanches numérotées de 1 à r et s boules bleues numérotées de 1 à s.
Les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de U.

Sachant que cette boule est blanche, quelle est la probabilité qu’elle porte le numéro 1 ?

#S = r + s, tous les résultats de l’expérience stochastique sont équiprobables.

Soient les événements : - A : « La boule tirée porte le n°1. ».
B : « La boule tirée est blanche. ».
On cherche P(A/B).
Or P(A/B) = P(A(B)/P(B) avec P(A(B) =  EMBED Equation.3  et P(B) =  EMBED Equation.3 .
Donc P(A/B) =  EMBED Equation.3 .



L’âge des époux (cfr. supra Chapitre 2 Section 1)

Soient les événements :
A : « L’âge de l’époux se trouve dans l’intervalle 30 - 35 ans. » ;
B : « L’âge de l’épouse se trouve dans l’intervalle 25 - 30 ans. ».

Or P(A (B) = 11/669 = 0,0164 (probabilité jointe)
et P(B) = 65/669 = 0 ,0972 (probabilité marginale).
Donc P(A/B) = P(A(B)/ P(B) =  EMBED Equation.3 
(probabilité conditionnelle)
Le parapluie perdu

Monsieur Dupont vient de visiter 3 immeubles A, B, C. Il s’aperçoit qu’il y a oublié son parapluie. A son avis, n’ayant aucun souvenir précis, il juge équiprobable la présence de son parapluie dans chacun des trois immeubles.
Il retourne à l’immeuble A et entreprend de fouiller ses n étages. Il arrive au dernier sans avoir découvert son parapluie dans les n-1 étages précédents.

Quelle est alors la probabilité que le parapluie se trouve au nième étage de l’immeuble A ?

Soient les événements : - A : « Le parapluie se trouve dans l’immeuble A. ».
- Ei : « Le parapluie se trouve au ième étage de l’immeuble A. ».
On a P(A) = 1/3 et P(Ei/A) = 1/n ((i, i ([1, 2, 3, … , n]).

On cherche :
 EMBED Equation.3 

en effet :
 EMBED Equation.3 .

 EMBED Equation.3 .
Lancers de dés

a) On lance deux dés honnêtes, un rouge et un bleu, soit :
A : « La somme des résultats fait 6. » ;
B : « Le dé rouge donne un numéro pair. ».

A et B sont-ils indépendants ?

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 A= {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
B = {2, 4, 6}x{1, 2, 3, 4, 5, 6} A(B = {(2,4), (4,2)}

 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

or  EMBED Equation.3 .

donc A et B ne sont pas indépendants.




b) Même épreuve mais :
A : « La somme des résultats fait 8. » ;
B : « Le dé bleu donne l’as. ».

A et B sont-ils indépendants ?

A et B sont incompatibles, donc  P(A(B) = 0.

Mais P(A) et P(B) différent de 0, donc A et B ne sont pas indépendants.


Un résumé des lois de probabilité usuelles pour deux événements E et F de probabilité non nulle

E et F incompatibles
E ( F = ( E et F compatibles
E ( F ( (IndépendantsNon indépendantsP(E ( F) = 0P(E ( F) = P(E).P(F) P(E ( F) = P(E/F).P(F)
ou
P(E ( F) = P(F/E).P(E)P(E ( F) = P(E) + P(F)P(E ( F) = P(E) + P(F) - P(E).P(F)P(E ( F) = P(E) + P(F) - P(E ( F)P(E/F) = 0P(E/F) = P(E)P(E/F) = P(E ( F)/P(F)P(F/E) = 0P(F/E) = P(F)P(F/E) = P(E ( F)/P(E)

Annexe au chapitre 2 : Exercices récapitulatifs
Exercice 2.1 :
On tire une carte d’un jeu de 32 cartes. Soit A = « Tirer un cœur » et B = «Tirer un as ».
Prouver que A et B sont indépendants.
Exercice 2.2 :
Une usine fabrique des pièces en grande série, en deux phases indépendantes. La première phase est susceptible de faire apparaître un défaut X et la seconde un défaut Y. Une pièce peut présenter le défaut X dans 2% des cas et le défaut Y dans 8% des cas.
Quelle est la probabilité qu’une même pièce tirée au hasard :
présente les deux défauts ? P(A) ?
présente au moins l’un des deux défauts ? P(B) ?
présente un et un seul des deux défauts ? P(C) ?
ne présente aucun des deux défauts ? P(D) ?
N.B. Il est utile de représenter graphiquement (via des diagrammes de Venn) les événements dont on cherche la probabilité ; de montrer que si un événement X et un événement Y sont indépendants, leurs complémentaires le sont également ainsi que de développer les solutions de façon alternative via un diagramme en arbre.
Exercice 2.3 :
Une machine industrielle comprend trois organes de fonctionnement. Si l’un d’entre eux présente une défaillance, la machine tombe en panne. Les défaillances possibles de ces organes sont indépendantes et les probabilités de défaillance sont respectivement 0,02, 0,05 et 0,10.
Quelle est la probabilité que la machine tombe en panne ? P(D) ? 
Exercice 2.4 :
Une machine automatique comprend trois organes notés O1, O2 et O3. Les organes O1 et O2 sont interchangeables : si l’un d’eux est défectueux, l’autre prend le relais ; par contre, l’organe O3 est indépendant de O1 et O2. La machine tombe en panne si O1 et O2 ou O3 sont défectueux. On désigne par A, B, C respectivement les événements suivants « O1, O2, O3 est défectueux ».
Calculer la probabilité que la machine tombe en panne, P(D), en fonction des probabilités d’événements qui soient des réunions des événements élémentaires A, B et C. 
Exercice 2.5 :
Un système de chauffage central au fioul comporte une pompe et un brûleur montés en série. Ces deux éléments peuvent tomber en panne durant l’hiver. Tout le système s’arrête si l’un des deux éléments est en panne.
Supposons que le système ait été activé pendant un hiver et qu’un résultat (x,y) soit enregistré : x = 0 si la pompe fonctionne durant tout l’hiver sans défaillance, autrement x = 1 ; de même y = 0 si le brûleur fonctionne correctement, autrement y = 1.
Décrivez et représentez graphiquement :
en compréhension et en extension l’espace d’échantillonnage associé à cette épreuve ;
en extension, les événements suivants :
P = « La pompe tombe en panne durant l’hiver. » ;
B = « Le brûleur tombe en panne durant l’hiver. » ;
C= « Le système de chauffage passe l’hiver sans panne. ».
Donnez en plus de la description en extension, la signification et/ou la définition des événements suivants :
P(B ;
P(B ;
C(P;
P( EMBED Equation.3 .
La probabilité de panne de la pompe est P(P) et celle du brûleur, P(B) ; les pannes sont indépendantes. Si P(P) = 0,10 et P(B) = 0,05 :
Quelle est la probabilité :
que l’on ait froid pendant l’hiver ?
que l’on doive réparer simultanément les deux composants du système ?
Exercice 2.6 :
Dans une population de jeunes, il y a 40% de fumeurs et 30% atteints par une maladie respiratoire. Parmi les fumeurs 60% sont atteints par la maladie.
Quelle est la probabilité pour que quelqu’un atteint par la maladie soit également fumeur ? (N.B. Modélisez la résolution du problème d’au moins deux façons différentes).
Exercice 2.7 :
Un circuit particulier dans un système de sécurité d’un avion ne fonctionne que si les composants C1 et C2 ne tombent pas en panne. Il suffit qu’un seul soit en panne pour que le circuit ne fonctionne pas. C1 tombe en panne avec une probabilité (1 (0
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